概率统计期末重点复习
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F lim Fx 0 x
要求：利用分布函数的性质求分布函数中的待定常数， 能够利用分布函数计算随机事件的概率。
2、离散型随机变量的分布
①分布律 P X xk pk k 1, 2, ,n
P X x pk Pa X b pk
②写出对数似然函数 ln L ln f xi; i 1
③求导 d ln L 0
d ④求解得到最大似然估计 ˆ
3、区间估计 置信区间的定义
设 是未知参数，给定 0 1，
若由样本 X1 , X 2 , , X n确定的两个统计量ˆ1, ˆ2
满足
P{ˆ1 ˆ2} 1.
则称区间 [ˆ1, ˆ2 ] 为 的置信系数为 1 的置
信区间.
ˆ1与 ˆ2分别称为置信下限和置信上限.
区间估计 总体X~N(，2)
① 2已知, 求的置信度为1-置信区间
X
k
,X
n
k
n
k u1 2
② 2未知, 求的置信度为1-置信区间
注：连续型随机变量的 分布函数Fx是连续函数。
②连续性随机变量的期望、方差
期望EX xf x dx
方差DX x EX 2 f x dx DX EX 2 (EX )2
③几个常见的连续型分布
均匀分布 X ~ Ra,b
f
x
S* n
设总体X
~N
0，1，X1，
,
X
为来自总体的样本，
n
n
2 X i2 ~ 2 n i 1
n Xi X 2 nS 2 ~ 2 n 1
i 1
参数估计
一、知识点 1.点估计的优良性：一致性、无偏性、有效性.
总体均值EX的无偏估计量是样本均值X 总体方差DX的无偏估计量是修正的样本方差S *2
例P16 10、11 例P27-28 1、10、11
随机变量及其分布
一、知识点 随机变量离连散续型型 1、分布函数的定义
F(x)=P(X≤ x) x∈ (－∞，+∞)
P(x1<X≤ x2) = F(x2)－F(x1) • 分布函数的性质：单调非减、右连续
F lim Fx 1 x
D X Y DX DY
cov X ,Y ０
4、其它
XY 0
DX Y DX DY 2covX ,Y DX Y DX DY 2 DX DY XY
二维正态分布 X ,Y相互独立 XY 0
y j pij
j
j
ij
2、二维随机变量的数字特征
• 数学期望
• 方差
• 协方差 covX ,Y EX EX Y EY EXY EX EY
• 相关系数
XY
covX ,Y
DX DY
3、相关性和独立性的判断
X ,Y相互独立 E XY EX EY
随机变量函数的分布
• 要求：掌握离散型（一维、二维）随机变量函数的分 布的计算。
二、例题
P40 例12 ， P42例14 ， P45例 16、17， P47 19 , P72 例7， P81 例9 ， P86 例19 P94 4、9、15
一、知识点
正态总体的抽样分布定理
设总体X ~N
， 2
当X,Y独立时，
E XY EX EY
D X Y DX DY
④几个常见的离散型分布
0-1分布 P X 1 p；P X 0 1 p
EX p DX p(1 p)
二项分布 X ~ Bn, p
P X k Cnk pkqnk k 0,1, ,n 0 p 1, p q 1
EX 0 DX 1
标准正态分布的密度函数、分布函数的性质
(x) (x)
(x) 1 (x) (0) 0.5
正态分布的标准化
若X ~N , 2 ，则 X ~ N 0,1
故
P(a
X
b)
P
a
X
b
b
a
要求： 1、熟练掌握几个常见的连续型分布的概率密度、期望、
方差， 2、能够利用概率密度计算随机事件的概率， 3、能够利用概率密度的性质求密度函数中的待定常数， 4、熟练掌握正态分布、标准正态分布、正态分布的标准
化计算， 5、连续性随机变量的概率计算涉及到积分的计算，应熟
b
1
a
a xb
0
其它
EX a b 2
b a2
DX 12
指数分布 X ~E
f
x
ex
x 0 0
0 x0
EX 1
DX 1
2
指数分布的无记忆性
P(X s t | X s) p(X t)
正态分布 X ~N , 2
练掌握
二维随机变量及其分布
1、二维离散型随机变量的分布 ①联合分布 P(X=xi,Y=yj)=pij(i、j=1,2, …) ②边缘分布
关于X的边缘分布 PX xi pij i 1,2, j 1
关于Y的边缘分布 P Y y j pij j 1,2, i 1
X
k
S* , X n
k
S*
n
k
t
1
(n
1)
2
假设检验
一、知识点 ①已知方差2 ，检验假设H0：=0；Z(U )检验法 ②未知方差2，检验假设H0：=0；T 检验法 考虑双侧检验 检验水平的意义
祝大家考出理想的成绩！
概率统计简明教程
计算机学院 概率统计期末总复习
考试题型
1.填空题（8×3=24分） 2.选择题（5×4=20分） 3.计算题（3题共32分） 4.应用题（2题共24分）
随机事件及其概率
一、知识点 1、事件的表示 2、 随机事件的概念以及事件的关系与运算（并、交
、差、包含、补、互斥） • 对偶律 A B AB; AB A B • 差 A B AB A AB
PA 1 PA
5、条件概率 要求：熟悉条件概率的定义及计算公式
P
A
|
B
P AB PB
或
PB
|
A
P AB P A
P
A| B
P AB
PB
P
B A PB
P B AB PB
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1
P
A|
B
P
A
|
B
P AB PB
PAi PB | Ai
i 1
要求：熟练掌握三个有关条件概率的计算公式，解 决事件概率的计算问题。
7、事件的独立性 • 对事件A与B，若有P(AB)=P(A)P(B)，或
P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)，则称A与B相互独立。 • 若A与B相互独立，则 A与B，A与B，A与B也相互独立。 8、伯努利试验、二项概率 二、例P5-6 4、5、6
EX np DX np(1 p)
泊松分布
X ~ P
P X k k！k e k 0,1, 2, 0
EX DX
要求：能够利用离散型随机变量分布律的性质计算分
布律中的待定参数。熟练掌握几个常见的离散型分布
的分布律、数学期望、方差，能够利用分布律计算随
n
i 1
ln L ln pxi;
i 1
③求导 d ln L 0
d
④求解得到最大似然估计 ˆ
最大似然估计的主要步骤——连续型
设总体X 的分布为f(x;，其中为待估参数.
n
①写出似然函数 L Lx1, x2,, xn; f xi ; i 1 n
n
PB PAi PB | Ai i 1
③贝叶斯公式——（由果找因）
如果事件A1，, An构成完备事件组，且PAi 0 i 1,2,, n，则对任意事件BPB 0，有
PAk | B
PAk PB | Ak
n
k 1,2,, n
2、最大似然估计
如果 ˆ 满足L(ˆ) max L( ). 称 ˆ为的极大似然估计 .
最大似然估计的主要步骤——离散型 设总体X 的分布为p(x;)，其中为待估参数.
•①写出似然函数
n
L Lx1, x2,, xn; pxi ;
②写出对数似然函数
f x
1
x 2
e
2 2
x
2
EX DX ２
正态分布的密度函数f(x)关于x=对称，所以有
P(X ) P(X ) 1
2
标准正态分布
X ~N ０,１， x
1
e
x2 2
2
x
PA B 1 PB
P A AB 1 PB
6、与条件概率有关的公式
• ①乘法公式 当PA 0时，有PAB PAPB | A 当PB 0时，有PAB PBPA | B
• ②全概率公式——（由因索果）
如果事件A1，, An构成完备事件组，且PAi 0 i 1,2,, n,则对任意事件B，有
，X1，
,
X
为来自总体的样本，
n
X
~
N
,1 n
2
X
/
n
~
N
0,1
1 n
2 i 1
Xi X
2
nS 2
2
~
2
n 1
1
2
n
Xi
i 1
2
~
2 n
X ~ t n 1
S n 1
X ~ t n 1
3、 古典概型 PA m
n
• 要求：会计算古典概率
4、概率的性质 •要求：能够利用概率的性质计算随机事件的概率
•比如，事件差的概率 PA B PA AB PA PAB
• 加法法则 • 广义加法公式：对于任意事件A，B，有
• 互补性
PA B PA PB PAB
• 要求：理解联合分布与边缘分布的概念，掌握边 缘分布的计算方法。
③二维离散型随机变量的数字特征
二维随机变量(X ,Y)的期望就是X ， Y分别的期望
EX ，EY
EX xiP( X xi ) xi pi
xi pij
i
i
ij
EY y j P(Y y j ) y j p j
k:xk x
k:axk b
②性质 pk 0 k 1,2,
pk 1
k
③数字特征
数学期望EX xk pk k 1
方差DX EX 2 EX 2 方差简算公式的灵活运用
数学期望及方差的性质
E aX b aEX b DaX b a2DX
机事件的概率。
3、连续型随机变量的分布 ①定义
若F
x
x
f
t
dt成立，则X
为连续型随机变量，
f x为X的概率密度.
性质
f
x dx
F
1
Pa
X
b
b
a
f
x dx
F
b
F
a
在f x的一切连续点有f x F 'x
要求：利用分布函数的性质求分布函数中的待定常数， 能够利用分布函数计算随机事件的概率。
2、离散型随机变量的分布
①分布律 P X xk pk k 1, 2, ,n
P X x pk Pa X b pk
②写出对数似然函数 ln L ln f xi; i 1
③求导 d ln L 0
d ④求解得到最大似然估计 ˆ
3、区间估计 置信区间的定义
设 是未知参数，给定 0 1，
若由样本 X1 , X 2 , , X n确定的两个统计量ˆ1, ˆ2
满足
P{ˆ1 ˆ2} 1.
则称区间 [ˆ1, ˆ2 ] 为 的置信系数为 1 的置
信区间.
ˆ1与 ˆ2分别称为置信下限和置信上限.
区间估计 总体X~N(，2)
① 2已知, 求的置信度为1-置信区间
X
k
,X
n
k
n
k u1 2
② 2未知, 求的置信度为1-置信区间
注：连续型随机变量的 分布函数Fx是连续函数。
②连续性随机变量的期望、方差
期望EX xf x dx
方差DX x EX 2 f x dx DX EX 2 (EX )2
③几个常见的连续型分布
均匀分布 X ~ Ra,b
f
x
S* n
设总体X
~N
0，1，X1，
,
X
为来自总体的样本，
n
n
2 X i2 ~ 2 n i 1
n Xi X 2 nS 2 ~ 2 n 1
i 1
参数估计
一、知识点 1.点估计的优良性：一致性、无偏性、有效性.
总体均值EX的无偏估计量是样本均值X 总体方差DX的无偏估计量是修正的样本方差S *2
例P16 10、11 例P27-28 1、10、11
随机变量及其分布
一、知识点 随机变量离连散续型型 1、分布函数的定义
F(x)=P(X≤ x) x∈ (－∞，+∞)
P(x1<X≤ x2) = F(x2)－F(x1) • 分布函数的性质：单调非减、右连续
F lim Fx 1 x
D X Y DX DY
cov X ,Y ０
4、其它
XY 0
DX Y DX DY 2covX ,Y DX Y DX DY 2 DX DY XY
二维正态分布 X ,Y相互独立 XY 0
y j pij
j
j
ij
2、二维随机变量的数字特征
• 数学期望
• 方差
• 协方差 covX ,Y EX EX Y EY EXY EX EY
• 相关系数
XY
covX ,Y
DX DY
3、相关性和独立性的判断
X ,Y相互独立 E XY EX EY
随机变量函数的分布
• 要求：掌握离散型（一维、二维）随机变量函数的分 布的计算。
二、例题
P40 例12 ， P42例14 ， P45例 16、17， P47 19 , P72 例7， P81 例9 ， P86 例19 P94 4、9、15
一、知识点
正态总体的抽样分布定理
设总体X ~N
， 2
当X,Y独立时，
E XY EX EY
D X Y DX DY
④几个常见的离散型分布
0-1分布 P X 1 p；P X 0 1 p
EX p DX p(1 p)
二项分布 X ~ Bn, p
P X k Cnk pkqnk k 0,1, ,n 0 p 1, p q 1
EX 0 DX 1
标准正态分布的密度函数、分布函数的性质
(x) (x)
(x) 1 (x) (0) 0.5
正态分布的标准化
若X ~N , 2 ，则 X ~ N 0,1
故
P(a
X
b)
P
a
X
b
b
a
要求： 1、熟练掌握几个常见的连续型分布的概率密度、期望、
方差， 2、能够利用概率密度计算随机事件的概率， 3、能够利用概率密度的性质求密度函数中的待定常数， 4、熟练掌握正态分布、标准正态分布、正态分布的标准
化计算， 5、连续性随机变量的概率计算涉及到积分的计算，应熟
b
1
a
a xb
0
其它
EX a b 2
b a2
DX 12
指数分布 X ~E
f
x
ex
x 0 0
0 x0
EX 1
DX 1
2
指数分布的无记忆性
P(X s t | X s) p(X t)
正态分布 X ~N , 2
练掌握
二维随机变量及其分布
1、二维离散型随机变量的分布 ①联合分布 P(X=xi,Y=yj)=pij(i、j=1,2, …) ②边缘分布
关于X的边缘分布 PX xi pij i 1,2, j 1
关于Y的边缘分布 P Y y j pij j 1,2, i 1
X
k
S* , X n
k
S*
n
k
t
1
(n
1)
2
假设检验
一、知识点 ①已知方差2 ，检验假设H0：=0；Z(U )检验法 ②未知方差2，检验假设H0：=0；T 检验法 考虑双侧检验 检验水平的意义
祝大家考出理想的成绩！
概率统计简明教程
计算机学院 概率统计期末总复习
考试题型
1.填空题（8×3=24分） 2.选择题（5×4=20分） 3.计算题（3题共32分） 4.应用题（2题共24分）
随机事件及其概率
一、知识点 1、事件的表示 2、 随机事件的概念以及事件的关系与运算（并、交
、差、包含、补、互斥） • 对偶律 A B AB; AB A B • 差 A B AB A AB
PA 1 PA
5、条件概率 要求：熟悉条件概率的定义及计算公式
P
A
|
B
P AB PB
或
PB
|
A
P AB P A
P
A| B
P AB
PB
P
B A PB
P B AB PB
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1
P
A|
B
P
A
|
B
P AB PB
PAi PB | Ai
i 1
要求：熟练掌握三个有关条件概率的计算公式，解 决事件概率的计算问题。
7、事件的独立性 • 对事件A与B，若有P(AB)=P(A)P(B)，或
P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)，则称A与B相互独立。 • 若A与B相互独立，则 A与B，A与B，A与B也相互独立。 8、伯努利试验、二项概率 二、例P5-6 4、5、6
EX np DX np(1 p)
泊松分布
X ~ P
P X k k！k e k 0,1, 2, 0
EX DX
要求：能够利用离散型随机变量分布律的性质计算分
布律中的待定参数。熟练掌握几个常见的离散型分布
的分布律、数学期望、方差，能够利用分布律计算随
n
i 1
ln L ln pxi;
i 1
③求导 d ln L 0
d
④求解得到最大似然估计 ˆ
最大似然估计的主要步骤——连续型
设总体X 的分布为f(x;，其中为待估参数.
n
①写出似然函数 L Lx1, x2,, xn; f xi ; i 1 n
n
PB PAi PB | Ai i 1
③贝叶斯公式——（由果找因）
如果事件A1，, An构成完备事件组，且PAi 0 i 1,2,, n，则对任意事件BPB 0，有
PAk | B
PAk PB | Ak
n
k 1,2,, n
2、最大似然估计
如果 ˆ 满足L(ˆ) max L( ). 称 ˆ为的极大似然估计 .
最大似然估计的主要步骤——离散型 设总体X 的分布为p(x;)，其中为待估参数.
•①写出似然函数
n
L Lx1, x2,, xn; pxi ;
②写出对数似然函数
f x
1
x 2
e
2 2
x
2
EX DX ２
正态分布的密度函数f(x)关于x=对称，所以有
P(X ) P(X ) 1
2
标准正态分布
X ~N ０,１， x
1
e
x2 2
2
x
PA B 1 PB
P A AB 1 PB
6、与条件概率有关的公式
• ①乘法公式 当PA 0时，有PAB PAPB | A 当PB 0时，有PAB PBPA | B
• ②全概率公式——（由因索果）
如果事件A1，, An构成完备事件组，且PAi 0 i 1,2,, n,则对任意事件B，有
，X1，
,
X
为来自总体的样本，
n
X
~
N
,1 n
2
X
/
n
~
N
0,1
1 n
2 i 1
Xi X
2
nS 2
2
~
2
n 1
1
2
n
Xi
i 1
2
~
2 n
X ~ t n 1
S n 1
X ~ t n 1
3、 古典概型 PA m
n
• 要求：会计算古典概率
4、概率的性质 •要求：能够利用概率的性质计算随机事件的概率
•比如，事件差的概率 PA B PA AB PA PAB
• 加法法则 • 广义加法公式：对于任意事件A，B，有
• 互补性
PA B PA PB PAB
• 要求：理解联合分布与边缘分布的概念，掌握边 缘分布的计算方法。
③二维离散型随机变量的数字特征
二维随机变量(X ,Y)的期望就是X ， Y分别的期望
EX ，EY
EX xiP( X xi ) xi pi
xi pij
i
i
ij
EY y j P(Y y j ) y j p j
k:xk x
k:axk b
②性质 pk 0 k 1,2,
pk 1
k
③数字特征
数学期望EX xk pk k 1
方差DX EX 2 EX 2 方差简算公式的灵活运用
数学期望及方差的性质
E aX b aEX b DaX b a2DX
机事件的概率。
3、连续型随机变量的分布 ①定义
若F
x
x
f
t
dt成立，则X
为连续型随机变量，
f x为X的概率密度.
性质
f
x dx
F
1
Pa
X
b
b
a
f
x dx
F
b
F
a
在f x的一切连续点有f x F 'x