第四章空间问题的有限元

第四章 空间问题的有限元

在工程问题中，有些结构形状非常复杂，必须按照空间问题来求解。由于4节点四面体单元可以很好的模拟几何体的边界形状而被广泛使用。因此本章将介绍此种单元及8节点六面体单元。

§4.1 空间问题的离散化

在工程实际中，有些结构由于形体复杂，并且三个方向的尺寸同量级，必须按空间问题求解。空间问题有限元法的原理、思路和解题方法完全类同于平面问题的有限元法，所不同的是它具有三维特点。它所采用的离散化模型仍然是由若干单元在节点处连接而成的，而且节点仍为铰接，但是这些单元具有块体形状。它的基本未知量是节点位移，有3个分量：,,u v w 。它的分析方法仍然是先进行单元分析，再进行整体分析，最后求解整体平衡方程。但必须指出，由平面问题转换为空间问题给有限元分析带来了两个主要困难：

1、空间结构离散不像平面问题直观，当人工离散时很容易产生错误。

2、未知量的数量剧增，对于比较复杂的空间问题，计算机存储容量和计算机费用都会产生问题。

为解决上述两个问题，前者可通过寻找规律，建立网格自动生成前处理程序来克服，而后者则可采用高阶元以提高单元精度，达到减少未知量和节省机时的目的。

§4.2常应变四面体单元

§4.2.1位移函数

图4-1所示为四面体单元，以四个角点i ，j ，m ，l 为结点，每个结点有三个自

由度，因此由广义坐标给出的线性位移函数为

000000u ϕϕβϕβϕ⎡⎤

⎢⎥==⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

(4.2.1) 其中[]1x y z ϕ= 图4-1 四面体单元

[]1212T

ββββ=L

把四个节点坐标代入(4.2.1)式时，可得

{}000

000A q A A A ββ⎡⎤

⎢⎥==⎢⎥

⎢⎥⎣

⎦

%%% (4.2.2) 其中{}T

i

i i j j j m m m l l

l q u v w u v w u v w u v w ⎡⎤=⎣⎦

1111i

i i j j j m m m l

l

l x y z x

y z A

x y z x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

% 由(4.2.2)式求出

{}1A q β-=% (4.2.3)

将(4.2.3)式代入(4.2.1)式后，则有

{}{}1i

j m

l u B A q N N N N q

-⎡⎤=Φ=Φ=I I I I ⎣⎦&% (4.2.4) 其中100010001⎡⎤⎢⎥I =⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

()1

6i i i i i N a b x c y d z V

=

+++ ()1

6j j j j j N a b x c y d z V

=-

+++ ()1

6m m m m m N a b x c y d z V

=

+++ ()1

6l l l l l N a b x c y d z V

=-

+++ 称为形函数，它们的系数为

i

j j

i m

m m l l

l x y z a x y z x y z = 1

11j j i m m l

l

y z b y z y z = 111

j

j

i m

m l

l x z c x z x z = 111j

j i m m l

l

x y d x y x y =

111161i i i j j j m m m l

l

l

x y z x y z V x y z x y z =

V 为四面体的体积，为了使V 不为负值，单元的4个顶点的标号i ，j ，m ，l 必须按照一定的順序：在右手坐标系中，要使得右手螺旋在按照i j m →→的转向转动时向

l 的方向前进。

§4.2.2应变矩阵、应力矩阵

如图4-1所示，单元内任一点的应变为

[]{}{}i j

m

l B q B B B B q ε⎡⎤==--⎣⎦ (4.2.5)

其中T

x

y z xy yz zx εεεεγγγ⎡⎤=⎣⎦

00000010600

i

i

i i i

i i i i

i b c d B c b V d c d b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥

=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

( i ，j ，m ，l ) 显然(,,,)i B i j m l 矩阵中的元素都是常量，因此，采用线性位移模型的四面体单元是常应变单元。

将(4.2.5)式代入空间问题的物理方程得：

[][][]{}[]{}{}i j

m

l D D B q S q S S S S q σε⎡⎤====--⎣⎦ (4.2.6)

式中 T

x y z xy yz zx σσσστττ⎡⎤=⎣⎦

[]1000

111

00011100011(1)12(1)(12)0

00002(1)12000002(1)1200

2(1)E D νννν

ννννν

νν

νννννννννν⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥---=⎢

⎥-+-⎢⎥

-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥

-⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥

-⎢⎥⎣

⎦ []11111132222220600

i

i i i i

i i

i i i i

i i i i

i b A c A d A b c A d A b A c d A S A c

A b V A d A c A d A b ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

( i ，j ，m ，l ) 而11A ν

ν

=

- 2122(1)A νν-=

- 3(1)

(1)(12)

E A ννν-=-- (4.2.7)

式中S 称为应力矩阵，显然单元中的应力也是常量。 §4.2.2 单元刚度矩阵和单元等效节点载荷向量

利用最小势能原理，得到单元节点位移的公式：

[]{}{}k q F = (4.2.8)

其中[][][][][][][]T

T

V

k B D B dxdydz B D B V ==⎰

称为单元刚度矩阵，它也可以写为

[]ii

ij im il ji

jj

jm jl mi mj mm ml li lj

lm

ll K K K K K

K K K k K K K K K K K K --⎡⎤⎢⎥--⎢

⎥=⎢⎥

--⎢⎥--⎢⎥

⎣

⎦ 其中[]2121231221212122()()36()r s r s r s r s r s r s r s

rs r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s r s b b A c c d d Ab c A c b Ab d A d b A k A c b A b c c c A b b d d A c d A d c V A c b A b d A d c A c d d d A b b c c ++++⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦