等比数列概念与性质(2课时)

变式：已知a1 1, an1 2an 1, bn an 1,
证明：数列 bn 是等比数列。
1、等比数列 { a n } 中， a 4 · 7 = －512，a 3 + a 8 = 124, a
公比 q 为整数，求 a 10. 法一：直接列方程组求 a 1、q。 法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5 法三：由 a 4 · 7 = a 3 · 8 = －512 a a
n n
a1b1 ( pq ) = n 1 =pq a1b1 ( pq )
n
所以{an· n}是一个以pq为公比的等比数列 b
总结: 判定或证明一个数列为等比数列的方法是 2 采用定义或证明an an1 an1 (an 0)
bn { } 是等比数列吗? 变式1: 问数列 an 变式2: 问数列 {an bn } 是等比数列吗?
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不 竭.” 意思：“一尺长的木 棒，每日取其一半， 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分组成数列：
1 1 1 1 1， ， ， ， ， „ 2 4 8 16
4
情景展示（3）
现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%， 那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别 是：
10000 1984 10000 1.01985
10000 1.01984
思考：
(1)
(2)
1 2, 4, 8, , 16
1 1 1 1 1, , , , 2 4 8 16
2 3 （3） 100001.0198100001.0198 ,100001.0198 , ,
100001.0198 ,100001.0198 .
对通项公式 a n
a1q
n 1
的理解
①函数观点：它是与指数函数 y=ax 有关的一个函 数.(图像特征?) ②方程思想：方程中有四个量,它们是an,a1,q,n.知道 其中三个量,能求第四个量. ③其他形式：an=a m q n - m
例1：等比数列{a n }中 1）a1 2, q 2, 求a4，an
q 0 an 0

an a1 q
n 1
典型例题
. 例1：等比数列 a 中，已知
n
4 1 1a3 , q , 求a1； 9 3 2a2 10，a3 20求an .
例2：数列 an 中，lg an 3n 5 证明：数列 an 为等比数列。
2 a3 124 3 512 0 a
a3 128 a3 4 或
∵ 公比 q 为整数
a3 128 a3 4 或 a8 4 a8 128
a3 4 128 5 q 32 q 2 4 a8 128
问题1：
（1）4和6的等比中项是______ (2)-4和-6的等比中项是_____ (3)4和-6的等比中项是______
等差数列通项公式的推导:
(累加法)
a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d … … an1 an2 d
an an1 d

∴ a 10 = a 3×q 10 －3= －4×(-2) 7= 512
回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比(q) q可正可负,但不可为零
名称 概念
等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零
常数
性质
通项 通项 变形
an a1 q nm an amq
n 1
(n, m N )
*
an a1 (n 1)d an am (n m)d *
(n, m N )
等比数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等 比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比常 用q表示(q≠0）
(1) 1， 1，3，9，27，81，… (2) (3) (4)
1, 1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
5，5，5，5，5，5，… 1，0，1，0，1，…
(5)
0，0，0，0，0，…
如果在a与b中间插入一个数G，使 a,G,b成等比数列，那么这三个数之间 有什么关系？你能用a，b表示G吗？

1
1
1
1 q 2或q 2
例2 已知{an}、{bn}是项数相同的等 比数列，求证{an·n}是等比数列。 b
证明：设数列{an}的首项为a1，公比为p； {bn}的首项为b1，公比为q
an1 bn1 = an bn
a1 p b1q n 1 n 1 a1 p b1q
解：由条件，得a1 a5 a2 a4 a ,
2 3
a2 a6 a3 a5 ,
a3 a7 a4 a6 a ,
2 5
2 2 2 a3 2a3 a5 a5 100 （a3 a5） 100 因而， 2 ， 2 2 a3 2a3 a5 a5 36 （a3 a5） 36 a3 a5 10 a3 a5 10 a3 8 a3 2 或 或 a3 a5 6 a3 a5 6 a5 2 a5 8 1 an 0, q 或q=2 2 因此，an a1q n 1 a3 q n 3 26 n 或an 2 n 2.
变式3: 对等比数列若取出所有偶数项组成一个 新的数列,问此数列还是等比数列吗? 若是,它的首项和公比分别为多少? 变式4: 若取出的是
a10 , a20 , a30 ,...
呢?
课堂练习：在正项等比数列{an }中, a1a5 2a2 a6 a3a7 100，a2 a4 2a3a5 a4 a6 36， 求数列的通项公式.
q≠0且q∈R
等比中项
公比(差)
等比(差) 中项 通项公式
2A a b
G ab
an a1 (n 1)d an am (n m)d
an a1q
n 1
an am q
nm
性质 (若m+n=p+q)
am an a p aq am an a p aq
符号表示：
等比数列(符号)定义：
* an 1 (n N ) q an
an 1 若 =q（n N ),则数列{an }是等比数列. an
an1 q {an }是等比数列. an
等差数列(A P) 定义
等比数列(G P)
an 1 an d
d∈R
等差中项
an 1 q an
时间
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 年初本金（元）
年末本利和（元）
即把前一期的利息和本金 10000 10000 1.0198 加在一起算作本金，再计 算下一期的利息。 10000 1.01982
10000 1.0198
10000 1.01982 10000 1.01983
10000 1.01983
an an1 d
(n-1)个 式子
an a1 (n 1)d
an 等比数列通项公式的推导： q an 1
累乘法
a2 q a1
a3 q a2 a4 q a3
an q an 1
… …

n 2
(n-1)个 式子
an n 1 q a1
等比数列的通项公式
等比数列 an ，首项为 a1,公比为q,则通项公式为
知识回顾
名称 概念 常数 数学符 号 等差中 项 通项 等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等于同一个常数 公差(d)
an1 an d 或an an1 d (n 1)
an1 an1 2an
an a1 (n 1)d
情景展示（1）
细胞分裂个数
情景展示（2）
1)a4 a1q 2
3
4
2)a4 27, q 3, 求a 7 , an 2)a7 a4 q 3 27(3)3 729 3)a3 12, a4 18, 求a1 , an an a4 q n 4 n4 n 4 n 1 2、等比数列{an }, 27(3) (1) 3
4 5
以上数列有什么共同特点？
6
一、等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它 前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比 数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用 字母q表示。(q≠0） {an}是等比数列
an1 q(n N ) an
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
an a1q
n 1
2
n
a1 a2 a3 7
a1 a2 a3 8，求an
2
16 16 3 n 1 3)a1 , an ( ) 3 3 2
a1 (1 q q 2 ) 7 a1 a1q a1q 7 3 2、 2 ( a1q ) 8 a a qa q 7