勾股定理与全等三角形

1、已知：如图，△ ABC中，/ C=90° D为AB的中点，E、F分别在AC BC上，且DE丄DF.求ffi： AE2+BF2=EF2.

3

2、如图，△ ACB和^ ECD都是等腰直角三角形，/

证：(1 )△ ACE^A BCD; (2) AD2+DB2=D呂.

3、如图，△ ABC 中，AB=BC BE丄AC于点E, AD丄BC 于点D,Z BAD=45°, AD 与BE交于点F,连接CF.

(1)求证：BF=2AE

(2)若CD= 2,求AD 的长.

4、如图①，已知点D在AB上, △ ABC和^ ADE都是等腰

直角三角形，/ ABC=/ ADE=90°,

c

1、证明：延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如图所示:

•/ DF=DE / EDF=Z FDG=90 ,° DG=DE

:.△ EDF^A GDF ( SAS ,

•••

EF=FG

又••• D为斜边BC中点

•••

BD=DC

又•/ / BDE=/ CDG, DE=DG

•••△ BDE^A CDG (SAS

••• BE=CG / B=/ BCG ••• AB// CG ••• / GCA=180-° A=180 -90 =90 在RtA FCG中，由勾股定理得:

FG2=CF+CG=CF+BE ••• EF2=FG=Be+CF.

3

证明：过点A作AM // BC,交FD延长线于点M，连接EM.

•/ AM // BC,

••• / MAE=/ ACB=90 ,° / MAD= / B.

•/ AD=BD, / ADM= / BDF, •••△ ADM^A BDF.

••• AM=BF, MD=DF.

又DE丄DF, ••• EF=EM.

••• AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=E^.

2、证明：（1）v/ ACB=^ ECD •••/ ACD+Z BCDK ACD+Z ACE 即/ BCD=^ ACE ••• BC=AC DC=EC

(2)v^ ACB是等腰直角三角形,

• / B=/ BAC=45度.

•••/ B=/ CAE=45 •••/ DAE=^ CAE+Z BAC=45+45°90°, • AD2+AE2=DE2

由（1）知AE=DB

• AD2+DB2=DE2

3、解答：(1)证明：T AD丄BC,Z BAD=45,

:.△ ABD是等腰直角三角形, /. AD=BD, •/ BE丄AC, AD 丄BC, ：•/ CAD+Z ACD=90 ,

/ CBE+/ ACD=90 , ：•/ CAD=/ CBE

在^ ADC和^ BDF中,

/ CAD=Z CBE

AD= BD

/ ADC=Z BDF= 90°

•: △ ADC^^ BDF (ASA),

•: BF=AC •/ AB=BC BE丄AC, •: AC=2AE •: BF=2AE

(2)解：•••△ ADC^^ BDF, •: DF=CD=

在RtA CDF中，CF=

DF+CD2

2

=2,

•/ BE丄AC,

AE=EC

•••

AF=CF=2

/. AD=AF+DF=2+

團①4、解答：（1）证明：延长DM交BC于N,

:EDA=Z ABC=90 ,

/. DE//

BC,

•••/ DEM=Z MCB,

在^ EMD和^ CMN中

/ DEM=Z NCM

EM = CM

/EMD=Z NMC

,.•.△ EMD" CMN, •••CN=DE=DA MN=MD ,

•/ BA=BC /. BD=BN, •: △ DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线, ••• BM 丄DM，/ DBM=

/ DBN=45=/ BDM ,

:.△ BMD为等腰直角三角形.

(2)解：△ BMD为等腰直角三角形的结论仍成立, 证明：作CN// DE交DM的延长线于N,连接BN, ：•/ E=Z MCN=4° , vZ DME=Z NMC, EM=CM,

：.△ EMDW CMN (ASA),

：.CN=DE=DA MN=MD , 在^ DBA和^ NBC中

DA= CN

Z DAB=Z BCN,

BA= BC

•••/ DBA=Z NBC, DB=BN, /•Z DBN=Z ABC=90 , •/△ DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线, ••• BM 丄DM , Z DBM=

Z DBN=45=Z BDM ,

:.△ BMD为等腰直角三角形.