四边形专项训练及解析答案

四边形专项训练及解析答案
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．
解：设AC与BD交于O点，
当P在BO上时，
∵EF∥AC，
∴EF BP
AC BO
=即
43
y x
=，
∴
4
3
y x =；
当P 在OD 上时，有643DP EF y x DO AC -==即， ∴y=483
x -+．
故选C ．
2．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（ ）
A ．23
B ．22
C ．4
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】 由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.
【详解】
解，如图，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，
∵2BD =，
∴BO=1，
在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，
∴BC=2，
∴22213CO =-=；
∴23AC =
故选：A.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC的长度.
3．如图，若OABC
Y的顶点O，A，C的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 的坐标为（）
A．(4,1)B．(5,3)C．(4,3)D．(5,4)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标.
【详解】
解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，OA∥BC，
∴点B的纵坐标为3，
∵点O向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C，
∴点A向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B，
∴点B的坐标为：（5，3）；
故选：B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.
4．如图，在平行四边形ABCD中，2
=
AD AB，CE平分BCD
∠交AD于点E，且8
BC=，则AB的长为（）
A．4 B．3 C．5
2
D．2
【答案】A 【解析】【分析】
利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB 即可得出答案．
【详解】
∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，
∴∠ECD=∠ECB ，
∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，
∴∠DEC=∠ECB ，
∠DEC=∠DCE ，
∴DE=DC ，
∵AD=2AB ，
∴AD=2CD ，
∴AE=DE=AB ．
∵8AD BC ==，2=AD AB
∴AB=4，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE 是解题关键．
5．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ）
A ．10
B ．20
C ．40
D ．48 【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【详解】
如图所示，
根据题意得AO=12×8=4，BO=12
×6=3，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，
∴△AOB 是直角三角形，
∴22169AO BO ++，
∴此菱形的周长为：5×4=20．
故选：B ．
【点睛】
此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.
6．如图1，点F 从菱形ABCD 的项点A 出发，沿A －D －B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ．图2是点F 运动时，△FBC 的面积y (m 2)随时间x (s)变化的关系图象，则a 的值为( )
A ．5
B ．2
C ．52
D ．5【答案】C
【解析】
【分析】 过点D 作DE BC ⊥于点E 由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．求出DE=2，再由图像得5BD =BE=1，再在DEC Rt △根据勾股定理构造方程，即可求解．
【详解】
解：过点D 作DE BC ⊥于点E
由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．
AD BC a ∴== ∴1
2
DE AD a =g 2DE ∴=
由图像得，当点F 从D 到B 时，用5s
5BD ∴=Rt DBE V 中，
2222(5)21BE BD DE --=
∵四边形ABCD 是菱形，
1EC a ∴=-，DC a =
DEC Rt △中，
2222(1)a a =+- 解得52
a =
故选：C ．
【点睛】
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，要注意函数图象变化与动点位置之间的关系，解答此题关键根据图像关键点确定菱形的相关数据．
7．如图，11,,33
AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（ ）
A ．60︒
B ．80︒
C ．90︒
D ．100︒
【答案】B
【解析】
【分析】 延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得
60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．
【详解】
延长BC 、EF 交于点G
∵//AB EF
∴180ABG BGE +=︒∠∠
∵60FCD ∠=︒
∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠ ∵11,33
ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠
2236012033
ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033
ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠ 223604012033
ABG BGE =︒--︒--︒∠∠
()22003
ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803
=︒-⨯︒ 80=︒
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．
8．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（ ）
A ．21313
B ．31313
C ．23
D ．1313
【答案】B
【解析】
【分析】
首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面
积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到
12
•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．
【详解】
∵四边形ABCD 为正方形，
∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，
∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，
∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，
∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，
∴∠ABF ＝∠EAD ，
在△ABF 和△DEA 中
BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
∴△ABF ≌△DEA （AAS ），
∴BF ＝AE ；
设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，
∵四边形ABED 的面积为6， ∴
111622
x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2， 在Rt △BEF
中，BE
∴cos 13BF EBF BE ∠=
==． 故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
9．下列命题错误的是（ ）
A ．平行四边形的对角线互相平分
B ．两直线平行，内错角相等
C ．等腰三角形的两个底角相等
D ．若两实数的平方相等，则这两个实数相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.
【详解】
解：A 、平行四边形的对角线互相平分，正确；
B 、两直线平行，内错角相等，正确；
C 、等腰三角形的两个底角相等，正确；
D 、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D 错误；
故选：D.
【点睛】
本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.
10．在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A ，B ，C 三点
为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）.
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】
A 点在原点上，
B 点在横轴上，
C 点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C
11．如图，在ABCD Y 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD Y 的面积为( )
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
【答案】C
【解析】
【分析】 由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，得出ABCD Y 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴142OC OC AC ===，132
OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，
∴90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，
∴ABCD Y 是菱形，
∴ABCD Y 的面积11862422
AC BD =
⨯=⨯⨯=； 故选C ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．
12．如图，已知矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点E 在BC 边上，连接DE 、AE ，若EA 平分∠
BED
，则ABE CDE S S
V V 的值为（ ）
A ．23-
B ．233-
C ．233-
D ．23- 【答案】C
【解析】
【分析】
过点A 作AF ⊥DE 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可． 【详解】
解：如图，过点A 作AF ⊥DE 于F ，
在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，
∵AE 平分∠BED ，
∴AF ＝AB ，
∵BC ＝2AB ，
∴BC ＝2AF ， ∴∠ADF ＝30°，
在△AFD 与△DCE 中
∵∠C=∠AFD=90°,
∠ADF=∠DEC,
AF=DC,，
∴△AFD ≌△DCE （AAS ），
∴△CDE 的面积＝△AFD 的面积＝2113AF DF AF 3AF 22⨯== ∵矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝2AB 2，
∴2△ABE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣2△CDE 的面积＝（23AB 2，
∴△ABE的面积＝()2 2
3
2
AB
-
,
∴
23
233
2
3
ABE
CDE
S
S
-
-
==
V
V
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB．
13．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=
3
；
③BP=4PK；④PM•PA=3PD2，其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性质得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质得到
1
=
4
KP PI
KB BE
=，得到
BP=3PK，故③错误；作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN=
3
3
，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD2，故④正确．
【详解】
解：作PI∥CE交DE于I，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
在△ADP 和△ECP 中，
DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADP ≌△ECP ，
∴AD=CE ， 则
PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2
PI CE ， ∵AD=CE ， ∴
1=4
KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，
故③错误；
作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，
∴BM ∥OG ∥KN ，
∵点O 是线段BK 的中点，
∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，
∴OM=ON ，
即△MON 是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，
则
根据三角形面积公式，
BM=
7， ∵点O 是线段BK 的中点，
∴PB=3PO ，
∴OG=
13
BM=21， MG=23MP=27， tan ∠
OMN=
OG MG ，故②正确； ∵∠ABP=90°，BM ⊥AP ，
∴PB 2=PM•PA ，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB=3PC，
∵PD=PC，
∴PB2=3PD，
∴PM•PA=3PD2，故④正确．
故选B．
【点睛】
本题考查相似形综合题．
14．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
【答案】C
【解析】
试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360
÷72=5（边）.
考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.
15．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）
A．6
5
B．
8
5
C．
12
5
D．
24
5
【答案】D
【解析】
【分析】
连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．
解：连接AD
∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，
∴AD⊥BC，BD=DC=6，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=2222
1068
AB BD=+=，
∵S△ADB=1
2
×AD×BD＝
1
2
×AB×DE，
∴DE=
8624
105 AD BD
AB
⨯⨯
==，
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（）
A．60 B．48 C．24 D．96
【答案】D
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，
∴AO22100368
AB OB
-=-=，
∴AC＝16，BD＝12，
∴菱形面积＝1216
2
⨯
＝96，
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．
17．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）
A．2 B．4 C．3D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】
解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，
设P、Q同时到达的时间为T，
则点P的速度为3a
T
，点Q的速度为
3a
T
，故点P、Q的速度比为33
故设点P、Q的速度分别为：3v3，
由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝3＝3，
y＝1
2
⨯AB×BQ＝
1
2
⨯6v3v＝3v＝1，
故点P、Q的速度分别为：33AB＝6v＝6＝a，
则AC＝12，BC＝3
如图当点P在AC的中点时，PC＝6，
此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ3＝3CQ＝BC﹣BQ＝33＝3，过点P作PH⊥BC于点H，
PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1
2
＝3，同理CH＝33，则HQ＝CH﹣CQ＝33﹣23＝
3，
PQ＝22
PH HQ
+＝39
+＝23，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
18．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）
A．40 B．24 C．20 D．15
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．
【详解】
∵AB＝AD，点O是BD的中点，
∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB＝5，BO
1
2
=BD＝4，
∴AO＝3，
∴AC ＝2AO ＝6，
∴四边形ABCD 的面积12
=
⨯6×8＝24， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
19．如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案不能铺满地面的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算各正多边形每个内角的度数，看是否能整除360°，即可判断．
【详解】
解：A ．正六边形每个内角为120°，能够整除360°，不合题意；
B ．正三角形每个内角为60°，能够整除360°，不合题意；
C ．正方形每个内角为90°，能够整除360°，不合题意；
D ．正五边形每个内角为108°，不能整除360°，符合题意．
故选：D ．
【点睛】
能够铺满地面的图形是看拼在同一顶点的几个角是否构成周角．
20．正九边形的内角和比外角和多（ ）
A ．720︒
B ．900︒
C ．1080︒
D ．1260︒
【答案】B
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式求出正九边形的内角和，减去外角和360°即可.
【详解】
∵正九边形的内角和是(92)1801260-⨯=o o ，
∴1260360-=o o 900︒，
故选：B.
【点睛】
此题考查多边形的内角和公式、外角和，熟记公式是解题的关键.。