图论：最小树、最短路、最大流问题

1
1
1
1
为D的一个截集，记为（V ,V ）。
1
1
截量：截集上的容量和，记为 C（V ，V ）。
例4 对于下图，若V1={vs，v1}，请指出相应的截
集与截量。
v2 （4，3） v4
（3，3）
（5，3）
vs
（1，1）（1，1）（3，0）
vt
（5，1）
（2，1）
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v1 （2，2） v3
例4 对于下图，若V1={vs，vຫໍສະໝຸດ Baidu}，请指出相应的截
最短距为13； 最短路为v1-v2-v3-v5-v6-v7。
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最短路问题的应用例子
某汽车公司正在制订5年内购买汽车的计划。
下面给出一辆新汽车的价格以及一辆汽车的使用
维修费用(万元)：
年号 1
23
45
价格 2 2.1 2.3 2.4 2.6
汽车使用年龄 0–1 1–2 2–3 3–4 4–5 维修费用 0.7 1.1 1.5 2 2.5
V
1
，不与已选边相关联的点集；
1
3. 考虑所有这样的边[v ,v ],其中v V 1,v V 1,挑选 其中权最小的；
4. 重复3，直至全部顶点属于 V 1(即V 1 )。
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用避圈法解例2
v2
2
27
v1•
5 v3
5
v6
5
v7
1 3
3
1
7
v4 5
v5
最小部分树如图上红线所示；
v（f） f（V ,V ） f（V ,V ） C（V ,V ）
最小权和为14。
思考：破圈法是怎样做的呢？ ——见圈就破，去掉其中权最大的。
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最小部分树问题的应用例子
已知有A、B、C、D、E、F六个城镇间的道路网络 如图，现要在六个城镇间架设通讯网络（均沿道路架 设），每段道路上的架设费用如图。求能保证各城镇均 能通话且总架设费用最少的架设方案。
7
7
d 即最短距，反向追踪可求出最短路。 7
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用标号法解例3
其中2=min{0+2,0+5,0+3}
[2，v2v1]
[0，v1v1]
2
27
5 v3
5
1[4，v2] 3
3
[8，v6v5] 5
1
7
[3，v4v1] 5 [7v，5 v3]
[13，v6] v7
其中3=min{0+3，0+5，2+2，2+7}
v2
4
例如：
3
vs
1
1
v4 5
3
vt
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5
2
v1
2 v3
2. 数学模型
问题：最大流问题的决策变量、目标函数、约束条件各是什么？
决策变量：各弧（v ,v ）上的流量f ,
目标函数：Maxv v ( f )
0 f c
（容量约束）

约束条件：
f
f
v ( f ), 0,
v2 （4，3） v4
（3，3）
（5，3）
vs
（1，1）（1，1）（3，0）
vt
（5，1）
（2，1）
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v1 （2，2） v3
（2）可增值链（增广链）
D中由v
至v
的链，记


：中的正向弧集， ：中的反向弧集
若
中弧皆未饱
，则称为D中关于可行流f
中弧皆非零
试用网络分析中求最短路的方法确定公司可采用 的最优策略。
方法：以年号作顶点绘图，连线表示连续使用期间，以
费用作路长。
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三. 最大流问题
1. 问题 已知网络D=（V，A，C），其中V为顶点
集，A为弧集，C={cij}为容量集， cij 为弧（vi，vj ） 上的容量。现D上要通过一个流f={fij}，其中fij 为弧 （vi，vj ）上的流量。问应如何安排流量fij可使D上 通过的总流量v最大？
集与截量。
v2 （4，3） v4
（3，3）
（5，3）
vs
（1，1）（1，1）（3，0）
vt
（5，1）
（2，1）
v1 （2，2） v3
解：（V ,V ）（ v ,v ），（v ,v ），
C（V ,V ） 3 2 5
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（4） 流量与截量的关系
截集上的流量和
相应于截 集的反向 弧上流量和
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标号法步骤：
1. 给v 标号[0，v ];
1
1
2.
把顶点集V
分为互补的两部分VV
1 1
: 已标号点集， : 未标号点集；
3. 考虑所有这样的边[v ,v ],其中v V ,v V ,
1
1
挑选其中与v 距最短（min d c )的v 进行标号。 1
4. 重复3，直至终点（本例即v ）标上号[d ,v ]，则
i s i s,t
（平衡条件）

v ( f ), i t
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3. 基本概念与定理
饱和弧：f c (1) 弧按流量分为未饱和弧：f c
零流弧：f 0
如：在前面例举的网络流问题中，若已给定一个可行流 （如括号中后一个数字所示），请指出相应的弧的类型。
的
一条可增值链。
v2 （4，3） v4
（3，3）
（5，3）
vs
（1，1）（1，1）（3，0）
vt
（5，1）
（2，1）
v1 （2，2） v3
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（3） 截集与截量
截集（割集）：将V分为二非空互补集V 与V ，
1
1
使v V ,v V 。称弧集（ v ,v ）v V ,v V
第二节 网络分析
网络——赋权图，记D=（V，E，C），其中C={c1，…，cn}， ci为边ei上的权（设ci 0）。
网络分析主要内容——最小部分树、最短路、最大流。
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一. 最小部分（支撑）树问题
问题：求网络D的部分树，使其权和最小。 方法：避圈法（Kruskal,1956）、破圈法(管梅谷，1975)。
例 2 求如图网络的最小部分树。
v2
2
27
v1
5 v3
5
v6
5
v7
1 3
3
1
7
v4 5
v5
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避圈法是一种选边的过程，其步骤如下：
1. 从网络D中任选一点vi，找出与vi相关联的
权最小的边[vi，vj]，得第二个顶点vj；
2. 把顶点集V分为互补的两部分V1, V1 ，其中
V ，与已选边相关联的点集，
A
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C
5 8
10
9
5
8
7
3
B6
9
E 3
F
2
4
D
二. 最短路问题
1. 问题：求网络D中一定点v1到其它点的最短路。 例3 求如图网络中v1至v7的最短路，图中数字
为两点间距离。
v2
2
27
v1
5 v3
5
v6
5
v7
1 3
3
1
7
v4 5
v5
2. 方法：标号法（Dijkstra，1959）
给每点vj标号[dj，vi]，其中dj为v1至vj的最短距，vi为 最短路上的前一点。