整体最小二乘估计的深入研究(优质严选)
整体最小二乘估计的深入研究
整体最小二乘估计的深入研究摘要:整体最小二乘法是一种较为先进的最小二乘法结构，整体最小二乘法认为回归矩阵存在干扰，在计算最小二乘解时考虑了这个因素，而在一般最小二乘法时没有考虑该因素的影响。
整体最小二乘法应用广泛，得到效果也比较好。
本文主要讨论了整体最小二乘法的基本原理，给出了整体最小二乘的单位权中误差计算公式以及待估参数的近似精度评定公式。
一、整体最小二乘的基本原理最小二乘法经历了百余年的发展考验，已经成为许多领域数据处理广泛应用的方法。
测量数据的处理方法，通常是指按最小二乘法进行测量平差，它是测量数据处理中最基本、最广泛的应用方法，尤其是近几十年来得到了充分的发展和应用。
最小二乘平差的基本思想是在最小二乘准则下进行测量数据的调整。
测量平差模型均可归结线性方程组的求解问题。
最小二乘准则要求残差的范数平方和极小，它主要是针对观测值中的偶然误差的。
然而，实际问题中参数估计中的观测值和系数阵都可能存在误差，针对这种更复杂的情况，20 世纪80提出了整体最小二乘法。
先介绍整体最小二乘的基本思想：对于线性方程组，普通最小二乘的基本思想是在残差平方和极小的准则约束下求解最佳参数。
这里有一个前提，系数矩阵A 是没有误差的精确值，但是多数情况系数阵A和观测向量L 同时存在误差，若同时考虑二者的误差，此时，线性方程组可表示为其中A∈R ，L∈，，, ；；m 为观测值个数，n 为待估参数个数，为系数阵的噪声，为观测噪声，误差矩阵[]属于相互独立的白噪声误差。
这一模型称为EIV （Errors-in-Variables）模型。
解决这类问题的适宜方法是整体最小二乘法（Total Least Squares, TLS）。
对于线性方程组Ax = L，整体最小二乘问题就是在以下准则约束下寻求、，任何满足的均称为线性方程A x = L的整体最小二乘解。
为相应整体最小二乘改正数。
式中，为Frobenius 范数，简称为F 范数。
3.4.1-3.4.2最小二乘估计
3.4最小二乘估计34-343.4-最小二乘估计引言：在前面几节里，是通过考虑无偏估计的类型和确定最小方差来寻找最优和接近最优估计。
现在我们抛开这些限制，研究另一类估计，这类估计一般不与最优性质相关，但对于很多估计问题却很有意义，这就是最小二乘估计。
最小二乘估计是一种相当古老的估计方法，早在1795年高斯就使用这种方法来研究行星的运行轨迹。
3.4-最小二乘估计34举例：1.曲线拟合AX b2.不相容方程组=3.4-最小二乘估计34引言：最小二乘估计将估计问题归结为直接利用观测数据进行最优化处理，其优化准则是使观测数据与假设信号模型之间误差的平方和最小。
这种方法的突出特点是对观测数据不做任何概率或统计的描述，而仅仅假设一个信号模型，实现容易。
所以，应用非常广泛。
其不足在于它不是最佳的。
而且如果没有对数据的概率结构做某些特定的假设，那么统计性能是无法评价的。
343.4-最小二乘估计前面我们确定一个好的估计的焦点就是寻找的估计是无偏的且具有最小方差。
在选择方差作为“好”的度量中，无疑地是试图使参量的估计值和真值之间的误差（平均）最小。
在最小二乘（Least Square，LS）方法中，是使观测数据和假设信号之间的平方误差最小。
343.4-最小二乘估计MMSE: mininum mean square error最小均方误差MVU：mininum variance unbiased最小方差无偏BLUE ：Best Linear Unbiased Estimator最佳线性无偏估计CRLB：Cramer‐Rao Lower Bound克拉美‐罗下界MLE：Maximum Likelihood Estimation最大似然估计M i Lik lih d E ti tiLSE：Least Square Estimator最小二乘估计34-最小二乘估计3.4最小二乘估计假设取决于未知参量的模型产生信号，这个θ][n s 信号是完全确定的信号，由于观测噪声或模型不准确，观测到的信号是受干扰的信号，用观测数据表示，][n x ][n s 的最小二乘估计（LSE）就是选择使最靠近观测数据的值。
最小二乘估计原理
最小二乘估计原理最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，它可以用来估计线性回归模型中的参数。
在实际应用中，最小二乘估计被广泛应用于数据拟合、信号处理、统计分析等领域。
本文将介绍最小二乘估计的原理及其应用。
最小二乘估计的原理是基于最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和来进行参数估计。
在线性回归模型中，我们通常假设因变量Y与自变量X之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是待估参数，ε是误差项。
最小二乘估计的目标是找到最优的β0和β1，使得观测值与模型预测值之间的误差平方和最小。
为了形式化地描述最小二乘估计的原理，我们可以定义损失函数为误差的平方和，即L(β0, β1) = Σ(Yi β0 β1Xi)²。
最小二乘估计的思想就是通过最小化损失函数来求解最优的参数估计值。
为了找到最小化损失函数的参数估计值，我们可以对损失函数分别对β0和β1求偏导数，并令偏导数等于0，从而得到最优的参数估计值。
在实际应用中，最小二乘估计可以通过求解正规方程来得到参数的闭式解，也可以通过梯度下降等迭代方法来进行数值优化。
无论采用何种方法，最小二乘估计都能够有效地估计出线性回归模型的参数，并且具有较好的数学性质和统计性质。
除了在线性回归模型中的应用，最小二乘估计还可以推广到非线性回归模型、广义线性模型等更加复杂的模型中。
在这些情况下，最小二乘估计仍然是一种有效的参数估计方法，并且可以通过一些变形来适应不同的模型结构和假设条件。
总之，最小二乘估计是一种重要的参数估计方法，它具有简单直观的原理和较好的数学性质，适用于各种统计模型的参数估计。
通过最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和，最小二乘估计能够有效地估计出模型的参数，并且在实际应用中取得了广泛的成功。
希望本文对最小二乘估计的原理有所帮助，谢谢阅读！。
最小二乘估计PPT教学课件
• ②存在x0∈I，使f(＝x0) M. • 那么M是函数y＝f(x)的最大值．
• 若M是函数y＝f(x)的最小值又如何填写条
件？
－5
• (2)函数y＝2x－1在[－2,3]上的最小值为 ， 最大值为5.
－3
5
－3
• (40)函数y＝x2－2x－3在[－－24,0]上的最小值0. 为
，最大值为 ；在[2,3]上的最小
气温 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64
1）求线性回归方程
2）如果某天的气温是－30C，预测这天 能卖热茶多少杯？
i xi
1
1.4
2
1.5
3
1.6
4
1.7
5
1.8
6
1.9
7
2
8
2.1
x 1.75
y 1.9775
yi
xi 2
xi yi
1.7 1.79 1.88 1.95 2.03 2.1 2.16 2.21
分析：由于问题中 要求根据身高预报 体重，因此选取身 高为自变量，体重 为因变量．
1. 散点图；
2.回归方程：
y 0.849x 85.172
身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
例2：上节中的练习热茶的杯数（y）与气温（x） 之间是线性相关的
• 2．一次函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在闭区间[m， n]上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、 f(m)，当a＜0时，最大值和最小值则为f(m)， f(n)．
• 3．单调性是函数的重要性质，应用它可 以解决许多函数问题．如判断函数在给定 区间上的单调性；求函数在给定区间上的 最大值、最小值；求已知函数的单调区间；
最小二乘估计
A.确定性关系
B.相关关系
C.函数关系
D.无任何关系
解析 炼钢时钢水的含碳量除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等 的影响，故为相关关系.
解析答案
12345
2.设有一个回归方程为 y^ ＝－1.5x＋2，则变量x增加一个单位时( C )
A.y平均增加1.5个单位
B.y平均增加2个单位
C.y平均减少1.5个单位
n
差量中的正负值相互抵消，因此我们用这些差量的平方和即 Q＝ (yi－a－
i＝1
bxi)2 作为总差量，回归直线就是所有直线中 Q 取最小值的那一条.因为平方又 叫二乘方，所以这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法.
用最小二乘法求回归方程中的a^ ，b^有下面的公式：
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
解析答案
课堂小结
1.判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图.根据散 点图，可看出两个变量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还 是负相关. 2.求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行 相关性检验.如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之 间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估 计和预测的量也是不可信的.
(2)用公式计算a^ 、b^ 的值时，要先算出b^ ，然后才能算出a^ . 3.利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归方程为y^＝b^ x＋a^ ， 则 x＝x0 处的估计值为y^0＝b^ x0＋a^ .
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本课结束 谢谢指导
学习目标
1.了解最小二乘法. 2.理解线性回归方程的求法. 3.掌握线性回归方程的意义.
最小二乘法和总体最小二乘法线性回归中的估值漂移及其判定
最小二乘法和总体最小二乘法线性回归中的估值漂移及其判定摘要线性回归分析研究的是建立一个能反映因变量Y与一个或多个自变量X之间关系的线性回归方程，利用这个方程，来分析因变量和自变量之间的相互关系以及回归系数等的相关情况。
经典最小二乘法（LS法）和总体最小二乘法（TLS法）都可以用于解算线性回归方程。
实验表明，LS法和TLS法在进行线性回归分析时，均可能出现回归参数显著地偏离其真值的情形，即回归参数估值漂移。
本文对LS法和TLS法线性回归中的估值漂移及其判定方法进行了研究。
通过LS法线性回归分析的算例和仿真实验，说明了线性回归分析中存在回归系数估值漂移的现象，以及仅用复相关系数和复判定系数判断线性回归有效性的局限性。
通过一元至五元线性回归的仿真实验，讨论了判定线性回归系数估值漂移指标和判定回归系数有效性的基本条件。
对LS法解算线性回归特别是回归系数有效性的确定具有更高的可靠性。
通过TLS法线性回归分析的算例和仿真实验，说明了在三种误差模型下（（1）因变量和自变量同时含有误差的情形；（2）仅因变量含有误差的情形；（3）仅自变量含有误差的情形),TLS法解算线性回归方程中同样会出现回归系数估值漂移现象,通过一元至五元线性回归的仿真实验，确定了判断一元至五元线性回归系数估值漂移指标。
算例和仿真实验还说明了在三种误差模型下TLS法在解算线性回归方程中存在的观测值验后方差因子偏小，回归系数估值的相对真误差与相对均方误差两者存在显著差异的问题，以及用TLS法解算线性回归方程的观测值估值和回归系数估值缺乏足够精度，可靠性低的问题，并对相关问题进行了讨论。
对TLS法解算线性回归特别是回归系数有效性的确定具有更高的可靠性。
关键字：最小二乘法,总体最小二乘法,线性回归,估值漂移,回归有效性THE ESTIMATED VALUE DRIFT OF LINEAR REGRESSIONBY LS&TLS METHODABSTRACTLinear Regression Analysis is used to establish a linear model to reflect correlation between the dependent variable and one or more independent variables, as well as between the regression coefficients, etc. The classical Least Squares method (LS method) and the Total Least Square method (TLS method) can be used to set up linear regression models or equations. However, many experiments show that the results by either LS method or TLS method can significantly deviate from the true values of the regression parameters.Using the Least square method through the example and the simulation experiment of the linear regression, the problem of the estimated value drift of regression coefficients is illusitrated, and the results only with multiple correlation coefficients and multiple decision coefficients to judge whether the valuation deviates from the truth are unreliable. Through one to five dimensional linear regression simulation experiments, the drift index of the estimated value is concluded, and the judgement conditions are drawn, and relative valuations such as observations of variance are discussed and analysed.Through the example and the simulation experiment of the Total least square mathod in three kinds of random error model, the problem that posterior variance of observations is too small and the obvious difference between the relative true error and the relative mean squareerror of the regression coefficient are shown, furthermore, the reason is discussed and analised.KEY WORDS：TLS method, LS method, Linear Regression, the Estimated Value Drift, Regression Validity目录第一章绪论 (1)1.1 研究背景和选题意义 (1)1.1.1 研究背景 (1)1.1.2 选题意义 (3)1.2 研究内容、方法和组织结构 (3)1.2.1 研究内容 (3)1.2.2 研究方法 (4)1.2.3 组织结构 (4)第二章参数的估值漂移和检验方法 (6)2.1 参数估值的相对真误差和估值漂移 (6)2.2 判定参数估值漂移的初步方法 (6)2.3 有关系数的确定 (7)第三章最小二乘法线性回归的估值漂移及其判定 (9)3.1 线性回归的计算 (9)3.2 估值漂移算例 (10)3.3线性回归仿真实验 (16)3.3.1仿真实验说明 (16)3.3.2仿真实验一 (17)3.3.3仿真实验二 (22)3.4三元线性回归估值漂移的讨论 (26)3.5最小二乘法线性回归中回归系数估值漂移的判定 (27)第四章总体最小二乘法线性回归的估值漂移 (30)4.1 总体最小二乘法及误差模型 (30)4.2 三元线性回归估值漂移算例 (31)4.3三元线性回归仿真实验 (37)4.3.1仿真实验一 (37)4.3.2仿真实验二 (44)4.4总体最小二乘法线性回归估值漂移总结 (48)4.5 总体最小二乘法精度评定的分析 (51)第五章总结与展望 (52)5.1 论文总结 (52)5.2 论文展望 (53)参考文献 (54)致谢 (58)攻读硕士研究生学位期间发表学术论文和参与科研项目 (59)第一章绪论1.1 研究背景和选题意义1.1.1 研究背景1.LS法估值漂移线性回归分析[1]研究的是建立一个能反映因变量Y与一个或多个自变量X之间关系的线性回归方程，来分析因变量和多个自变量之间的相互关系，以及回归系数的相关情况[2]等。
最小二乘估计
最小二乘估计随着空间技术的发展,人类的活动开始进入了太空,对航天器(包括人造地球卫星、宇宙飞船、空间站和空间探测器等)的观测手段和轨道确定提出了很高的精度要求。
在计算技术高速发展的推动下,各种估计理论也因此引入到轨道估计方法中。
大约在1795年高斯在他那著名的星体运动轨道预报研究工作中提出了最小二乘法。
最小二乘法就成了估计理论的奠基石。
最小二乘估计不涉及观测数据的分布特性,它的原理不复杂,数学模型和计算方法也比较简单,编制程序不难,所以它颇受人们的重视,应用相当广泛。
对于严格的正态分布数据,最小二乘估值具有最优一致无偏且方差最小的特性。
实践证明,在没有粗差的情况下,大部分测量数据基本上符合正态分布。
这是最小二乘估计至今仍作为估计理论核心的基础。
最早的轨道确定就是利用最小二乘法,用全部观测数据确定某一历元时刻的轨道状态的“最佳”估值,即所谓的批处理算法定轨。
长期以来,在整个天体力学领域之中,各种天体的定轨问题,几乎都是采用这一方法。
卫星精密定轨的基本原理为：利用含有误差的观测资料和不精确的数学模型,通过建立观测量与卫星状态之间的数学关系，参数估计得到卫星状态及有关参数的最佳估值。
参数估计的基本问题就是对一个微分方程并不精确知道的动力学过程，用不精确的初始状态*0X 和带有误差的观测资料，求解其在某种意义下得卫星运动状态的“最佳”估值0ˆX 。
常用的参数估计方法有两种，最小二乘法和卡尔曼滤波方法。
最小二乘法是在得到所有的观测数据之后，利用这些数据来估计初始时刻状态量的值，由于用到的观测数据多、计算方法具有统计特性，因此该方法精度高。
卡尔曼滤波在观测数据更新后，利用新的观测数据对状态量进行改进得到这一观测时刻的状态量，卡尔曼滤波适用于实时处理。
卫星精密定轨输运高精度的事后数据处理，通常采用最小二乘法进行参数估计。
记观测量的权阵为 P 。
利用加权最小二乘法计算总的观测方程方程0y Hx ε=+，得1()T T x H PH H Py -=卫星的参考状态为**000ˆX X x =+ 在精密定轨的过程中，由于状态方程和观测方程在线性化过程中会产生误差，上式的解算需要通过不断的迭代。
关于最小二乘法的参数估计问题探讨
关于最小二乘法的参数估计问题探讨
最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它的基本思想是，假设有一组数据
$(x_1,y_1),(x_2,y_2),…,(x_n,y_n)$，依据某一假设表达式，用最小二乘法求得最佳参数$a_1,a_2,…,a_n$，使得拟合的直线和实际的近似最好。
最小二乘法的参数估计可以采用数值方法，即定义一个优化函数，利用函数极小化原则，求出参数估计值。
一般来说，最小二乘法估计参数的过程可以使用梯度下降法，即每次迭代改变所有参数的取值，直到找到最小拟合残差的参数的值。
另外，也可以使用正定矩阵解法，即计算正定矩阵的逆矩阵，求出系数估计值。
关于最小二乘法的参数估计，还可以使用非线性最小二乘法，针对复杂的非线性关系，采用数值优化技术，比如积分型梯度下降法、非等式约束技术等，这些方法都可以给出更加准确的参数估计结果。
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e(y)回归方程的最小二乘估计和极大似然估计
文章标题：深入探讨e(y)回归方程的最小二乘估计和极大似然估计一、介绍e(y)回归方程是统计学中常见的一种回归模型，它以指数形式描述了因变量y关于自变量x的变化趋势。
在实际应用中，我们经常需要对e(y)回归方程进行参数估计，以便更准确地预测因变量y的取值。
最小二乘估计和极大似然估计是常用的参数估计方法，它们在 e(y)回归方程的估计中具有重要的应用价值。
二、最小二乘估计最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，它的核心思想是通过最小化观测值与回归方程预测值之间的残差平方和来求得参数估计值。
在e(y)回归方程中，最小二乘估计可以有效地找到合适的参数值，使得e(y)与自变量x的关系得到最佳拟合。
通过最小二乘估计，我们可以得到e(y)回归方程的斜率和截距的估计值，从而实现对因变量y的预测。
在实际数据分析中，最小二乘估计常常被应用于 e(y)回归方程中，通过对观测数据的拟合来求解参数估计值。
其优点在于计算简单、易于理解和应用，但在随机误差项方差不恒定或存在异方差性时，最小二乘估计可能存在一定的偏差，需要结合其他方法进行修正。
三、极大似然估计极大似然估计是一种重要的参数估计方法，它的核心思想是在给定观测数据的条件下，找到使得观测数据出现的可能性最大的参数值。
在e(y)回归方程中，极大似然估计可以帮助我们求得使得因变量y的取值出现概率最大的参数估计值，从而实现对因变量y的准确预测。
极大似然估计在 e(y)回归方程的参数估计中具有广泛的应用，特别是在概率模型的建立和推断中具有重要作用。
它不仅能够有效地估计参数值，还能够提供参数估计的置信区间和假设检验，从而对e(y)回归方程的预测和推断提供了有力支持。
四、综合比较最小二乘估计和极大似然估计在 e(y)回归方程中都具有重要的应用价值，它们分别从不同的角度出发，对参数进行估计。
最小二乘估计是一种较为直观和直接的估计方法，适用于建模的灵活度较大，但在数据存在异方差性时可能存在一定的偏差。
§8 最小二乘估计
上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性 上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性 关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系， 关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方 法都缺少数学思想依据. 法都缺少数学思想依据. 问题1 用什么样的线性关系刻画会更好一些？ 问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？ 想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小） 想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）. 最小二乘法就是基于这种想法. 最小二乘法就是基于这种想法.
1、最小二乘法的思想 2、线性回归方程的系数： 线性回归方程的系数：
=
∑ (x )
i =1 i
i =1 n
∑x y
i
n
i
− nxy − n(x) 2
2
一切澎湃于心，让我们真正能够在心里有 所酝酿的东西，都值得我们去努力.
用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数： 用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：
=
(x i ) 2 − n(x) 2 ∑
i =1
i =1 n
∑x y
i
n
i
− nxy
思考:如果样本点只有两个， 思考:如果样本点只有两个，用最小二乘法得到的直线 与两点式求出的直线一致吗？ 与两点式求出的直线一致吗？ 直线一致吗 解:是一致的. 是一致的.
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程. (1)试用最小二乘法求出线性回归方程. 试用最小二乘法求出线性回归方程 (2)如果某天的气温是－ (2)如果某天的气温是－3℃，请预测当天小卖部可能会卖出 如果某天的气温是 热茶多少杯. 热茶多少杯.
解：（1）先画出其散点图可以求得
b ≈ −1.648,a ≈ 57.557 则线性回归方式为 y = 57.557 −1.648x
6.2 最小二乘估计
有用的统计学Statistics第6讲回归分析中央财经大学统计与数学学院6.2 最小二乘估计线性回归模型的基本形式Y=β0+β1X1+...+βp X p+ε因变量：业务问题/感兴趣的研究问题自变量：可能的影响因素未知的回归系数误差项：除X外对Y有影响的因素，观测不到举例Y：个人收入X：教育程度性别年龄…Y：房价X：城市房屋面积学区房…Y：汽车保养花费X：汽车品牌价格车型…思考：你能给出更多例子么？回归模型的基本形式Y=β0+β1X1+...+βp X p+ε因变量自变量斜率系数误差项截距系数Y=β0+β1X12+ε✓Y=β0+eβ1X1+ε样本数据示例Y X 0.1-10.810.2-0.80.3-0.50.50.20.60.5 ……-3-2-101-0.4-0.20.00.20.40.60.8xy最小二乘估计所有的点到直线在Y 轴方向上的平方距离之和最小：最小二乘估计（OLS ）(X i ,Y i )(X i ,Yi )原始观测点的坐标直线上的点坐标v.s.-3-2-101-0.4-0.20.00.20.40.60.8xy点到线在Y 轴方向上的距离Y=መβ0+መβ1X 11. 估计方程2. 系数估计3. 残差εi =Y i −Yi -3-2-101-0.4-0.20.00.20.40.60.8xyˆˆi i iY Y ε=−βመβ1=σi=1n (x i −x)(y i −y)σi=1n (x i−x)2መβ0=y −መβ1x•如果只有1个自变量：平面上的直线；•如果有2个自变量：空间的一个平面；•如果有p个自变量：p+1维空间的超平面。
图片来源：Introduction to Statistical Learningመβ=(X′X)−1X′Y谢谢。
最小二乘估计量
一、最小二乘估计量的性质 二、参数估计量的概率分布及随机干
扰项方差的估计
一、最小二乘估计量的性质
当模型参数估计出后，需考虑参数估计值 的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说 需考察参数估计量的统计性质。
一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方 面考察其优劣性：
（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性 函数；
2
2
2
xi2
var(ˆ0 ) var( wiYi ) wi2 var(0 1 X i i ) (1/ n Xki )2 2
1 2 n
2
1 n
Xki
X
2
k
2 i
2
1 n
证：ˆ1
xi yi xi2
xi (Yi Y xi2
)
xiYi xi2
Y
xi xi2
2、无偏性，即估计量ˆ0 、 ˆ1 的均值（期望）等于总体回归
参数真值0 与1
证： ˆ1 kiYi ki (0 1X i i ) 0 ki 1 ki X i kii
3、有效性（最小方差性），即在所有线性无偏估计量
中，最小二乘估计量ˆ0 、 ˆ1 具有最小方差。
(1)先求ˆ0 与ˆ1 的方差
var(ˆ1) var( kiYi )
k
2 i
var( 0
1X i
i
)
k
2 i
var(i
)
数学知识导航8最小二乘估计
§8最小二乘估计知识梳理1.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
2.要想用回归直线来刻画两个变量的相关关系,应保证这条直线与所有点都近.一般用离差的平方和，即［y1—(a+bx1)］2+［y2-(a+bx2)]2+…+［y n—(a+bx n)］2来刻画所有点与直线y=ax+b的接近程度,使得上式达到最小值的直线y=ax+b就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法，这样得到的直线方程称为线性回归方程，a、b叫做回归系数。
知识导学若两个变量之间存在相关关系,往往也需要我们去寻找这些变量间的数量关系式。
回归分析就是寻找这类不完全确定的变量间的数学关系式,并进行统计推断的一种方法。
在这种关系式中，最简单的是线性回归.因为两个变量如果是线性相关的,我们就可以用一条直线来近似找到两个变量间的数量关系，但这样的直线不止一条。
如果有一条直线与散点图上的所有的点的距离最小,我们就把这条直线称为回归直线,相应的方程称为线性回归方程。
求线性回归的常用方法就是最小二乘法。
线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点,可以利用计算机非常方便地作散点图、趋势线、回归直线,并能求出直线的回归方程.求回归直线方程,首先应注意到,只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有意义,否则，求出的回归直线方程毫无意义。
疑难突破1.最小二乘法及其原理剖析：(1）最小二乘法用不同估算方法都可以描述两个变量线性相关的关系，我们希望最科学的描述方法，是要保证这条直线与所有点都近。
最小二乘法就是基于这种想法.如果n个样本点（x1,y1)，（x2，y2),…，（x n,y n)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度:［y1—（a+bx1）］2+［y2-（a+bx2)]2+…+[y n-（a+bx n)］2.使得上式达到最小值的直线y=ax+b就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法.（2）最小二乘法的原理假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1），（x2,y2），…，(x n，y n），且设所求回归直线方程是y=bx+a,其中a、b是待定参数.当变量x取x i（i=1,2,…,n）时,可以得到yˆ=bx i+a（i=1，i2,…，n），它与实际收集到的y i之间的偏差是:y i i yˆ=y i-(bx i+a)(i=1，2,…,n).（如图1-8-1所示)图1—8-1这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差"是比较合适的.由于（y i—yˆ）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用∑=-niiiyy1|ˆ|来代替，但由于它含有绝对值,运算不太方便,所以改用：Q=(y1—bx1—a）2+（y2-bx2—a）2+…+（y n—bx n—a)2来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差。
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整体最小二乘估计的深入研究
摘要:整体最小二乘法是一种较为先进的最小二乘法结构，整体最小二乘法认为回归矩阵存在干扰，在计算最小二乘解时考虑了这个因素，而在一般最小二乘法时没有考虑该因素的影响。
整体最小二乘法应用广泛，得到效果也比较好。
本文主要讨论了整体最小二乘法的基本原理，给出了整体最小二乘的单位权中误差计算公式以及待估参数的近似精度评定公式。
一、整体最小二乘的基本原理
最小二乘法经历了百余年的发展考验，已经成为许多领域数据处理广泛应用的方法。
测量数据的处理方法，通常是指按最小二乘法进行测量平差，它是测量数据处理中最基本、最广泛的应用方法，尤其是近几十年来得到了充分的发展和应用。
最小二乘平差的基本思想是在最小二乘准则下进行测量数据的调整。
测量平差模型均可归结线性方程组的求解问题。
最小二乘准则要求残差的范数平方和极小，它主要是针对观测值中的偶然误差的。
然而，实际问题中参数估计中的观测值和系数阵都可能存在误差，针对这种更复杂的情况，20 世纪 80提出了整体最小二乘法。
先介绍整体最小二乘的基本思想：对于线性方程组，普通最小二乘的基本思想是在残差平方和极小的准则约束下求解最佳参数。
这里有一个前提，系数矩阵A 是没有误差的精确值，但是多数情况系数阵A和观测向量L 同时存在误差，若同时考虑二者的误差，此时，线性方程组可表示为
其中
A∈R ，L∈，，, ；；m 为观测值个数，n 为待估参数个数，为系数阵的噪声，为观测噪声，误差矩阵[]属于相互独立的白噪声误差。
这一模型称为EIV （Errors-in-Variables）模型。
解决这类问题的适宜方法是整体最小二乘法（Total Least Squares, TLS）。
对于线性方程组Ax = L，整体最小二乘问题就是在以下准则约束下。