高考试题的探究鳖臑几何体的试题赏析与探究文章修改稿

图 1

D

P

E

C

B

A

鳖臑几何体的试题赏析与探究

岳 峻1 阮艳艳2 安徽省太和县太和中学 236600

2015年湖北高考数学之后，广大考生感言：阳马、鳖臑，想说爱你不容易；中学教师考后反思：阳马、鳖臑，不说爱你又没道理；试题评价专家说：湖北高考数学试题注重数学本质，突出数学素养，彰显数学文化.

阳马、鳖臑是什么呢？ 1 试题再现 1.1 文科试题

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图1所示的阳马P ABCD -中，侧棱

PD ⊥底面ABCD ,且PD CD

=,点E 是PC 的中点，

连接,,DE BD BE ．

(I)证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

(II)记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12

V V 的

值．

1.2 理科试题

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图2，在阳马ABCD P -中，侧棱PD ⊥底

图2

面ABCD，且PD CD

=，过棱PC的中点E，作EF PB

⊥交PB于点F，连接,,,.

DE DF BD BE

(I)证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

(II)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π

3，求DC

BC

的值．

2 鳖臑的史料

2.1 史料

《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”

刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．”

2.2 阐释

阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.

再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.

图3

3 试题赏析 3.1 生僻字问题

试题中出现了中国古代数学巨着《九章算术》中“阳马”“鳖(b īe)臑(n ào)”的生僻词，但题目中已经对这两个词语的含义进行了现代文解释，从而高考考生对四棱锥-P ABCD 所具备的特点能够完全理解，并且也能够知道如何判断四面体是否是鳖臑，因此本题中的生僻字不会对考生解题带来困扰．鳖臑，并没闹！

3.2 教材溯源

北京师范大学出版社《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》的“第一章 立体几何初步”的“第六节 垂直关系”的例题1（第37页）：

如图5所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90B ，点P 为ABC ∆所在平面外一点，⊥PA 平面ABC 。问：四面体PABC 中有几个直角三角形？

教材借助于这道例题给同学们介绍了鳖臑几何体，并提出思考问题（第38页）：

仔细观察，你可以从图5中得出

几组互相垂直的平面？让同学们更进一步认识这一特殊几何体。

P

A

C B

图5

图4

P

C

A

B

图6

教材紧接着在随后的例题2中就给出了以鳖臑为载体的几何命题的证明问题（第38页）：

如图6，AB为⊙O的直径，⊙O所在平面为α，α

⊥

PA于A，C为⊙O上异于A，B的一点。求证：平面⊥

PAC平面PBC。

该题借助于鳖臑这一几何体中丰富的垂直关系，让学生来熟悉垂直中的判定定理以及性质定理的应用。

3.3 设计理念

普通高中数学课程标准中指出：数学是人类文化的重要组成部分，数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学教学应注重体现数学的文化价值，而2015年湖北卷就很恰当的体现了数学文化价值上的考查。命题者将题目的背景取自于古代数学典籍并不意味着试题的难度增大，匠心独运地体现了我国古代数学成果的灿烂辉煌，拓宽了知识面，考查考生的阅读能力、审题能力和应用能力，培养考生的创新精神，注重数学本质，提高数学素养，彰显命题组的博学与智慧．尤其是理科第19题、文科第20题，创新于数学史料的加工，以阳马和鳖臑为载体进行命题，来源于教材又囿于教材，彰显数学文化，数学味道正，文化气息浓，让“枯燥”的高考试卷多了几分生气和灵性，给人耳目一新的感觉．

4 鳖臑几何体的性质的探究

4.1 鳖臑几何体中的垂直关系

如图7，鳖臑几何体-

P ABC中，⊥

PA

⊥AC CB ，⊥AM PB 于M ，AN PC ⊥于N ．

（1）证明：BC PAC ⊥平面； （2）证明：PB AMN ⊥平面； （3）证明：PBC AMN ⊥平面平面； （4）证明：⊥PB MN ．

证明 （1）因为⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以⊥PA BC ， 又⊥AC CB ，=I AC PA A ,所以BC PAC ⊥平面；

（2）因为BC PAC ⊥平面，⊂AN 平面PAC ，所以⊥BC AN ， 又AN PC ⊥，=I PC BC C ，所以⊥AN 平面PBC ，则⊥AN PB ， 又⊥AM PB ，所以PB AMN ⊥平面；

（3）因为PB AMN ⊥平面，所以PBC AMN ⊥平面平面． （4）因为BC PAC ⊥平面，所以平面⊥PBC 平面PAC ， 又AN PC ⊥，所以⊥AN 平面PBC ，则⊥AN MN ， 又PB AMN ⊥平面，所以⊥PB MN ，

评注 图形中异面直线PA 与BC 的距离等于线段AC 的长度；异面直线AN 与PB 的距离等于线段MN 的长度；

4.2 鳖臑几何体中的空间角

如图8，设α为CB 与斜线PB 的夹角∠PBC ，β为CB 与斜线PB 在底面ABC 的射影AB 的夹角∠ABC ，θ为PB 与底面ABC 所成的角∠PBA ，

γ为二面角--A PB C 的平面角，ρ为直

线AB 与平面PBC 所成的角，ϕ为直线

PC 与底面ABC 所成的角， ω为直线