八年级数学上册 三角形知识框图 知识点梳理
初中数学八年级上册核心知识点整理(三角形+轴对称)
八年级数学上册核心知识点一、三角形1､三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形｡2､三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边｡3､高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高｡4､中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线｡5､角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线｡6､三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性｡7､多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形｡8､多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角｡9､多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角｡10､多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线｡11､正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫正多边形｡12､平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面｡13､公式与性质:⑴三角形的内角和:三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质:性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和｡性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角｡⑶多边形内角和公式:边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和:多边形的外角和为360°｡⑸多边形对角线的条数:①从边形的一个顶点出发可以引条对角线,把多边形分成个三角形､②边形共有条对角线｡二、全等三角形1､基本定义⑴全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形｡⑵全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形｡⑶对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点｡⑷对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对应边｡⑸对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对应角｡2､基本性质⑴三角形的稳定性:三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状､大小就全确定,这个性质叫做三角形的稳定性｡⑵全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等｡3､全等三角形的判定定理⑴边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等｡⑵边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等｡⑶角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等｡⑷角角边(AAS):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等｡⑸斜边､直角边(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等｡4､角平分线⑴性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等｡⑵性质定理的逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上｡5､证明的基本方法(1)明确命题中的已知和求证(包括隐含条件,如公共边､公共角､对顶角､角平分线､中线､高､等腰三角形等所隐含的边角关系)(2)根据题意画出图形,并用数字符号表示已知和求证｡(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程｡三、轴对称1､基本概念⑴轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形｡⑵两个图形成轴对称:把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称｡⑶线段的垂直平分线:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线｡⑷等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形｡相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角｡⑸等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形｡2､基本性质⑴对称的性质:①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称,对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线｡②对称的图形都全等｡⑵线段垂直平分线的性质:①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等｡②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上｡⑶等腰三角形的性质:①等腰三角形两腰相等｡②等腰三角形两底角相等(等边对等角)｡③等腰三角形的顶角角平分线､底边上的中线,底边上的高相互重合｡④等腰三角形是轴对称图形,对称轴是三线合一(1条)｡⑷等边三角形的性质:①等边三角形三边都相等､②等边三角形三个内角都相等,都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一｡④等边三角形是轴对称图形,对称轴是三线合一(3条)｡3､基本判定⑴等腰三角形的判定:①有两条边相等的三角形是等腰三角形｡②如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)⑵等边三角形的判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形｡②三个角都相等的三角形是等边三角形｡③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形｡4､基本方法⑴做已知直线的垂线:⑵做已知线段的垂直平分线:⑶作对称轴:连接两个对应点,作所连线段的垂直平分线､⑷作已知图形关于某直线的对称图形:⑸在直线上做一点,使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短｡。
浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例
浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题知识方框图三角形的初步知识锐角三角形三角形按角度分类直角三角形钝角三角形边关系属性角关系任意两条边的和第三条边；第三个三角形的内角之和等于任意两条边之间的差；三角形的一个外角与其两个不相邻的内角之和，三角形的一个外角与任何不相邻的内角之和朱国林角平分线重要线段的中心线高线将三角形分成两个面积相等的部分三角形高线交点的位置有关的位置定义命题概念基本事实定理推理一般类型证明字面类型证明的步骤真命题假命题判断命题是假命题，只要提到一个三角形的外角之和等于两个不相邻的内角之和是由三角形的内角和定理导出的。
只需在“证明”中写下推理过程：（1）根据主题的含义绘制图形；（2）结合图形，写出已知和验证；（3）将推理过程写在“证明：”，并确定全等三角尺绘图的相关知识和性质。
SSSSAAS用于查找线段时应特别注意角度：是否存在公共角度和公共边。
使线段等于已知线段。
做一个与已知角度相等的平分线。
制作线段的垂直平分线。
理论基础：SSS定理构成三角形。
根据SSS、SAS和ASA制作三角形线段垂直平分线的定性角平分线。
理论基础：SAS定理理论基础：AAS定理考点一、判断三条线段能否组成三角形测试点2。
找到三角形一侧的长度或周长的值范围考点三、判断一句话是否为命题，以及改成“如果??那么??”的形式考点四、利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的外角、内角和、全等三角形来计算角度考点五、利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形来计算线段长度测试点6：证明三角形的一致性，并在三角形一致性的基础上进一步证明线段和角度之间的定量关系测试点7：绘制三角形的高线、中线和角平分线，以及基本图形测试点8的标尺和量规绘制方法：方案设计问题、河流宽度计算等例1、已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多少厘米？1.如果三角形两侧的长度分别为3和5，则三角形周长的值范围为（）a，10≤ a<16b，10<a≤ 16C，10<a<16d，2<a<82。
八年级数学上册第十一章三角形知识点
八年级数学上册第十一章三角形知识点八年级数学上册第十一章三角形知识点包括以下内容：
1. 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3. 三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4. 三角形的中线的定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5. 三角形的角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8. 多边形的内角的定义：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
这些知识点可应用于各种不同类型的三角形和多边形的计算和证明。
记住这些基本概念和性质对于理解和解答与三角形和多边形有关的数学问题非常重要。
人教版八年级数学上册知识点汇总框架图(最新整理)
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。
对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。
对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。
三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等。
边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
角角边（AAS ）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
画法：课本第48页。
性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
1、明确命题中的已知和求证。
2、根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证。
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
第十二章轴对称轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
1、不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对对称的性质 称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、对称的图形都全等。
八年级上册数学第1章 全等三角形第2章 轴对称图形知识梳理
第1章全等三角形1、全等图形：能完全重合的图形叫做全等图形．◆全等变换：通过平移、旋转、翻折这几种方式图形的形状、大小不发生改变，换而言之，就是三种变换前后的图形是全等的，所以我们也把这三种变换叫做全等变换.2、全等三角形：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
3、全等三角形的性质◆全等三角形的对应边相等，对应角相等.（注意写法：字母一一对应）理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角.延伸：①全等三角形的周长相等、面积相等.②全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.4、全等三角形的判定方法理解：三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．．．．．．．．．．.5、全等三角形的判定的基本思路◆已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.◆已知一边一角：若边为角的对边：找任一角（AAS）.若边就是角的一条边：①找这条边上的另一角（ASA）；②找这条边上的对角（AAS）；②找该角的另一边（SAS）.◆已知两角：①找两角的夹边（ASA）；②找任意一边（AAS）.6、全等三角形的判定的基本模型◆平移型：平行线，重叠线段◆翻折型：公共边，公共角，对顶角◆旋转型：对顶角，重叠角和重叠线段◆一线三等角型：◆手拉手型：◆半角全等型：7、全等三角形的判定常用辅助线◆直接连线构造全等三角形：◆倍长中线构造全等三角形：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线”的方法添加辅助线.所谓倍长中线，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.◆截长补短构造全等三角形：(1)“截长法”,即在长线段上取一段,使之等于其中一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段.(2)“补短法”,即延长短线段,使延长部分等于另一条短线段,再证明延长后的线段等于长线段;或延长短线段,使延长后的线段等于长线段,再证明延长部分等于另一条短线段.8、尺规作图①用尺规作角平分线②过直线外一点作已知直线的垂线③过直线上一点作已知直线的垂线第2章轴对称图形1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.◆轴对称的性质：①成轴对称的两个图形全等；②成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.拓展：成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.2、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.◆轴对称图形与轴对称的区别与联系：3、线段的垂直平分线的概念：垂直并且平分．．．．．．一条线段的直线，叫做这条直线的垂直平分线.◆线段的垂直平分线必须满足两个条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段.注意：线段的垂直平分线是一条直线，而不是一条线段，且只有一条.●4、线段：线段是轴对称图形，有2条对称轴，分别是线段所在直线和线段的垂直平分线.◆线段的垂直平分线性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.◆线段的垂直平分线判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.5、角：角是轴对称图形，有1条对称轴，角平分线所在的直线．．．．．是它的对称轴.◆角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.拓展：三角形三个内角的平分线交于一点，这一点到三角形三条边的距离相等.◆角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.6、等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（也可以说是底边上的中线或底边上的高）所在的直线是它的对称轴.◆等腰三角形性质定理：①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.◆等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).◆直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意：该定理需满足两个条件：1.直角三角形；2.斜边上的中线.7、等边三角形：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.8、等边三角形：等边三角形是轴对称图形，角平分线（也可以说是三边上的中线或三边上的高）所在的直线是它的对称轴◆等边三角形性质定理：等边三角形的每个内角都等于60°．拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质.◆等边三角形判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形.②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．尺规作图：●●1、画已知图形的对称图形（“三步法”）：一找——找已知图形的关键点；二画——根据对称点的位置关系画出各关键点的对称点；三连——按照已知图形的形状连接各对称点，得到所要求作的图形.●●2、用尺规作线段的垂直平分线●●3、已知底边及底边上的高作等腰三角形。
八年级数学上册第十二章全等三角形知识点总结全面整理(带答案)
八年级数学上册第十二章全等三角形知识点总结全面整理单选题AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )1、如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=8，DC=13A．4B．3C．2D．1答案：C分析：如图，过点D作DE⊥AB于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.如图，过点D作DE⊥AB于E，AD，∵AC=8，DC=13∴CD=8×1=2，1+3∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=2，即点D到AB的距离为2，故选C．小提示：本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.2、如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是（）A．2B．2.5C．3D．103答案：C分析：过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF＝AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，然后求得Rt△AFG的面积＝6，进而得到FG的长．如图所示，过点A作AH⊥BC于H，在△ABC与△ADE中，{AC=AE∠C=∠E BC=DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED，又∵AF⊥DE，∴12×DE×AF=12×BC×AH，∴AF＝AH，∵AF⊥DE，AH⊥BC，∴∠AFG＝∠AHG＝90°，在Rt△AFG和Rt△AHG中，，{AG=AGAF=AH∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴SRt△AFG＝6，∵AF＝4，∴1×FG×4=6，2解得：FG＝3．故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质，综合运用各知识点是解题的基础，作出合适的辅助线是解此题的关键．3、如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作N为圆心，以大于12∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（）DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=12A．①②③B．①②③④C．②④D．②③④答案：A分析：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得①正确，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正确，解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，∵∠C=90°,∴DC⊥BC，又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，∴CD=ED，故①正确，在Rt△BCD和Rt△BED中，{DE=DC，BD=BD∴△BCD≌△BED，∴BC=BE，故③正确.故选A.小提示：本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.4、如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ΔABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB,BC,CA B．AB,BC,∠B C．AB,AC,∠B D．∠A,∠B,BC答案：C分析：根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．A. AB,BC,CA．根据SSS一定符合要求；B. AB,BC,∠B．根据SAS一定符合要求；C. AB,AC,∠B．不一定符合要求；D. ∠A,∠B,BC．根据ASA一定符合要求．故选：C．小提示：本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三个判定定理．5、如图，点B，C，E在同一直线上，且AC=CE，∠B=∠D=90°，AC⊥CD，下列结论不一定成立的是（）A．∠A=∠2B．∠A+∠E=90°C．BC=DE D．∠BCD=∠ACE答案：D分析：根据直角三角形的性质得出∠A=∠2，∠1=∠E，根据全等三角形的判定定理推出△ABC≌△CDE，再逐个判断即可．解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，同理∠1=∠E，∵∠D=90°，∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，在△ABC和△CDE中，{∠A=∠2∠B=∠D AC=CE，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC=DE，∴选项A、选项B，选项C都正确；根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以∠BCD=∠ACE不一定成立故选项D错误；故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．6、在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（）A．0＜AD＜10B．1＜AD＜5C．2＜AD＜10D．0＜AD＜5答案：B分析：延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．解：延长AD至点E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，∵{AD=DE∠ADB=∠CDEBD=CD，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．7、如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是( )A．0.5B．1C．1.5D．2答案：B分析：根据平行线的性质，得出∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，根据全等三角形的判定，得出ΔADE≅ΔCFE，根据全等三角形的性质，得出AD=CF，根据AB=4，CF=3，即可求线段DB的长．∵CF//AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，在ΔADE和ΔFCE中{∠A=∠FCE∠ADE=∠FDE=FE，∴ΔADE≅ΔCFE(AAS)，∴AD=CF=3，∵AB=4，∴DB=AB−AD=4−3=1.故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定ΔADE≅ΔFCE是解此题的关键．8、下列选项可用SAS证明△ABC≅△A′B′C′的是（）A．AB=A′B′，△B=△B′，AC=A′C′B．AB=A′B′，BC=B′C′，△A=△A′C．AC=A′C′，BC=B′C′，△C=△C′D．AC=A′C′，BC=B′C′，△B=△B′答案：C分析：根据全等三角形SAS的判定逐项判定即可．解：A．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意；B．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意；C．满足SAS，能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项符合题意；D．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意，故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解答的关键．9、如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°，连接AC,BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）．A．4B．3C．2D．1答案：B分析：根据题意逐个证明即可，①只要证明△AOC≌△BOD(SAS)，即可证明AC=BD;②利用三角形的外角性质即可证明; ④作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H,再证明△OCG≌△ODH(AAS)即可证明MO平分∠BMC.解：∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴∠OCA=∠ODB,AC=BD，①正确；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD,∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中，{∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，∴△OCG≌△ODH(AAS)，∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选B．小提示：本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.10、如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1=25°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°答案：C分析：由∠BAC=∠DAE可证得∠BAD=∠CAE，继而证明△BAD≅△CAE(SAS)，由全等三角形对应角相等得到∠2=∠CAE,∠ABD=∠1，最后由三角形的外角性质解答即可．解：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠2=∠CAE,∠ABD=∠1∵∠1=25°，∠2=35°∴∠3=∠2+∠ABD=∠2+∠1=60°故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．填空题11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．答案：①②④分析：由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误；解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=1（∠CAB+∠CBA）=45°，2△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，故①正确；∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，∴∠F=∠DAC=∠DAB，△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，∴△BPA≌△BPF（AAS），∴BA=BF，PA=PF，故②正确；△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，故④正确；若PH=HC，则PD=HC，AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，故③错误；综上所述①②④正确，所以答案是：①②④小提示：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，若CB=7，则DE+ DB=______．答案：7分析：先利用角平分线性质证明CD=DE，再求出DE+DB的值即可．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=ED．∵CB=7，∴BD+CD=7，∴DE+DB=7，所以答案是：7．小提示：本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．13、如图，在△ABC中，A(0,1)，B(3,1)，C(4,3)，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标是________．答案：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）分析：若要△ABD≌△ABC，则D点可在AB的上方或下方，分别讨论即可．如图，要和△ABC全等，且有一边为AB的三角形，D点可为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）所以答案是：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）．小提示：本题考查判定全等三角形的概念，注意不要遗漏可能的情况是解题关键．14、如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．答案：20分析：利用三角形的内角和定理先求解∠ABC，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：BD平分∠ABC,从而可得答案．解：∵∠A=90°，∠C=50°，∴∠ABC=180°−90°−50°=40°，∵∠A=90°，DE⊥BC,DA=DE,∴BD平分∠ABC,∠ABD=1∠ABC=20°，2所以答案是：20小提示：本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．15、如图，已知AB=CB，要使△ABD≌△CBD(SSS)，还需添加一个条件，你添加的条件是__________．答案：AD=CD分析：要利用SSS判定△ABD≌△CBD，已知AB=CB，公共边BD=BD,只需要再添加一组对边相等即可．解：∵AB=CB，BD=BD，∴要利用SSS判定△ABD≌△CBD，只需要在添加一组对边相等即可．∴AD=CD，所以答案是：AD=CD．小提示：本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．解答题16、如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．（1）求四边形AEDF的周长；（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．答案：（1）14；（2）12．分析：（1）延长DE到G，使GE＝DE，连接BG，根据线段中点的定义求出AE＝4，AF＝3，并利用SAS证明AB＝4，△AED≌△BEG，由全等三角形的性质并再次利用全等三角形的判定得出△GBD≌△ABD，可证得DE＝12同理DF＝1AC＝3，即可计算出四边形的周长；2（2）利用SSS可证△AEF≌△DEF，根据直角三角形的面积计算方法求出△AEF的面积，则四边形的面积即可求解．解：（1）延长DE 到G ，使GE ＝DE ，连接BG ，∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，AB ＝8，AC ＝6，∴AE ＝BE ＝12AB ＝4，AF ＝CF ＝12AC ＝3．在△AED 和△BEG 中，{AE =BE∠AED =∠BEG DE =GE，∴△AED ≌△BEG （SAS ）．∴AD ＝BG ，∠DAE ＝∠GBE ．∵AD ⊥BC ，∴∠DAE ＋∠ABD ＝90°．∴∠GBE ＋∠ABD ＝90°．即∠GBD ＝∠ADB ＝90°．在△GBD 和△ABD 中，{BG =DA∠GBD =∠ADB BD =DB，∴△GBD ≌△ABD （SAS ）．∴GD ＝AB ．∵DE ＝12GD ，∴DE ＝12AB ＝4．同理可证：DF ＝12AC ＝3．∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋ED ＋DF ＋FA ＝14．（2）由（1）得AE ＝DE ＝12AB ＝4，AF ＝DF ＝12AC ＝3， 在△AEF 和△DEF 中，{AE =DEAF =DF EF =EF，∴△AEF ≌△DEF （SSS ）．∵∠BAC ＝90°，∴S △AEF ＝12AE•AF ＝12×4×3＝6． ∴S 四边形AEDF ＝2S △AEF ＝12．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质并能利用倍长中线法构造全等三角形是解题的关键．17、已知：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，AD ，CE 是角平分线，AD 与CE 相交于点F ，FM ⊥AB ，FN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ．【思考说理】（1）求证：FE =FD ．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“∠ACB =90°”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即FE =FD ）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．答案：（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解；分析：（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证RtΔFDN ≅RtΔ∠FEM (AAS )即可求解；（2）在AB上截取CP=CD，分别证ΔCDF≅ΔCPF(SAS)、ΔAFE≅ΔAFP(ASA)即可求证；证明：（1）∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴点F是ΔABC的内心，∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴FM=FN，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠CAB=30°∴∠CAD=15°∴∠ADC=75°∵∠ACE=45°∴∠CEB=75°∴∠ADC=∠CEB∴RtΔFDN≅RtΔ∠FEM(AAS)∴FE=FD（2）如图，在AB上截取CP=CD，在ΔCDF和ΔCPF中，∵{CD=CP∠DCF=∠PCFCF=CF∴ΔCDF≅ΔCPF(SAS)∴FD=FP，∠CFD=∠CFP，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠BCE，∵∠B=60°，∴∠ACB+∠BAC=120°，∴∠CAD+∠ACE=60°，∴∠AFC=120°，∵∠CFD=∠AFE=180°-∠AFC=60°，∵∠CFD=∠CFP，∴∠AFP=∠CFP=∠CFD=∠AFE=60°，在ΔAFE和ΔAFP中，∵{∠AFE=∠AFP AF=AF∠PAF=∠EAF∴ΔAFE≅ΔAFP(ASA)∴FP=EF∴FD=EF．小提示：本题主要考查三角形的全等证明及性质，角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．18、（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．求证：DE=BD+CE．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7，则S△AEI=______．答案：（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5分析：（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，{∠BDA=∠AEC∠DBA=∠CAEAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，{∠GIN=∠EIM EM=GN∠GNI=∠EMI，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI=GI，∴I是EG的中点．∴S△AEI=12S△AEG=3.5．所以答案是：3.5．小提示：本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．。
八年级数学上册《三角形》知识点归纳与整理
11.1 与三角形有关的线段知识架构三角形的分类三角形的相关概念三角形的稳定性与三角形有关的线段三角形的中线三角形的重要线段三角形的角平分线三角形的高线两边之和大于第三边三角形的三边关系两边之差小于第三边第一节 三角形的边知识要点一、三角形的相关概念1. 三角形的定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形叫做三角形．2. 三角形的分类：三角形（按角分）：①直角三角形；②斜三角形：锐角三角形，钝角三角形；三角形（按边分）：①不等边三角形；②等腰三角形：等腰不等边三角形，等边三角形；3. 三角形的稳定性：如果三角形的三条边固定，那么三角形的大小和形状就可以完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．二、三角形的三边关系1. 三角形两边之和大于第三边（1）三角形任意两边之和大于第三边，即有a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，a ＋c ＞b 三个不等式同时成立． （2）判断三条线段能否构成三角形时，可以用两条较短线段之和与较长线段作比较，大于则成立，小于则不成立．2. 三角形两边之差小于第三边（1）三角形任意两边之差小于第三边；（2）三角形任意一边大于其他两边之差，小于其他两边之和．典例分析题型一 三角形的相关概念例1 如图，以AD 为边的三角形有___________________；以∠C 为一个内角的三角形____________________；△AED 的三个内角分别是____________________．例2 下列说法中，正确的有______________________ ①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形例3 下列图形具有稳定性的是（ ） A ．正方形 B ．矩形 C ．平行四边形 D ．直角三角形cbaE D CBA【跟踪练习】1. 如图，在△ABC 中，∠A 的对边是_______；在△ABD 中∠A 的对边是_________．2. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足0))((＝c a c b a -++，则△ABC 的形状为（ ）A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形3. 不是利用三角形稳定性的是（ ） A ．自行车的三角形车架 B ．三角形的房架 C ．照相机的三脚架D ．学校的栅栏门题型二 三角形的三边关系例4 下列各组线段能构成三角形的是（ ）A ．2，2，4B ．3，4，5C ．1，2，3D ．2，3，6例5 下列线段能构成三角形的有哪些？ （1）6cm ，8cm ，10cm ； （2）5cm ，8cm ，2cm ；（3）三条线段之比为4 : 5 : 6；（4）a ＋1，a ＋2，a ＋3（a ＞0）．例6 用一条长为21cm 的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？ （2）能围成一边长5cm 的等腰三角形吗？说明理由．D CBA例7 如图，点D 在△ABC 中，请判断△BDC 和△ABC 的周长大小，并证明．【跟踪练习】1. 已知三角形的两边长分别是3和8，则该三角形第三边的长可能是（ ）A ．5B ．10C ．11D ．122. 已知等腰三角形的边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为__________．3. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种4. 已知三角形三边长分别为3，1－2a ，8，求a 的取值范围．5. 如图，已知点D 、E 都在△ABC 中，请判断△ABC 和四边形BDEC 的周长大小，并证明．DCB AED ACB第二节 三角形的重要线段知识要点一、三角形的中线1. 中线的定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线；2. 重心的定义：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心，而且它一定在三角形的内部；3. 中线的性质：一条中线把三角形的面积平分．二、三角形的高线1. 高线的定义：三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．2. 垂心的定义：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心；3. 注意：①锐角三角形的高均在三角形的内部，三条高的交点也在三角形的内部；②钝角三角形的高线中，有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部；③直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．三、三角形的角平分线1. 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．2. 内心的定义（拓展）：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．3. 注意：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．典例分析题型一 三角形的中线例1 如图，当________＝________时，AD 是△ABC 的中线．例2 如图，AM 是△ABC 的中线，若用S 1表示△ABM 的面积，用S 2表示△ACM 的面积，则S 1和S 2的大小关系是（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．以上三种情况都有可能例3 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，DF 是△CDE 的中线，如果△DEF 的面积是2，那么△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18题型二 三角形的高线例4 如图，已知△ABC 和△EFD ，在图中分别画出这两个三角形的三条高．D CB AM CB AF EDCBA CBAFE D例5 如图，△ABC 中，高BE 和CH 的交点为O ，若AC ＝6，BE ＝3，则AB ·CH 的值为_______．题型三 三角形的角平分线例6 如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，已知∠ABC ＝80°，则∠DBC ＝_________°例7 如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（ ) A ．AD 是△ABC 的角平分线 B ．CE 是△ACD 的角平分线C ．∠3＝21∠ACB D ．CE 是△ABC 的角平分线例8 如图，AD 是△ABC 的角平分线，点P 为AD 上一点，PM ∥AC 交AB 于M ，PN ∥AB 交AC 于N ，求证：P A 平分∠MPN ．O EHCBAD CBA 4321EDC B A NMPDCBA【跟踪练习】1. 三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A ．线段B ．射线C ．直线D ．以上都有可能2. 不一定在三角形内部的线段是（ ）A ．三角形的角平分线B ．三角形的中线C ．三角形的高D ．三角形的中位线3. 可以把一个三角形分成面积相等的两个部分的线段是（ ）A ．三角形的角平分线B ．三角形的中线C ．三角形的高D ．无法确定4. 在直角三角形中，∠ACB ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，CD 是AB 边上的中线，则AC 边上的高为___________cm ，△BCD 的面积＝__________cm ²．5. （难）如图，在△ABC 中，E 是BC 上一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC 、S △ADF 、S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF 的值是_____________6. （难）△ABC 中，AB ＝AC ，DB 为△ABC 的中线，且BD 将△ABC 的周长分为12与15两部分，求三角形各边长．A D CBFEADCB当堂检测1. 如图，过△ABC 的顶点A 作BC 边的高，以下作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．11B . 16C .17D .16或173. 一个三角形的两边长分别是3和7，且第三条边的长为整数，则三角形周长的最大值为（ ）A. 15B . 16C . 18D . 194. 如图，△ABC 中：（1）边BC 上的高是_____________；边BC 上的高也表示点__________到__________的距离； （2）若BC ＝6，AD ＝4，AC ＝8，则点B 到AC 的距离为_____________．5. 已知实数x ，y 满足084=-+-y x ，求分别以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长．DACBDACBDACB DAC BED CB A课后回顾1. 填空题：（1）由___________三条线段___________所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做________；相邻两边的公共端点叫做____________，相邻两边所组成的角叫做__________，简称：___________．（2）如图所示，顶点式A 、B 、C 的三角形，记作___________，读作____________，其中，顶点A 所对的边__________还可用___________表示．（3）由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质_________________ ________________，由它还可退出：三角形两边之差____________．（4）对于△ABC ，若a ≥b ，则a ＋b ______c ，同时a －b ______c ；又可写成_________＜c ＜________． （5）若一个三角形的三边长分别是4cm 或5cm ，则第三条边x 的长度的取值范围是____________，其中x 可以取的整数值为____________． 2. 填空题：（1）从三角形一个顶点向它的对边画_____________，以__________和__________为端点的线段叫做三角形这边上的高．若CD 是△ABC 中AB 边上的高，则∠ADC _________∠BDC ＝___________，C 点到对边AB 的距离是__________的长．（2）连接三角形的一个顶点和它___________的___________叫做三角形这边上的中线．若BE 是△ABC 中AC 边上的中线，则AE __________EC ＝21___________． （3）三角形一个角的____________与这个角的对边相交，以这个角的________和________为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线和三角形的角平分线的区别是___________________________．若AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD _______________∠CAD ＝21___________；或∠BAC ＝2__________＝2_________．CBA11.2 与三角形有关的角知识架构三角形的内角和定理三角形的内角及内角和内角和定理相关推论与三角形有关的角三角形外角的定义三角形的外角及外角和三角形的外角和三角形外角定理第一节 三角形的内角及内角和知识要点一、三角形内角和定理1. 三角形内角和定理：三角形的内角和是180°；2. 三角形内角和定理的证明；二、直角三角形的性质与判定1. 直角三角形可以用“Rt △”表示，比如“直角三角形ABC ”可表示为“Rt △ABC ”；2. 直角三角形的两个锐角互余；3. 有两个角互余的三角形是直角三角形．4. 常见的直角三角板为：30°、60°、90° ；45°、45°、90°．AB C DEEDC B A典例分析题型一 三角形内角和定理例1 若△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝65°，则∠C 等于（ ）A ．65°B ．55°C ．45°D ．75°例2 在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶4，则∠C 的值为（ ）A ．40°B ．80°C ．60°D ．50°例3 如图，直线a ∥b ，若∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3等于_____________例4 如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线BE ，CD 相交于F ，若∠ABC ＝42°，∠A ＝60°，则 ∠BFC 的度数为（ ）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121°例5 如图，在△ABC 中，∠C ＝70°，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝（ ）A ．140°B ．180°C ．250°D ．360°ba 321FEDC BA 21CB A【跟踪练习】6. 如图，一面小红旗，其中∠A ＝60°，∠B ＝30°，则∠BCD ＝______________．7. 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，若∠BOC ＝150°，则∠BAC ＝______________．8. 如图所示，有一艘渔船上午9时在A 处朝正东方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上，行驶2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏东15°方向上，试求△ABC 的各内角及∠CBD 的度数．题型二 直角三角形的性质与判定例6 如图，∠C ＝∠D ＝90°，AD ，BC 相交于O 点，思考下列问题：（1）找出图中所有的直角三角形，并用符号正确表示：____________________________； （2）试写出图中∠1和∠2的关系，并说明理由．DCBAOCBA北北15°60°N MDC BAOD21C BA例7 如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，若∠1＝∠B ，∠A ＝∠2．（1）求证：△ABC 是直角三角形； （2）线段CD 是斜边上的高吗？说明理由．例8 在Rt △ABC 中，∠B 是直角，∠C ＝22°，那么∠A 的度数是（ ）A ．22°B ．58°C ．68°D ．112°例9 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，EF ∥AB ，∠1＝50°，则∠B 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．30°D ．40°【跟踪练习】1. 如图，直线21l l ∥，3l ⊥4l ，∠1＝44°，那么∠2的度数为（ ）A ．46°B ．44°C ．36°D ．22°2. 如图，AB ∥CD ，EP 平分∠FEB ，FP 平分∠FED ，判断△EFP 的形状，并说明理由．D21C BAFE C BA l 4l 2l 3l 121PFEDCBA 13. 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ，求证：∠CFE ＝∠CEF ．题型三 常见的直角三角板例10 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角形的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是_________________．例11 将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠α的度数是______________．【跟踪练习】1. 将一副直角三角板如图所置，则∠1的度数为（ ）FEDCBA1α45°30°1第二节 三角形的外角及其外角和知识要点一、三角形的外角1. 定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对，在计算三角形外角和时，只计算其中三个，即每个顶点取一个.2. 三角形的外角和：三角形的外角和等于360°． 二、三角形的外角定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．典例分析题型一 三角形的外角例1 如图，∠1，∠2，∠3是△ABC 的三个外角，猜想∠1＋∠2＋∠3的度数，并证明．例2 求下列各图中x 的值：例3 如图，AB ∥CD ，∠A ＝40°，∠D ＝45°，求∠C 和∠AED 的度数．321CBAx °80°60°x °70°40°x °140°135°(x +15)°x °ED CBA例4 已知：如图，∠C ＝20°，∠E ＝35°，∠BDF ＝117°，求∠A 与∠EFD 的度数．例5 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，∠EDF ＝70°，求∠AFD 的度数．【跟踪练习】1. 如图，△ABC 的外角是（ ） A ．∠EAB 和∠EADB ．∠EAB 和∠DACC ．∠EAB 和∠EAD ，∠DACD ．以上说法都不对2. 如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD ，若∠A ＝60°，∠B ＝40°，则∠ECD 等于（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°FEDCBAFE D CBAEDCBAEDC B A3. 如图，∠A ＝50°，∠ABO ＝28°，∠ACO ＝32°，则∠BDC ＝____________，∠BOC ＝___________．4. 如图，把△ABC 沿虚线剪一刀．若∠A ＝48°，求∠1＋∠2的度数．当堂检测1. 在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，则∠C ＝______________．2. 已知在△ABC 中，∠C ＝∠A ＋∠B ，则△ABC 一定是_____________三角形．3. △ABC 中，∠B ＝∠C ＝2∠A ，则△ABC 的最大外角等于_________度．4. 如图，AD ⊥BC ，⊥1＝⊥2，⊥C ＝65°，求⊥BAC ．5. 如图，CE 是⊥ABC 的外角⊥ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，求证：⊥BAC ＝⊥B ＋2⊥E ．OD CB A21CBA21DCBA课后回顾1. 填空：(1)三角形的内角和性质是____________________________________________________.(2)三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的推理过程如下：已知：△ABC ，求证：∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝______． 证明：过A 点作______∥______，则∠EAB ＝______，∠F AC ＝______． (___________，___________) ∵∠EAF 是平角，∴∠EAB ＋______＋______＝180°．( )∴∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝∠EAB ＋∠______＋∠______．( ) 即∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝______．2．填空：(1)三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角． 因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______． (2)利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质? 如图，∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD 与∠ACB 互为______， 即∠ACD ＝180°－∠ACB ．① 又∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝______， ∴∠A ＋∠B ＝______．②由①、②，得∠ACD ＝______＋______． ∴∠ACD ＞∠A ，∠ACD ＞∠B由上述(2)的说理，可以得到三角形外角的性质如下：三角形的一个外角等于____________________________________________________. 三角形的一个外角大于____________________________________________________.FECB ADC B A3． (1)已知：如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC 的外角，求：∠1＋∠2＋∠3．(2)结论：三角形的外角和等于______．5. 已知：如图，BE 与CF 相交于A 点，试确定∠B ＋∠C 与∠E ＋∠F 之间的大小关系，并说明你的理由．6. 已知：如图，O 是△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点．(1)若∠A ＝46°，求∠BOC ；(2)若∠A ＝n °，用n 的代数式表示∠BOC 的度数．321CBA FECBA OEC B A11.3多边形及其内角和知识架构多边形、凸多边形、正多边形的概念多边形及其相关概念多边形的对角线多边形及其多边形的内、外角的定义内角和多边形的内角和多边形的内、外角和多边形的外角和第一节多边形及其相关概念知识要点三、多边形及其相关概念3.多边形：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成封闭的图形叫做多边形；4.n边形：如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形；5.多边形的内角：多边形相邻两条边组成的角叫做它的内角．6.多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．7.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．8.凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．四、正多边形的概念定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．特别地，正三角形又叫做等边三角形；正四边形又叫正方形．典例分析题型一多边形及其相关概念例1 如图，下列图形是多边形的有_____________个．例2 把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是_____________________题型二多边形的对角线例3 从五边形一个顶点出发，可以引____________条对角线，可以把五边形分成_________个三角形：从八边形一个顶点出发，可以引____________条对角线，可以把五边形分成_________个三角形．例4 观察图形，并阅读图形下面的相关文字：三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条？你能总结出n边形的对角线有多少条吗？题型三 正多边形例5 下列图形中，是正多边形的是（ ）A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形例6 如图，△ABC ，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB ＝4，则图形ABCDEFG 外围的周长是_____________．题型四 多边形的综合例7 如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉几根木条，请画出相应木条所在的线段．例8 在平面直角坐标系xOy 中，正四边形ABCD 的顶点A 位于坐标（1，0），顶点B 位于坐标（0，3），点C 和点D 都在第一象限内，请试着通过画出图象，来猜测C 、D 的坐标分别为_________，__________．GFE DCBA【跟踪练习】9.画出下列多边形的全部对角线．10.一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是_____________11.一个多边形锯掉一个角之后变成5边形，那么这个多边形是_______________12.下列说法正确的是：___________________①五个内角都相等的五边形是正五边形；②钝角三角形可能是正三角形；③四条边相等的四边形是正四边形；④每个外角都相等且每条边都相等的多边形是正多边形．第二节多边形的内角和知识要点三、多边形的内角和n边形的内角和公式：180n，例：六边形可从一个顶点画出3条对角线，共切割成4个三角形，(－•)2每个三角形内角和180，4个三角形内角和共720°．四、多边形的外角和定理任意多边形的外角和都等于360°．典例分析题型一已知边数求内角和例1 （1）四边形的内角和为____________；（2）10边形的内角和为____________．题型二已知内角和求边数例2 若一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为__________．例3 若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形为__________边形．题型三 利用内角和求角度 例4 求下列图形中的x 的值．例5 如图，在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠B ＋∠E ＝300°，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，求∠P 的度数．题型三 外角和定理的运用例6 多边形的外角和等于_____________．例7 正多边形的一个外角等于20°，则这个多边形的边数是_____________．例8 如图是由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EA 组成的平面图形，已知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝300°，则∠5＝____________．例9 正十边形的一个内角度数为____________．x －30°xxx ＋30°60°PEDBCAED C BA54321例10 已知正多边形的一个内角是150°，则这个多边形是___________边形．【跟踪练习】6. 四边形的内角和度数为（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°7. 若一个多边形的内角和小于它的外角和，则这个多边形的边数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68. 若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．79. 九边形的外角和为___________．10. 一个多边形的每个外角都等于45°，则其内角和为___________°． 11. 求下图中，x 、y 的值．xx13060°140°125°y ED CBA82°73°x当堂检测1. 一个多边形从一个顶点最多能引出三条对角线，这个多边形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形2. 六边形的内角和是（ ）A ．360°B ．540°C ．720°D ．900°3. 一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是___________．4. 多边形每增加一条边，内角和增加____________．5. 已知四边形有一组对角互补，则另一组对角之和等于______________．6. 一个多边形的每个内角都相等，且每个内角比它相邻的外角大36°，求这个多边形的边数．7. 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形DBCE 的内部．（1）若∠A ＝50°，求∠BDA ＋∠CEA 的度数；（2）若∠A ＝α，猜想∠BDA ＋∠CEA 与α有怎样的关系？并说明理由．DECBA课后回顾1. （1）平面内，由____________________________________________________________叫做多边形．组成多边形的线段叫做______．如果一个多边形有n 条边，那么这个多边形叫做______．多边形____________叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的______组成的角叫做多边形的外角，连接多边形________________的线段叫做多边形的对角线．（2）画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在______，那么这个多边形称作凸多边形． （3）各个角______，各条边______的______叫做正多边形．2．（1）n 边形的内角和等于____________．这是因为，从n 边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将此n 边形分为______个三角形．而这些三角形的内角和的总和就是此n 边形的内角和，所以，此n 边形的内角和等于180°×______． （2）请按下面给出的思路，进行推理填空．如图，在n 边形A 1A 2A 3…A n －1A n 内任取一点O ，依次连结______、______、______、……、______、______．则它们将此n 边形分为______个三角形，而这些三角形的内角和的总和，减去以O 为顶点的一个周角就是此多边形的内角和．所以，n 边形的内角和＝180°×______－( )＝( )×180°．A 4A nA n -1A n -2A 3A 2A 1OA 4A nA n -1A n -2A 3A 2A 111.4 专题训练——运用数学模型解决问题知识要点模型一 飞镖模型典例分析例1 如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝35°，求∠BDC 的度数．变1 如图，∠O ，∠1，∠2，∠P 之间满足怎样的数量关系？证明你的结论．BAD 2C121BDO C PA变2 （1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在⊥ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．⊥ABC 中，⊥A ＝30°，则⊥ABC ＋⊥ACB ＝___________，⊥XBC ＋⊥XCB ＝___________．（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过B 、C ，那么⊥ABX ＋⊥ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出⊥ABX ＋⊥ACX 的大小．AB CXYZZYXCB A知识要点模型二 双角平分线模型典例分析例1 已知△ABC ．（1）如图1，若P 点为∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，试说明：∠P ＝21∠A ＋90° （2）如图2，若P 点为∠ABC 和外角∠ACD 的角平分线的交点，试说明：∠P ＝21∠A （3）如图3，若P 点为外角∠CBD 和∠BCE 的角平分线的交点，试说明：∠P ＝°90－21∠APCBADAC PB PDE C B A例2 如图，在四边形ABCD 中，⊥A ＋⊥D ＝α，⊥ABC 的平分线与⊥BCD 的平分线交于点P ，求⊥P 的度数．变1 如图，在⊥ABC 中，⊥A =m °，⊥ABC 和⊥ACD 的平分线交于点A 1，得⊥A 1；⊥A 1BC 和⊥A 1CD 的平分线交于点A 2，得⊥A 2；…⊥A 2012BC 和⊥A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则⊥A 2013＝_______度．PDCBADC B AA 2A 1知识要点模型三 内外角模型典例分析例1 如图，在△ABC 中，∠C ＝70°，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝（ ）A ．140°B . 180°C . 250°D . 360°例2 如图，将∠BAC 沿DE 向∠BAC 内折叠，使AD 与A ’D 重合，A ’E 与AE 重合，若∠A ＝30°，则∠1＋∠2＝（ ） A . 50°B . 60°C . 45°D . 以上都不对变1 如图，把多边形ABCDE 沿虚线剪一刀．若∠A ＝70°，求∠1＋∠2的度数．CBA21A'21EDCB A21E DCBA变2 （1）如图①②，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；（2）如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，AE ，DE 分别是四边形ABCD 的外角∠NAD ，∠MDA 的平分线，∠B ＋∠C ＝240°，求∠E 的度数．① ② ③变3 Rt ⊥ABC 中，⊥C ＝90°，点D 、E 分别是⊥ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令⊥PDA ＝⊥1，⊥PEB ＝⊥2，⊥DPE ＝⊥α．（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且⊥α＝50°，则⊥1＋⊥2＝___________°；（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则⊥α、⊥1、⊥2之间的关系为：______________；EMNDCBA 43214321PCE D A B21αα21PE D C BA知识要点模型四 对顶角模型典例分析例1 如图，试求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数．例2 试着求五角星ABCDE 五个角的度数之和．例3 如图所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数．变1 如图所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．CEDFBA CEDBAH G EC FDBA变2 如图所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数．ECFDBAG EBACFD。
2022年八年级数学上册 第十二章 全等三角形知识点归纳 (新版)新人教版
第十二章：全等三角形12.1全等三角形〔1〕、全等图形：形状、大小相同的图形能够完全重合；〔2〕、全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；〔3〕、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；〔4〕、平移、翻折、旋转前后的图形全等；〔5〕、对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；〔6〕、对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；〔7〕、对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；〔8〕、全等表示方法：用“ 〞表示，读作“全等于〞〔注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上〕〔9〕、全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；12.2三角形全等的判定〔1〕假设满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等；〔2〕三角形全等的判定：①三边对应相等的两个三角形全等；〔“边边边〞或“SS〞S〕②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；〔“边角边〞或“SAS〞〕③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；〔“角边角〞或“ASA〞〕④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；〔“角角边〞或“AAS〞〕⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；〔“斜边直角边〞或“HL〞〕注：①证明三角形全等：判断两个三角形全等的推理过程；②经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等；③三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么这个三角形的形状、大小就确定了；〔用“SSS〞解释〕12.3角的平分线的性质〔1〕、角的平分线的作法：课本第19页；〔2〕、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；〔3〕、证明一个几何中的命题，一般步骤：①明确命题中的和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示和求证；③经过分析，找出由推出求证的途径，写出证明过程；〔4〕、性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；〔利用三角形全等来解释〕〔5〕、三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心；练习题：5．△ABC≌△DEF，且∠A=100°，∠E=35°，那么∠F=〔〕A．35° B．45° C．55° D．70°【考点】全等三角形的性质．6．如图，∠ABC=∠DCB，以下所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是〔〕A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD【考点】全等三角形的判定．7．以下条件中能判定△ABC≌△DEF的是〔〕A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FC．AC=DF，∠B=∠F，AB=DE D．∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF【考点】全等三角形的判定．8．如图，△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，那么∠DEC等于〔〕A．7.5°B．10° C．15° D．18°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．9．如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：①△ACE≌△DCB；②CM=CN．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．10．如图，A、B、C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于点M，CD 交BE于点N，求证：〔1〕∠BDN=∠BAM；〔2〕△BMN是等边三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．11．：如图，△ABC是等腰直角三角形，D为AB边上的一点，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．求证：∠B=∠EAC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．参考答案与试题解析5.【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∵∠A=100°，∴∠D=100°，∵∠E=35°，∴∠F=180°﹣∠D﹣∠E=45°，应选B．6.【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；应选：D．7.【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、根据∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；C、根据AC=DF，∠B=∠F，AB=DE，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔AAS〕，故本选项正确；应选D．8.【解答】解：∵AC=AB，∴∠B=∠C，∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+30°=∠AED+α，∴∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE=∠C+α，即∠AED=∠AED+α﹣30°+α，∴2α=30°，∴α=15°，∠DEC=α=15°，应选C．9.【解答】证明：①∵△DAC和△EBC都是等边三角形，∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，，∴△ACE≌△DCB〔SAS〕，②∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠DCE=∠ECB=60°，∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=60°，∠AEC=∠DBC，在△EMC与△BNC中，，∴△EMC≌△BNC〔ASA〕，∴CM=CN．10.【解答】证明：〔1〕∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC〔SAS〕∴∠BDN=∠BAM；〔2〕∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∵∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°﹣60°﹣60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，，∴△MBE≌△NBC〔ASA〕，∴BM=BN，∠MBE=60°，∴△BMN为等边三角形．11.【解答】证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=CB．∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE=90°﹣∠ACD=∠DCB．在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD〔SAS〕．∴∠B=∠EAC〔全等三角形的对应角相等〕．。
八年级上册数学知识点总结
八年级上册数学知识点总结全等三角形一．知识框架二．知识概念1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3.三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).轴对称一．知识框架二．知识概念1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数5.等腰三角形的判定：等角对等边。
八年级数学上册直角三角形知识点总结
八年级数学上册直角三角形知识点总结
直角三角形是初中数学中的重要内容，下面是八年级数学上册直角三角形的知识点总结：
1. 三角函数
- 正弦函数：sin(A) = 对边/斜边
- 余弦函数：cos(A) = 邻边/斜边
- 正切函数：tan(A) = 对边/邻边
2. 特殊直角三角形
- 等腰直角三角形：两条直角边相等
- 30度-60度-90度特殊直角三角形：长边：短边：斜边 = 1：√3：2
- 45度-45度-90度特殊直角三角形：两条直角边相等，斜边等于直角边的√2倍
3. 定义和性质
- 直角三角形的定义：一个角为直角（90度）
- 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方（勾股定理）
4. 三角形的解题方法
- 已知两边求第三边：利用勾股定理求第三边的长度
- 已知一个角和一边求其他边：利用三角函数计算其他边的长度
- 解决实际问题：将实际问题转化为数学问题，利用三角函数解题
这些是八年级数学上册直角三角形的主要知识点总结，请认真研究，掌握这些内容，将有助于你在数学研究中的进一步理解和应用。
人教版八年级数学上册+第11章+三角形知识点汇总
第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。
5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
人教版八年级数学上册第十一章三角形知识点 整理(完整版)
人教版八年级数学上册知识点整理（完整版）第十一章三角形一、三角形的有关概念（一）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
（二）基本元素1、三个顶点：点A、点B、点C2、三个内角：∠A、∠B、∠C3、三条边（1）表示方法①线段AB、AC、BC②a（∠A所对的边BC用a表示）、b、c（2）三角形的三边关系（依据：两点之间线段最短）①三角形两边之和大于第三边，数学语言：a+b>c，a+c>b，b+c>a。
；②三角形两边之差小于第三边，数学语言：a−b<c，a−c<b，b−c<a。
③判断三条线段能否组成三角形，只需判断“两条较短的线段之和大于第三条”即可。
4、三角形的表示方法：顶点是A、B、C的三角形，记作∆ABC，读作“三角形ABC”。
（三）三角形的稳定性：三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。
二、三角形的分类（一）按边分类1、三边都不相等的三角形2、等腰三角形（1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（2）等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。
（二）按角分类1、锐角三角形：三个内角都是锐角。
2、直角三角形：有一个内角是直角的三角形。
3、钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。
三、与三角形有关的线段（一）三角形的高1、定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高。
从∠ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做∠ABC 的边BC上的高，记作AD∠BC于点D。
3、几何语言（1）AD是三角形的边BC上的高。
（2）AD⊥BC于点D。
4、三角形三条高的位置（1）锐角三角形：三条高及其交点都在三角形内部。
（2）直角三角形：有两条高与两条直角边重合，斜边上的高在三角形内部，三条高交于三角形的直角顶点。
八年级数学《三角形》知识点归纳
21D CB AD CBAD CB A八年级数学《三角形》知识点⒈ 三角形的定义三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的“△”没有意义． ⒉ 三角形的分类 (1)按边分类 (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义 （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的重心。
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的内心。
④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；三角形等腰三角形不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C_B _A③三角形三条高所在直线交于一点．这个点叫做三角形的垂心。
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的三条线段首尾相连组成的图形。
1.三角形的内角和等于
˚。（在ΔABC 中，∠A+∠B+∠C= 。）
性
1.三角形
质
大于第三边。
2.外角的性质：三角形的一个外角
。
3.角平分线：(1).已知 AD 平分∠ABC,则∠ =∠ = 1
。
2
(2).角平分线上的点到
相。(已知 AD 平分
三
特 殊
∠ABC,D 是 AD 上任意一点，BD AB,CD AC,则
等等
的
3.
判
定
4.两角
的两个三角形全等。 （SSS）。 （ ）。
对应相等的两个三角形全等（ASA）。
5.
（ ）。
。）
的
2.中线：三角形的一个顶点与对边中点的连线。（把三角形的 分
角
线
为相等的两部分。）
3.垂线：三角形的一个顶点到对边所在直线的垂线段。
形
4.垂直平分线：垂直平分线上的点到
。
定义：能
的两个三角形叫全等三角形。
性质：全等三角形的
相等、
相等。（对应高、中
三
线、角平分线相等。）
角 形 全
三 角 形 全
1.能 2.