第5章狄拉克delta函数_476401940
delta函数
当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电荷。
此时把定义在区间 上，满足上述这两个要求的函数称为 函数，并记作 ，即0→l (,)−∞+∞)4(1)(=∫∞∞−dxx η)3()()(0)(00⎩⎨⎧=∞≠=x x x x x ηδ0x x =)6(1)(0=−∫∞∞−dx x x δ)(0x x −δ)5()()(0)(000⎩⎨⎧=∞≠=−x x x x x x δ根据(5)式，在 时， ，所以(6)式左边的积分不需要在 的区间进行，而只需要在一个包含 点在内的区间内进行，即引入 函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度为：位于坐标原点，质量为m 的质点的质量线密度为：(,)−∞+∞0x x ≠0)(0=−x x δ0x x =⎩⎨⎧><<<=−∫),(0)(1)(0000x b x a b x a dx x x b a δδ0x )()(0x x q x −=δη)()0()(x m x m x δδη=−=说明：1.函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数： 它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才 有意义。
例：δ⎩⎨⎧=∞≠=)0()0(0)(x x x δδ)0()()(f dx x x f =∫∞∞−δ二、 函数的性质性质1：若f (x )是定义在区间 的任一连续函数，则00())()f x x x dx f x δ+∞−∞−=∫（——将 乘上f (x )进行积分，其值为将f (x )的宗量换为 或者说： 函数具有挑选性(把f (x )在 的值挑选出来)证明：设 是任意小的正数，则由于 在 时为零， 所以 0000())())x x f x x x dx f x x x dx εεδδ+∞+−∞−−=−∫∫（（由积分中值定理有：(,)−∞+∞δ)(0x x −δ)(0x x −δ0x δ0x x =ε0x x ≠)()()()()(000000εξεδξδεε+<<−−=−∫∫+−∞∞−x x dx x x f dx x x x f x x当 时， ，连续函数 ，且所以特别地： 时，说明：也可作为 函数的定义， 即 函数可以通过它在积分号下对任一连续函数f (x )的运算性质来定义。
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数狄拉克Δ函数（DiracDeltaFunction）是物理学、工程学和数学等领域的重要概念。
它最初被引入来研究电磁场中的能量流，而后被用于描述各种物理系统的动力学。
此外，它也是数学中离散函数和概率分布的重要工具，甚至是解析函数概念的来源。
在本文中，将详细介绍狄拉克Δ函数的基本概念、特性和应用，不仅让我们了解它，而且可以将它用于研究和解决复杂的物理问题。
一、什么是狄拉克Δ函数？狄拉克Δ函数（Dirac Delta Function）是一种泛函，即一种特殊的函数，它没有原函数，其值只有在某个特定点处才有意义，而在其他任何地方均为零。
这个函数不仅可以用与物理学，还可以应用于数学，其实用性极广。
二、狄拉克Δ函数的定义根据狄拉克Δ函数的定义，狄拉克Δ函数可以由以下表达式定义：Δ(x)=0 (前提 x≠0)Δ(x)= +∞ (前提 x=0)由上式可知，x非零时，狄拉克Δ函数值为零，x为零时，狄拉克Δ函数值无限大。
因此，我们可以得到狄拉克Δ函数的函数图。
三、狄拉克Δ函数的特性1、由于狄拉克Δ函数的定义，我们可以知道它是一个不可积的函数，而且它的积分区间只有一个，也就是[0,0]。
2、狄拉克Δ函数的另一个特性是它的叠加效应，即将狄拉克Δ函数的多个函数叠加，经数学处理后可以得到另一个狄拉克Δ函数的积。
3、狄拉克Δ函数的最后一个特性是它可以用来表达离散函数，这就是何乐私下发明的。
四、狄拉克Δ函数的应用1、在物理学中，狄拉克Δ函数可以用来描述质量点对电场的作用，可以用来描述电流密度。
2、在数学中，狄拉克Δ函数可以用来表示概率分布，可以用来分析离散数据。
3、在工程学中，狄拉克Δ函数可以用来解决微分方程，也可以用来描述信号的传输和吸收特性。
五、总结从上面的内容可以看出，狄拉克Δ函数是一个非常有用的函数，它可以应用于物理学、工程学、数学等领域，可以用来解决各种问题。
然而，由于它的特殊性，在使用它时，也要特别小心，保证它的精确性和可靠性。
第二节 狄拉克函数
y
x
f(x)comb(x)
抽样
f(x) x
f(x)
1
comb(x)
x
1
x
f(x) *comb(x)
重复排列
x
n→ ∞
fn(x,y)或fn(x)的具体形式可以是多种多样的.
矩形函数: 高斯函数: sinc函数: 圆域函数:
δ ( x ) = lim Nrect
n→ ∞
( Nx )
δ ( x ) = lim Nexp ( − N 2 π x 2 )
n→ ∞
δ ( x ) = lim Nsinc ( Nx )
定义二： 定义二：普通函数序列极限形式的定义
如果函数列fn(x)的表达式为:
3/a
fn(x)
n=6
n 2a f n (x ) = 0
a x ≤ n 其它
5/2a
n=5
n=4
2/a
n是不为零的正数。当n逐渐变大时,fn(x) 不为零的范围逐渐变小,而在此范围内 fn(x)的值变大。 不论n为何值,图像的总面积均为1， 当n→∞时， fn(x)的极限是符合δ函 数的定义1的，故可用普通函数序列 的极限来定义δ函数
1.2- δ函数定义 1.2-1 δ函数定义 (definition of Delta Function)
1. 类似普通函数形式的定义
2. 普通函数序列极限形式的定义
3. 广义函数形式的定义
定义一： 定义一：类似普通函数形式的定义 例子： 例子：理想会聚透镜 平行光经L后成会聚光束，在 L后的平面P上得到一个清晰 的圆形亮斑。随着P向后焦面 趋近，亮斑直径越来越小，照 度A越来越大。 在P的后焦面的极限情况下，屏上的 照度A已无法用普通函数来描述,它 在焦点值为无穷,在焦点以外为零 在焦点以外为零， 在焦点值为无穷 在焦点以外为零
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数狄拉克Delta函数，也被称为狄拉克函数，是一种特殊的函数。
它可以被用来描述和解决在数学、物理和工程等领域的问题。
狄拉克Delta函数的主要特征是改变原始函数中的有限个离散值，转换为有限个连续变量，从而优化计算性能。
本文将通过一系列案例，介绍狄拉克Delta函数的基本原理和应用，以及它的基本特性。
一、狄拉克Delta函数的概念狄拉克Delta函数是一种特殊的函数，它的概念是由希腊数学家雷普洛斯狄拉克发展的。
它的计算方式与一般的数学函数不同，它不是以实数为自变量，而是以一个被称为“自变量域”的一组离散的数字来计算的。
它的计算结果是一个连续的函数，它的值依赖于两个变量，即自变量域和实变量域。
二、狄拉克Delta函数的基本特性a.简洁性：狄拉克Delta函数具有高度的简洁性，它能够简化一般数学运算，减少数学表达式中函数的数量，同时可以改善算法的执行效率。
b.可用性：狄拉克Delta函数可以被用于多种应用领域，它可以用于统计分析、数值分析、机器学习、动态系统模拟等。
c.完整性：狄拉克Delta函数能够将离散的输入变量转换为连续的输出变量，从而构成一个完整的系统，有利于提高计算性能和历史记录的可视化显示。
三、狄拉克Delta函数的应用1.数值分析：狄拉克Delta函数可以应用于数值分析，将一组离散的数据转换为一个连续的函数，从而更好地描述物理现象。
2.机器学习：狄拉克Delta函数可以应用于机器学习，可以将被观察到的数据转换为连续函数，从而更好地进行训练和预测。
3.图形处理和图像处理：狄拉克Delta函数可以将一组离散的像素点转换为一组连续的函数，从而更好地处理图像。
四、结论综上所述，狄拉克Delta函数是一种特殊的函数，它具有简洁性、可用性和完整性等特性，可以用于数值分析、机器学习、图形处理和图像处理等领域。
通过将离散的输入变量转换为连续的输出变量，从而实现优化的计算性能以及可视化的历史记录。
狄拉克分布函数
狄拉克分布函数
狄拉克分布函数是一种特殊的概率密度函数，也称为δ函数或Dirac函数。
它在数学中的应用非常广泛，特别是在量子力学中。
狄拉克分布函数的定义为：
δ(x-a) = 0 (x ≠ a)
δ(x-a) = ∞ (x = a)
其中，a为一个常数，δ(x-a)表示在x=a时函数的取值。
在其他点上，函数的值为0。
狄拉克分布函数具有以下性质：
1. 积分区间内的面积为1；
2. 在积分区间外，函数值为0；
3. 在积分区间内，函数值为无穷大，但积分结果为有限值；
4. 狄拉克分布函数是一个偶函数。
由于狄拉克分布函数具有无穷大的尖峰，因此在实际应用中，可以将其看作是一个极限情况下的高斯分布函数。
它可以用来表示一个粒子在某个位置出现的概率，也可以用来描述量子力学中的波函数。
在信号处理中，狄拉克分布函数也常用于描述脉冲信号。
- 1 -。
§.狄拉克函数（精品）
第五章 Green 函数前几章主要讲授了拉普拉斯、波动方程、热传导等齐次方程的求解，对于这类方程，求解区域非常规则（直角坐标系、球坐标系、柱坐标系），并且方程为齐次的，利用分离变量法求解非常方便。
但对于非齐次方程，例如 ()t x f u ,2=∇，分离变量法不再适用，本章主要采用Green函数法求解线性非其次方程。
本章主要内容：1、δ函数2、Laplace 方程的Green 函数3、Helmholtz 方程的Green 函数4、波动方程的Green 函数法§5.1 δ函数一、δ函数的定义()⎩⎨⎧≠=∞+=000x x x ，，δ其积分 ()()1==∫∫+−+∞∞−εεδδdx x dx x性质()()()0f dx x x f =∫∞∞−δ0+εδ(x)x−ε或者 ()⎩⎨⎧≠=∞=−000,0,x x x x x x δ其积分 ()()10000=−=−∫∫+−∞∞−εεδδx x x x x x性质()()()00x f dx x x x f =−∫∞∞−δ二、物理意义1、直导线的电荷密度：假设一个导线AB 上电量分布为()x e ，其电荷密度()()()()x e xx e x x e x x 'lim0=Δ−Δ+=→Δρ 2、单位点电荷：假设导线AB 上只有在中心存在一个单位点电荷，即()⎩⎨⎧=≠=0,10,0x x x e 电荷密度()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∞→Δ=Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ=Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ≠=0,12220,0x x x x e x x e x e x x ρ 由δ函数的定义可知，单位点电荷的密度就是δ函数。
()()1==∫∫+∞∞−+∞∞−dx x dx x δρ因此，()x δ可以看成是单位点电荷密度。
当单位点电荷放在0x x =处，点电荷密度可写为()()0x x x −=δρ当电荷量为q 的点电荷放在0x x =处，点电荷密度可写为()()0x x q x −=δρ 三、δ函数可以看成普通函数的弱极限极限{}*x x n →：对于0*0,0εε<−>>∃>∀x x N n N n 时，当函数(){}()x fx f n *→：对于时，当N n N >>∃>∀0,0ε()()ε<−x f x f n *上述严格定义的极限称为强极限。
狄拉克 δ 函数
δ 函数的性质
1. I = ∫
∞ -∞
f (x) δ(x - x0) x = f (x0), 对任意的连续函数 f (x)
证明：利用 δ 函数的定义 I=
∞ -∞
f (x) δ(x - x0 ) x = lim+ ε0
x0 +ε x0 -ε
x0 +ε x0 -ε
f (x) δ(x - x0 ) x, 其中 ε 0+ 表示 ε > 0 且 ε 0
x0 +ε
= lim+ ε0
[ f (x) - f (x0)] δ(x - x0) x + lim+ ε0
Δ
x0 -ε
f (x0 ) δ(x - x0 ) x
= Δ + f (x0), Δ = lim+ ε0 ≤ lim+ ε0
ε0 x0 +ε
x0 -ε x0 +ε
∞
-∞
f (x) D1 (x) x =
∞
-∞
f (x) D2 (x) x
⟹ D1 (x) = D2(x)， 其中 f (x) 为任意的连续函数
也就是说 ，这里说的证明 ，与其说是证明 ，不如说是一种理解 、说明。 若希望更严谨的数学论证 ，请参阅 Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions "
δ(t) t ,
φ(xl -ε)
1 = φ′(ξ) 1 φ′(ξ) = ▲ 推论 δ(a x - b) = 1 φ′(x
l )
φ(xl +ε) φ(xl -ε) φ(xl +ε) φ(xl -ε)
狄拉克δ-函数及有关应用
第４０卷第７期大 学 物 理Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．７２０２１年７月ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳＪｕｌｙ２０２１ 收稿日期：２０２－１０－１０；修回日期：２０２０－１１－０５ 基金项目：国家自然科学基金（１２０７１０２１）；北京交通大学研究生课程建设项目（１３４８６９５２２）资助 作者简介：郑神州（１９６５—），男，浙江临海人，北京交通大学理学院教授，博士，博士生导师，主要从事偏微分方程理论和应用研究．狄拉克δ－函数及有关应用郑神州１，康秀英２（１．北京交通大学理学院，北京 １０００４４；２．北京师范大学物理系，北京 １００８７５）摘要：狄拉克δ－函数实际上是离散情况下的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数的连续化，它在数学和物理中都有重要的应用．基于广义函数概念引入狄拉克δ－函数的精确定义，证实狄拉克δ－函数不是通常Ｌｅｂｅｓｇｕｅ局部可积意义下的普通函数；文中分别以单位矩形脉冲函数、高斯函数、钟形函数和Ｓｉｎｃ函数的序列在弱极限意义下来逼近狄拉克δ－函数．另外，验证了狄拉克δ－函数可以作为Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数的广义导数，以及其高价广义导数，并给出狄拉克δ－函数的卷积性质、伸缩性质、复合变换性质、正交性和狄拉克梳函数，最后引入了狄拉克δ－函数与广义傅里叶变换的关系，以及其在泊松方程Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值问题求解中的应用．关键词：狄拉克δ－函数，广义函数，弱极限，广义傅里叶变换格林函数中图分类号：Ｏ４－１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０７ ００２５ ０５【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００４５６狄拉克δ－函数是一类“奇怪”的函数，有广泛应用．它按照通常古典的函数定义方式是无法做到，实际上它是非通常意义下的“函数”，更准确地称为“广义函数、Ｓｃｈｗａｒｚ分布函数或泛函”，它是以英国理论物理学家狄拉克名字命名的，在数学和物理中有着独特的地位［１，２］．狄拉克δ－函数可以用来描写物理学中一切点量，如：点质量、点电荷、瞬时源等；数学上可以进行微分和积分变换，为处理数学物理问题带来极大的方便．尤其它在偏微分方程、数学物理方程、傅立叶分析和概率论等领域都离不开这个函数的应用［３－７］，有了狄拉克δ－函数，傅立叶变换就不受绝对可积条件限制，通常称为广义傅立叶变换．狄拉克δ－函数具有悠久的历史，这得从Ｋｒｏｎｅ ｃｋｅｒδ－函数讲起，Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数非常简单：δｉｊ＝１，ｉ＝ｊ０，ｉ≠ｊp （１）对于一列数｛ａｉ｝，ｉ＝１，２，．．．有 ｊδｉｊａｊ＝ａｉ，并满足规范化 ｊδｉｊ＝１，对称化δｉｊ＝δｊｉ．将离散的序列｛ａｉ｝转化为连续的函数ｆ（ｘ），将以上式子类似地写成积分式：∫∞－∞ｆ（ｘ）δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝ｆ（ｘ０）（２）（简记：（ｆ δ）（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）δ（ｘ）＝ｆ（０）δ（ｘ））∫∞－∞δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝１（３）δ（ｘ－ｘ０）＝δ（ｘ０－ｘ）（４）从离散过渡到连续，自然地从求和过渡到积分；这看起来两种δ－函数很雷同了．所以狄拉克δ－函数就达到类似于Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数的选择器效果，对于δ－函数的选择器作用是泊松先提出的，后来Ｃａｕｃｈｙ利用它的选择器性质研究了许多应用问题，进一步地傅里叶给出了其无穷级数表示，在此基础上狄拉克对研究量子力学时发现了连续型的δ－函数重要作用．物理上看，狄拉克δ－函数可以看成一些通常意义下函数列的逼近，但严格的数学理论表明：这不是通常意义下的极限（这是泛函意义下的极限，或称“弱收敛”）．事实上，其真正严格意义下的定义方式是在Ｓｃｈｗａｒｚ分布函数［２］（广义函数或泛函）基础上才有的，这表明从此物理上广泛实用的狄拉克δ－函数可做数学严谨的推理了．在物理和工程技术中，常常会碰到单位脉冲函数（狄拉克δ－函数）［３］，如：在电学中，要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流；在力学中，要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况．像这种常用来表示为集中在一点上单位量的质点、点电荷、瞬时力等的密度分布就是狄拉克δ－函数应用的实际背景；其特点是该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等２６ 大 学 物 理 第４０卷于１．这种对又窄又高的尖峰函数的逼近（脉冲）有着特殊的应用，如：球棒撞击棒球接触的瞬间力作用，其密度分布函数δ（ｘ）．物理和工程上的狄拉克δ－函数通常是这样来引入的：δ（ｘ）＝∞ ｘ＝００ ｘ≠０p ，∫∞－∞δ（ｘ）ｄｘ＝１，但这种方式定义在数学上有着明显的缺陷，是无法进行严格推理的．实际上，这不能用通常的函数来理解，严格说狄拉克δ－函数不算是一个普通函数；由于它集中在一点上的值为无穷大（无穷大的任意倍数还是无穷大），其通常函数在一点上的积分为０（没有面积）．本论述从数学严格的狄拉克δ－函数定义出发，综述其基本性质，以及考虑其在数学和物理学科中的重要应用［３－７］；这起抛砖引玉作用，也为狄拉克δ－函数的进一步应用建立起数学理论基础．１ 狄拉克δ－函数作为广义函数定义１）广义函数［２，５］：δ－函数的准确定义需要从广义函数有关概念出发：设函数列φ（ｘ），φｎ（ｘ）∈Ｃ∞０（Ｒ）（无穷光滑的且具有紧支集），若存在Ｍ＞０使得｜ｘ｜＞Ｍ时对任意自然数ｎ有φ（ｘ）＝０，φｎ（ｘ）＝０且对ｋ＝０，１，２，．．满足ｌｉｍｎ→∞ｓｕｐｘ∈［－Ｍ，Ｍ］φ（ｋ）ｎ（ｘ）－φ（ｋ）（ｘ）＝０（５）其中φ（ｋ）（ｘ）表示ｋ阶导数，ｋ＝０表示原函数．则称序列φｎ（ｘ）收敛于φ（ｘ），此时称Ｃ∞０（Ｒ）为基本空间，记作函数Ｄ（Ｒ）；φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）称为试验函数．若ｆ是Ｄ（Ｒ）上的连续线性泛函，称ｆ是Ｄ（Ｒ）上的广义函数．对于试验函数φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），用〈ｆ，φ〉表示它所对应的泛函值，称为对偶积．Ｄ（Ｒ）上广义函数全体记成Ｄ′（Ｒ）．２）狄拉克δ－函数定义［１，５］〈δ，φ〉＝φ（０）， φ∈Ｄ（Ｒ）（６）它是广义函数．事实上：①δ（ｘ）是线性的：对于任意的α、β∈Ｒ以及φ１（ｘ）、φ２（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有〈δ，αφ１＋βφ２〉＝αφ１（０）＋βφ２（０）＝α〈δ，φ１〉＋β〈δ，φ２〉（７）②δ（ｘ）是连续泛函：对于φｎ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），若ｌｉｍｎ→∞φｎ（ｘ）＝φ（ｘ），有ｌｉｍｎ→∞〈δ，φｎ〉＝ｌｉｍｎ→∞φｎ（０）＝φ（０）＝〈δ，φ〉（８）这里要强调的广义函数收敛性一定要在试验函数作用下收敛的，泛函分析中称为弱收敛．３）狄拉克δ－函数不是通常意义下“函数”．首先，普通意义下的函数一定是广义函数，作为一般Ｌｅｂｅｓｇｕｅ意义下的局部可积函数可以等同于广义函数．事实上，实轴上局部可积函数Ｌｌｏｃ（Ｒ）对任意的闭区间［ａ，ｂ］，有∫ｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ＜∞．定义对偶积为〈Ｆ，φ〉＝∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ（９）简单的验证：这是一个线性连续泛函．任一个局部可积函数按以上做法都有唯一的广义函数与之对应，且可证明：不同的局部可积函数对应于不同的广义函数，并保持线性运算不变；这样可以将局部可积函数ｆ等同于与其对应的广义函数Ｆ．反之，狄拉克δ－函数不是通常函数，没有局部可积函数与之对应［１，５］．事实上，反证法：若存在这样的局部可积函数ｆ（ｘ），有〈ｆ，φ〉＝∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝〈δ，φ〉＝φ（０）， φ∈Ｄ（Ｒ）（１０）特别地取特殊的试验函数为φ（ｘ）＝ｅ－１１－ｘ２＋１，ｘ≤１０，ｘ＞１p （１１）则φ（ｎｘ）∈Ｄ（Ｒ），且 ∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ＝φ（０）＝１， ｎ∈Ｎ（１２）但另一方面∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ＝∫１ｎ－１ｎｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ≤∫１ｎ－１ｎｆ（ｘ）ｄｘ→０， （ｎ→∞）（１３）这是一个矛盾，所以狄拉克δ－函数没有局部可积函数与之对应．２ 狄拉克δ－函数的逼近方式上面定义的广义函数有点抽象，下面我们从物理直观上，用各种函数列逼近的方式来理解狄拉克δ－函数，这种逼近也不是通常意义下的极限，而是泛函意义下的逼近，是一种弱形式的极限［１，２，５］．例如：１）用一个积分值为１矩形脉冲函数序列｛Ｈｎ（ｔ）｝序列的弱极限来逼近．从直观上看，函数序列｛Ｈｎ（ｔ）｝是在区间－１ｎ，１ｎy r 上一系列均匀地放置单位质量所产生的质量分布密度，当ｎ趋向无穷时，其广义极限（弱极限）就是在原点上放置单位质量第７期郑神州，等：狄拉克δ－函数及有关应用２７ 所产生的质量分布密度．因此，狄拉克δ－函数就是在原点上放置单位质量所产生的分布密度．数学推导：对任意正整数ｎ，在－１ｎ，１ｎy r 上均匀地放置单位质量的分布密度Ｈｎ（ｔ）＝ｎ２，ｔ＜１ｎ０，ｔ＞１ｎ（１４）显然Ｈｎ（ｔ）∈Ｌｌｏｃ（Ｒ）（积分值不超过１）．对任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有〈Ｈｎ，φ〉＝∫∞－∞Ｈｎ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝ｎ２∫１ｎ－１ｎφ（ｘ）ｄｘ（１５）用积分中值定理于φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）得到ｌｉｍｎ→∞〈Ｈｎ，φ〉＝φ（０）＝〈δ，φ〉．所以δ（ｘ）是Ｈｎ（ｔ）弱极限．同理可以得到逼近δ（ｘ）的其它常用函数列．２）对于任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有：对ρｔ（ｘ）＝１２ａπ槡ｔｅ－ｘ２４ａ２ｔ（高斯函数，或称正态分布密度函数）， ｌｉｍｔ→０＋〈ρｔ（ｘ），φ〉＝ｌｉｍｔ→０＋∫∞－∞１２ａπ槡ｔｅ－ｘ２４ａ２ｔφ（ｘ）ｄｘ＝δ（０）＝〈δ，φ〉．３）对ρａ（ｘ）＝ａπａ２＋ｘ２C o （钟形函数），ｌｉｍａ→０〈ρａ（ｘ），φ〉＝〈δ，φ〉．４）ρｎ（ｘ）＝ｓｉｎｎｘπｘ（Ｓｉｎｃ函数）， ｌｉｍｎ→∞〈ρａ（ｘ），φ〉＝〈δ，φ〉．３ 广义导数（弱导数）和狄拉克δ－函数先给出广义导数定义：对一个广义函数ｆ∈Ｄ′（Ｒ），若存在ｆ′使得〈ｆ′，φ〉＝－〈ｆ，φ′〉， φ∈Ｄ（Ｒ）（１６）则称为广义函数ｆ有一阶广义导数，其广义导数为ｆ′（见文献［１，２，５］）．一般地，定义ｋ－阶广义导数为；若有ｆ（ｋ）使得〈ｆ（ｋ），φ〉＝（－１）ｋ〈ｆ，φ（ｋ）〉， φ∈Ｄ（Ｒ）（１７）称ｆ（ｋ）为广义函数ｆ的ｋ－阶广义导数，ｋ＝１，２，…．注：通常意义下的导数一定是广义导数，其本质就是分部积分公式；反之不对，从定义得知：广义导数不是逐点定义的．例如：Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数Ｈ（ｘ）＝１，ｘ≥００，ｘ＜０p （１８）对于任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），则有〈Ｈ′，φ〉＝－〈Ｈ，φ′〉＝－∫∞－∞Ｈ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝－∫∞０φ（ｘ）ｄｘ＝φ（０）＝〈δ，φ〉（１９）所以狄拉克δ－函数可看作是Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数的广义导数．考虑函数｜ｘ｜的第ｍ阶广义导数（ｍ为不小于１自然数），有〈｜ｘ｜′，φ〉＝－〈｜ｘ｜，φ′〉＝－∫∞－∞｜ｘ｜φ（ｘ）ｄｘ＝∫０－∞ｘφ（ｘ）ｄｘ－∫∞０ｘφ（ｘ）ｄｘ＝－∫０－∞φ（ｘ）ｄｘ＋ｘφ∞０＋∫∞０φ（ｘ）ｄｘ－ｘφ０－∞＝－∫０－∞φ（ｘ）ｄｘ＋∫∞０φ（ｘ）ｄｘ＝∫∞－∞ｇ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝〈ｇ，φ〉（２０）其中ｇ（ｘ）＝１，ｘ≥０－１，ｘ＜０p ．所以｜ｘ｜′＝２Ｈ（ｘ）－１．一般地｜ｘ｜（ｍ）＝２δ（ｍ－１）， ｍ≥２（２１）４ 狄拉克δ－函数性质和广义傅里叶变换［１，３，５］两个已知函数ｆ１（ｔ）、ｆ２（ｔ）卷积定义：ｆ１（ｔ） ｆ２（ｔ）＝∫＋∞－∞ｆ１（τ）ｆ２（ｔ－τ）ｄτ（２２）狄拉克δ（ｘ）函数一些重要性质：１）卷积性质 ∫∞－∞ｆ（ｘ）δ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（０），∫∞－∞ｆ（ｘ－ｘ０）δ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ０）（２３）这里若取ｆ（ｘ）＝１，则有∫∞－∞δ（ｘ）ｄｘ＝１．更一般地，∫ｂａｆ（ｘ）δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝ｆ（ｘ０），ｘ０∈（ａ，ｂ）０，ｘ０（ａ，ｂ）p ．２）积分下作一个变量代换得到伸缩变换：δ（ａｘ）＝１ａδ（ｘ）（ａ≠０）．一般地，狄拉克δ（ｘ）函数的复合：设ａｎ为连续函数ｆ（ｘ）的单零点（即：ｆ（ａｎ）＝０，ｆ′（ａｎ）≠０），则有δ［ｆ（ｘ）］＝ ｎδ（ｘ－ａｎ）ｆ′（ａｎ）．事实上，对于试验函数φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）和ｆ（ｘ）的单零点ａｎ，由于ｆ（ａｎ）＝０，ｆ′（ａｎ）≠０，在每个ａｎ存２８ 大 学 物 理 第４０卷在邻域都是一一对应，作局部的变量代换ｙ＝ｆ（ｘ）∫∞－∞φ（ｘ）δ［ｆ（ｘ）］ｄｘ＝ ｉ∫ａｉ＋εａｉ－εφ（ｘ）δ［ｆ（ｘ）］ｄｘ＝ ｉ∫ｆ（ａｉ＋ε）ｆ（ａｉ－ε）φ［ｆ－１（ｙ）］δ（ｙ）ｄｙ｜ｆ′（ｘ）｜＝ ｉφ（ａｉ）｜ｆ′（ａｉ）｜（２４）从而δ［ｆ（ｘ）］＝ ｎδ（ｘ－ａｎ）ｆ′（ａｎ）（见［６］）．由此ｆ（ｘ）＝（ｘ２－ａ２） δ（ｘ２－ａ２）＝１２｜ａ｜δ（ｘ－ａ）＋δ（ｘ＋ａ）C o（２５）３）正交性：设｛ ｎ（ｘ）｝是区间（ａ，ｂ）上函数空间的一个完备正交基函数，ｎ（ｘ）为 ｎ（ｘ）的共轭函数，则对于（ａ，ｂ）上任意两个内点ｘ，ｘ０∈（ａ，ｂ），有： ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）＝δ（ｘ－ｘ０）．事实上，由狄拉克δ（ｘ）函数的卷积性质，对于任意的ｆ（ｘ）∈Ｃ∞０（ａ，ｂ），所以只要证∫ｂａｆ（ｘ）ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ｆ（ｘ０）即可．由于｛ ｎ（ｘ）｝是完备正交基，ｆ（ｘ）＝ ｍｃｍｍ（ｘ），ｃｍ＝∫ｂａｍ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ，则Ａ＝∫ｂａｆ（ｘ） ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ ∫ｂａｍｃｍｍ（ｘ） ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ ｍｃｍ ｎ∫ｂａｍ（ｘ） ｎ（ｘ）ｄｘC o ｎ（ｘ０）（２６）考虑｛ ｎ（ｘ）｝是正交基∫ｂａｍ（ｘ） ｎ（ｘ）ｄｘ＝δｍｎＡ＝ ｍｃｍｎδｍｎｎ（ｘ０）＝ ｍｃｍｍ（ｘ０）＝ｆ（ｘ０）（２７）得证．４）狄拉克梳函数［１，８］：平移狄拉克δ（ｘ）－函数的无穷级数Ｃｏｍｂａ（ｘ）＝ ∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）称为狄拉克梳函数（ａ≠０）．对此，我们有Ｆ［Ｃｏｍｂａ（ｘ）］＝Ｃｏｍｂ１ａ（ω）（２８）即狄拉克梳函数的傅里叶变换仍是狄拉克梳函数．事实上，考虑函数列１ａ槡ｅ－２πｉｍｘ／ａp i ∞－∞是周期为｜ａ｜单位正交基（三角函数正交系），狄拉克梳函数Ｃｏｍｂａ（ｘ）是以｜ａ｜为周期的函数，傅里叶级数展开：∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）＝１ａ ∞ｎ＝－∞ｅ－２πｉｎｘ／ａ．所以，由傅里叶变换的平移性质：Ｆ［Ｃｏｍｂａ（ｘ）］＝Ｆ［ ∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）］＝∞ｍ＝－∞ｅ－ｉ２πｍａω＝ ∞ｋ＝－∞δω－ｋ１ａC o＝Ｃｏｍｂ１ａ（ω）（２９）得证．５）三维狄拉克函数：δ（ｘ，ｙ，ｚ）＝δ（ｘ）δ（ｙ）δ（ｚ），即：δ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０， ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≠０∞， ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝０p ，∞－∞δ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙｄｚ＝１．类似于一维的性质：∞－∞ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）δ（ｘ－ｘ０，ｙ－ｙ０，ｚ－ｚ０）ｄｘｄｙｄｚ＝ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）， ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｃ（Ｒ３）常见的一些重要函数，如：常数函数，符号函数，单位阶跃函数以及正余弦函数等不满足傅里叶积分定理的绝对可积条件，即不满足条件∫ｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ＜∞，所以一般的傅里叶变换不存在；但引入δ（ｘ）－函数可以求它的广义傅里叶变换．按照经典数学函数的定义，功率信号（比如周期信号，最典型的是正弦余弦函数）的傅里叶变换是不存在的，但如果引入了广义函数概念，则可以求得功率信号的广义傅里叶变换，于是我们就可以方便地进行频谱分析了［１，５，８］．例如：１）δ（ｘ）函数的傅里叶变换为１，即：Ｆ［δ（ｘ）］＝１．事实上Ｆ［δ（ｔ）］＝∫＋∞－∞δ（ｔ）ｅ－ｉωｔｄｔ＝ｅ－ｉωｔｔ＝０＝１．２）Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数Ｈ（ｘ）＝１，ｘ≥００，ｘ＜０p 定义在ｘ轴上不是绝对可积的，但它却有广义傅里叶变换１ｉω＋πδ（ω）．３）又如求正弦函数ｆ（ｔ）＝ｓｉｎω０ｔ的不是绝对可积的，但它的广义傅里叶变换Ｆ（ω）＝Ｆ［ｆ（ｔ）］＝∫＋∞－∞ｅ－ｉωｔｓｉｎω０ｔｄｔ＝第７期郑神州，等：狄拉克δ－函数及有关应用２９ １２ｉ∫＋∞－∞（ｅｉω０ｔｅ－ｉωｔ－ｅｉ（－ω０）ｔｅ－ｉωｔ）ｄｔ＝１２ｉ２πδ（ω－ω０）－２πδ（ω＋ω０）＝ｉπδ（ω＋ω０）－δ（ω－ω０）（３０）一般地，不满足可积性条件函数的广义傅里叶变换，其像函数通常与狄拉克δ－函数有关［８］．５ δ－函数在边值问题中的应用基本解和格林函数是由δ－函数来定义的．这里以拉普拉斯算子为例谈论其在线性偏微分方程中边值问题求解中的应用．若在３维空间中坐标原点放置一个单位正电荷，即电荷密度分布函数为δ－函数，这时电位满足方程－ΔΓ＝δ（ｒ），这里拉普拉斯算子Δ＝ ２ｘ２＋ ２ｙ２＋２ｚ２；则其解（拉普拉斯方程的基本解）为Γ（ｘ，ｙ，ｚ）＝１４πｒ，其中ｒ＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ槡２．事实上，对方程两边同时作傅里叶变换Γ（ρ）＝Ｆ［Γ（ｒ）］＝ Ｒ３Γ（ｒ）ｅ－ｉρ·ｒｄｒ，则有ρ２Γ＝１ Γ＝１ρ２，其中ρ＝｜ρ｜；再作傅里叶逆变换Γ（ｒ）＝Ｆ－１［Γ（ρ）］＝１８π３ Ｒ３Γ（ρ）ｅｉρ·ｒｄρ＝１４πｒ．于是对全空间具有电荷分布为ｆ（ｒ）的泊松方程－Δｕ＝ｆ（ｒ），电位ｕ的解为ｕ（ｒ）＝ Ｒ３１４π｜ｒ－ｒ′｜ｆ（ｒ′）ｄｒ′．而在一个区域Ω Ｒ３内放置一个单位正电荷，并保持边界值为零，即满足－ΔＧ＝δ（ｒ）， ｒ∈ΩＧΩ＝０， ｒ∈ Ωp ，这样的解函数称为格林函数．格林函数在偏微分方程中有重要的作用，对于线性问题，不论外力项和边界值，该问题求解统一化为求只与区域形状有关的格林函数，当其区域比较特殊时，利用物理意义（如镜像法）可以解出其格林函数具体表达式．这时－Δｕ＝ｆ（ｒ）， ｒ∈Ωｕ Ω＝φ（ｒ）， ｒ∈ Ωp 的解就可以表示为：对于任意ｒ∈Ω，有ｕ（ｒ）＝ ΩＧ（ｒ，ｒ′）ｆ（ｒ′）ｄｒ′＋ ΩｎＧ（ｒ，ｒ′）φ（ｒ′）ｄＳｒ′（３１）其中ｎ为 Ω上的外单位法向向量．参考文献：［１］ ＨｏｓｋｉｎｓＲＦ．Ｄｅｌｔａｆｕｎｃｔｉｏｎｓ：ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｇｅｎｅｒａｌｉｓｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｍ］．２ｎｄｅｄ．ＷｏｏｄｈｅａｄＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇＬｉｍｉｔｅｄ，２０１０．［２］ Ｌ施瓦兹．广义函数论［Ｍ］．姚家燕，译．北京：高等教育出版社，２０１０．［３］ 梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２０１０．［４］ 库朗，希尔伯特．数学物理方法：１、２卷［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８１．［５］ 姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，等．数学物理方程讲义［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００７．［６］ 姜礼尚．偏微分方程选讲［Ｍ］．北京：高等教出版社，１９９７．［７］ 谷超豪，李大潜，陈恕行．数学物理方程［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２０１２．［８］ ＢｒａｄＧ．Ｏｓｇｏｏｄ．ＬｅｃｔｕｒｅｓｏｎｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，ＲｈｏｄｅＩｓｌａｎｄ：ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２０１９，３３．Ｄｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｒｅｌａｔｅｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓＺＨＥＮＧＳｈｅｎ ｚｈｏｕ，ＫＡＮＧＸｉｕ ｙｉｎｇ（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＢｅｉｊｉｎｇＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００４４，Ｃｈｉｎａ；２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｔｉｓｉｎｄｉｃａｔｅｄｔｈａｔＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓａｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅＫｒｏｎｅｃｋｅｒδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｐｌａｙｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｂｏｔｈｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｐｈｙｓｉｃｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｐｒｅｃｉｓｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ａｎｄｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｎｏｔａｕｓｕａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｈｅＬｅｂｅｓｇｕｅｓｅｎｓｅｏｆｌｏｃａｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｏｎｅ．Ｔｏｔｈｉｓｅｎｄ，ｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｈｅｒｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄｉｎｔｈｅｓｅｎｓｅｏｆｗｅａｋｌｉｍｉｔｂｙｍａｋｉｎｇｕｓｅｏｆｔｈｅｓｅｑｕｅｎｃｅｓｏｆｔｈｅｕｎｉｔｒｅｃｔａｎｇｌｅｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，Ｇａｕｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，Ｂｅｌｌ（下转７７页）第７期胡 立：硬币“跳舞”的动力学分析７７ 同时，实验所测得的全过程时间比较短，这是因为实验过程中液膜破裂并不完全，瓶口与硬币的接触部分仍有一部分残留的液膜．倘若在理论模型中的液膜破裂后运动过程也加入部分表面张力，则理论模型的全过程时间会更接近实验测定值．图５ 等差地改变放置误差Δｘ时Ｈ与ｔ的理论关系曲线在图５中，等差地改变放置误差Δｘ，发现硬币所能达到的最大高度Ｈｍａｘ随着Δｘ的增大而增大．这与我们的物理直觉是相符的，放置误差越大，瓶内压强提供的向上支持力力臂（Ｒ＋Δｘ）越大，硬币翘起的角加速度就越大，硬币更容易翘起且翘起更快，进而在液膜破裂时积累了更大的角速度，能够达到的最大高度Ｈｍａｘ也随之增大．３ 结论本文通过提出“放置误差”这一重要概念，从动力学的角度，对硬币“跳舞”的过程进行了分析，推导出硬币运动的二阶常微分方程，通过数值计算发现硬币翘起的最大高度与转动全程时间都与放置误差存在密不可分的联系．放置误差越大，硬币翘起的最大高度就越大，转动全程所花的时间越少，并且通过实验验证了理论模型的正确性．参考文献：［１］ 庆秉承，刘萍，袁识博，等．置于冷瓶口硬币的弹起现象研究［Ｊ］．大学物理，２０１９，３８（１１）：５２ ５６．［２］ 陶封邑，庄洋，黄敏，等．一个有趣的热力学问题：硬币何时“翩翩起舞”［Ｊ］．大学物理，２０１９，３８（１２）：５８ ６１．［３］ 漆安慎，杜婵英．普通物理学教程力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９７：２０１ ２０７．ＤｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｄａｎｃｉｎｇｃｏｉｎＨＵＬｉ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍｔｈｅｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｏｆｄｙｎａｍｉｃｓ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｃｏｎｄｕｃｔｓａｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｎｔｈｅｔｈｉｒｄｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅ２０１８ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＹｏｕｎｇＰｈｙｓｉｃｉｓｔｓ’Ｔｏｕｒｎａｍｅｎｔ（ＩＹＰＴ２０１８），“ＤａｎｃｉｎｇＣｏｉｎ”，ａｎｄｏｂｔａｉｎｓｔｈｅｃｈａｎｇｅｉｎｔｈｅｈｅｉｇｈｔｏｆｔｈｅｃｏｉｎｏｖｅｒｔｉｍｅｄｕｒｉｎｇａｓｉｎｇｌｅｂｅａｔｉｎｇ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆ“ｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ”ｉｓｐｒｏ ｐｏｓｅｄ，ａｎｄｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｃｏｉｎｐｌａｃｅｅｒｒｏｒｏｎｔｈｅｃｏｉｎ’ｓｔｉｌｔｉｎｇｈｅｉｇｈｔｉｓｆｕｒｔｈｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｉｔｉｓｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｇｒｅａｔｅｒｔｈｅｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ，ｔｈｅｆａｓｔｅｒｔｈｅｃｏｉｎｗｉｌｌｒｏｔａｔｅａｎｄｔｈｅｇｒｅａｔｅｒｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｈｅｉｇｈｔｏｆｔｈｅｃｏｉｎｗｉｌｌｂｅｒｅａｃｈｅｄ．Ｉｎｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｃｏｉｎｄａｎｃｉｎｇｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｌａｃｅｅｒｒｏｒｓｗａｓｒｅｃｏｒｄｅｄｗｉｔｈａｈｉｇｈ－ｓｐｅｅｄｃａｍｅｒａ，ａｎｄｓｏｆｔｗａｒｅｔｒａｃｋｅｒｗａｓｕｓｅｄｔｏｔｒａｃｋ．Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｖｅｒｉｆｉｅｓｔｈｅｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｙｎａｍｉｃｓ；ＩＹＰＴ；ｄａｎｃｉｎｇｃｏｉｎ；ｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ（上接２９页）ｓｈａｐｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄＳｉｎｃ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｉｔｉｓｃｈｅｃｋｅｄｔｈａｔｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄａｓａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｏｆｔｈｅＨｅａｖｉｓｉｄｅｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄｉｔｓｈｉｇｈｅｒｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｉｓａｌｓｏｓｈｏｗｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｓｃａｌｅｓ，ｃｏｍｐｏｕｎｄｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ，ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｉｔｙａｎｄＣｏｍｂＤｉｒａｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅｒｅｃａｌｌｅｄ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｆｉ ｎａｌｌｙ，ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ａｎｄｗｅｐｒｅｓｅｎｔａｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅＤｉｒｉｃｈｌｅｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅＰｏｉｓｓｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｄｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｗｅａｋｌｙｌｉｍｉｔｓ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ；Ｇｒｅｅｎｆｕｎｃ ｔｉｏｎ。
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数狄拉克（Dirac）δ函数是由英国理论物理学家保罗·狄拉克提出的一种特殊的数学函数，一种奇异函数。
狄拉克δ函数在物理、工程和数学等领域起着重要的作用。
它在量子力学、信号处理、微积分和控制工程等领域具有广泛的应用。
狄拉克δ函数由以下性质定义：∫δ(x)dx = 1∫f(x)δ(x−a)dx = f(a)这意味着狄拉克δ函数是一个以0为中心，并在x=0处取无穷大值的奇异函数。
它在其他地方为0。
通过与其他函数的乘积进行积分运算，可以得到在特定点处取有限值的结果。
狄拉克δ函数在量子力学中的应用非常重要。
在量子力学中，波函数描述了粒子的位置和性质。
波函数的平方表示了在给定位置上找到粒子的概率。
狄拉克δ函数可以用来描述点状粒子，例如电子或光子。
在空间中的给定位置上，粒子可以被认为是局部集中的，因此可以使用狄拉克δ函数来描述其位置。
例如，假设有一个处于位置a的电子，其波函数可以表示为Ψ(x)。
那么，当我们在位置a处测量电子的位置时，根据量子力学原理，有一个非常高的概率它将处于a附近的一个微小区域内。
通过使用狄拉克δ函数，我们可以将测量电子位置的结果表示为Ψ(a)。
狄拉克δ函数还可以用来解决微积分中的问题，尤其是当涉及到奇异函数、积分和广义函数时。
例如，在积分运算中，狄拉克δ函数可以用来表示极限。
狄拉克δ函数可以与其他函数进行卷积运算。
卷积运算用于描述两个函数之间的关系。
通过与一个函数进行卷积，我们可以将狄拉克δ函数应用于另一个函数，并得到一个新的函数作为结果。
在信号处理中，狄拉克δ函数被广泛用于描述连续信号和离散信号之间的关系。
通过狄拉克δ函数，我们可以将一个连续信号转换为离散信号，并将离散信号转换为连续信号。
狄拉克δ函数还与控制工程密切相关。
在控制系统中，经常需要对信号进行滤波和处理。
通过将狄拉克δ函数应用于输入信号，我们可以估计系统对这个信号的响应。
这对于设计和分析控制系统非常重要。
狄拉克和他的δ函数
狄拉克和他的δ函数弘扬数学文化，推动数学教育•本文选自《数学文化》第6卷第1期如果让我选一个“最优美的函数”的话，我会选“狄拉克δ 函数”。
1狄拉克δ 函数为数学家、物理学家及工程技术人员所熟悉；它由英国科学家保罗·狄拉克引进，因而得名。
保罗· 狄拉克保罗· 狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）1902年8月8日出生于英国的布里斯托尔（Bristol），就读于主教路（Bishop Road）小学，在和布里斯托尔大学合办的Merchant Venturers 男子技术学校（现已不存在）读完中学，之后在布里斯托尔大学工学院电子工程及应用数学专业以优异成绩毕业，最后于1926 年在剑桥大学圣约翰学院取得物理博士学位。
有两件事足以表明狄拉克在学术界的地位：英国剑桥大学有一个灿耀得无与伦比的卢卡斯数学荣誉讲座教授职位，于1663 年根据当时著名的大学议会议员亨利· 卢卡斯（Henry Lucas）的捐款和遗愿而设立。
曾荣登此宝座的有大名鼎鼎的牛顿和霍金。
1932 年，30 岁的狄拉克便荣膺这个桂冠。
翌年，狄拉克和薛定谔（Erwin Schrödinger）一起分享了当年的诺贝尔物理奖。
我通常认为狄拉克是一个“工程物理数学家”。
在向大家作更详尽的解释之前，先让我们一起来简要地回顾他的δ 函数的背景和简史。
对于工程技术人员、物理学和应用科学家们来说，下面这两个式子算是定义了δ函数：这两个式子一目了然且功能巨大：对实轴 R 上的任何连续函数 f(x) 和任何实数 r 都有这实在太好用了，不是吗？数学家对此不以为然，因为它不是一个常义下的标准实值函数。
它只是一种广义函数，因而需要把它的定义严格化。
现在知道，可以把δ 函数严格地定义为一种测度：对定义在实轴上任意连续函数f(·)，可以令δ 为满足Lebesgue–Stieltjes 积分的一种测度，其中 H(x) 是 Heaviside 阶梯函数。
狄拉克函数
狄拉克函数1. 引言狄拉克函数（Dirac Delta function）由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）在20世纪初提出。
狄拉克函数是一种特殊的分布函数，具有极其奇特的性质，常常用来描述粒子或波的位置、质量、速度等特征。
狄拉克函数在物理学、工程学、数学等领域中有着广泛的应用，是一种非常重要的数学工具。
2. 定义与性质狄拉克函数可以通过多种方式定义，以下是其中一种常用的定义方式：定义 1：狄拉克函数是一种以0为中心，无限高、无限窄的脉冲函数，其函数形式可以表示为：\[ \delta(x-a) = \begin{cases} +\infty, & x = a \\ 0, & xeq a \end{cases} \]其中，a为常数。
根据定义可知，狄拉克函数在除了a以外的所有点上都等于零，而在a点上取无限大值。
由于狄拉克函数具有这种集中无穷大的特性，它被称为一个“广义函数”（generalized function），而非传统意义上的函数。
狄拉克函数有以下一些重要的性质：性质 1：归一性\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) \, dx = 1 \]即狄拉克函数在整个实数轴上的积分为1。
性质 2：积分性质对于任意的函数f(x)，有以下积分关系：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \]这个性质表明，在狄拉克函数参与的积分运算中，狄拉克函数会起到“滤波”作用，将函数f(x)在x=a处的值提取出来。
性质 3：位移性质\[ \delta(x-a) = \delta(-x+a) \]这个性质表明，狄拉克函数关于中心点a具有对称性。
性质 4：缩放性质\[ \delta(bx) = \frac{1}{|b|} \delta(x) \]这个性质表明，狄拉克函数可以通过改变自变量的比例来调整脉冲的窄度。
第5章狄拉克delta函数_476401940
F [ (t )] (t )eit dt 1
(5.1.9)
因此，1 的傅里叶反变换就是 ( x) 函数.
(t )
1 it e d 2π
(5.1.10)
此式说明， ( x) 函数可以表示成一种积分形式.我们在此顺便给出 ( x) 的另一种 积 分 表 示 . 考 虑 积 分
0
(5.1.12b)
相应地，拉普拉斯反变换是
L1[1] (t 0 )
0
(5.1.12c)
如果积分 (5.1.12a)取为 L[ (t )] (t )e pt dt 0 ，就不能与(5.1.12c)构成互 为拉普拉斯变换和反变换.
5.1.4 广义函数的导数和积分 为了保证(5.1.6)式右端的积分存在，如果我们加在函数 ( x) 上条件越强，则 对 f ( x) 的要求就越弱.这样在空间上的广义函数就越多.通常取为无穷次可微 并且只在一个有限区间上不为零的全体，这种函数空间称为空间 K. 现在来看广义函数的导数.为此，先设 f ( x) 是一个普通的可微函数，那么， 对函数 f ( x) 所确定的广义函数 f ，有
d d d 2 2 | .结合起来，有 2 2 2 ( ) 0 0
( 0 )
1 1 d 0
(5.1.11)
这一公式在处理具体的物理问题时会用到.
由此，我们得到 ( x) 函数的积分是
或者
x
(t )dt ( x)
x
(t x)dt ( x x)
5
尽管几乎所有的教科书上都写着 d ( x) ( x) dx
狄拉克δ函数
狄拉克δ函数狄拉克δ函数是一种常见的数学函数，它在某些类似曲面的平面上表示为抛物线。
伴随着计算机科学的发展，它也被广泛应用于计算机程序中。
因此，本文将深入介绍狄拉克δ函数的定义、表达式、特性及应用，以加深对其的理解。
一、定义狄拉克δ函数，简称δ函数，是由德国数学家狄拉克（G.Dirac）提出的一种函数，即常熟δ函数。
它是一种特殊的数学函数，以正无穷大或负无穷大作为参数。
它的定义表达式如下：δ(x)=0 (当x≠0时)1 (当x=0时)它表明，当x=0时δ(x)=1，当x≠0时δ(x)=0。
二、特性1.δ函数具有零穷尽性，即在非零处均为零；2.它具有离散性：存在非零处和零处，而两者之间没有连续变化；3.它具有累积性：它是累积函数的离散版本，其累加计算结果始终为1；4.它具有线性性：它是线性函数的离散版本，对于任意n，δ(nx)=nδ(x)；5.它具有统计性：当它出现在概率分布函数中时，则在该点处其值为1，表示发生概率为1；6.它具有傅里叶变换性：δ函数具有傅里叶变换的性质，即可以由其傅里叶变换结果推出其本身的表达式。
三、应用1.在计算机网络中，δ函数是用来指导用户行为的基本程序，常用于线路提前通知，路由转发及报文传输等；2.在放射学中，δ函数用于计算吸收率；3.在流体力学中，δ函数用于模拟流体流动；4.在统计学中，δ函数可以用来表示均值函数：δ(x)=1/N∑i=1Nxi，其中N表示样本数目，xi表示第i个样本。
5.在量子力学中，δ函数用于描述交换势能，可以用来计算原子多位置的结构；6.在信号处理中，δ函数用于表示信号的定时信号；7.在几何学中，δ函数用于表示曲线的局部曲率。
四、结论以上就是狄拉克δ函数的定义、表达式、特性及应用情况的介绍，它被广泛应用于各个学科的研究中，这是因为它的特殊性：它是一种特殊的数学函数，具有零穷尽性、离散性、累积性、线性性及统计性，因此它是一种非常重要的数学工具，广泛应用于计算机程序、放射学、流体力学、统计学、量子力学、信号处理和几何学等领域，发挥着不可替代的作用。
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数是数学中非常重要的一个狄拉克函数的变种，
它是一种布尔函数，它的参数直接决定函数的输出。
该函数的输入一
定是实数或复数，如果参数等于零，函数的输出为一，否则输出为零。
因此，根据狄拉克delta函数，一个大于零的实数参数会返回0，而0
则返回1。
狄拉克delta函数在数学中非常重要，因为它是一种特殊的函数，其输出仅取决于输入，而不会由输入外的变量和因素所决定。
一般来说，狄拉克 delta函数被用来表示特定联系或应用，通过让参数的值
代表特定的变量，狄拉克delta函数可以帮助我们容易地分析如何将
一个变量的结果映射到另一个变量。
近年来，狄拉克 delta函数广泛应用于工程和科学领域，它的一个重要应用是用来表示向量间的内积。
内积是一种常用的数学变换，
它可以帮助我们分析和推断一些信息，是数学分析中经常使用的工具。
另外，由于狄拉克delta函数简单而可靠，它还被广泛应用于许多电
脑程序中，用来处理数学逻辑和控制函数，帮助程序可靠、快速地完
成所需的任务。
总之，狄拉克 delta函数是一种非常有用的数学函数，它作为一种特殊的布尔函数，通过改变参数的值来确定函数的输出，而且还有
非常重要的应用，可以广泛应用于数学、科学、工程等领域，能够帮
助我们更好地完成分析和推断工作。
因此，它以其非凡的能力受到了
业界的推崇和认可。
dirac delta 函数
dirac delta 函数
DiracDelta函数是一种特殊的函数，常被用于描述物理学中的某些现象，如波函数、电荷分布等。
它被定义为在 $x=0$ 处为正无穷，在其他点上为零的一种分布。
Dirac Delta 函数的符号表示为 $delta(x)$，它满足以下两个性质：
1. 归一性：$int_{-infty}^{infty}delta(x)dx=1$
2. 奇异性：对于任意一个函数 $f(x)$，有
$int_{-infty}^{infty}delta(x)f(x)dx=f(0)$
这个函数被称为“奇异函数”，因为它在 $x=0$ 处的值为无穷大，但在其他地方的值都为零，这样的函数在实际中并不存在，它只是一种理论上的构想。
然而，这个函数的概念却在物理学、工程学等学科中有着广泛的应用。
Dirac Delta 函数的导数被称为“Dirac Delta 函数的导数”，表示为 $delta'(x)$，它的定义为：
$int_{-infty}^{infty}delta'(x)f(x)dx=-int_{-infty}^{infty}d elta(x)f'(x)dx$
这个定义可以用来求解一些微积分问题，如线性微分方程的初值问题等。
Dirac Delta 函数也有一些重要的应用，如概率密度函数、傅里叶变换、脉冲响应等。
在物理学中，它被广泛用于描述粒子的波函数
和电荷分布等。
在工程学中，它被用于描述信号的冲击响应和系统的脉冲响应等。
总之，Dirac Delta 函数是一种非常重要的数学工具，它在物理学和工程学等学科中都有着广泛的应用。
狄拉克函数
( x)dx 1.
注： 函数不能看成一个普通的函数，但可用普通的函数来 逼近它。 0, x 则 lim ( x) ( x) ( x ) 取 1 , x 0 2
狄拉克函数基础
4
注：上述定义的函数，并不是通常意义下的函数：它并没有 给出函数与自变量之间的对应关系，或者说它给出的对应关 系是 , x 0, ( x) 0, x 0, 这在通常意义下是没有意义的。 它所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义. 如
a=0时有 F
1
1 [1] ( x) 2
1 lim n 2
n
n
inx inx 1 e e sin nx ei x d lim lim n 2 n x ix
狄拉克函数基础
1 1 e d 2
i x
ei x d
f ( x) n ( x)dx f (0)
a ( x)
a a2 x2
t ( x )
1 2a t
e
x2 4 a 2t
狄拉克函数基础
11
函数的拉普拉斯变换
需要将拉普拉斯变换定义中的积分范围修改，变为
F ( s)
0
f (t )e st dt L[ f (t )]
对于满足拉普拉斯变换存在定理条件的函数上述定义的拉普 拉斯变换和原先定义的是一致的.
这样， F ( s) L[ (t )] 注：
0
(t )e st dt e st
t 0
1
Diracδ函数及其性质ppt课件
δ(x, y)= δ(x)·δ(y)
二维δ函数的性质以及其证明过程与一维δ函数的 情形相同。
*2、极坐标系的情况
δ(x，y) → δ(r，θ) ，必须要保证：
1)、脉冲位置相同；
2)、二者强度(即曲面下‘体积’)相同。
dx
H(xa)
f
(x)
|
H(xa)
f
'(x)dx
f
()
a
f
'(x)dx
f
()
f
(x)| a
f
(a)
根据以上讨论，再结合式(3)可知，Heaviside函数H(x-
a)对x的导数可以表示Dirac 整δ(理xp)p函t 数，即式(10)成立。
14
3°Dirac函数的性质
性质1)、积分性质：δ函数的定义式：
δ(x-x0， y-y0)曲面下的体积为：
(xx0,yy0)dx d1y
而δ(r-r0，θ-θ0)曲面下的体积为：
0 1 r( r r 0 ) rd 0 2 ( r0 ) d 0 ( r r 0 ) d 0 2 r ( 0 ) d 1
可见强度也相同，所以坐标变换成立。
整理ppt
只有这样，坐标变换才是整等理p价pt 的。
20
几个二维δ函数在两种坐标系中的位置关系
直角坐标系(x，y) 极坐标系(r，θ)
δ(x，y)
δ(r)
δ(x-x0，y) δ(x，y-y0) δ(x+x0，y) δ(x，y+y0) δ(x-x0，y-y0)
δ(r-x0，θ)
(r
y0,
)
δ函数的简介
Delta函数用特殊函数展开
• 用Bessel函数展开
1 (x x ) 2l
其中
J m (k mi x )J m (k mi x ) / Qi
i 1
2
a2 Qi {[ J 2
2
m
(1 m 2 ) 2 (k mi a )] 2 2 }J m (k m i a ) km i a
f ( x ) An n ( x )
n 1
其中展开系数为：
An n ( x) f ( x)W ( x)dx
a
b
其中W(x)为加权函数 ，代入到上式
f ( x) [ w( x) n ( x) n * ( x)] f ( x')dx '
b a n 1
本征展开（2）
2
这里 ki mi / a ,
mi 是 Jm ( x ) 的第 i 个根。第一类Bessel函数的正交关系为 Qi2 a i j 0 J m ( ki x)J m ( k j x) xdx i j 0
用球Bessel函数展开：
( r r ') / r 2 jm ( ki r ) jm ( ki r ') / {a 3[ j 'm ( ki a )]2 }
本征展开diracdelta函数的本征展开与积分表示在区间ab的一连续函数fx可以用正交归一函数展开为级数
δ函数
物理电子学院 喻志远
δ函数的定义
• Dr.这里我们给出其一般概念. • 1829年 George Green 发明了用单位强度点或线源的势 来解各种偏微分方程的方法.这种单位强度的源所形成的 场被人们称为Green函数.在Green函数应用的早期未定义 表示单位点源的数学表达式. • 1927年Dirac引入Dirac-delta函数δ(x-x'),其定义为
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0, x 0 ( x) 1/ 2, x 0 1, x 0
满足上式.由广义函数的导数的定义 ( ( x) , ( x)) ( ( x), ( x) ) ( x) dx (0)
0
1
数的行为. 狄拉克函数还在以下一些事例中表现其物理意义 . 在一个没有体积的几何 点上放置有限的质量或者电荷量；在传热过程中，在杆的某处(例如一端)的几何 点上传入有限的热量；瞬时冲击力：在 t=0 的时刻一杆受到一冲击力，在时间长 度为零的情况下获得一个有限的冲量；等等. 为了使实际中出现的奇异性得到合理的解释， 并且能在实际应用中对其进行 正确的运算，就必须拓展函数的概念.这就促成了广义函数的产生.
( f ( x), ( x)) f ( x) ( x) |
f ( x) ( x)dx f ( x) ( x)dx ( f ( x), ( x))
(5.1.13)
其中 ( x) K ，故有 () 0 . 由此，我们可用(5.1.13)式作为广义函数的导数的定义.设 f ( x) 是已给广义函 数，因为 ( x) K 时， ( x) K ，所以泛函 ( f ( x), ( x)) 是有确定意义的.故可用 下式定义广义函数
( x) ( x) dx = (0)
[ ( x) 的物理意义：静电学中的电偶极子的电荷密度分布就可用 ( x) 描述.] 同样， ( x) 函数的二阶导数是
( ( x), ( x)) ( ( x), ( x)) ( ( x), ( x)) (0)
5.1.3函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换 除了在奇点 x 0 以外 ( x) 0 ， 因此， ( x) 的行为几乎处处像一个普通函数. 对于普通函数所做的一些运算也可以用于 ( x) 函数.例如，我们可以对 ( x) 函数 作傅里叶变换.根据傅里叶变换的定义式，我们立即有
4
f , ) ( f , ) x x 2 f f 2 ( 2 , ) ( , ) ( f , 2 ) y y y y K (
特别地， ( x) 函数的导数是广义函数 ( ( x) , ( x)) = ( ( x), ( x)) (0) 写成积分形式，就是
( x) 函数的拉普拉斯变换.对于这个变换要特别小心.定义式应该为
L[ (t )] (t )e pt dt 1
0
(5.1.12a)
或者，把 ( x) 函数看成是 ( x) ( x 0 ) .
3
L[ (t )] L[ (t 0 )] (t 0 )e pt dt 1
0
(5.1.12b)
相应地，拉普拉斯反变换是
L1[1] (t 0 )
0
(5.1.12c)
如果积分 (5.1.12a)取为 L[ (t )] (t )e pt dt 0 ，就不能与(5.1.12c)构成互 为拉普拉斯变换和反变换.
5.1.4 广义函数的导数和积分 为了保证(5.1.6)式右端的积分存在，如果我们加在函数 ( x) 上条件越强，则 对 f ( x) 的要求就越弱.这样在空间上的广义函数就越多.通常取为无穷次可微 并且只在一个有限区间上不为零的全体，这种函数空间称为空间 K. 现在来看广义函数的导数.为此，先设 f ( x) 是一个普通的可微函数，那么， 对函数 f ( x) 所确定的广义函数 f ，有
(5.1.4)
[1 ( x) 2 ( x)] [1 ( x)] [2 ( x)]
证明： [1 ( x) 2 ( x)] 1 (0) 2 (0) [1 ( x)] [2 ( x)] .
(5.1.5)
定义 1 如果某函数空间上的泛函，具有线性性质(5.1.5)，则称为空间 上的线性泛函，空间上的线性泛函又称为空间上的广义函数. 显然，线性泛函是泛函的一个种类. 我们来考虑积分型的广义函数 f.
由此，我们得到 ( x) 函数的积分是
或者
x
(t )dt ( x)
x
(t x)dt ( x x)
5
尽管几乎所有的教科书上都写着 d ( x) ( x) dx
(5.1.15)
这样一个等式， 作者还是要特别指出， 对函数 ( x) 的这个导数其实还有一个无穷 小量.这与 ( x) 和 ( x) 这两个函数都在原点处不连续有关 . 用阶跃函数的傅里叶 变换可看出严格的关系式.
1 0
1 1 d . 当 0 时 ， 它 等 于 0
(
1 1 )d ， 两 个 积 分 相 等 ， 结 果 为 零 . 注 意 ： 0
d d 0， 这是因为被积函数是奇函数， 积分结果为零.当 0 时，
式(5.1.1b)有时也写成另一形式：
b a
( x)dx
(5.1.1c) (5.1.2) (5.1.3)
(ii) (iii)
f ( x) ( x)dx f (0) f ( x) ( x x)dx f ( x)
在(i)和(ii)中， 奇点是在 x=0 处. (iii)是奇点位于任意的 x 点上， 是最一般的情况.(i) 中可以看成是 f ( x) 1 的特例.性质(iii)也被称为函数的取样性质. 式(5.1.1a)和(5.1.1b)狄拉克提出的函数的最原始的定义. 按照原先的经典积分理论， ( x) 既然只在一点 x 0 处不为零，就相当于一 个零函数的定义，那么它在任意(有限或无限)区间上的积分应当为零，见(2.1.25) 式.故式(5.1.1a)和(5.1.1b)是相互冲突的.这是因为，通常讲的广义零函数在孤立点 上的取值是有限的，而式(5.1.1a)表示在孤立点上取值是无限的.因而可以说，狄 拉克函数并不是通常意义下的函数，无法用经典的方法对它进行代数分类和分 析的运算.然而狄拉克函数确实能反映许多为经典函数不能反映的客观现象 .例 如只有一个电源和电容而无电阻的电路在由断开到接通时电流就表现出一个函
( f ( x), ( x)) ( f ( x), ( x)), ( x) K
作为 f ( x) 的导数 f .
(5.1.14)
上述结果是对于一维情形讨论的，可推广至多维情形.例如三维情形，这时 函 数 空间 K 是指对各自变量无穷次可微且在某个有限区域外为零的函数
( x, y, z ) 的全体.广义函数 f ( x, y, z) 的导数如上类似定义.例如
F [ (t )] (t )eit dt 1
(5.1.9)
因此，1 的傅里叶反变换就是 ( x) 函数.
(t )
1 it e d 2π
(5.1.10)
此式说明， ( x) 函数可以表示成一种积分形式.我们在此顺便给出 ( x) 的另一种 积 分 表 示 . 考 虑 积 分
d d d 2 2 | .结合起来，有 2 2 2 ( ) 0 0
( 0 )
1 1 d 0
(5.1.11)
这一公式在处理具体的物理问题时会用到.
f ( x) 给出不同的广义函数 f.广义函数的概念就是在这个意义下把函数的概念推
广了.或者说，在这个意义下，作为泛函的 f ( x) 也是一个广义函数.
2
齐次，把函数看成是一个广义函数. ( x) 函数作为一个广义函数，它的特点 是，本身又可以作为一个普通函数来定义，它的自变量与它的容许函数 的自变 量相同.在一维空间中，如(5.1.1a)式那样，尽管在原点处是不连续的，而且其值 为无穷大. x)dx
(5.1.6)
其中 f 是一给定的函数， ( x) 属于所考虑的函数空间，这里还假定右端的积分 存在.写成这个形式后，此时的 ( f , ) 就与泛函 f [ ( x)] 具有完全相同的含义了.例 如，
( ( x), ( x)) (0)
一般地，
( ( n) ( x), ( x)) (1)n ( ( x), ( n) ( x)) (1)n ( n) (0)
有了广义函数的导数的定义，就可以理解微分方程
y ( x )
的意义了.把方程两边都看成广义函数，那么对任意 ( x) K ，有
( y, ( x)) ( ( x), ( x)) (0)
1 ei (t t ) (t t ) d 2πi i0
(5.1.16a)
此式的证明是：t t 0 时在下半平面补上回路， t t 0 时在上半平面补上回路. 由(5.1.16a)式可以得到， (5.1.16b) (t t ) (t t ) 0 (t t ) t 一般情况下，(5.1.16b)右边的小量是可以忽略的.这就回到了(5.1.15)式.但是如果 (5.1.16b)式的右边需要除以到分母上的时候，就应该尽量保留这一小量，因为它 表示极点的位置是偏离实轴的. 正如(5.1.16a)式中分母上的无穷小量不能扔掉一 样.这一点在物理上有着重要的应用，不可忽视. d 还要注意，在实际应用中应该写 ( ( x) c) ( x) ，其中常数 c 由具体的 dx 条件而定. 对于函数的导数，我们给出以下最简单又是很有用的公式. 首先
5.1.2函数是一个广义函数 首先，把函数看成是函数空间上的泛函. 由上述定义式可以看出，函数只有在作用于某个函数的时候才真正体现出 它的价值来.这实质上是一种泛函，第一章中已经定义了泛函的概念.现在定义连 续函数空间上的一个泛函如下.