李宁物理竞赛讲义第2讲静力学

意质心不仅和物体几何形状有关，还与其质量分布相关。
重心是重力的等效作用点。当物体所在位置处的重力加速度 g 是常量时，重心就是质心。若物
体很大，以致各处的 g 并不能认为相同，则重心不等同于质心。
对于质心的求法还可以利用巴普斯定理来求解。
巴普斯定理：一个平面物体，质量分布均匀，令其上各质点沿垂直于平面的方向运动，在空间
πwk.baidu.comn→∞
i=1
其中括号里是两个正弦级数，利用正弦级数和的公式及常用极限
lim
n→0
sin x x
=
1，有
lim
∑n ∆θ sin (i · ∆θ) =
lim
sin
π
n→∞
n→∞ 2n
i=1
(
·
(
sin
n 2
·
)(
)(
)
π 2n
sin
n+1 2
·
π 2n
sin
π
4n)
lim sin = 2 n→∞
n 2
大小为
G = mg
(3)
其中 g = 9.8m/s2，方向竖直向下。等效作用点为重心。
质心的求解：质心是质量的等效中心，其计算方法如下：
∑
xc
=
∑mixi ∑ mi
yc
=
∑miyi ∑ mi
(4)
zc =
∑mizi mi
其中 (xc, yc, zc) 是质心的坐标，mi 是系统中第 i 个质点的质量，(xi, yi, zi) 是第个质点的坐标。注
的直线段. 如下图中的 OL.
L = 2 R sin θ θ2
考虑到此直线段中的质量分布由圆弧的质量迁移而来，所以，该直线段的质量分布又可等效 为以 L（注意，不是 R）为高，以 Rθ 为底边长度的匀质三角板，故质心与圆心相距
h=
2 L=
4
R sin θ
3 3θ 2
将 θ = π 代入，可直接得到
4
距 O 为 xi = R · sin (i · ∆θ)，根据质心定义，若半圆板质心坐标为 xC，有
xC
=
lim
n→∞
∑n
i=1
∆mixi
σ · πR2/2
=
4R π
∑n lim ∆θ · cos2 (i∆θ) sin (i · ∆θ)
n→∞
i=1
=
R
lim
∑n [
]
∆θ sin 3 (i · ∆θ) + sin (i · ∆θ) .
xC
=
R 3π
2. 求匀质半圆环的质心位置，距 O 点的距离 xC.
解：【分析】本题只需根据质心的定义（此处重心和质心是同一位置），利用微积分与对称 性即可求得. 【解答】
第 40 页
由于对称性，均匀半圆弧的中心位置在半圆弧的中央对称轴线上，设其距. 离圆心为 x. 设圆 弧上任意一小段与圆心的连线和对称轴线的夹角为 θ（逆时针为正）如图，角 θ 的变化范围 是 −90◦ ∼ 90◦ 由质心的定义：
(7)
k串 k1 k2
kn
第 41 页
对于弹簧的并联有：
k并 = k1 + k2 + · · · + kn
(8)
摩擦力：分为干摩擦与湿摩擦两种形式。干摩擦是两固体接触面有相对滑动或有相对滑动趋势 时，所产生的阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，前者称为滑动摩擦力，后者称为静摩擦力。
π∫/2
∫
R cos θλRdθ
x = x(θ)dm = −π/2
m
λπR
其中
λ
为圆弧线密度计算得
x
=
2R π
负质量法求质心 3. 求下面阴影的重心
解：设面密度为 σ，假定大圆是实心，质心在 O 点，质量为 σπR2，小圆的质量为负的（即
空去的），−σπr2，质心在 O′ 点，两质心相距 l，设 O 点为原点。则质心坐标为
·
π 2n
sin
lim sin
π 4n
π 4n
→0
π 4n
n+1 2
·
π 2n
=1
第 39 页
lim
n→∞
∑n
∆θ
sin
3
(i
·
∆θ)
=
lim
n→∞
sin
π 2n
·
sin
( n 2
·
)(
3π 2n
sin
n+1 2
sin 3π
·
)
3π 2n
i=1
(
) ( 4n )
=
2
·
lim sin
n→∞
3
n 2
·
设半圆板半径为 R，面密度为 σ，以圆心 O 为坐标原点建立如图所示坐标，板平面在该坐
标平面内。这样分割圆板：将圆板分割成 n 个平行于 y 轴的细窄条，令各窄条所含的上、
下两元弧均对应着
∆θ
=
π 2n
的圆心角，那么第
i
个窄条的宽度为
R∆θ · cos (i · ∆θ)，长度为
2R cos (i · ∆θ)，质量 ∆mi = σ2R2 · ∆θ cos2 (i · ∆θ)，由对称性可知窄条的质心在 x 轴上，
李宁物理竞赛讲义 第二讲力的平衡
数学准备：
1. 基本不等式
若 a, b ∈ R，则 a2 + b2 2ab ，均值不等式的一般形式表述为
√
a + b 2 ab
(1)
2. 积分知识
积分是微分的逆运算，牛顿 -莱布尼兹公式如下：
∫b
f (x) dx = F (x)
b a
= F (b) − F (a)
(2)
3π 2n
sin
lim sin
3π 4n
3π
n+1 2
·
3π 2n
3π 4n
→0
4n
1 =
3
于是得
xC
=
4R ，即半圆均匀薄板的质心在半圆的对称轴上，与圆心距离为
3π
4R .
3π
解法 2【分析】微分
【解答】参考下图，将扇形圆板分解为一系列宽度同为 ∆r 的匀质圆弧段，由上一题的结果 知，这些圆弧的质心构成的新的质点系为一条高为
a
积分实际上是求函数与坐标轴围成面积的问题，常常应用于变速运动求位移，变力做功，以及微元
法解决问题时。
计算：已知函数 f (x) = x2，求在区间 [0, 2] 上函数图像与 x 轴围成的面积。
力是物体间的相互作用，力的单位是牛顿，力的作用效果是改变物体的运动效果和使物体产生
形变。
重力：重力是自然界中最简单的一种力，施力物体是地球，受力物体为在地球上的任何物体；
中扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程。
推论：一条质量均匀分布的平面曲线，其上各点沿垂直于曲线平面方向运动，在空间扫过一曲
面，则此曲面面积等于质心在运动中所经路程与曲线长度的乘积。
第 38 页
1. 求匀质半圆板的质心位置. 设圆半径为 R
解：【分析】将扇形分为细窄长方形状面积元，利用相关求和公式得出质心位置；亦可利用 巴布斯定理求解 【解答】
(
)
σπR2 · 0 + −σπr2 (−l)
r2l
=
(5)
σπR2 − σπr2
R2 − r2
弹力 当相互接触的物体发生弹性形变时所产生的恢复形变的力称为弹性力，胡克定律表明：当物体形 变不太大时，弹力与形变量成正比，方向指向平衡位置，即
F = −kx
(6)
对于弹簧的串联有如下规律：
1 11
1
= + +···+