现代投资学第二讲组合投资与风险分解
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§ 该投资者共有＄400,000可用于投资，同时她要求在保证 五年期望收益超过60%的前提下，能使所投资证券组合的 标准差（standard deviation）为最小。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
最优证券组合管理
•若以P、R、L分别记投资Polaroid、Raytheon和
Lotus股票所占总投资额的比例，以上问题可表述
公司 Polaroid Raytheon
Lotus
五年期望收益（%） 80 35 65
收益的方差 190 110 150
§ 公司收益间的协方差 Cov(Polaroid的收益,Raytheon的收益) = 34(%)2 Cov(Polaroid的收益,Lotus的收益) = 103(%)2 Cov(Raytheon的收益,Lotus的收益) = -27(%)2
•
S.T. :
•
P+R+L=1.0
•
P,R,L≥0
•
最优证券组合是：
•
P=0.635
•
R=0.061
•
L=0.304
•
EXPECTED RETURN=1.727
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
最优证券组合管理
§ 投资组合的管理者所面临的问题是要使投资的资 产进行最有效的组合，从而满足投资者的需要。 一般说来，管理者在使投资组合最优化时，有两 个最基本的目标： Ÿ1.使投资组合的期望收益最大化 Ÿ2.使投资组合的风险最小化。
•注意
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•为求全局最小方差资产组合点，令： •
•得到 • •于是可解得
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•我们有两基金分离定理 •定理 任一最小方差集合上的投资组合 都可 以唯一地表示为全局最小方差 和可分散化 资产组合 的组合。
•
STANDARD DEVIATION=8.585
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
证券组合的最优化模型
•同样的，有时候投资者会在限制标准差为一个给
定值的前提下，要求获得一个能使期望收益达到最
大的投资证券组合。
•例如，投资者可以限制标准差最大不得超过
11.5(%)，此时的最优化模型为：
•
MAXIMIZE 1.80P+1.35R+1.65L
•证券 i (收益率)的方差为
•标准差为 ，而证券i和k(收益率)的协方差为
•对于证券组合X，其收益率为
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•X的预期收益率为
•X的方差为 •
•(4.4)
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•其中
•注意到 与 的相关系数定义为
•
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
可取
，这样给
赋以一个很大的
权数，使获得高收益的机会减少，这表明投资者
宁愿获得较低的收益也不愿意遭受损失。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
第二节 组合投资模型
•考虑一个证券组合X， 它由N个证券组成，每个
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
§ 所谓消费者个体的偏好关系有期望效用表示，是
指存在一个效用函数使得随机消费 优于随机消
费 的充分必要条件为
，这
里 表示个体按不确定因素发生的概率计算的
期望值。
§ 决策者将选择一策略使结果的期望效用极大化。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
一般的效用函数
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
中需要加入
相应的模型为
•这是二次规划模型。利用Kuhn-Tucker条件，可 得到其解所满足的必要条件。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
最优证券组合管理例
§ 一个投资者正考虑对三家公司的股票进行五年期的投资。 这三家公司是Polaroid、Raytheon和Lotus。依据市场分 析以及统计预测，她获得的有关数据：
•时，证券1优于证券2，其中
分别为证
券1和证券2的收益，它们都是随机变量。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
均值方差准则是预期效用的一种特殊情况，假设 投资者为风险回避者， 且其效用函数为二次型， 某证券(或证券组合)的收益为R， 则他的效用由 下式决定:
其中 可以取任意值，而
。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•上式的第一部分我们成为证券组合的非系统风险，
第二部分我们称为证券组合的系统风险。组合投
资使得系统风险平均化，大大地减少了非系统风
险。
•在不允许卖空时，注意到
,有
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•即证券组合的风险，总是小于等于单一证券的最 大风险，这是一个非常重要的结论，是现代证券理 论的基础。
如下：
• MINIMIZE (证券组合的标准差)
• S.T. :
• P+R+L=1.0
（比例）
• 1.80P+1.35R+1.65L≥1.60（目标收益）
• P,R,L≥0
•证券组合的方差 = P2 Var(P)+R2 Var(R)+L2
Var(L)+2PR Cov(P,R)+2PL Cov(P,L)+2RL
•CovBaidu NhomakorabeaR,L)
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
证券组合的最优化模型
§ 证券组合的最优化模型
•S>T.
•P+R+L=1.0
（比例）
•1.80P+1.35R+1.65L≥1.60
（目标收益）
•P,R,L≥0
•用EXCEL软件进行求解，得到最优解：
•
P=0.285
•
R=0.309
•
L=0.406
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
§ 按照均值方差准则， 无论是哪一类投资者， 在 风险相同的情况下， 总是偏好期望收益高的投资 对象， 但在期望收益一定时， 投资者的选择就 依据对风险的偏好程度,选择风险小的投资对象。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•均值方差准则：对于证券1和2， 当且仅当
•投资者的期望效用为
•而由于
,故上式可以写成
•该式说明二次函数的期望效用可以表示为证券
收益的均值
和证券收益的方差
的
•函数。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•进一步由上述推导可得出以下结论
•该式说明当方差增加而期望收益不发生变化时， 因其期望效用减少，投资者的状况会恶化。
•该式说明当方差不变而期望收益增加时， 投资 者的状况会变好， 因为其期望效用增加了。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
§ 构建证券投资组合的主要目的在于分散风险，并 使得期望收益最大，在此基础上所提出的组合投 资理论主要基于如下基本假设：
§ （1）已知投资收益率的概率分布； § （2）风险用方差或标准差度量； § （3）影响投资结果的因素仅有均值、方差； § (4) 投资者遵守占优原则： § 对于投资者假设： § 投资者为不满足和风险厌恶型。
形式
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•在证券X组合中，权重
时表示买入证券 i；
•
表示卖空证券 i, 将其所得资金投资于组
合内其他证券； 当
时，表示投资在证券上
的资金有卖空其他证券收入的资金。
•设证券 i 的收益率为 ，其概率分布为
•则证券的预期收益率(期望收益率)为
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
一般均值方差准则
•由于它对于投资者效用函数的设定过于严格， 特 别是它不是在可能情况的全部区间上定义的， 所 以极大地限制了其应用范围。更一般的均值方差 模型可以表示为：
其中
为参数，亦是风险厌恶因子，
它反映了投资者对均值和方差的均衡，当决策者
对低于
的收益减少特别敏感或者厌恶，
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•根据 Lagrange 乘数法解得
• •得
•(4.25) •(4.26)
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•（4.26）分别左乘 和 得 •记
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•于是解方程组得
•将
• •其中
代入（4.26），得
•(4.29 )
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•所以又有 •特别，我们来看等比例组合的情形，此时
•
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•
分别表示n个证券方差和它们的协方差
的平均值。显然
•如果，我们仍用方差表示风险，则上式表明， 如果按等比例做证券组合，当组合中的证券数 量达到一定程度时，单个证券的风险将不发生 作用，而证券组合的风险主要取决于证券之间 的协方差，即证券收益率之间的相互关系。 •对于非等比例组合，上述结论仍然成立。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
均值方差准则
均值方差准则 § 在证券投资理论中，一种方便的风险定义就是把
围绕收益率期望的波动性即收益率的方差（或者 标准差）称为证券的风险。证券均值方差准则的 最大优点在于只要考虑投资收益的期望值与方差 (标准差)便可以做出决策，也正因为这一优点， 它成为投资分析中最著名的有效准则之一。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•我们将 • •
代入(4.25)得
•(4.29) •(4.30)
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•（4.29）式给出了证券组合权重与预期收益率
的关系。（4.30）式给出了证券组合预期收益率
与方差的关系 ,且说明在平面上面
有双曲线形式，而在
平面上可有抛
物线形式。在
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
第一节 证券组合的收益与风险
§ 所谓证券投资组合 (简称证券组合或投资组合)
是指将全部投入资金按某种比例分散投资于两种
或两种以上证券而构成的一个组合。假设证券组
合 是由 n 种不同证券构成，其中在第 i 种
证券上投资的资金比例为
，简称为
第 i 种证券投资权重。则证券组合可记为如下的
现代投资学第二讲组合 投资与风险分解
2020/11/23
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
§ 组合投资的最优选择是实现投资者的预期效用最 大化，这就需要对投资者的效用函数形式作出假 定并对其最大化形式进行求解，然而对于一般形 式的效用函数或证券收益分布而言，最优状态下 组合投资选择的结果很难通过求解得出，因此， 1952年马可维兹（Markowitz）所提出的证券组合 投资理论——均值方差方法由于给出了组合投资 的最优选择结果从而被认为是金融微观分析的一 个重要的研究领域，该理论研究在一定风险下， 如何选择一个证券投资组合，使得所获收益最高。
§ 显然最小方差集合在顶点的下半部分对应点的预 期收益率最低。
§ 在上面确定最小方差集合的过程中，权重约束
为
,求得的结果诸 中可能有为正的也有
为负的，它反映了允许卖空的情形。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•在有些情况下， 投资者把不进行卖空作为一种
投资策略，因此，讨论在不允许卖空的约束下如
何确定最小方差集合是必要的。这时在约束条件
平面上的抛物线，其
顶点在
,如图4.6所示。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•图4.5 平面上的一支双曲线型
•图4.6 平面上的抛物线
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
§ 最小方差集合在顶点上半部的证券组合集合称为 有效集合。
§ 有效集合中所有证券组合符合以下准则：
Ÿ给定某一标准差，有效集合中的证券组合具有 可获得的最大预期收益率。
证券的预期收益率为 ，方差记为 ，证
券间的协方差记
、
于
是证券组合的收益率 的方差
可以表示
成
•在给定预期收益率水平之下，如何选择证券组合 的权重，使证券组合具有最小方差呢?
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•记
为确定最小方
差集合， 我们考虑如下优化模型， 即一般的马
柯维茨模型
•这是一个等式约束的极值问题，我们可以构造 Lagrange函数
•同时，我们还可以通过改变
的比例，
使
• 取最小值，这也是十分重要的推断， 是现代
证券投资理论的核心。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
第二节 期望效用原理与均值方差准则
§ 一、期望效用准则 § 二、一般的效用函数 § 三、均值方差准则
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
期望效用准则
§ 效用函数是消费者按照自己的主观偏好来评价各 种消费品满足程度的度量尺度。当选择的对象是 确定的，偏好关系满足完备性、自反性、传递性 和连续性时，则存在效用函数且消费者可以按照 效用最大化进行消费选择。当选择对象包括不确 定因素情形时，我们称为随机消费，冯•诺伊曼和 莫根斯坦证明了如果投资者满足一系列合理的一 致性条件假设， 由期望效用函数的存在性即期望 效用表示可得出不确定性条件下投资者对随机消 费情形下的最佳选择。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
最优证券组合管理
•若以P、R、L分别记投资Polaroid、Raytheon和
Lotus股票所占总投资额的比例，以上问题可表述
公司 Polaroid Raytheon
Lotus
五年期望收益（%） 80 35 65
收益的方差 190 110 150
§ 公司收益间的协方差 Cov(Polaroid的收益,Raytheon的收益) = 34(%)2 Cov(Polaroid的收益,Lotus的收益) = 103(%)2 Cov(Raytheon的收益,Lotus的收益) = -27(%)2
•
S.T. :
•
P+R+L=1.0
•
P,R,L≥0
•
最优证券组合是：
•
P=0.635
•
R=0.061
•
L=0.304
•
EXPECTED RETURN=1.727
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
最优证券组合管理
§ 投资组合的管理者所面临的问题是要使投资的资 产进行最有效的组合，从而满足投资者的需要。 一般说来，管理者在使投资组合最优化时，有两 个最基本的目标： Ÿ1.使投资组合的期望收益最大化 Ÿ2.使投资组合的风险最小化。
•注意
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•为求全局最小方差资产组合点，令： •
•得到 • •于是可解得
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•我们有两基金分离定理 •定理 任一最小方差集合上的投资组合 都可 以唯一地表示为全局最小方差 和可分散化 资产组合 的组合。
•
STANDARD DEVIATION=8.585
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
证券组合的最优化模型
•同样的，有时候投资者会在限制标准差为一个给
定值的前提下，要求获得一个能使期望收益达到最
大的投资证券组合。
•例如，投资者可以限制标准差最大不得超过
11.5(%)，此时的最优化模型为：
•
MAXIMIZE 1.80P+1.35R+1.65L
•证券 i (收益率)的方差为
•标准差为 ，而证券i和k(收益率)的协方差为
•对于证券组合X，其收益率为
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•X的预期收益率为
•X的方差为 •
•(4.4)
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•其中
•注意到 与 的相关系数定义为
•
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
可取
，这样给
赋以一个很大的
权数，使获得高收益的机会减少，这表明投资者
宁愿获得较低的收益也不愿意遭受损失。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
第二节 组合投资模型
•考虑一个证券组合X， 它由N个证券组成，每个
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
§ 所谓消费者个体的偏好关系有期望效用表示，是
指存在一个效用函数使得随机消费 优于随机消
费 的充分必要条件为
，这
里 表示个体按不确定因素发生的概率计算的
期望值。
§ 决策者将选择一策略使结果的期望效用极大化。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
一般的效用函数
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
中需要加入
相应的模型为
•这是二次规划模型。利用Kuhn-Tucker条件，可 得到其解所满足的必要条件。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
最优证券组合管理例
§ 一个投资者正考虑对三家公司的股票进行五年期的投资。 这三家公司是Polaroid、Raytheon和Lotus。依据市场分 析以及统计预测，她获得的有关数据：
•时，证券1优于证券2，其中
分别为证
券1和证券2的收益，它们都是随机变量。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
均值方差准则是预期效用的一种特殊情况，假设 投资者为风险回避者， 且其效用函数为二次型， 某证券(或证券组合)的收益为R， 则他的效用由 下式决定:
其中 可以取任意值，而
。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•上式的第一部分我们成为证券组合的非系统风险，
第二部分我们称为证券组合的系统风险。组合投
资使得系统风险平均化，大大地减少了非系统风
险。
•在不允许卖空时，注意到
,有
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•即证券组合的风险，总是小于等于单一证券的最 大风险，这是一个非常重要的结论，是现代证券理 论的基础。
如下：
• MINIMIZE (证券组合的标准差)
• S.T. :
• P+R+L=1.0
（比例）
• 1.80P+1.35R+1.65L≥1.60（目标收益）
• P,R,L≥0
•证券组合的方差 = P2 Var(P)+R2 Var(R)+L2
Var(L)+2PR Cov(P,R)+2PL Cov(P,L)+2RL
•CovBaidu NhomakorabeaR,L)
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
证券组合的最优化模型
§ 证券组合的最优化模型
•S>T.
•P+R+L=1.0
（比例）
•1.80P+1.35R+1.65L≥1.60
（目标收益）
•P,R,L≥0
•用EXCEL软件进行求解，得到最优解：
•
P=0.285
•
R=0.309
•
L=0.406
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
§ 按照均值方差准则， 无论是哪一类投资者， 在 风险相同的情况下， 总是偏好期望收益高的投资 对象， 但在期望收益一定时， 投资者的选择就 依据对风险的偏好程度,选择风险小的投资对象。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•均值方差准则：对于证券1和2， 当且仅当
•投资者的期望效用为
•而由于
,故上式可以写成
•该式说明二次函数的期望效用可以表示为证券
收益的均值
和证券收益的方差
的
•函数。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•进一步由上述推导可得出以下结论
•该式说明当方差增加而期望收益不发生变化时， 因其期望效用减少，投资者的状况会恶化。
•该式说明当方差不变而期望收益增加时， 投资 者的状况会变好， 因为其期望效用增加了。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
§ 构建证券投资组合的主要目的在于分散风险，并 使得期望收益最大，在此基础上所提出的组合投 资理论主要基于如下基本假设：
§ （1）已知投资收益率的概率分布； § （2）风险用方差或标准差度量； § （3）影响投资结果的因素仅有均值、方差； § (4) 投资者遵守占优原则： § 对于投资者假设： § 投资者为不满足和风险厌恶型。
形式
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•在证券X组合中，权重
时表示买入证券 i；
•
表示卖空证券 i, 将其所得资金投资于组
合内其他证券； 当
时，表示投资在证券上
的资金有卖空其他证券收入的资金。
•设证券 i 的收益率为 ，其概率分布为
•则证券的预期收益率(期望收益率)为
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
一般均值方差准则
•由于它对于投资者效用函数的设定过于严格， 特 别是它不是在可能情况的全部区间上定义的， 所 以极大地限制了其应用范围。更一般的均值方差 模型可以表示为：
其中
为参数，亦是风险厌恶因子，
它反映了投资者对均值和方差的均衡，当决策者
对低于
的收益减少特别敏感或者厌恶，
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•根据 Lagrange 乘数法解得
• •得
•(4.25) •(4.26)
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•（4.26）分别左乘 和 得 •记
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•于是解方程组得
•将
• •其中
代入（4.26），得
•(4.29 )
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•所以又有 •特别，我们来看等比例组合的情形，此时
•
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•
分别表示n个证券方差和它们的协方差
的平均值。显然
•如果，我们仍用方差表示风险，则上式表明， 如果按等比例做证券组合，当组合中的证券数 量达到一定程度时，单个证券的风险将不发生 作用，而证券组合的风险主要取决于证券之间 的协方差，即证券收益率之间的相互关系。 •对于非等比例组合，上述结论仍然成立。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
均值方差准则
均值方差准则 § 在证券投资理论中，一种方便的风险定义就是把
围绕收益率期望的波动性即收益率的方差（或者 标准差）称为证券的风险。证券均值方差准则的 最大优点在于只要考虑投资收益的期望值与方差 (标准差)便可以做出决策，也正因为这一优点， 它成为投资分析中最著名的有效准则之一。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•我们将 • •
代入(4.25)得
•(4.29) •(4.30)
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•（4.29）式给出了证券组合权重与预期收益率
的关系。（4.30）式给出了证券组合预期收益率
与方差的关系 ,且说明在平面上面
有双曲线形式，而在
平面上可有抛
物线形式。在
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
第一节 证券组合的收益与风险
§ 所谓证券投资组合 (简称证券组合或投资组合)
是指将全部投入资金按某种比例分散投资于两种
或两种以上证券而构成的一个组合。假设证券组
合 是由 n 种不同证券构成，其中在第 i 种
证券上投资的资金比例为
，简称为
第 i 种证券投资权重。则证券组合可记为如下的
现代投资学第二讲组合 投资与风险分解
2020/11/23
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
§ 组合投资的最优选择是实现投资者的预期效用最 大化，这就需要对投资者的效用函数形式作出假 定并对其最大化形式进行求解，然而对于一般形 式的效用函数或证券收益分布而言，最优状态下 组合投资选择的结果很难通过求解得出，因此， 1952年马可维兹（Markowitz）所提出的证券组合 投资理论——均值方差方法由于给出了组合投资 的最优选择结果从而被认为是金融微观分析的一 个重要的研究领域，该理论研究在一定风险下， 如何选择一个证券投资组合，使得所获收益最高。
§ 显然最小方差集合在顶点的下半部分对应点的预 期收益率最低。
§ 在上面确定最小方差集合的过程中，权重约束
为
,求得的结果诸 中可能有为正的也有
为负的，它反映了允许卖空的情形。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•在有些情况下， 投资者把不进行卖空作为一种
投资策略，因此，讨论在不允许卖空的约束下如
何确定最小方差集合是必要的。这时在约束条件
平面上的抛物线，其
顶点在
,如图4.6所示。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•图4.5 平面上的一支双曲线型
•图4.6 平面上的抛物线
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
§ 最小方差集合在顶点上半部的证券组合集合称为 有效集合。
§ 有效集合中所有证券组合符合以下准则：
Ÿ给定某一标准差，有效集合中的证券组合具有 可获得的最大预期收益率。
证券的预期收益率为 ，方差记为 ，证
券间的协方差记
、
于
是证券组合的收益率 的方差
可以表示
成
•在给定预期收益率水平之下，如何选择证券组合 的权重，使证券组合具有最小方差呢?
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
•记
为确定最小方
差集合， 我们考虑如下优化模型， 即一般的马
柯维茨模型
•这是一个等式约束的极值问题，我们可以构造 Lagrange函数
•同时，我们还可以通过改变
的比例，
使
• 取最小值，这也是十分重要的推断， 是现代
证券投资理论的核心。
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
第二节 期望效用原理与均值方差准则
§ 一、期望效用准则 § 二、一般的效用函数 § 三、均值方差准则
现代投资学第二讲组合投资与风险分 解
期望效用准则
§ 效用函数是消费者按照自己的主观偏好来评价各 种消费品满足程度的度量尺度。当选择的对象是 确定的，偏好关系满足完备性、自反性、传递性 和连续性时，则存在效用函数且消费者可以按照 效用最大化进行消费选择。当选择对象包括不确 定因素情形时，我们称为随机消费，冯•诺伊曼和 莫根斯坦证明了如果投资者满足一系列合理的一 致性条件假设， 由期望效用函数的存在性即期望 效用表示可得出不确定性条件下投资者对随机消 费情形下的最佳选择。