高等代数第五章

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问题的引入:
解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f ax 2bxy cy
2 2
2
选择适当角度 θ ,逆时针旋转 坐标轴

x x cos y sin y x cos y sin
x 2 cy 2 f a
(标准方程)
4
代数观点下
二次齐次多项式
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 an3 xn x3 a x
2 nn n
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f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 a2 n x2 xn
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二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
事实上，
f ( x1 , x2 ,..., xn ) X AX
Y (C AC )Y
a33 x3 2a3 n x3 xn
2
①

2 ann xn
称为数域P上的一个n元二次型．
6
例如： f ( x, y ) x 2 4 xy 5 y 2
都是二次型。 f ( x, y, z ) 2 x 2 y 2 xz yz f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
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a11 x1 a12 x 2 a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x1 , x 2 ,, x n ) a x a x a x n2 2 nn n n1 1
a12 a 22 an2
a1n x1 a2n x2 , x x a nn n
这里A为对称矩阵
则二次型可表示为
f xAx
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注意: 1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A.
2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B ，则
2 f ( y1, y2 , y3 ) y2 4 y32 (2)
因r(A)=3, 故二次型的秩等于3.
0 0 0 系数矩阵为 B 0 1 0 , (2)二次型 f ( y1 , y2 , y3 ) 0 0 4
因r(B)=2, 故二次型的秩等于2.
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二、非退化线性替换
问： 在二次型 f x T Ax 中,如不限制 A对称, A唯一吗?
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例 写出下列二次型的矩阵表达式
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 4 x3 2 x1 x2 x1 x3 6 x2 x 3
解
按 a ij a ji 的要求不改变完全平方项，把
2 则二次型为 f ( x1 , x2 , x3 ) x2 2 x1 x3
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例1
f ax 2 2bxy cy 2 1）实数域R上的2元二次型
2） 实数域R上的3元二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x2 3 x2 x3 7 x3
f ( x1 , x2 ,, xn )
作适当的 非退化线 性替换
x1 c11 y1 c12 y 2 c1n y n x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y 2 cnn y n
a ij
i 1 j 1 n n
xx
i
j
.
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2、二次型的矩阵表示
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
2 a22 x2 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
(标准形)
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只含平方项的多项式
一、n元二次型
1、定义：设P为数域，aij P , i , j 1,2, , n,
n个文字 x1 , x2 , , xn的二次齐次多项式
2 f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x1 2a12 x1 x2 2a1 n x1 x n 2 a22 x2 2a2 n x2 xn

2 an1 xn x1 an 2 xn x2 an3 xn x3 ann xn
f ( x1 , x2 ,, xn ) x1 (a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn ) x2 (a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 n xn ) xn (an1 x1 an 2 x2 an3 x3 ann xn )
交叉乘积项的系数取半得：
f ( x1 , x2 , x3 )
1 1 2 2 x x1 x2 x1 x3 x2 x1 2 x2 3 x2 x 3 x3 x1 3 x 3 x2 4 x3 2 2 1 1 1 / 2 x1 x1 , x2 , x3 1 2 3 x 2 1 / 2 3 4 x 3
则③可表示为X=CY
... ... ...
c1n c2 n cnn
④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
注 1）③或④为非退化的 C = cij

nn
为可逆矩阵 .
2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化 线性替换 Y C 1 X .
21
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
2 1
注意 仅当A 满足 AT A 时,为二次型的矩阵表示式
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二次型 f ( x1 , x2 , x3 )
2 2 2 3 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x3 4 x2 x 3
1 1 3 2 的矩阵为： 1 1 2 1 2 1 2 0 0 1 以 0 1 0 为矩阵的二次型 1 0 0
③
称为由 x1 , x2 ,, xn到y1 , y2 ,, yn 的一个线性替换; 若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
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例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度
y
.

y
x
0
x
x x cos y sin 即变换 y x sin y cos

令 aij a ji (i. j 1,2,...,n) 得
2 11 1
2 ann xn
f ( x1 , x2 ,, xn ) a x a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn a21 x2 x1 a x a23 x2 x3 a2 n x2 xn
A B.
（这表明在选定文字 x1 , x2 ,..., xn下，二次型
f ( x1 , x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
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二次型 f
1-1对应
对称矩阵A
称为二次型f 的矩阵
称为矩阵A的二次型
对称矩阵A的秩称为二次型f 的秩。
i
3 i
5 0
2 2
3 i
0
2
0 0
0 . 0 0
3 2
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例2. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩. 2 2 2 (1) f ( x1, x2 , x3 ) 3x1 6x2 3x3 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
3 2 4 解: (1)二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 系数矩阵为 A 2 6 2 , 4 2 3
3）复数域C上的4元二次型
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x (3 i ) x2 x3
2 2
它们的矩阵分别是：

a b , b c
2 2 3 2 5 32 , 3 3 7 2
0 i2 0 3 2
1、定义： x1 , x2 ,, xn ; y1 , y2 ,, yn 是两组文字,
cij P , i , j 1,2,...n ，关系式 x1 c11 y1 c12 y 2 c1n y n x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y 2 cnn y n
a11 a 21 ( x1 , x 2 ,, x n ) a n1 a12 a 22 an2 a1n x1 a2n x2 a nn x n
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记
a11 a 21 A a n1