第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛-初二组二试试题及解答

第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初二组二试试题及解答

1．一块四边形绿地（如图），.135,120,,,o o D C c DA b CD a BC =∠=∠===求这

块绿地的面积。（用c b a ,,表示）。

c

DF AF c DA a BE a CE a BC ADF BCE D o o o 22

,,2

3

,2,.45,60.135,120C F.CD AF E DC BE 0=====

==∠=∠∴=∠=∠⊥⊥ 延长线于，于延长线解。作

. 8

)62(2232 2

2222123221- 2)222)(2322( ABEF ABCD ac

bc ab c

c a a

a b c a c S S S S ADF

BCE t +++=

⨯⨯-⨯⨯+

++=--=∆∆梯形四边形

2.计算.20041

2003114

13

113

12

112

11

112

22

22222++++++++++++ ).

1

1

1(11)n(n 11 )

1()

1()1()1()1(1

232)1(1

1122222222342

2+-+=++

=+++=

+++=

+++++=

+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n 解。

原式=.2004

2003

20032004112003=-

+

3。同初一组二试第3题。

4．小明与小华做游戏，记分规则如下：开始每人记分牌上都是1分，以后每赢一次，就将记分牌上的分数乘以3。游戏结束后，小明的得分减去小华的得分恰好为675的整数倍。问：小明至少比小华多赢多少次？ 解。设小明赢 m 次，小华赢n 次，则 为正整数）（k k k n m 536753323⨯==-

.

20,5411,81 t, ,1)5,16(5)1818181(16(25)1818181)(181(18113(4n -m 13 01313 25131,

(3,5) 53)13(32121p 4n -m 23=-=-==++++∴=++++-=-=-=∴---∴=⨯=---------n m p p b b b p p k t p p p p p n m n m n m n m n ，即最小是所以，的个位数是对于正整数又，

为正整数）为正整数）

。的个位数是，的个位数是是偶数，所以，又的倍数。是 答。小明至少比小华多赢20次。

5．同小学组二试第6题。

6．如图，7101⨯长方阵，行距和列距都是1。第6列上(除与第0行相交处外)，每一个阵点上放有一个靶标，而前5列上所有的阵点上都放有障碍物。神枪手站在第0行第0列的位置，要击中靶标，必须先扫清子弹前进弹道（直线）上的一切障碍物。若神枪手每发子弹都能击中目标，而且每发子弹能击毁且仅能击毁一个障碍物。那么 1）不需要扫除障碍物就能击中的靶标有多少个？

2）要扫清一个障碍物才能击中的靶标有多少个？

3）将全部靶标击中（击中靶标前，要先击毁阻碍子弹前进的所有障碍物），需要多少发子弹（不能浪费子弹）？

解。我们将第x 列第y 行的阵点记为(x,y). 在（6，a ）处有一个靶标，从(0,0)到(6,a)的 直线上若有阵点B(x,y)(如下图), 则连接OA, B 点在OA 上，

连接BC.ABC BO C AO C S S S ∆∆∆+=，此即

ax

y ax

y a a x y a =-+=-+=666)6(66

6

a

x y =，

令最大公约数dv a dw d a ===,6,),6( w

d v d w v w v a )1()1(226--==== AB 线段上共有d -1个阵点。因此，在击毁靶标(6,a)之前，先要清除d -1个障碍物。 所以，要击毁靶标(6,a)就要用d 发子弹。

1） 若1001≤≤a , 且最大公约数(6,a)=1, 则靶标(6,a)只需要1

发子弹就能击

毁。不超过100的自然数中，既不能被2整除，也不能被3整除的数与6互质。 1到100的自然数被2整除的数的个数=100/2=50； 1到100的自然数被3整除的数的个数=[100/3]=33； 1到100的自然数被6整除的数的个数=[100/6]=16。 故1到100的自然数或被2整除，或被3整除的数的个数=50+33-16=67。因此，100以内的自然数与6互质的数的个数=100-67=33，即有33个靶标只需要一发子弹就能击毁。

2） 若靶标(6,a) 前面只有一个障碍物，那么最大公约数(6,a)=2。 100以内的自然数，能被2整除，但不能被6整除的数有50-16=34个. 所以，用两发子弹就能清除的靶标有34个。

3）在1到100的自然数中满足最大公约数(6,a)=3的数a 有33-16=17个，所以要击毁这样的靶标，每个都要用3发子弹。

1到100的自然数中满足最大公约数(6,a)=6的数a 有16个，所以要击毁这样的靶标，每个都要用6发子弹。故而，击毁所有靶标要用 24833234317616=+⨯+⨯+⨯（发）子弹。

第十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛

初二组一试试题及解答

1．某次数学竞赛前60名获奖。原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人；现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人。调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分。如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分 ，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？

解。设调整后一等奖平均分为x ，二等奖平均分为y ，三等奖平均分为z.则

.

172),1(40)2(15)3(5302010=-++++++=++z y x z y x z y x 即

.

5 6

7

)1()2( =-∴=-=+-+y x z y z y 又

答。调整后一等奖比二等奖平均分数多5分

2．}{][ ][}{ ][ ,20042003x x x x x x x x ⨯-=<<。如果的最大整数，表示不大于已知是正整数。求满足条

件所有实数x 的和。

解。显然，,2003][=x 2003是质数，1}{0<

设 ,}{2003p x =由题设，p 是整数。.20031<≤p .

40110072003

2002

32120022003S .2002,,3,2,1,2003

2003=+++++⨯==+

= 和p p

x