积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程

第十五章 积分方程积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。

本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。

§1积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程一. 积分方程一般概念1. 积分方程的定义与分类[线形积分方程] 在积分号下包含未知函数y (x )的方程()()()()(),d bax y x F x K x y αλξξξ=+⎰ (1)称为积分方程。

式中α(x ),F (x )和K (x,ξ)是已知函数，λ,a,b 是常数，变量x 和ξ可取区间(a,b )内的一切值；K (x,ξ)称为积分方程的核，F (x )称为自由项，λ称为方程的参数。

如果K (x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F (x )≡0，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。

[一维弗雷德霍姆积分方程（Fr 方程）] 第一类Fr 方程()()(),d b aK x y F x ξξξ=⎰第二类Fr 方程()()()(),d bay x F x K x y λξξξ=+⎰第三类Fr 方程()()()()(),d bax y x F x K x y αλξξξ=+⎰[n 维弗雷德霍姆积分方程]111()()()()(),d DP y P F P K P P y P P α=+⎰称为n 维弗雷德霍姆积分方程，式中D 是n 维空间中的区域，P ,P 1∈D ，它们的坐标分别是(x 1,x 2, ,x n )和),,,(21n x x x ''' ,α(P )=α(x 1,x 2, ,x n ),F (P )=F (x 1,x 2, x n )和K (P ,P 1)=K (x 1,x 2, ,x n , ),,,21n x x x ''' 是已知函数，f (P )是未知函数。

关于Fr 方程的解法，一维和n (>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr 方程。

[沃尔泰拉积分方程] 如果积分上限b 改成变动上限，上面三类Fr 方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。

由于第三类Fr 方程当α(x )在(a ,b )内是正函数时，可以化成()()()dbaxλξξ=+⎰它是含有未知函数),()(xyxα以)()(),(ξααξxxK为积分方程的核的第二类Fr方程。

所以本章重点研究一维第二类Fr方程。

2. 积分方程与微分方程之间的关系某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。

先来考虑二阶线性微分方程的初值问题：2200()()()()()d dd d,y yA xB x y f xx xy y y yαα⎧++=⎪⎨⎪''==⎩（2）若从方程(2)中解出22ddxy，然后在区间(a,x)上对x求积分两次，利用初始条件，经过简单的计算不难得出*，⎰'--+-=xayABxAxyξξξξξξd)()]}()()[()({)()]()([d)()(yxyyAfxxa+-'++-+⎰ααξξξ令)()]()()[(),(ξξξξξAABxxK-'--=和)]()([d)()()(yxyyAfxxF x+-'++-=⎰ααξξξ上式就可写为如下的形式:)(d)(),()(xFyxKxy xa+=⎰ξξξ(3) 这是一个第二类沃尔泰拉方程，核K是x的线性函数。

例1初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+)0(,1)0()(dd22yyxfyxyλ(4) 变为积分方程⎰⎰--+-=xxfxyxxyd)()(1d)()()(ξξξξξξλ(5) 反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。

在(3)及其第一次求导的结果中令x=a,就得给定初始条件。

在例1中，对(5)式求导，得出⎰⎰+-=xxfyxyd)(d)(ddξξξξλ(6) 再求导一次得出原微分方程(4)，并从方程(6)和(5)给出初始条件y(0)=1, 0)0(='y*在计算过程中应用了公式11()d d()()d(1)!x x x na a annf x x x x fnξξξ-=--⎰⎰⎰（n≥2）当0)()()(1==='=-αααn fff 时成立。

对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。

例2 从问题⎪⎩⎪⎨⎧===+0)(,0)0(0d d 22a y y y xyλ 出发，积分两次，导出关系式Cx y x x y x+--=⎰0d )()()(ξξξλ从此立刻可知条件y (0)=0成立。

从第二端点条件y (a )=0决定C ：⎰=-aCa y a 0d )()(ξξξλ所以有关系式⎰⎰-+-=xax y a axy x a ax y 0d )()(d )()()(ξξξλξξξλ (7) 令⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=x a axxx a a x K ξξξξξ),(),(),(则方程(7)变为⎰=ay x K x y 0d )(),()(ξξξλ (8)这是第二类Fr 方程。

要从这个积分方程回到微分方程，只需对方程(8)求导两次，就得到)()]()()([d d 22x y x y x a x xy ax y λλ-=---= 在积分方程(7)中，令x =0和x =a ,可以直接推出边值条件y (0)=y (a )=0。

注意：在这个例中，1° xK ∂∂在x =ξ处不连续，并当x 增加而过ξ时有一跳跃-1。

2° K 是x 的一个线性函数，即满足022=∂∂xK，且K 在端点x =0,x =a 处等于零。

3° K (x ,ξ)=K (ξ,x ),即核是对称的。

如果利用类似的方法，对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题： ⎪⎩⎪⎨⎧===++0)(,0)0(0d d d d 22a y y By x yAxy 则除A =0外，可得在x =ξ不连续的一个核。

二、格林函数及其物理意义[格林函数] 在区间[a ,b ]上，考虑微分方程Ly +Φ(x )=0的边值问题，式中L 是微分算子：q xx p x p q x p x L ++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛≡d d d d d d d d d d 22齐次边界条件为在端点x =a , x =b 处，满足0d d =+xyy βα，其中α,β为常数。

为了得出这个问题解的形式，首先构造函数G ,使对一给定数ξ，⎩⎨⎧><=ξξx x G x x G G ),(),(21 并且满足条件：(i)函数G 1和G 2在它们的定义区间上满足LG =0,即当x <ξ时,LG 1=0。

当x >ξ时，LG 2=0。

(ii) 函数G 满足边界条件，即G 1满足在x =a 的边界条件，G 2满足在x =b 的边界条件。

(iii) 函数G 在x =ξ连续，即G 1(ξ)=G 2(ξ)。

(iv) G 的导数以x =ξ为一不连续点，其跳跃是)(1ξp -，即)(1)()(12ξξξp G G -='-'可以证明，若以ξ为参数的这个函数G 存在，则原问题的解有如下的形式：ξξξΦd ),()(x G y ba⎰= (2)例如G (x,ξ)可取⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=ξξξξξx x v u Ax v x u A x G ),()(1),()(1),( (3) 式中A 是由关系式)()()()()(ξξξξξp A u v v u ='-' 决定的一个常数，u (x )是Ly =0满足在x =a 处所给定的齐次边值条件的一个解，v (x )是在x =b 处满足边值条件的一个解。

则G (x,ξ)显然满足条件(i)~(iv)。

此外，还可证明，对由(3)定义的G (x,ξ),由关系式(2)确定的函数y 满足微分方程(1)并且满足u (x )在x =a 与v (x )在x =b 所规定的相同的齐次边界条件。

满足条件（i ）~(iv)或由(3)式所定义的函数称为与微分表达式Ly 和边界条件相联系的格林函数。

在许多物理问题中，这个函数具有简单的物理意义，将在下一段中说明。

[线性积分方程的一个典型实例] 考虑一条长为l 的有弹性的弦，假定在平衡位置时，弦的位置在Ox 轴的线段Ol 上。

在点x 施加单位力，于是弦的每一点得到一个离差，在点ξ处所产生的离差以G (x,ξ)表示（图15.1）。

函数G (x,ξ)为两点（x 和ξ）函数，在点x 施加外力，在点ξ计量离差，称G 为影响函数。

如果弦的两端固定在x 轴上A ,B 两点，弦的张力为T 0,则在点x 外处施加的单位力作用下，弦成图15.1所示的形状。

根据虎克（Hooke ）定律与力的平衡条件，在点ξ处有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-=ξξξξξx l T x l x lT l x x G ,)(,)(),(0这就是弦的影响函数。

从能量守恒定律可导出G (x ,ξ)的互易原理：在点x 处施加外力在点ξ处产生的离差等于在点ξ处施加大小相同的力在点x 处产生的离差，即G (x,ξ)=G (ξ, x )如果在弦上施加的力F 是连续分布的，并设线性强度是p (ξ),则作用于弦上点ξ和ξ+∆ξ之间的一小弦段的力就接近于p (ξ)∆ξ。

把引起弦变形的这些力元素相加，便得弦的形状⎰=lp x G x y 0d )(),()(ξξξ1° 设在某个力的作用下，弦成已知形状y=y (x ),求定力分布强度p (ξ),就得到含未知函数p (ξ)的第一类Fr 积分方程⎰=lp x G y 0d )(),(ξξξ (1)2° 设作用力随时间t 改变，且在点ξ的强度是p (ξ)sin ω t (ω>0)则弦的运动是由方程y =y (x )sin ω t 描写的周期运动。

设ρ(ξ)为弦在点ξ的线性密度，则在时刻t ,点ξ与ξ+∆ξ之间的小弦段除受力p (ξ)sin ω t ∆ξ的作用外，还受惯性力222d ()()()d yy tρξξρξξω-∆=sin ω t ∆ξ的作用，则等式(1)可化为如下的形式：)(d )(),()(0x F y x K x y l+=⎰ξξξλ (2)式中⎰=lp x G x F 0d )(),()(ξξξK (x ,ξ)=G (x ,ξ)ρ(ξ), λ=ω2如果函数p (ξ)给定，那么F (x )也就给定，这样积分方程(2)就是确定函数y (x )的Fr 方程。