积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程
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第十五章 积分方程
积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。
§1积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程
一. 积分方程一般概念
1. 积分方程的定义与分类
[线形积分方程] 在积分号下包含未知函数y (x )的方程
()()()()(),d b
a
x y x F x K x y αλξξξ=+⎰ (1)
称为积分方程。式中α(x ),F (x )和K (x,ξ)是已知函数，λ,a,b 是常数，变量x 和ξ可取区间(a,b )内的一切值；K (x,ξ)称为积分方程的核，F (x )称为自由项，λ称为方程的参数。如果K (x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F (x )≡0，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。
[一维弗雷德霍姆积分方程（Fr 方程）] 第一类Fr 方程
()()(),d b a
K x y F x ξξξ=⎰
第二类Fr 方程
()()()(),d b
a
y x F x K x y λξξξ=+⎰
第三类Fr 方程
()()()()(),d b
a
x y x F x K x y αλξξξ=+⎰
[n 维弗雷德霍姆积分方程]
111()()()()(),d D
P y P F P K P P y P P α=+⎰
称为n 维弗雷德霍姆积分方程，式中D 是n 维空间中的区域，P ,P 1∈D ，它们的坐标分别是
(x 1,x 2, ,x n )和),,,(21
n x x x ''' ,α(P )=α(x 1,x 2, ,x n ),F (P )=F (x 1,x 2, x n )和K (P ,P 1)=K (x 1,x 2, ,x n , ),,,21
n x x x ''' 是已知函数，f (P )是未知函数。 关于Fr 方程的解法，一维和n (>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr 方程。
[沃尔泰拉积分方程] 如果积分上限b 改成变动上限，上面三类Fr 方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。
由于第三类Fr 方程当α(x )在(a ,b )内是正函数时，可以化成
()
()()d
b
a
xλξξ
=+⎰
它是含有未知函数),
(
)
(x
y
x
α以
)
(
)
(
)
,
(
ξ
α
α
ξ
x
x
K
为积分方程的核的第二类Fr方程。所以本章重点研究一维第二类Fr方程。
2. 积分方程与微分方程之间的关系
某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微分方程的初值问题：
2
2
00
()()()
()()
d d
d d
,
y y
A x
B x y f x
x x
y y y y
αα
⎧
++=
⎪
⎨
⎪''
==
⎩
（2）
若从方程(2)中解出
2
2
d
d
x
y
，然后在区间(a,x)上对x求积分两次，利用初始条件，经过简单的计算不难得出*，
⎰'
-
-
+
-
=x
a
y
A
B
x
A
x
yξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξd)
(
)]}
(
)
(
)[
(
)
(
{
)
(
)
](
)
(
[
d)
(
)
(y
x
y
y
A
f
x
x
a
+
-
'
+
+
-
+⎰α
α
ξ
ξ
ξ
令
)
(
)]
(
)
(
)[
(
)
,
(ξ
ξ
ξ
ξ
ξA
A
B
x
x
K-
'
-
-
=
和
)
](
)
(
[
d)
(
)
(
)
(y
x
y
y
A
f
x
x
F x+
-
'
+
+
-
=⎰α
α
ξ
ξ
ξ
上式就可写为如下的形式:
)
(
d)
(
)
,
(
)
(x
F
y
x
K
x
y x
a
+
=⎰ξ
ξ
ξ(3) 这是一个第二类沃尔泰拉方程，核K是x的线性函数。
例1初值问题
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
'
=
=
+
)0(
,1
)0(
)
(
d
d
2
2
y
y
x
f
y
x
y
λ
(4) 变为积分方程
⎰
⎰-
-
+
-
=x
x
f
x
y
x
x
y
d)
(
)
(
1
d)
(
)
(
)
(ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
λ(5) 反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其第一次求导的结果中令x=a,就得给定初始条件。在例1中，对(5)式求导，得出
⎰
⎰+
-
=x
x
f
y
x
y
d)
(
d)
(
d
d
ξ
ξ
ξ
ξ
λ(6) 再求导一次得出原微分方程(4)，并从方程(6)和(5)给出初始条件
y(0)=1, 0
)0(=
'y
*在计算过程中应用了公式
1
1
()d d()()d
(1)!
x x x n
a a a
n
n
f x x x x f
n
ξξξ
-
=-
-
⎰⎰⎰（n≥2）
当0
)
(
)
(
)
(1=
=
=
'
=-α
α
αn f
f
f 时成立。