2013年北京科技大学825高等代数考研真题

一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） x + 1 x + 10 x+2 0
0 0 78 99 111 0 x −7 10 7 0 6 x+8
1.
设
f(x)=
， 则
f ( x ) 中 x3 的 系 数
是
，常数项等于
．
2. 设 四 阶 矩 阵 A 的 初 等 因 子 为 ( λ − 1 )2 ,( λ − 2 )2 ， 则 A 的 Jordan 标 准 形
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ an −1,1 x1 + an −1,2 x2 + ⋯ + an−1,n xn = 0
的系数矩阵为 A ， M i 是矩阵 A 中划去第 i 列所得到的 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) 矩阵的 行列式，证明： ( M 1 , − M 2 ,⋯ ,( −1 )n −1 M n )T 是该方程组的一个解.
北 京 科 技 大 学 2013 2013 年硕士学位研究生入学考试试题
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试题编号： 适用专业：
825
试题名称： 数学、统计学、固体力学
高等代数
（共 2
页）
说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效. 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效.
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八(20 分)、设 P [ x ] 3 是次数不超过 3 的多项式全体连同 0 多项式构成的线性空间，
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 ∈ P [ x ] 3 , 现有 P [ x ] 3 的线性变换 σ ：
σ ( f ( x)) = (a 0 − 2a1 ) + (−3a 0 + 2a1 ) x + (2a 2 − 3a 3 ) x 2 + (−4a 2 + 3a 3 ) x 3
求 σ 的特征值及特征向量, 并判定 σ 能否对角化.
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三(20 分)、设线性变换 σ 在三维线性空间 V 的一组基 ε 1 ,ε 2 ,ε 3 下的矩阵是
1 2 −1 A = 2 1 0 3 0 1
(1)求 σ 在基η1 ,η2 ,η3 下的矩阵，其中
η1 = 2ε 1 + ε 2 + 3ε 3 η2 = ε 1 + ε 2 + 2ε 3 η3 = −ε 1 + ε 2 + ε 3
二(10 分)、设 f ( x ) = x 4 + x 3 − 3 x 2 − 4 x − 1 , g( x ) = x 3 + x 2 − x − 1 . 求 ( f ( x ), g ( x )) .
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(2) 求 σ 的值域 σ ( V ) 和核 σ −1( 0 ) ； (3) 把 σ −1( 0 ) 的基扩充为 V 的基，并求 σ 在这组基下的矩阵.
四(20 分)、设 S , A 分别是 P n×n 中的对称矩阵和反对称矩阵构成的子空间， 证明： P n×n = S ⊕ A . − 1 − 3 3 − 3 − 3 −1 − 3 3 . （1） 求可逆矩阵 T ， 使得 T T AT 五(20 分)、 设实对称矩阵 A = 3 − 3 −1 − 3 − 3 3 − 3 − 1 成对角阵，并写出该对角矩阵； （ 2 ）求一个非退化线性替换把二次型
f ( x ) = xT Ax Biblioteka Baidu为标准形.
n , 六(20 分)、设 A 是一个 n 阶方阵，证明： rank ( A ) = 1, 0,
∗
rank ( A ) = n rank ( A ) = n − 1 . rank ( A ) < n − 1
七(20 分)、如果齐次线性方程组
是
.
3．设 σ 为线性空间 V 的一个线性变换，且 σ 2 = σ ，则 σ 的特征值只能
是
.
4. 设 u 是 n 维列向量， ( u ,u ) = 1 , H = E − 2uu T , 则 λ = 1 是 H 的
重特征值. ．
A 0 * 5. 设 A 、 B 分别是 k 阶和 r 阶可逆矩阵， D = ，则 D = C B