坐标系与参数方程 Word版(含答案)
2020年高考数学(文)二轮专项复习专题13 坐标系与参数方程含答案
专题13 坐标系与参数方程【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，， 得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以，所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得， 所以点P 的直角坐标为 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______．⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-(2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )， 所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由得，即， 由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为， 所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一； (3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如： ①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ． ⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB 2π解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ． 即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______． 解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得 注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题；(2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为 例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ． 因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y 111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆． 解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pty ptx 222⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程， 得 所以 评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)． 习题13一、选择题 1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒221t t t M +=)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 212129292⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆上求一点，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．)4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3⎩⎨⎧=+-=t y t x ,12⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(14922=+y x 021032=-+y x14．已知点M (2，1)和双曲线，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l 的方程．专题13 坐标系与参数方程参考答案习题13一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．； 7．； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)； 三、解答题 11． 12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离 即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．1222=-y x )(6πR ∈=ρθ)47π,23(⋅=223cos θρ⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223((2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。
高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)
高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。
2022年高考数学(理)一轮复习教师用书：第十二章 坐标系与参数方程 Word版含答案
第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ (0≤θ＜π) 过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0＜θ＜π)考点一 极坐标与直角坐标的互化[例1] (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解：(1)∵x ＝－5cos π6＝－52 3，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 3，－52.(2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33. ∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6. 因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6[方法引航] (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，肯定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，肯定要留意变量的范围.要留意转化的等价性.1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π 解析：选C.由于点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3. 2．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，则P 到x 轴的距离为________．解析：y ＝ρsin θ＝2×sin π3＝ 3. 3考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化及应用[例2] 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.∴12x ＋32y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．[例3] 在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1. (1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．解：(1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程，∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.[方法引航] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要把握好互化公式，争辩极坐标系下图形的性质，可转化为我们生疏的直角坐标系的情境.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解：(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.[高考真题体验]1．(2022·高考全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.2．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t ，消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x－10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的一般方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.3．(2021·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝ t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．课时规范训练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4，由于ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求实数a 的值．解：由ρ＝4sin θ，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4， 由直线ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 解得a ＝3(a ＝0舍)．4．从极点O 作直线与另始终线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.第2课时 参数方程1．参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到一般方程．(2)假如知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和一般方程点的轨迹 一般方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，(t 为参数) 圆x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 双曲线 x 2a －y 2b 2＝1，(a ＞0，b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ，(φ为参数) 抛物线 y 2＝2px (p ＞0)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)考点一 参数方程与一般方程的互化及应用命题点1.求参数方程2.消参数化为一般方程[例1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：(1)圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α，(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22＜3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．[方法引航] 1.由一般方程求参数方程，要依据参数的意义建立关系．2．由参数方程得到一般方程的思路是消参，消去参数的方法要视状况而定，一般有三种状况：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参； (2)利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有sin θ，另一个方程一边只含有cos θ，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数； (3)依据参数方程本身的结构特征，选用一些机敏的方法从整体上消去参数.,将参数方程化为一般方程时，要留意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必需依据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．若将本例(1)改为：圆上的任一点P 与圆心的连线的旋转角为参数θ，求圆的参数方程．解：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，r ＝12.设P (x ，y )，则x ＝12＋12cos θ， y ＝12sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos θ，y ＝12sin θ.2．若将本例(2)的曲线变为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，其余不变，求交点个数．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos α，y 4＝sin α.∴x 29＋y 216＝1.而直线x ＋y －1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x 29＋y 216＝1内，故直线与曲线有两个交点． 考点二 极坐标方程与参数方程的综合应用命题点1.直线与圆的方程应用2.直线与椭圆的方程应用[例2] (1)(2022·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. ①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：①消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.所以C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. ②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.(2)(2022·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.①写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；②设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：①C 1的一般方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.②由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.[方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化为平面直角坐标系中的一般方程f (x ，y )＝0再应用.假如直接应用，要明确极坐标(ρ，θ)及参数的意义.1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝ 4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2．(2021·甘肃三校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(1,2)，求|P A |＋|PB |的最小值． 解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9. 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设t 1，t 2是上述方程的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2(cos α－sin α)，t 1·t 2＝－7.由题意得直线l 过点(1,2)，结合t 的几何意义得 |P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4(cos α－sin α)2＋28 ＝32－4sin 2α≥32－4＝27.所以|P A |＋|PB |的最小值为27.[高考真题体验]1．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.2．(2022·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 点的坐标．解：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值． 解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.4．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 故M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2αy ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．课时规范训练1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时， |AB |取得最大值，最大值为4.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试推断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsinθ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 由于圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1，所以直线l 与圆C 相交．4．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为一般方程为x 24＋y 2＝1. 当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0， 设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 由于|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α， |OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0，故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.。
第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程
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距离是________．
解析：直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x －1)2＋y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到 |2| 直线 l 的距离为 2 2＝ 2. 1 ＋－1
答案： 2
x＝1＋3t， 5．(2012· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y＝2－ 3t
解析：由 y＝t－1，得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2，得 x ＝3y＋5， 即 x－3y－5＝0.
答案：x－3y－5＝0
x＝5cos θ， 2．(教材习题改编)曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数)的左焦点
的坐标是________．
x2 y2 解析：化为普通方程为 ＋ ＝1，故左焦点为(－4,0)． 25 9
x＝2t＋2a， y＝－t
(t 为参数)，曲线
x＝2cos θ， C2： y＝2＋2sin θ
(θ 为
参数)．若曲线 C1，C2 有公共点，则实数 a 的取值范围 是________．
解析：将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程， 得 C1：x＋2y－2a＝0，C2：x2＋(y－2)2＝4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点， |4－2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2， 5 解得 2－ 5≤a≤2＋ 5.
[自主解答] ＝16.
由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2
π 因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝ ，所以直线l的参数 3 π x＝2＋tcos3， 方程为 y＝2＋tsinπ， 3 1 x＝2＋2t， 即 y＝2＋ 3t 2
(t为参数)．
1 x＝2＋2t， 把直线l的参数方程 y＝2＋ 3t 2
去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方 法从整体上消去参数． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y
选修4-4坐标系与参数方程知识点总结和同步练习(附答案)
数方程为
x y
x0 y0
t cos t sin
(t为参数) ，其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点，任一点
uuuuuur M (x, y) 为终点的有向线段 M 0M 的数量，当点 M 在 M 0 上方时， t ＞0；当点 M 在
M 0 下方时， t ＜0；当点 M 与 M 0 重合时， t =0。我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原 点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的
x2 a2
y2 b2
1(a
0,
b
0),
其参数方程为
x y
a b
sec tan
(为参数)
，其中
[0, 2 )且 , 3 . 22
焦点在
y
轴上的双曲线的标准方程是
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0), 其参数方 y 的取值范围；
（2）若 x y a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。
2．求直线
l1
:
x y
1 5
t
3t (t为参数) 和直线 l2 : x y 2
3 0 的交点 P 的坐标，及点
P
与 Q(1, 5) 的距离。
3．在椭圆 x2 y2 1上找一点，使这一点到直线 x 2 y 12 0 的距离的最小值。 16 12
点M
直角坐标 (x, y)
极坐标 (, )
互化公式
x cos
(完整版)选修4-4坐标系与参数方程-高考题及答案
x t 3,1、已知在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为_ （t为参数），在极坐标系（与y v3t直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4 cos 3 0.①求直线I普通方程和曲线C的直角坐标方程；②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的取值范围.x = 2cos 0 , 一2、已知曲线C的参数方程是（0为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴y = 3sin 0 ,为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p = 2,正方形ABCD勺顶点都在C2上，且AnB C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2 ,—）.3（I ）求点A B C、D的直角坐标；（n ）设P为C上任意一点，求|PA2+ |PB2+ |PC2+ |PD2的取值范围.. . 2 2 . - 2 23、在直角坐标系xOy中，圆C ：x + y = 4,圆C2：(x—2) + y = 4.(I )在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i, C2的极坐标方程, 并求出圆C，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(n)求圆C与C2的公共弦的参数方程.4、在直角坐标系xOy中，直线I的方程为x —y + 4 = 0，曲线C的参数方程为x= ：：：］3cos a ,(a为参数).y= sin a(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以xn轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4 ,―)，判断点P与直线I的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的最小值.X = 2C0S a ,5、在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为( a 为参数).M 是C i 上的y = 2+ 2sin a .动点，P 点满足0F= 20M P 点的轨迹为曲线 C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 交点为A ,与C 2的异于极点的交点为 B,求|AE |.x = cos e6、已知P 为半圆C:( e 为参数，o w e wn )上的点，点 A 的坐标为(1,0) , Oy = sin en 为坐标原点，点 M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为—.(1) 以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标;(2) 求直线AM 的参数方程.ne =g 与C 的异于极点的n n .* j 3 7、在极坐标系中，已知圆C经过点P .2，~4，圆心为直线P sin 9—3 =一与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.8、在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线I上两点M, N的极坐标分别为(2,0), 穿,-2，圆C的参数方程为x= 2+ 2cos 9 ,厂(9为参数).y=—3+ 2sin 9(1) 设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2) 判断直线l与圆C的位置关系.1、【答案】①直线I 的普通方程为：,3x y 3、、3 0. n n n n nn_nnA (2cos —, 2sin —), B (2cos(-3 + R , 2sin( — + —)) , q2cos( — +n ), 2sin( — +n 3 n n 3 nn )) , D (2cos( — + 〒),2sin( — + 亍)),即 A (1 , 3) , B ( — 3 , 1), Q — 1, — 3) , D ( 3 , — 1). (n )设 P (2cos 0 , 3sin 0 ),令 S =|PA 2+ |PB 2+ |PC 2+ |PD 2 ,则2 2S = 16cos 0 + 36sin 0 + 162=32 + 20sin 0 .因为0W sin 20W 1,所以S 的取值范围是[32 , 52].3、解：(I )圆C 的极坐标方程为p = 2 , 圆G 的极坐标方程p = 4cos 0 .2 解卩,得卩=2, 0=±石,p _ 4cos 03从而p_占.n(1)把极坐标系的点P (4 ,-)化为直角坐标，得 R0,4),满足直线l 的方程x — y + 4_ 0,所以点P 在直线l 上. 故可设点Q 的坐标为曲线C 的直角坐标方程为：x 2y 2②曲线C 的标准方程为(x 2)2 y 2•••圆心C(2,0)到直线I 的距离为：d所以点P 到直线I 的距离的取值范围是2、解：(I )由已知可得2 24x 3 0【或(x 2)2 y 21]1,圆心C(2,0)，半径为1；|2、一 3 0 3.3| 5,32 2故圆C 与圆C 2交点的坐标为(2 ,,(2,—勺.注：极坐标系下点的表示不唯一.x _ p cos 0 ,得圆 y _ p sin 0 (n )法一：由故圆C 与G 的公共弦的参数方程为x_ t 1,-3w t w 3.x _ 1(或参数方程写成 ， —..3 < y w 3)法二：将x = 1代入 cos 0得 p sin 0p cos 0 = 1,于是圆 C 与G 的公共弦的参数方程为x _ 1 y _ tan 0 '4、因为点P 的直角坐标(0,4)⑵因为点Q 在曲线C 上,(.3cos a , sin a ),C 与C 2交点的直角坐标分别为从而点Q 到直线I 的距离=；'2cos( a+ -Q )+ 2 2nl由此得，当cos( a + —) =— 1时，d 取得最小值，且最小值为：2.x y5、⑴设Rx , y )，则由条件知 M ^ 2 .由于M 点在C 上，x=2cos a , 2X = 4cos a ,所以即yy = 4+ 4sin a .2= 2+ 2sin a ,X = 4cos a ,从而C 2的参数方程为(a 为参数)y = 4 + 4sin a .(2)曲线C 的极坐标方程为 p = 4sin 0，曲线C 2的极坐标方程为 p = 8sin 0 .n n射线0 =三与C 的交点A 的极径为 p 1= 4sin —,3 3nn射线0 = y 与G 的交点B 的极径为p 2= 8sin —. 所以 | AB = | p 2— p 1| = 2 '3.nn6、 (1)由已知，M 点的极角为y ，且M 点的极径等于 J ,n n故点M 的极坐标为 ~~ .⑵M 点的直角坐标为n ,二空,A (1,0),故直线AM 的参数方程为6 6nx=1 + 6 — 1t ，(t 为参数).| 3cos a — sina + 4|2cos7t6所以圆C 的圆心坐标为(1,0) 因为圆C经过点P .'2, n,所以圆C的半径PC= 2+ 12—2X 1 x J2cos■—= 1,¥ 4于是圆C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为p = 2cos e .0, ¥8、解：(1)由题意知，M N 的平面直角坐标分别为所以直线l 的平面直角坐标方程为 3x + 3y — 2 3= 0.又圆C 的圆心坐标为(2 , — ,；3)，半径r = 2, 圆心到直线I 的距离d =， ： — ■' =-<r ,故直线l 与圆C 相交.yJ 3 + 9 2又P 为线段MN 勺中点，从而点 P 的平面直角坐标为1,，故直线OP 的平面直角坐标方程为 ⑵因为直线l 上两点M N 的平面直角坐标分别为 (2,0)(2,0)。
新课标高考《坐标系与参数方程》(选修4-4)含答案
第二讲 坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．4．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．热点一极坐标方程及其应用[例1] (1)(2014·江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)(2014·东北三校联考)已知点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0，π]，点Q 在曲线C ：ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上．①求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； ②求点P 与点Q 之间距离的最小值．1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．热点二 参数方程及其应用[例2] (2014·福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．[例3] (2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．3．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝8cos θ.热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．第二部分题1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．答案解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．[师生共研] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2，即所求线段的极坐标方程为ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，消去α，得点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝9.所以曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.②因为半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42， 所以|PQ |min ＝42－1.解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．热点二 参数方程及其应用[师生共研] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝⎛⎦⎤1289，64.热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用[师生共研] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得t 2sin 2 α－8t cos α－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2 α＝64>0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α<0，故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．第二部分题答案：1．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.3．解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.4． 解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.5． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.6．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．。
2022年上海高中数学系列9：坐标系与参数方程(答)
9参数方程与极坐标系知识点：1.参数方程：如果曲线上动点的坐标( )P x y ，分别是变量t 的函数{()()*()x f t t y g t == 为参数，则称(*)为动点P 的轨迹的参数方程，其中t 叫参变量(参数)，对应的表示 x y 、直接关系的方程叫曲线的普通方程。
2.常见的参数方程：①过点00( )P x y ，，斜率为b k a=的直线：{00()x x att y y bt =+=+为参数；②圆心为( )C a b ，，半径为r 的圆：{cos ()sin x a r y b r θθθ=+=+为参数；③中心在原点，长、短半轴分别是 a b 、(焦点在x 轴上)的椭圆{cos ()sin x a y b θθθ==为参数；④*中心在原点，实、虚半轴分别是 a b 、(焦点在x 轴上)的双曲线{sec ()tan x a y b θθθ==为参数；⑤*顶点在原点，焦点为( 0)2pF 的抛物线：{22()2x ptt y pt ==为参数3.在平面上取一定点O ，以O 为端点引射线Ox ，再选定一个单位长度和旋转角的正方向(一般规定逆时针方向为正方向)．平面上点P 的位置用||OP ρ=，和射线OP 的旋转角表示的坐标系叫极坐标系.4.常见曲线的极坐标方程：①圆心是极点( 0)C a ，、半径是a 的圆：2cos ()22a ππρθθ=-<≤；②经过点( 0)A a ，，倾斜角为ϕ的直线：sin()sin a ρϕθϕ-=；③初始位置是00( 0)M ρ，，在Ox 上的运动速度为v ，Ox 绕O 转动速度为ω的等速螺线：0vt ρρω=+；5.极坐标与直角坐标的互化：极坐标⇒直角坐标{cos sin x y ρθρθ==；直角坐标⇒极坐标222tan (0)x y y x x ρθ⎧+=⎪⎨=≠⎪⎩(通常取0 02ρθπ≥≤<，)练习题：1.方程{2()3x tt y ==+为参数所表示的直线的倾斜角是π-2.AOB ∆的一个顶点是极点O ，另两个顶点是2(8) (6 )33A B ππ，，，，则AOB ∆的面积是.3.已知曲线C 的极坐标方程为22(13sin )4ρθ+=，则曲线C的离心率为.4.函数2sin 24()2cos23f θθθ-=-的值域是1212[ ]55-+，.5.在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________12+.6.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为上海高中数学系列cos 4ρθ=的直线与曲线{2()x t t y t==为参数相交于 A B 、两点,则______AB =16.7.已知曲线C 的参数方程为22x ty t ⎧=⎨⎩(t 为参数),C 在点(1 1)，处的切线为l ,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________sin()4πρθ+=8.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆220y x x +-=的参数方程为_____{2cos ()cos sin x y θθθθ==⋅为参数.9.设曲线C 的参数方程为{2x ty t ==(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为__________2cos sin 0ρθθ-=.10.在极坐标系中，已知圆的圆心4C π，半径r =Q 在圆C 上运动若P 点在线段OQ 上，且||:||2:3OP PQ =，则动点P 的极坐标方程54sin 4cos ρθθ=+.11.已知直线l 的参数方程为(x a t t y b t =+⎧⎨=+⎩为参数)，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是(C )A ．1||t B ．12||t C 1||t D ．12||2t 12.参数方程21cos (sin x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数)表示的曲线是(C )A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．抛物线上的一段弧13.极坐标系中，直线l 的方程为sin(23πρθ+=与曲线:2C ρ=的位置关系为(B )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定，与θ有关14.在极坐标系中,圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(B)A．0(R)cos 2θρρ=∈=和B．(R)cos 22πθρρ=∈=和C．(R)cos 12πθρρ=∈=和D．0(R)cos 1θρρ=∈=和15.已知动点P 、Q 都在曲线2cos :(2sin x C y βββ=⎧⎨=⎩为参数)上，对应参数分别为βα=与2(02)βααπ=<<，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有(2cos ,2sin )P αα，(2cos 2,2sin 2)Q αα，因此(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2(sin 2sin x y ααααα=+⎧⎨=+⎩为参数，02)απ<<．(2)M点到坐标原点的距离2)d απ==<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．16.在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ρθ=，cos()4πρθ-=(1)求1C 与2C 交点的极坐标；(2)设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为33(12x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数)，求 a b 、的值．解：(1)圆1C ，直线2C 的直角坐标方程分别为22(2)4x y +-=，40x y +-=，解22(2)440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩得04x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，1C ∴与2C 交点的极坐标为(4,2π．，)4π．(2)由(1)得，P 与Q 点的坐标分别为(0,2)，(1,3)，故直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=，由参数方程可得122b ab y x =-+，∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1a =-，2b =．17.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆C 的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.解:(1)由点在直线上,可得，所以直线的方程可化为，从而直线的直角坐标方程为，(2)由已知得圆的直角坐标方程为，所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交18.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)．以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin(4πρθ+=(1)将曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值．解：(1)解：由曲线C的参数方程为(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)可得2213x y +=，∴曲线C 的直角坐标方程为2213x y +=．由sin()4πρθ+=(sin cos cos sin )44ππρθθ+=，化简得，sin cos 2ρθρθ+=，即2x y +=．(2)由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q 的坐标为,sin )θθ，点Q 到直线l 的距离为|2cos(2|6d πθ--==．当cos(16πθ-=-时，max d ==．∴点Q 到直线l 的距离的最大值为。
极坐标系与参数方程知识点和解题类型最全总结(附详细答案)
第19讲 极坐标系与参数方程（后附详解答案）一、平面直角坐标系中的伸缩变换1.在同一平面直角坐标系中，直线2x －y ＝4变成x ′－y ′＝2的伸缩变换是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝2y B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝yC ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ，y ′＝12y D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝4y2．求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程 ．二、极坐标与直角坐标的互化1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A ．(1，π2)B ．(1，－π2) C ．(1,0) D ．(1，π)2．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ3．在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A ．(2，π6)B ．(2，π3)C ．(4，π6)D ．(4，π3)4．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为5．在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝____.6．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ－π4)＝2，点A 的极坐标为A (22，7π4)，则点A 到直线l 的距离为_____.1θθ=-||AB |21ρρ=7．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________．8．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π3(θ∈R )的距离是________．9．在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________．10．曲线C 1：θ＝π6与曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32的交点坐标为________．三、极坐标方程的综合应用1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．2．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，直线l 的直角坐标方程为y ＝33x . (1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程；(2)已知直线l 分别与曲线C 1，曲线C 2相交于异于极点的A ，B 两点，若A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．3．以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线C 于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程．4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 相交于异于原点的两点A ，B ，求△AOB 的面积．5．在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，点P 在直线l ：x ＋y －4＝0上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)射线OP 交圆C 于点R ，点Q 在射线OP 上，且满足|OP |2＝|OR |·|OQ |，求点Q 的轨迹的极坐标方程．6．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0＜α＜π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．8．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．四、直角坐标方程与参数方程的互化1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为________．2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的离心率为________．3．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．4．求直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．条件探究 把举例说明1中“曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)”改为“⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin2θ，y ＝sin θ＋cos θ.”其他条件不变，求两条曲线交点的坐标．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k(k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．6．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数)．写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程和直线的标准参数方程.五、直线参数方程的应用1．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值．2．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cosα，y ＝t sinα(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为ρ＝25s inθ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|P A|＋|P B|的值．4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，a ∈[0，π))．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ.(1)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围； (2)若直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，求|AB |的最小值．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点P (0，－1)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝－1＋32t (t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2a sin θ－ρcos 2θ＝0(a ＞0)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．六、极坐标与参数方程的综合应用1．坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，l 1，l 2为过点O 的两条直线，l 1交M 于A ，B 两点，l 2交M 于C ，D 两点，且l 1的倾斜角为α，∠AOC ＝π6.(1)求l 1和M 的极坐标方程；(2)当α∈(0，π6]时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值．2．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数)，A 为当t ＝1时曲线C 1上的点；B 为当t ＝－1时曲线C 1上的点．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝64＋5sin 2θ.(1)求A ，B 的极坐标；(2)设M 是曲线C 2上的动点，求|MA |2＋|MB |2的最大值．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝α，0<α<π.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为射线l 与曲线C 1，C 2除原点之外的交点，求|AB |的最大值．4．在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α⎝⎛⎭⎫π6<α≤π4的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求|MN |的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝8cos θ1－cos 2θ.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若α＝π4，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos β，y ＝2sin β(β为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2和C 3的极坐标方程分别为θ＝α(ρ∈R )和θ＝π2＋α(ρ∈R )，其中0≤α＜π2.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的参数方程；(2)设曲线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，曲线C 3与曲线C 1交于C ，D 两点，求四边形ACBD 的面积的最大值和最小值．9．已知直线L 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋ty ＝2－2t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2θ.(1)直接写出直线L 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线L 夹角为π3的直线l ，设直线l 与直线L 的交点为A ，求|P A |的最大值．10．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t si nα，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，求l 的斜率．详解答案极坐标系与参数方程一、平面直角坐标系中的伸缩变换1.[解析] (1)设其伸缩变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则λx －μy ＝2,2λx －2μy ＝4，于是⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2，－2μ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝12.所以φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y .故选C ． 2.解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.二、极坐标与直角坐标的互化1.[解析] 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π2)，故应选B ．2.[解析] 如图，设直线l 上任意一点为C (ρ，θ)，由图可知OP OC ＝cos(π－θ)＝1ρ，ρ＝－1cos θ，故选C ．3.[解析] ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1，所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，π6)．故选A ．4.[解析] 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以代入直角坐标方程并整理，得ρ2－2ρcos θ＝0，所以ρ－2cos θ＝0，即极坐标方程为ρ＝2cos θ.5.[解析] 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化． 由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y2可将直线ρcos θ＋ρsin θ＝a 化为x ＋y －a ＝0，将ρ＝2cos θ，即ρ2＝2ρcos θ化为x 2＋y 2＝2x ，整理成标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.又∵直线与圆相切，∴圆心(1,0)到直线x ＋y －a ＝0的距离d ＝|1－a |2＝1，解得a ＝1±2，∵a >0，∴a ＝1＋ 2.6.[解析] 由2ρsin(θ－π4)＝2⇒y －x ＝1⇒x －y ＋1＝0，而点A 对应的直角坐标为A (2，－2)，故点A (2，－2)到直线x －y ＋1＝0距离为|2＋2＋1|2＝522.7.解析：将方程ρ＝5cos θ－53sin θ两边都乘以ρ， 得ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0. 圆心坐标为⎝⎛⎭⎫52，－532，化成极坐标为⎝⎛⎭⎫5，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎫5，5π3(答案不唯一) 8.解析：设圆心到直线θ＝π3(θ∈R )的距离为d ，因为圆的半径为2，d ＝2·sin π6＝1.答案：19.答案 6解析 解法一：(数形结合)在极坐标系中，A ，B 两点如图所示， |AB |＝|OA |＋|OB |＝6.解法二：∵A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)， B (－2,23)，∴|AB |＝(－2－1)2＋(23＋3)2＝6.10.答案 ⎝⎛⎭⎫1，π6 解析 将θ＝π6代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32，得ρsin π3＝32，所以ρ＝1，所以曲线C 1与曲线C 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，π6.三、极坐标方程的综合应用1.解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 2.解 (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，其普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，极坐标方程为ρ＝2sin θ.因为直线l 的直角坐标方程为y ＝33x ， 故直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ， 直线l 的极坐标方程为θ＝π6，将θ＝π6代入C 1的极坐标方程得ρ1＝1，将θ＝π6代入C 2的极坐标方程得ρ2＝4，∴|ρ2－ρ1|＝3. 3.解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4. (2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin (θ0＋π)，解得θ0＝π6或θ0＝5π6，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R )．4.[解析] (1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y－1)2＝5.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6，ρ＝4cos θ＋2sin θ，得|OA |＝23＋1. 同理可得|OB |＝2＋ 3. 又∠AOB ＝π6，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝8＋534.∴△AOB 的面积为8＋534.5.[解析] (1)圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2.直线l 的极坐标方程ρ＝4sin θ＋cos θ.(2)设点P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， ∵ρ1＝4sin θ＋cos θ，ρ2＝2，又|OP |2＝|OR |·|OQ |，即ρ21＝ρ·ρ2， ∴ρ＝ρ21ρ2＝16(sin θ＋cos θ)2×12，∴ρ＝81＋sin2θ.∴点Q 的轨迹的极坐标方程为ρ＝81＋sin2θ.6.解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程：x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0， 解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1. 7.解：(1)C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1，C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ－2＝0， C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝21＋sin 2α，联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝4sin 2α， 则|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α ＝21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－4. 令t ＝1＋sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝2t ＋4t －4，当0＜α＜π2时，t ∈(1,2)．设f (t )＝2t ＋4t －4，易得f (t )在(1,2)上单调递增，∴2＜|OA |2＋|OB |2＜5，故|OA |2＋|OB |2的取值范围是(2,5)．8.解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.四、直角坐标方程与参数方程的互化1.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝02.答案 45解析 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ消去参数θ，得椭圆x 225＋y 29＝1.3.答案 y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．4.解 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α，得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．条件探究 解 由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得 y 2＝2－x .又因为x ＝1－sin2θ∈[0,2]，所以所求普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y 2＝2－x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋52，y ＝1－52或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－52，y ＝1＋52，又因为x ∈[0,2]，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，1－52.5.解 将直线l 的参数方程化为普通方程，得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程，得y 2＝4x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －3y ＝4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.所以A (4,4)，B ⎝⎛⎭⎫14，－1或A ⎝⎛⎭⎫14，－1，B (4,4)． 所以AB ＝⎝⎛⎭⎫4－142＋(4＋1)2＝254. 6.解：(1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0.直线l 的标准参数方程为)(2132233为参数t ty t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-= 五、直线参数方程的应用1.解：(1)由直线l 过点A 可得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝ 2. 则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，根据点到直线的距离公式可得曲线C 1上的点到直线l 的距离 d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，其中sin φ＝277，cos φ＝217，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4， 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数)，又易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1，把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程可得72t 2＋72t －5＝0，∴t 1t 2＝－107，根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 2.[解] (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫92，332.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cosαt ＋8＝0， 则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α，由已知得tanα＝2，故|P A |·|PB |＝403. 3.[解](1)由⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t ，两式相加得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.又由ρ＝25s inθ，得ρ2＝25ρs inθ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|P A|＋|P B|＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.4.[解析] (1)将曲线C 的极坐标方程ρcos 2θ＝4sin θ，化为直角坐标方程，得x 2＝4y . ∵M (x ，y )为曲线C 上任意一点，∴x ＋y ＝x ＋14x 2＝14(x ＋2)2－1，∴x ＋y 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α代入x 2＝4y ，得t 2cos 2α－4t sin α－4＝0.∴Δ＝16sin 2α＋16cos 2α＝16>0，设方程t 2cos 2α－4t sin α－4＝0的两个根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，t 1t 2＝－4cos 2α，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2α≥4，当且仅当α＝0时，取等号．故当α＝0时，|AB |取得最小值4.5.解：(1)∵曲线C 的方程为2a sin θ－ρcos 2θ＝0(a >0)， ∴2aρsin θ－ρ2cos 2θ＝0，即x 2＝2ay (a >0)．(2)将⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝－1＋32t 代入x 2＝2ay ，得t 2－43at ＋8a ＝0，得⎩⎨⎧Δ＝(－43a )2－4×8a >0，①t 1＋t 2＝43a ，t 1t 2＝8a .∵a >0，∴解①得a >23.∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， ∴|MN |2＝|PM |·|PN |，即|t 1－t 2|2＝t 1t 2， ∴(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，即(43a )2－40a ＝0， 解得a ＝0或a ＝56.∵a >23，∴a ＝56.六、极坐标与参数方程的综合应用1.[解析] (1)依题意，直线l 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝1＋sin φ消去φ，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0. 故M 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0.(2)依题意可设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，C (ρ3，α＋π6)，D (ρ4，α＋π6)，且ρ1，ρ2，ρ3，ρ4均为正数．将θ＝α代入ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0， 所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，同理可得，ρ3＋ρ4＝2[cos(α＋π6)＋sin(α＋π6)]，所以点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和为ρ1＋ρ2＋ρ3＋ρ4＝2(cos α＋sin α)＋2[cos(α＋π6)＋sin(α＋π6)]＝(1＋3)sin α＋(3＋3)cos α＝2(1＋3)sin(α＋π3)．因为α∈(0，π6]， 所以当sin(α＋π3)＝1，即α＝π6时，ρ1＋ρ2＋ρ3＋ρ4取得最大值2＋2 3. 所以点O 到A ，B ，C ，D 四点距离之和的最大值为2＋2 3.2.[解] (1)当t ＝1时，⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3， 即点A 的直角坐标为(－1，3)； 当t ＝－1时，⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3，即点B 的直角坐标为(1，－3)． ∴点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π3. (2)由ρ＝64＋5sin 2θ，得ρ2(4＋5sin 2θ)＝36， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 29＋y 24＝1. 设曲线C 2上的动点M 的坐标为(3cosα，2sinα)，则|MA |2＋|MB |2＝10cos 2α＋16≤26，当且仅当cosα＝±1时等号成立，∴|MA |2＋|MB |2的最大值为26.3.解：(1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，消去参数t 得，x 2＋(y －1)2＝1，即 x 2＋y 2－2y ＝0，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.由曲线C 2的直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4，得x 2＋y 2－4y ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝α，ρ＝2sin θ，得A (2sin α，α)，∴|OA |＝2sin α， 联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α，ρ＝4sin θ，得B (4sin α，α)，∴|OB |＝4sin α， ∴|AB |＝|OB |－|OA |＝2sin α， ∵0<α<π，∴当α＝π2时，|AB |有最大值，最大值为2. 4.解：(1)由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6<α≤π4， 把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α， ∴|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α. ∵π6<α≤π4，∴|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4. 5.解：(1)易得直线l 的普通方程为3x －y －3＝0.∵ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝2(cos θ－sin θ)，∴ρ2＝2(ρcos θ－ρsin θ)， ∴x 2＋y 2＝2(x －y )，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，∴曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2＋3t －1＝0，此方程的两根分别为直线l 与曲线C 的交点M ，N 对应的参数t M ，t N .∵t M ＋t N ＝－3，t M t N ＝－1，∴|MN |＝|t M －t N |＝(t M ＋t N )2－4t M t N ＝7.6.解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)． ∵ρ＝8cos θ1－cos 2θ，∴ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， 即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)解法一：当α＝π4时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入y 2＝8x ， 可得t 2－82t －16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝82，t 1t 2＝－16，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝8 3.又点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π4＝22， ∴S △AOB ＝12|AB |×d ＝12×83×22＝2 6. 解法二：当α＝π4时，直线l ：y ＝x －1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝x －1得，y 2－8y －8＝0. 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8， 所以S △AOB ＝12|OM ||y 1－y 2|＝12×1×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12×82－4×(－8) ＝2 6.7.解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t ，消去参数t ， 得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝⎛⎭⎫2，π2， 设点P 的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝ ⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫t ＋π42. 所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2. 所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4. 8.解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4，由曲线C 2的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )可知，曲线C 2是经过原点且倾斜角为α的直线，所以曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)． (2)解法一 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α代入(x －1)2＋y 2＝4， 得t 2－2t cos α－3＝0，设方程t 2－2t cos α－3＝0的两根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2cos 2α＋3，同理，由曲线C 3的极坐标方程为θ＝π2＋α(ρ∈R )， 可得|CD |＝2 cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α＋3＝2 sin 2α＋3，又易知AB ⊥CD ，所以四边形ACBD 的面积S ＝12|AB ||CD |＝2cos 2α＋3sin 2α＋3＝212＋14sin 22α，∵0≤α＜π2， ∴当2α＝π2，即α＝π4时，四边形ACBD 的面积取得最大值，最大值为7； 当2α＝0，即α＝0时，四边形ACBD 的面积取得最小值，最小值为4 3.解法二 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋y 2＝4，整理得曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－3＝0，把θ＝α代入，得ρ2－2ρcos α－3＝0，ρ1＋ρ2＝2cos α，ρ1ρ2＝－3，|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝2cos 2α＋3，同理，把θ＝π2＋α代入， 得|CD |＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α＋3＝2sin 2α＋3， 由曲线C 2和C 3的极坐标方程可知AB ⊥CD ， 所以四边形ACBD 的面积S ＝12|AB ||CD |＝2cos 2α＋3·sin 2α＋3＝2 12＋14sin 22α， ∵0≤α＜π2，∴当2α＝π2， 即α＝π4时，四边形ACBD 的面积取得最大值，最大值为7； 当2α＝0，即α＝0时，四边形ACBD 的面积取得最小值，最小值为4 3.9.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t(t 为参数)，得l 1的普通方程为2x ＋y －6＝0，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 1的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，由曲线C 的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos 2θ＝4，所以曲线C的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1. (2)由(1)知直线l 1的普通方程为2x ＋y －6＝0，设曲线C 上任意一点P (cos α，2sin α)，点P 到直线l 1的距离d ＝|2cos α＋2sin α－6|5. 由题意得|P A |＝d sin60°＝415⎪⎪⎪⎪2sin (α＋π4)－315， ∴当sin(α＋π4)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为415(3＋2)15. 10.[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρs inθ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)解法一：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t si nα(t 为参数) 可知直线l 的普通方程为y ＝kx ，其中k 为直线l 的斜率，则点C(－6,0)与直线l 的距离d ＝|－6k |k 2＋1. 因为|AB|＝10，所以⎝⎛⎭⎫1022＋36k 2k 2＋1＝25，故直线l 的斜率为153或－153. 解法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB|＝10得cos 2α＝38，t anα＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.。
2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题21 坐标系与参数方程 Word版含解析
21 坐标系与参数方程1.已知动点P ,Q 都在曲线C :(t 为参数)上,对应参数分别{x =2cos t,y =2sin t 为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点.(1)求点M 的轨迹的参数方程;(2)将点M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断点M 的轨迹是否过坐标原点.解析▶ (1)由题意得P (2cos α,2sin α),Q (2cos 2α,2sin 2α),因此M (cos α+cos 2α,sin α+sin 2α),故点M 的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).{x =cos α+cos2α,y =sin α+sin2α(2)点M 到坐标原点的距离d==(0<α<2π),x 2+y 22+2cos α当α=π时,d=0,故点M 的轨迹过坐标原点.2.已知圆O 1,圆O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-sin θ.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O 1与圆O 2的两个交点的直线的直角坐标方程,并将其化为极坐标方程.解析▶ (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,将ρcosθ=x ,ρ2=x 2+y 2代入上式,可得x 2+y 2=4x ,所以圆O 1的直角坐标方程为x 2+y 2-4x=0.由ρ=-sin θ得ρ2=-ρsin θ,将ρ2=x 2+y 2,ρsin θ=y 代入上式,可得x 2+y 2=-y ,所以圆O 2的直角坐标方程为x 2+y 2+y=0.(2)由x 2+y 2-4x=0及x 2+y 2+y=0,两式相减得4x+y=0,所以经过圆O 1与圆O 2的两个交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0.将4x+y=0化为极坐标方程为4ρcos θ+ρsin θ=0,即tan θ=-4.3.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的参数方程为(t 为参数),曲{x =255t ,y =2+55t线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=8sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线;(2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ,N ,求|MN|.解析▶ (1)因为cosρ2θ=8sin θ,所以cos θ=8ρsin θ,ρ22即x 2=8y ,所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2),对称轴为y 轴的抛物线.(2)易知直线l 过抛物线的焦点(0,2),且参数方程为{x =255t ,y =2+55t(t 为参数),代入曲线C 的直角坐标方程,得t 2-2t-20=0,设M ,N 对应的参5数分别为t 1,t 2,所以t 1+t 2=2,t 1t 2=-20.5所以|MN|=|t 1-t 2=10.(t 1+t 2)2-4t 1t 24.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 1的极坐标方程为ρsin =,曲线C 2的极坐标(θ-π4)2方程为ρ=2cos .(θ-π4)(1)写出曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程;(2)设M ,N 分别是曲线C 1,C 2上的两个动点,求|MN|的最小值.解析▶ (1)依题意得,ρsin =ρsin θ-ρcos θ=(θ-π4)2222,2所以曲线C 1的直角坐标方程为x-y+2=0.由曲线C 2的极坐标方程得ρ2=2ρcos =ρcos θ+(θ-π4)22ρsin θ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,即+22(x -22)2=1, (y -22)2所以曲线C 2的参数方程为(θ为参数). {x =22+cos θ,y =22+sin θ(2)由(1)知,圆C 2的圆心到直线x-y+2=0的距离d=(22,22)=.|22-22+2|22又半径r=1,所以|MN|min =d-r=-1.2能力1▶ 能用曲线极坐标方程解决问题 【例1】 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的圆心为,半径为(0,12),现以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.12(1)求圆C 的极坐标方程;(2)设M ,N 是圆C 上两个动点,且满足∠MON=,求+的最2π3|OM ||ON |小值.解析▶ (1)由题意得圆C 的直角坐标方程为x 2+=,即(y -12)214x 2+y 2-y=0,化为极坐标方程为ρ2-ρsin θ=0,整理可得ρ=sin θ.(2)设M ,N, 则|OM|+=ρ1+ρ2=sin θ+sin(ρ1,θ)(ρ2,θ+2π3)|ON | =sin θ+cos θ=sin .(θ+2π3)1232(θ+π3)由得0≤θ≤,所以≤θ+≤,故≤sin{0≤θ≤π,0≤θ+2π3≤π,π3π3π32π332≤1,(θ+π3)即+的最小值为.|OM ||ON |32 由极坐标方程求与曲线有关的交点、距离等几何问题时,若能用极坐标系求解,可直接用极坐标求解;若不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.已知曲线C :ρ=-2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)若曲线C 与直线x+y+a=0有公共点,求实数a 的取值范围.解析▶ (1)由ρ=-2sin θ可得 ρ2=-2ρsin θ,即x 2+y 2=-2y ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y+1)2=1.(2)由圆C 与直线有公共点,得圆心C 到直线的距离d=|0-1+a |2≤1,解得1-≤a ≤1+.22∴实数a 的取值范围为[1-,1+].22能力2▶ 会用参数方程解决问题 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t 为参{x =2cos θ,y =4sin θ{x =1+t cos α,y =2+t sin α数).(1)求曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.解析▶ (1)曲线C的普通方程为+=1.x 24y 216当cos α≠0时,l 的普通方程为y=x tan α+2-tan α;当cos α=0时,l 的普通方程为x=1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程,即(1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0.又由①得t 1+t 2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l4(2cos α+sin α)1+3cos 2α的斜率k=tan α=-2. 过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是(t 是参数).注意以下结论的应用:{x =x 0+tcos α,y =y 0+tsin α(1)|M 1M 2|=|t 1-t 2|;(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t=,中点M 到t 1+t 22定点M 0的距离|MM 0|=|t|=;|t 1+t 22|(3)若M 0为线段M 1M 2的中点,则t 1+t 2=0.在平面直角坐标系xOy 中,曲线M 的参数方程为{x =2+r cos θ,y =1+r sin θ(θ为参数,r>0),曲线N 的参数方程为(t 为参数,且{x =255t ,y =1+55tt ≠0).(1)以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数,写出曲线N 的参数方程;(2)若曲线M 与N 的两个交点为A ,B ,直线OA 与直线OB 的斜率之积为,求r 的值.43解析▶ (1)将消去参数t ,得x-2y+2=0(x ≠0),由题{x =255t ,y =1+55t意可知k ≠.12由得.{x -2y +2=0,y =kx (k ≠12),{x =22k -1,y =2k 2k -1(k ≠12)故曲线N 的参数方程为k 为参数,{x =22k-1,y =2k2k-1.且k ≠12)(2)由曲线M 的参数方程得其普通方程为(x-2)2+(y-1)2=r 2,将代入上式,{x =22k-1,y =2k2k-1整理得(16-4r 2)k 2+(4r 2-32)k+17-r 2=0.因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为,所以=,解得r 2=1.4317-r 216-4r 243又r>0,所以r=1.将r=1代入(16-4r 2)k 2+(4r 2-32)k+17-r 2=0,得12k 2-28k+16=0,满足Δ>0,故r=1.能力3▶ 会解极坐标与参数方程的综合问题 【例3】 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(t 为参数,a ∈R),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴{x =a -22t ,y =1+22t建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+2cos θ-ρ=0.(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)已知点P (a ,1),曲线C 1和曲线C 2交于A ,B 两点,且|PA|·|PB|=4,求实数a 的值.解析▶ (1)由C 1的参数方程消去t 得其普通方程为x+y-a-1=0.由C 2的极坐标方程得ρ2cos 2θ+2ρcos θ-ρ2=0,所以C 2的直角坐标方程为y 2=2x.(2)将曲线C 1的参数方程代入曲线C 2:y 2=2x ,得t 2+4t+2(1-22a )=0,由Δ>0得a>-.32设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1t 2=2(1-2a ).由题意得|PA|·|PB|=|t 1t 2|=|2(1-2a )|=4,解得a=-或a=,满足Δ>0,1232所以实数a的值为-或.1232 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程方便.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为{x =2+25cos α,y =4+25sin α极轴建立极坐标系,直线C 2的极坐标方程为θ=(ρ∈R).π3(1)求C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C 2与C 1的交点为π6O ,M ,C 3与C 1的交点为O ,N ,求△OMN 的面积.解析▶ (1)将曲线C 1的参数方程消去参数α,得其普通方程为(x-2)2+(y-4)2=20,即x 2+y 2-4x-8y=0.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入方程得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0,所以C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ+8sin θ.由直线C 2的极坐标方程得其直角坐标方程为y=x.3(2)设M (ρ1,θ1),N (ρ2,θ2),分别将θ1=,θ2=代入ρ=4cosπ3π6θ+8sin θ,得ρ1=2+4,ρ2=4+2.33则△OMN 的面积S=ρ1ρ2sin(θ1-θ2)12=×(2+4)×(4+2)×sin =8+5.1233π631.在极坐标系中,极点为O ,已知曲线C 1:ρ=2,曲线C 2:ρsin =(θ-π4).2(1)试判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系;(2)若曲线C 1与曲线C 2交于A ,B 两点,求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程.解析▶ (1)∵ρ=2,∴x 2+y 2=4.由ρsin =,可得ρsin θ-ρcos θ=2,即x-y+2=0.(θ-π4)2圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离d==<2,∴曲线C 1与曲线C 2222相交.(2)∵曲线C 2的斜率为1,∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y=x-1,∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ-1,即ρcos (θ+π4)=.222.已知曲线C 的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角{x =3cos θ,y =2sin θ坐标系中,将曲线C 经过伸缩变换后得到曲线C'.{x '=13x ,y '=12y(1)求曲线C'的普通方程;(2)若点A 在曲线C'上,点B (3,0),当点A 在曲线C'上运动时,求AB 中点P 的轨迹方程.解析▶ (1)将代入得C'的参数方程为{x =3cos θ,y =2sin θ{x '=13x ,y '=12y ,{x '=cos θ,y '=sin θ,所以曲线C'的普通方程为x 2+y 2=1.(2)设P (x ,y ),A (x 0,y 0),因为点B (3,0),且AB 的中点为P ,所以{x 0=2x -3,y 0=2y .又点A 在曲线C'上,代入C'的普通方程x 2+y 2=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,所以动点P 的轨迹方程为+y 2=. (x -32)2143.已知直线l 的参数方程为(t 为参数),以坐标原点O{x =1+12t ,y =3+3t为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为sinθ-ρcos 2θ=0.3(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.解析▶ (1)由消去参数t ,得y=2x-,即直线l{x =1+12t ,y =3+3t33的普通方程为y=2x-.33∵sin θ-ρcos 2θ=0,∴ρsin θ-ρ2cos 2θ=0,得y-333x 2=0,即曲线C 的直角坐标方程为y=x 2.3(2)将代入y=x 2,得+t-=0,解得{x =1+12t ,y =3+3t3333(1+12t )2t=0,∴交点坐标为(1,),3∴交点的一个极坐标为.(2,π3)4.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t{x =-1+22t ,y =1+22t为参数),圆C 的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 及圆C 的极坐标方程;(2)若直线l 与圆C 交于A ,B 两点,求cos∠AOB 的值.解析▶ (1)由直线l 的参数方程得其普通方程{x =-1+22t ,y =1+22t为y=x+2,∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ+2,即ρsin θ-ρcos θ=2.又∵圆C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,将代入并化简得ρ=4cos θ+2sin θ,{x =ρcos θ,y =ρsin θ∴圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ. (2)将ρsin θ-ρcos θ=2与ρ=4cos θ+2sin θ联立,得(4cos θ+2sin θ)(sin θ-cos θ)=2,整理得sin θcos θ=3cos 2θ,∴θ=或tan θ=3.π2不妨记点A对应的极角为,点B 对应的极角为θ,且tan θ=3.π2∴cos∠AOB=cos=sin θ=.(π2-θ)310105.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1的参数方程为(α{x =2+2cos α,y =2sin α为参数).以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C 2的极坐标方程为ρsin θ=.3(1)求圆C 1圆心的极坐标;(2)设C 1与C 2的交点为A ,B ,求△AOB 的面积.解析▶ (1)由曲线C 1的参数方程(α为参数),消{x =2+2cos α,y =2sin α去参数,得C 1的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0,∴C 1的圆心坐标(2,0)在x 轴的正半轴上,∴圆心的极坐标为(2,0).(2)由C 1的直角坐标方程得其极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).由方程组得4sin θcos θ=,解得sin 2θ=.{ρ=4cos θ,ρsin θ=3332∴θ=k π+(k ∈Z)或θ=k π+(k ∈Z),π6π3∴ρ=2或ρ=2.3∴C 1和C 2交点的极坐标为A ,B 2,k π+(k ∈Z).(23,kπ+π6)π3∴S △AOB =|AO||BO|sin∠AOB=×2×2×sin =.12123π636.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =3+2cos α,y =1+2sin α(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中有射线l :θ=(ρ≥0)和曲线C 2:ρ(sin θ+2cosπ4θ)=ρ2cos 2θ+m.(1)判断射线l 和曲线C 1公共点的个数;(2)若射线l 与曲线C 2 交于A ,B 两点,且满足|OA|=|AB|,求实数m 的值.解析▶ (1)由题意得射线l 的直角坐标方程为y=x (x ≥0),曲线C 1是以(3,1)为圆心,为半径的圆,其直角坐标方程为(x-3)2+(y-21)2=2.联立解得{y =x (x ≥0),(x -3)2+(y -1)2=2,{x =2,y =2,故射线l 与曲线C 1有一个公共点(2,2). (2)将θ=代入曲线C 2的方程,π4得ρ=ρ2cos 2+m ,(sin π4+2cos π4)π4即ρ2-3ρ+2m=0.2由题知解得0<m<.{Δ=(32)2-8m >0,m >0,94设方程的两个根分别为ρ1,ρ2(0<ρ1<ρ2),由韦达定理知 ρ1+ρ2=3,ρ1ρ2=2m.2由|OA|=|AB|,得|OB|=2|OA|,即ρ2=2ρ1,∴ρ1=,ρ2=2,m=2.22。
2022版高考数学(文理通用新课标)一轮复习教师用书：选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含解析
选修4－4⎪⎪⎪坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通 抓主干学问的“源”与“流”设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换典例] 求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个留意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时肯定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (X ，Y )＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．力量练通 抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′(1，－1)为所求．2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′， 所以y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x . 3．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，本节主要包括2个学问点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．4．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)，求a ，b 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by知⎩⎨⎧x ＝1a X ，y ＝1b Y ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y 2b2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，即a ＝3，b ＝2.突破点(二) 极坐标系基础联通 抓主干学问的“源”与“流” 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，特殊地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有很多种表示．假如规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步推断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化其次步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，肯定要留意变形过程中方程要保持同解，不要消灭增解或漏解第三步 依据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简洁，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：第一步，依据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；其次步，依据角θ的正切值tan θ＝yx (x ≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y 轴上)，问题即解．例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个留意点(1)依据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应留意推断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈0,2π))的值．极坐标方程的应用例2] (2021·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． 解] (1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直， 即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)由于M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sinφ＋2cos φ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2.易错提示]用极坐标系解决问题时要留意题目中的几何关系，假如几何关系不简洁通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不生疏的问题转化为生疏的问题加以解决．力量练通 抓应用体验的“得”与“失”1．考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2， 得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2，由坐标变换公式，得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1，即x ＋y －1＝0. 由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22.2．考点一]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.由坐标变换公式，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.3．考点二]在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1.故实数a 的值为－5或－1.4．考点一、二](2021·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4. 由于ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 由坐标变换公式， 得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：(1)消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2， 则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.2．(2021·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12.课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 由于圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离． 解：由于M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1.3．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 4．(2021·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)曲线C ：ρ2＝31＋2sin 2θ，即ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3，从而ρ2cos 2θ3＋ρ2sin 2θ＝1. ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，依据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 当θ＝π6时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.5．(2021·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 6．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．7．(2021·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的一般方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)， 又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点， 得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)， ∴点M 的轨迹的一般方程为(x －3)2＋y 2＝1.8．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的一般方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a 为半径)， 将D ⎝⎛⎭⎫2，π3 代入，得2＝2a ×12， ∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0.∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54. 其次节 参数方程突破点(一) 参数方程基础联通 抓主干学问的“源”与“流”1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就本节主要包括2个学问点： 1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题.叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与一般方程的互化1．参数方程化为一般方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．一般方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简洁；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；其次步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入一般方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．例1] 将下列参数方程化为一般方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． 解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝1t ，∴x ≠0. 当t ≥1时，0<x ≤1， 当t ≤－1时，－1≤x <0，∴所求一般方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的一般方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． 易错提示](1)将曲线的参数方程化为一般方程时务必要留意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的全都性． (2)将参数方程化为一般方程时，要留意参数的取值范围对一般方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为一般方程； 其次步，依据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.例2] (2021·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解] (1)将曲线C 的参数方程化为一般方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 由于|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为一般方程再依据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．1．考点一]将下列参数方程化为一般方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)． 解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k 2得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得4x 2＋y 2－6y ＝0，由于y ＝6k 21＋k 2＝6－11＋k 2，所以0<y <6，所以所求的一般方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(0<y <6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈0,2]， 得所求的一般方程为y 2＝2－x ，x ∈0,2]．2．考点二](2021·唐山模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的一般方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ代入⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的一般方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)且AD 的中点为P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3.又点A 在曲线C ′上，∴将A 点坐标代入C ′的一般方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，∴动点P的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.3．考点二](2021·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的一般方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 4．考点二]设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)将圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成一般方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得 t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0， 即20sin αcos α＞21cos 2α，两边同除以cos 2α， 由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞.突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、一般方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要留意：(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要娴熟把握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.(2)应用解析法解决实际问题时，要留意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要留意极点、极轴位置的选择，留意点和极坐标之间的“一对多”关系.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的学问，列出等量关系式，特殊是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.(4)参数方程和一般方程表示同一个曲线时，要留意其中x ，y 的取值范围，即留意两者的等价性.考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题典例] (2021·长沙模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)推断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．解] (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α可得其一般方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0. 由于圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1，所以直线与圆相交或相切，当k ＝0时，d ＝1，直线l 与曲线C 1相切； 当k ≠0时，d <1，直线l 与曲线C 1相交． (2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点， 且|AB |＝2，故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22， 解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1. 方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为一般方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的一般方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，①曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322， ∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的一般方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2aρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的一般方程为4x －3y ＋5＝0.(2)由于直线l 与圆C 恒有公共点，所以|4a ＋5|42＋(－3)2≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a－5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59∪[)5，＋∞.全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 2．(2022·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的一般方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 3．(2021·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.4．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.5．(2022·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的一般方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C 在点D 处的切线与l垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.6．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的一般方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．(2021·郑州模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值． 解：(1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)， 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)C 1的一般方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心，以2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值．解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的一般方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2021·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的一般方程；(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若|MA |·|MB |＝83，求点M 轨迹的直角坐标方程．解：(1)直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 的一般方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点M (x 0，y 0)，过点M 的直线为l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋22t ，y ＝y 0＋22t (t 为参数)，由直线l 1与曲线C 相交可得：3t 22＋2tx 0＋22ty 0＋x 20＋2y 20－2＝0，由|MA |·|MB |＝83，得t 1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋2y 20－232＝83，即x 20＋2y 20＝6，x 2。
2020高考数学文科大一轮复习导学案：选修4-4 坐标系与参数方程4.4.1 Word版含答案
姓名，年级：时间：选考部分选修4－4 坐标系与参数方程第一节错误!知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：错误!的作用下，点P（x，y)对应到点P′(x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．（选修4－4P4例题改编）设平面内伸缩变换的坐标表达式为错误!则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为y＝3sin2x.解析：由已知得错误!代入y＝sin x,得错误!y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sin x的方程变为y＝3sin2x。
知识点二极坐标系1．极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O 点引一条射线Ox，叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系．如图，设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ。
有序数对（ρ,θ）叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ）．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y)，极坐标为（ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝错误!.2．（选修4－4P11例4改编）点P的直角坐标为（1,－错误!),则点P的极坐标为错误!.解析：因为点P(1，－错误!)在第四象限，与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为－π3，所以点P的极坐标为错误!.3．（选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1）的极坐标方程为( A )A．ρ＝错误!，0≤θ≤错误!B．ρ＝错误!，0≤θ≤错误!C．ρ＝cosθ＋sinθ,0≤θ≤错误!D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤错误!解析：∵y＝1－x(0≤x≤1），∴ρsinθ＝1－ρcosθ（0≤ρcosθ≤1,0≤ρsinθ≤1）；∴ρ＝错误!错误!.知识点三常见曲线的极坐标方程4．（选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( B )A。
(完整word版)参数方程大题
参数方程大题1． 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩(t 为参数）,直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3：ρ（cos θ+sin θ)−2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.2. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
（1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2）设点A 的极坐标为π(2,)3，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.3。
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）。
（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标;（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a 。
4. 在直线坐标系xoy 中,曲线C 1的参数方程为(为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin （）=.（I ）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（II ）设点P 在C 1上,点Q 在C 2上，求∣PQ ∣的最小值及此时P 的直角坐标.5. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y 。
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，学.科网求C 的极坐标方程;（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin xt α,yt α,（t 为参数），l 与C 交于A ,B 两点，10AB ,求l 的斜率.6。
坐标系与参数方程习题与答案
坐标系与参数方程专题一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A．1(,2B ．31(,)42-C． D．(1 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y = 5．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 7．直线l 的参数方程为()x a tt y b t =+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）A ．1tB ．12t C1 D1 8．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线9．直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点， 则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3, 10．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 11．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 12．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）AB ．1404CD13．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 14．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 15．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 BCD16．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．517．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线18．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=-二、填空题 1．直线34()45x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2022届高考数学(理)二轮复习专题检测(十九) 选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含答案
专题检测（十九） 选修4-4 坐标系与参数方程1．(2021·合肥一检)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3＋3t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为sin θ－3ρcos 2θ＝0.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标．解：(1)∵sin θ－3ρcos 2θ＝0，∴ρsin θ－3ρ2cos 2θ＝0， 即y －3x 2＝0.故曲线C 的直角坐标方程为y －3x 2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3＋3t ，代入y －3x 2＝0得，3＋3t －3⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＝0， 解得t ＝0，从而交点坐标为(1，3)， ∴交点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. 2．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求半圆C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标． 解：(1)半圆C的一般方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)， 于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33. 由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6， 所以切点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫2＋2cos π6，2sin π6， 即(2＋3，1)．3．(2021·宝鸡质检)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(1)求C 的直角坐标方程；(2)直线l ：⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点E ，求|EA |＋|EB |.解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)得ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 化简得t 2－t －1＝0， 点E 对应的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1， 所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝ 5.4．(2021·张掖一诊)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－22，曲线C 3：ρ＝2sin θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．解：(1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α消去参数α，得y ＋x 2＝1，x ∈[－1,1]．①曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－22⇒x ＋y ＋1＝0， ②联立①②，消去y 可得：x 2－x －2＝0， 解得x ＝－1或x ＝2(舍去)，所以M (－1,0)． (2)曲线C 3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，是以(0,1)为圆心，半径r ＝1的圆．设圆心为C ，则点C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|0＋1＋1|2＝2，所以|AB |的最小值为2－1.5．(2021·成都一诊)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ－4sin θ＝0.(1)写出直线l 的一般方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,0)．若点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ |的值．解：(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，∴直线l 的一般方程为y ＝tan α·(x －1)．由ρcos 2θ－4sin θ＝0，得ρ2cos 2θ－4ρsin θ＝0， 即x 2－4y ＝0.∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y . (2)∵点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2， ∴点M 的直角坐标为(0,1)．∴tan α＝－1，直线l 的倾斜角α＝3π4.∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)．代入x 2＝4y ，得t 2－62t ＋2＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2. ∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q 对应的参数值为t 1＋t 22＝622＝3 2.又点P (1,0)，则|PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝3 2.6．(2021·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.7．(2021·成都二诊)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． 解：(1)由题意知，曲线C 的一般方程为x 2＋(y －2)2＝4，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4， 即ρ＝4sin θ. 由ρ＝23，得sin θ＝32， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴θ＝2π3. (2)由题易知直线l 的一般方程为x ＋3y －43＝0， ∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0. 又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝2π3(ρ≥0)，ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3.∴点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，2π3， ∴|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.8．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2cos θ和曲线C 2：ρcos θ＝3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值． 解：(1)C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＝3. (2)设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A ， ∵PQ ⊥OP ， ∴PQ 过点A (2,0)． 设直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)， 代入C 1可得t 2＋2t cos θ＝0， 解得t 1＝0，t 2＝－2cos θ，可知|AP |＝|t 2|＝|2cos θ|. 代入C 2可得2＋t cos θ＝3， 解得t ′＝1cos θ， 可知|AQ |＝|t ′|＝⎪⎪⎪⎪1cos θ，∴|PQ |＝|AP |＋|AQ |＝|2cos θ|＋⎪⎪⎪⎪1cos θ≥22，当且仅当|2cos θ|＝⎪⎪⎪⎪1cos θ时取等号， ∴线段PQ 长度的最小值为2 2.。
2020版新高考复习理科数学教学案：坐标系与参数方程 含答案
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理.得t2＋(2 sinα＋2cosα)t－5＝0.
因为Δ＝(2 sinα＋2cosα)2＋20>0.所以可设该方程的两个根分别为t1.t2.
则t1＋t2＝－(2 sinα＋2cosα).t1t2＝－5.
【例2】[20xx·全国卷Ⅱ]在极坐标系中.O为极点.点M(ρ0.θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上.直线l过点A(4,0)且与OM垂直.垂足为P.
(1)当θ0＝ 时.求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时.求P点轨迹的极坐标方程．
解：(1)因为M(ρ0.θ0)在C上.当θ0＝ 时.
(1)求A.B两点间的距离；
(2)求点B到直线l的距离．
解：(1)设极点为O.在△OAB中.A .B .由余弦定理.得
AB＝ ＝ .
(2)因为直线l的方程为ρsin ＝3.
则直线l过点 .倾斜角为 .
又B .所以点B到直线l的距离为
(3 － )×sin ＝2.
■模拟演练——————————————
1．[20xx·南昌二模]已知在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点.x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2＝0.点P的极坐标是 .
所以点P的直角坐标为(1,1)．
(2)解法一：将 代入 ＋y2＝1.并整理得41t2＋110t＋25＝0.
Δ＝1102－4×41×25＝8 000＞0.
故可设方程的两根为t1.t2.
则t1.t2为A.B对应的参数.且t1＋t2＝－ .
依题意.点M对应的参数为 .
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：坐标系与参数方程 Word版含答案
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编坐标系与参数方程2017.021、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为26cos 10ρρθ-+=． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （Ⅱ）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．2、（荆门市2017届高三元月调考）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为32cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）， （Ⅰ）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的方程为πsin()4ρθ+l 被曲线C 截得的弦长．3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=OM ：3π=θ与C 分别交于点O ，P ，与l 交于点Q ，求PQ 的长．4、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），曲线C 2的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=与C 1，C 2各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合.(Ⅰ)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求a 与b 的值； (Ⅱ)设当4πα=时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当4πα=-时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求直线A 1 A 2 、B 1B 2的极坐标方程.5、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考） 以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，C 的极坐标方程为4cos 2sin .ρθθ=+（1）求直线l 和C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.6、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数，0a > ）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.7、（襄阳市2017届高三1月调研）在直角坐标系xoy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求12,C C 的极坐标方程； (2))若直线3C 的极坐标方程为()4R πρρ=∈，设2C 与3C 的交点为M,N 求2MNC ∆的面积.8、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考） 在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为1cos sin x t t t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值.9、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若直线2:12x m t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与圆C 交于A,B两点，且AB =m 的值.10、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()4πρθ+=（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案1、（Ⅰ）∵曲线C 的极坐标方程为26cos 10ρρθ-+=，∴曲线C 的直角坐标方程为22610x y x +-+=∵直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，∴直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，代入22610x y x +-+=整理得28cos 80t t α-+=∵直线l 与曲线C 有公共点，∴264cos 320α∆=-≥即cos 2α≥或cos α≤ ∵[)0,απ∈ ∴α的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭………5分（Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为22610x y x +-+=可化为22(3)8x y -+=其参数方程为3x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数） ………7分∵(),M x y 为曲线C 上任意一点，∴334sin()4x y πθθθ+=++=++∴x y +的取值范围是[]1,7-．………10分2、（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(3)4x y -+=，即05622=+-+x y x ，………………2分将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得26cos 50ρρθ-+=；所以，曲线C 的极坐标方程是26cos 50ρρθ-+=． (5)分 （Ⅱ）曲线l 的方程sin cos 1ρθρθ+=，则1x y +=, ………………………………………7分将1x y =-代入22(3)4x y -+=解得0y =和2y =- 即交点(1A ，(3,2)B -，弦长为AB =…………………………………………10分3、解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为，令代入的普通方程，得的极坐标方程为，即． 5分 （Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以．在的极坐标方程中令，得，所以．所以．10分4、 (Ⅰ) C 1是圆，C 2是椭圆当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3…………………………………………2分 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1……………………………………………………5分(Ⅱ) C 1，C 2的普通方程分别为221x y +=和2219x y += ………………………6分当4πα=时，射线l 与C 1的交点A 1的横坐标为x =与C 2的交点B 1的横坐标为x '= 当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的交点A 2，分别与A 1，B 1关于x 轴对称因此直线A 1 A 2 、B 1B 2垂直于极轴，故直线A 1 A 2 和B 1B 2的极坐标方程分别为sin ρθ=sin ρθ=10分 5、6、（Ⅰ）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin ρθρθ-=-化成直角坐标方程，得)2x y -=-l 的方程为40x y -+=. 依题意，设()2cos ,2sin P t t ，则P 到直线l的距离2cos 4d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当24t k πππ+=+，即32,4t k k Z ππ=+∈时，min 2d =. 故点P 到直线l的距离的最小值为2. （Ⅱ） 曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∴对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，()4t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a的取值范围为(0,. 7、(Ⅰ)解：C 1：cos 2ρθ=-2分由22(1)(2)1x y -+-=得：222440x y x y +--+=∴C 2：2cos 4sin 40ρρθρθ--+=5分 (Ⅱ)解：直线C 3的直角坐标方程为：0x y -= 6分 C 2到直线C 3的距离为d ==，||MN ==8分 211||22MNC S MN d ∆=⋅=． 10分8、解：（Ⅰ）曲线2C ：)4cos(22πθρ+=，可以化为)4cos (222πθρρ+=，θρθρρsin 2cos 22-=，因此，曲线C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ………………４分 它表示以)1,1(-为圆心、2为半径的圆． ………………５分（Ⅱ）法一：当4πα=时，直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 22221(为参数) 点P )0,1(在直线上，且在圆C 内，把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221 代入02222=+-+y x y x中得210t -= ………………6分 设两个实数根为21,t t ，则B A ,两点所对应的参数为21,t t ，则12t t +=121-=t t ………………8分64)(||||||2122121=-+=-=+∴t t t t t t PB PA ………………１０分法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为2)1()1(22=++-y x即圆心C 的坐标为)1,1(-半径为2，点P )0,1(在直线01:=-+y x l 上，且在圆C 内||||||AB PB PA =+∴ ………………6分圆心C 到直线的距离2211|1)1(1|22=+--+=d ………………8分所以弦||AB 的长满足621222||22=-=-=dr AB 6||||=+∴PB PA ………………１０分9、解(1)由圆C 的参数方程可得圆C 的圆心为（2,0），半径为2，所以圆C 的极坐标方程为θρcos 4= .………………………………………………………4分(2)由直线)(2123:为参数t t y t m x l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=可求得直线l 的直角坐标方程为03=--m y x .由15=AB 知圆心)0,2(C 到l 距离2122=-=m d ,可得1=m 或3=m .………10分10、解:（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=， 即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程2240x y x +-=化简得θρcos 4=．所以，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=． ………………5分（Ⅱ） 直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，由2240,4,x y x x y ⎧+-=⎨+=⎩得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2),(4,0)，所以弦长22=OA ． ……10分。
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广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编20：坐标系与参数方程一、选择题 二、填空题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()42in πρθ+=上的动点,则M 、N 的最小距离是______12 ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））在极坐标系中,直线sin ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为____3 ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1l 的极坐标系方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,ρ> 02)θπ≤≤,直线2l 的参数方程为{1222x t y t =-=+(为参数),若以直角坐标系的x 轴的非负半轴为极轴,则1l 与2l 的交点A 的直角坐标是____________【答案】解析:sin sin cos cos sin 1444y x πππρθρθρθ⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪⎝⎭ {12322x t x y y t =-⇒+==+,由3112x y x y x y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩(1,2)A ⇒ 4 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））在极坐标系中,圆3cos ρθ=上的点到直线cos()13πρθ-=的距离的最大值是______.【答案】745 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A B 、,则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________________.【答案】sin 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭(或1cos sin =+θρθρ)6 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,极点到曲线22)4cos(=+θπρ的距离是_____________【答案】7 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________.【答案】cos 3ρθ=.8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为__________. 【答案】349 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(),ρθ(0,02πρθ>≤<)中,曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____【答案】解析:4π⎫⎪⎭两式相除得tan 12sin 44ππθθρ=⇒=⇒==交点的极坐标为4π⎫⎪⎭10．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x 882(t为参数),若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点,且与圆222(4)(0)x y r r -+=>相切,则半径r =________.【答案】211．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是1(x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数),则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为________.【答案】412．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C:12112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______ 【答案】1; 13．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））(坐标系与参数方程选做题)过点(2,)3π且平行于极轴的直线的极坐标方程为__________.【答案】sin ρθ【解析】点(2,)3π的直角坐标为,∴过点平行于x轴的直线方程为y =即极坐标方程为sin ρθ=14．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知圆M:x 2+y 2-2x-4y+1=0,则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)的距离为______.【答案】215．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线21x ty t=--⎧⎨=-⎩(t 为参数)截圆22cos ρρθ+-3=0的弦长为____ 【答案】 416．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知直线l 方程是22x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数),以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=2,则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是___【答案】222-17．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线sin()6πρθ+=3的距离的最小值是____【答案】118．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最大值为______________ 【答案】3;19．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1C:ρ=和曲线2C:cos()4πρθ+=,则1C 上到2C 的距的点的个数为__________.【答案】3;将方程ρ=与cos()4πρθ+=222x y +=与20x y --=,知1C 为圆心在坐标原点,半径为的圆,2C 为直线,因圆心到直线20x y --=,故满足条件的点的个数3n =.20．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在极坐标中,圆ρ =4cos θ 的圆心C 到直线 ρ sin (θ +π4 )=2 2 的距离为_*****_.【答案】答案: 2解:在直角坐标系中,圆:x 2+y 2=4x ,圆心C (2,0),直线:x +y =4,所以,所求为2.21．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数),圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 则圆心C 到直线l 的距离为__________. 【答案】 22．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选讲选做题)已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是________.分析:圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=,直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=,如右图所示,圆心到直线的距离2d ==,故圆C 截直线l所得的弦长为23．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标为_______.【答案】1116,π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).24．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系x oy 中,曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x (θπθ],2,0[∈为参数),若以O 为极点,x 轴正半轴为极轴,则曲线C 的极坐标方程是________.【答案】4cos ρθ=25．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点π1,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭引圆8sin ρθ=的一条切线,则切线长为______.【答案】3;26．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）直角坐标系xOy中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点,A B 分别在曲线12c o s:s i n x C y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)和曲线2:1C ρ=上,则||AB 的最大值为__________.【答案】527．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程)在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中,曲线(cos sin )1ρθθ+=与(cos sin )1ρθθ-=-的交点的极坐标为_________.【答案】(1,)2π28．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,O 为极点,直线l 过圆C:)4πρθ=-的圆心C,且与直线OC 垂直,则直线l 的极坐标方程为_________.【答案】把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+,圆心C 的坐标为(1,1),与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-=29．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)若直线的极坐标方程为cos()4πρθ-=,曲线C :1ρ=上的点到直线的距离为d ,则d 的最大值为_________.【答案】【解析】直线的直角坐标方程为60x y +-=,曲线C 的方程为221x y +=,为圆;d 的最大值为圆心到直线的距离加半径,即为max 1d =+30．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点,设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ,则PA d +的最小值为______.31．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系) , (θρ(πθ20<≤)中,直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是__________.【答案】2.。