数值分析复习题

1、已知(1)用拉格朗日插法求)(x f 的三次插值多项式； (2)求x ，使0)(=x f 。

2、试求1x ,2x 使求积公式11211()[(1)2()3()]3f x f f x f x -≈-++⎰的代数精度尽量高，并求其代数精度。

3、用牛顿法求3的近似值。

取7.10=x ,计算三次，保留五位小数。

4、已知一元方程02.133=--x x 。

1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的Newton 迭代法公式。

5、确定求积公式)5.0()()5.0()(111Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰-的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.6、已知数据如下：求形如bxa y +=1拟合函数。

7、用二次拉格朗日插值多项式2()L x 计算sin 0.34。

插值节点和相应的函数值如下表。

8、已知012113,,,424x x x === (1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算⎰102dx x 。

9、讨论用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组A x =b 的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。

其中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=212120203A10、写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.11、已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.12、对方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=++841025410151023321321321xxxxxxxxx试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由13、用高斯-塞德尔方法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++225218241124321321321xxxxxxxxx，取T)0,0,0()0(=x，迭代三次(要求按五位有效数字计算)。

14、利用矩阵的LU分解法解方程组1231231232314252183520x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩15、设3201219(), , 1, 44f x x x x x ====（1）试求 ()f x 在19,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的三次Hermite 插值多项式()xH 使满足：''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===()x H 以升幂形式给出。

（2）写出余项 ()()()R x f x H x =-的表达式16、用列主元消去法解线性方程组17、用二分法求方程3()1f x x x =--在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。

18、已知一组试验数据如下 ：求它的拟合曲线（直线）。

19、已知函数()y f x =的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式)(3x N ，并计算)21(3N =的近似值。

20、建立[0,2]上节点为00=x ，5.01=x ，22=x 的数值积分公式。

21、已知函数)(x f 的函数表如下：列出差商表，求四次Newton 插值多项式，并由此求)596.0(f 的近似值。

22、方程20102)(23-++=x x x x f 在区间（1,2）中有一个单根p ，取初始值10=x ，应用Newton 法迭代求p （要求8105.0)(-⨯≤n x f ）。

23、已知10100=，11121=，12144=，试分别用线性插值和抛物线插值公式求125的近似值。

24、设线性代数方程组b Ax =的系数矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122111221－－－－－A 分析Jacobi 和G-S 迭代法的收敛情况。

25、用多利特尔分解法求解方程组。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32563024353432321x x x26、用三点高斯-勒让德求积公式计算下式的近似值。

⎰=1sin dx xxI 27、求下列方程的解。

01)2(4=---x ex28、为求方程01)(23=--=x x x f 在x 0=1.5附近的一个根，试将方程改写为三种等价形式，建立相应的迭代公式，并分析公式的收敛性。

29、用二分法求方程0104)(23=-+=x x x f 在区间[1,2]内根的近似值时，为使误差不超过不超过10-2,需要得分多少次？ 30、导出3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛565375343132321x x x 33、对下列矩阵进行LU 和LDU 0分解。

（L （U 0）分别为单位下（上）三角形矩阵，D 为对角阵）。

34、用多利特尔分解：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+=-+41432532210224321321321x x x x x x x x x 35、试构造迭代收敛的公式求解下列方程：（1）4sin cos xx x +=; (2)x x 24-=。

36、用牛顿法求方程0742)(23=---=x x x x f 在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。

37、应用牛顿法于方程03=-a x , 导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。

38、设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++--=++3103220241225321321321x x x x x x x x x (1)考察用Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； (2)用Jacobi 法及Gauss-Seidal 法解方程组，要求当4)()1(10-∞+<-k k x x 时迭代终止。

39、用SOR 方法解下列方程组（取松驰因子2.1=ω）,要求4)()1(10-∞+<-k k x x .⎩⎨⎧=-=+54122121x x x x . 40、用选列主元高斯消去法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=-+-=+-0232122743321321321x x x x x x x x x 41、用三角分解法求解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----765202616184842321x x x 42、给出概率积分dx e x f xx ⎰-=22)(π的数据表：试用二次插值计算)472.0(f .并估计其误差.44、构造适合下列数据表的三次样条插值函数S (x )45、用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使与下列数据相拟合46、试确定下面求积公式⎰-++≈11210)]()()([)(x f x f x f C dx x f使其具三次代数精度。

47、在区间],[b a 上导出含五个节点的Newton-Cotes 公式，并指出其余项及代数精度。

48、分别用复合梯形公式及复合Simpson 公式计算⎰+21)1ln(dx x x, (取步长h =1/6)。

49、试构造两点Gauss 公式⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f ,并由此计算积分(精确到410-)⎰+121dxx 。

50、利用下面数据表，1. 用复化梯形公式计算积分dx x f I )(6.28.1⎰=的近似值；2. 用复化Simpson 公式计算积分dx x f I )(6.28.1⎰=的近似值。

(要求计算结果保留到小数点后六位).51、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1256144412A ，求矩阵A 的Doolittle 分解。

52、用Newton 迭代法求解方程0133=--x x 在2.0附近的实根（计算结果保留10.466758.030146.042414.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.01.8 x到小数点后第四位）。

53、对下面线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式。

54、已知初值问题：⎩⎨⎧=≤<-= 1)0(4.00,'y x y x y ，取步长h =0.1，1. 用（显式的）Euler 方法求解上述初值问题的数值解；2. 用改进的Euler 方法求上述初值问题的数值解。

55、用高斯-塞德尔方法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T )0,0,0()0(=x，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。

56、求A 、B 使求积公式⎰-+-++-≈11)]21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求⎰=211dxx I (保留四位小数)。

57、已知分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。

58、已知求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。

59、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数xx f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式)(2x P ,并估计误差。

60、构造求解方程0210=-+x e x的根的迭代格式 ,2,1,0),(1==+n x x n n ϕ，讨论其收敛性，并将根求出来，4110||-+<-n n x x 。