数值分析复习题
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1、已知
(1)用拉格朗日插法求)(x f 的三次插值多项式； (2)求x ，使0)(=x f 。
2、试求1x ,2x 使求积公式1
1211()[(1)2()3()]3f x f f x f x -≈-++⎰的代数精度尽量高，
并求其代数精度。
3、用牛顿法求3的近似值。取7.10=x ,计算三次，保留五位小数。
4、已知一元方程02.133
=--x x 。
1）求方程的一个含正根的区间；
2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；
3）给出在有根区间的Newton 迭代法公式。
5、确定求积公式)
5.0()()5.0()(11
1Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰-的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.
6、已知数据如下：
求形如bx
a y +=
1
拟合函数。
7、用二次拉格朗日插值多项式
2()
L x 计算sin 0.34。插值节点和相应的函数值如
下表。
8、已知
012113,,,
424x x x === (1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；
1
0120
113
()()()()
424
f x dx A f A f A f ≈++⎰
(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算⎰1
02dx x 。
9、讨论用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组A x =b 的收敛性，如果收敛，
比较哪种方法收敛快。其中：
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=212120203
A
10、写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1
01
1dx x +⎰
.
11、已知函数
21
1y x =
+的一组数据：
求分段线性插值函数，并计算
()
1.5f 的近似值.
12、对方程组⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
+
=
-
-
=
+
+
8
4
10
2
5
4
10
15
10
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由
13、用高斯-塞德尔方法解方程组⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
+
+
=
+
+
22
5
2
18
2
4
11
2
4
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，取T)0,0,0(
)0(=
x，迭代
三次(要求按五位有效数字计算)。
14、利用矩阵的LU分解法解方程组
12312312
32314252183520
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
15、设
3
2
01219
(), , 1, 44f x x x x x ====
（1）试求 ()f x 在19,44⎡⎤⎢⎥
⎣⎦上的三次Hermite 插值多项式()x
H 使满足：
''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===
()
x H 以升幂形式给出。
（2）写出余项 ()()()R x f x H x =-的表达式
16、用列主元消去法解线性方程组
17、用二分法求方程
3
()1f x x x =--在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。
18、已知一组试验数据如下 ：
求它的拟合曲线（直线）。
19、已知函数()y f x =的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式)(3x N ，并计算)2
1
(3N =的近似值。
20、建立[0,2]上节点为00=x ，5.01=x ，22=x 的数值积分公式。 21、已知函数)(x f 的函数表如下：
列出差商表，求四次Newton 插值多项式，并由此求)596.0(f 的近似值。 22、方程20102)(23-++=x x x x f 在区间（1,2）中有一个单根p ，取初始值1
0=x ，
应用Newton 法迭代求p （要求
8
105.0)(-⨯≤n x f ）。
23、已知10100=，11121=，12144=，试分别用线性插值和抛物线插值公式求125的近似值。
24、设线性代数方程组b Ax =的系数矩阵为：
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=122111221－－－－－A 分析Jacobi 和G-S 迭代法的收敛情况。 25、用多利特尔分解法求解方程组。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32563024353432321x x x
26、用三点高斯-勒让德求积公式计算下式的近似值。