矩阵在线性系统理论中的应用

是取电流 i 为状态变量 1，电容电压为状态变量 2，则空间状态表达式可以表示 为： ������1 ̇ = − ������ 1 1 ������1 − ������2 + ������ ������ ������ ������ ̇ 1 ������2 ̇ = ������ ������ 1 y = ������2
Байду номын сангаас
0 [0 ] 1
−2 (������ − 1)(������ − 2)2 = ������ − 1 (������ − 2)2
0 ������ − 1 ) [0] (������ − 2)2 1
从传递函数可以看出，闭环系统的特征根������1 = ������2 = 2，在复平面的右边平面，所
以该系统不稳定，然后我们再根据秩判据方法，判断系统的能控性。在线性定常 连续系统中， 系统完全可控的充分必要条件是秩rank[������ 为 n。 ������������ ������2 ������ ⋯ ������������−1 ������ ]
α(s) = ������ ������ + (������������−1 + ������������ )������ ������−1 + ⋯ (������0 + ������1 ) 设期望特征方程为： det(sI − A) = α∗ (s) = ������ ������ + ������������−1 ∗ ������ ������−1 + ⋯ + ������1 ∗ ������ + ������0
图 1 RLC 网络电路
其中，R 为电阻，L 为电感，C 为电容，e 为输出量，������������ 为输出量，i 为电 流。对该电路，电阻部分的电压为Ri，电感部分的电压为L ������������/������������ 电压为
1
������������
，电容部分的
1
������
∫ ������������������，根据电路回路定律写出电路方程为：e = Ri + L ������������ + ������ ∫ ������������������ ，若
该题，S = [������
������������
0 1 ������2 ������ ] = [0 0 1 3
4 0] ，rankS = 2 < 3，因此该系统不可控。 9
3 状态反馈
3.1 状态反馈的构成和描述 状态反馈是以系统状态为反馈变量的一类反馈形式。 对于连续时间线性时不 变受控系统，状态反馈的构成用图 1.1 所示的方块图表示。其中，状态 x 通过反 馈阵 K 被回馈到系统输入端，v 为系统的参考输入。
3.2 状态反馈系统的传递函数矩阵
单输入单输出线性时不变系统的传递函数 g(s)，定义为零初始条件下输出变量拉 普拉斯变换������ ̂(������)与输入变量拉普拉斯变换u ̂ (s)之比，即有：
g (������) =
������ ̂(������) ������ ̂(������)
对反馈系统Σf 状态空间描述取拉普拉斯变换，并令初始状态x(0) = 0，得 sx ̂(s) = ������������ ̂(������) + ������������ ̂(������) ������ ̂(������) = ������������ ̂(������) 由式子 1.1 可导出： (sI − A)x ̂(s) = ������������ ̂(������)
输出方程为：
最后用矩阵的形式表示出来： ẋ = ������������ + ������������ y = cx − ������ ̇ 其中，������̇ = [ 1 ] ，A = [ 1 ������ ������1 ̇
������ ������
− ������
1
1
] ，B = [ ������ ] ，e = [0 1]。通过这种矩阵 0 0
参考文献
[1]郑大钟.线性系统理论[M].北京：清华大学出版社, 1993,(2):257-269. [2] 同 济 大 学 数 学 系 . 工 程 数 学 线 性 代 数 [M]. 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 , 2008,(6):94-110. [3]胡寿松.自动控制原理[M].北京:科学出版社,2007,93-105.
ν
+ −
u
B
+
+
∫
x
C
A
K
用Σ0 表示连续时间线性时不变反馈系统Σf 状态空间描述为 Σf ：x = (A − BK)x + Bv, ������(0) = ������0 , ������ ≥ 0
y = Cx 其中，x 为 n 维状态，u 为 p 维输入，y 为 q 维输出，A,B 和 C 为相应维数常数 阵，K 为 p × q 反馈矩阵。
这种矩阵表示形式也是可以用于自动控制系统研究中， 在控制系统中经常会 用到多个参数，多个状态，多个方程，若是直接采用待定系数法解方程是非常困 难的，而采用矩阵的形式，既简洁又快速地解决问题。矩阵具有集多个变量、多 个方程于一体的特性， 可以直观地描述某些控制系统的状态。如网络电路系统的 空间描述，其RLC 网络电路图如图1所示。
∗
最后，令加上反馈矩阵的系统特征方程等于有着期望极点的系统特征方程 对应系数相等，即取 (������������−1 + ������������ ) = ������������−1 ∗ … (������0 + ������1 ) = ������0
∗
可得到相应的状态反馈阵 K = [k1 k 2 … k ������ ]
考虑到(sI − A)作为多项式矩阵为非奇异，还可以把上式表示为： x ̂ (s) = (sI − A)−1 Bu ̂ (s) 再将式 1.4 带入式 1.1 得： y ̂ (s) = [C(sI − A)−1 B]u ̂ (s) 最后得出反馈系统的传递函数矩阵： G(s) = C(sI − A)−1 B 3.3 极点配置，得出反馈阵 K 对于单输入 n 维连续时间线性时不变受控系统： ẋ = Ax + Bu 系统全部 n 个极点即特征值可以任意配置的充分必要条件为（A,B）完全受 控。一个系统要稳定，该系统的极点就必须位于 S 平面的左半平面，也就是特 征方程为 0 得出的 s 的结果位于复平面的左边。 若反馈系统Σf 状的状态反馈阵 K 为 K = [k1 k 2 … k ������ ] 相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式分别为 G������ (������) = ������������−1 ������ ������−1 + ⋯ + ������0 ������ ������ + (������������−1 + ������������ )������ ������−1 + ⋯ (������0 + ������1 )
的方式表示的电路关系，简洁明了，后续计算也十分便利。
2 能控性判别
通过系统的状态空间表达式求出系统的闭环传递函数， 再由传递函数得出特 征方程，求出特征根，用于判断系统的稳定性；还可通过线性系统理论中的秩判 据以及 PBH 判据等方法，利用系数矩阵得出系统的稳定性判别。例如，有系统 状态表达式为： 1 2 ẋ = [ 0 1 −1 0 1 0 0] ������ + [0] ������，y = [0 0 3 1 1]������
矩阵在控制系统中的应用
*** （****大学）
摘要： 控制系统理论着重于研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的 可能性和方法， 以建立和揭示系统结构、 参数、 行为和性能间的确定和定量关系。 其可能需要借助线性代数矩阵的知识，来解决如能控性、能观性以及状态空间描 述等问题。本文将通过例举线性系统状态空间描述、能控性能观性、状态反馈、 极点配置来简要介绍矩阵在表述和分析线性系统时的应用。 关键字：矩阵；线性系统；应用
0 引言
自动控制系统是指用一些自动控制装置,对生产中某些关键性参数进行自动 控制， 使它们在受到外界干扰(扰动) 的影响而偏离正常状态时,能够被自动地调 节而回到工艺所要求的数值范围内。 研究控制系统就是要解决内部的稳定性和外 界扰动对系统的影响。对于系统中反映系统变量间因果关系和变换关系的问题， 需要用到多个变量或多个方程求解完成，解题的难度不是简单的代入法、消元法 可以胜任的，需要线性代数矩阵的知识来描述问题、解决问题。
系统的闭环传递函数公式为：G(s) = C(������������ − ������)−1 ������ ������ − 3 (������ − 2)2 (sI − A)−1 = 0 −1 ((������ − 2)2 最后， ������ − 3 (������ − 2)2 G(s) = [0 0 1] 0 −1 ((������ − 2)2 −1 = ( (������ − 2)2 2(������ − 3) (������ − 1)(������ − 2)2 1 ������ − 1 −2 (������ − 1)(������ − 2)2 1 (������ − 2)2 0 ������ − 1 (������ − 2)2 ) 2(������ − 3) (������ − 1)(������ − 2)2 1 ������ − 1 −2 (������ − 1)(������ − 2)2 1 (������ − 2)2 0 ������ − 1 (������ − 2)2 )
������1 , ������2 … ������������ 都是常数。 可用矩阵表示为AX = B的形式，其中A为n × n 阶方阵，X为n × 1矩阵，B为 n × 1矩阵，具体如下： ������11 ������21 A=( ⋮ ������������1 ������12 ������22 ⋮ ������������2 ⋯ ⋯ ⋯ ������1������ ������1 ������1 ������2������ ������2 ������2 ⋮ ) ，X = ( ⋮ ) ，B = ( ⋮ ) ������������ ������������������ ������������