优化工具箱之求函数极小值
scipy 计算极值
scipy 计算极值
在Python的SciPy库中，可以使用`scipy.optimize.minimize`函数来找到函数的极值。
这个函数使用了一种优化算法来找到函数的最小值或最大值。
以下是一个简单的例子，假设我们有一个函数`f(x) = x**2`，我们想要找到这个函数的极小值：
如果你想要找到函数的极小值，你可以定义一个负的函数，然后使用同样的方法来找到最小值。
例如，对于函数`f(x) = -x**2`，它的极小值就是它的最大值。
注意，`minimize`函数默认是寻找最小值。
如果你想要寻找最大值，你需要提供一个额外的参数`method='BFGS'`。
例如：如果你想要找到函数的极值，你需要先定义一个目标函数，然后使用`scipy.optimize.minimize`函数来找到函数的极值。
这个函数默认是寻找最小值，如果你想要寻找最大值，你需要提供一个额外的参数`method='BFGS'`。
如果你的函数有多个局部最小值或最大值，
`minimize`函数可能无法找到全局的最小值或最大值，而只能找到局部的最小值或最大值。
在这种情况下，你可能需要尝试不同的初始猜测值，或者使用不同的优化算法来找到全局的最小值或最大值。
matlab极值点
MATLAB极值点一、引言MATLAB是一种强大的数学建模和仿真软件，广泛应用于科学研究、工程设计和数据分析等领域。
在MATLAB中，寻找极值点是一项常见的任务，它对于优化问题的求解和函数的分析具有重要意义。
本文将详细介绍MATLAB中寻找极值点的方法和应用。
二、MATLAB中的极值点寻找方法2.1 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，它通过迭代的方式逐步逼近函数的极小值点。
在MATLAB中，可以使用fminunc函数来实现梯度下降法。
该函数需要提供一个目标函数和初始点，然后通过迭代计算来寻找极小值点。
2.2 全局优化方法全局优化方法是一种寻找函数全局极小值点的算法。
MATLAB中提供了fmincon函数来实现全局优化。
该函数需要提供一个目标函数和约束条件，然后通过迭代计算来寻找全局极小值点。
2.3 网格搜索法网格搜索法是一种简单但有效的寻找函数极值点的方法。
在MATLAB中，可以使用gridsearch函数来实现网格搜索法。
该函数需要提供一个目标函数、搜索范围和步长，然后通过遍历搜索来寻找极值点。
三、MATLAB中极值点的应用3.1 函数优化在许多实际问题中，需要寻找一个函数的最优解。
例如，在工程设计中，需要找到一个函数的最小值点来满足设计要求。
MATLAB中的优化工具箱提供了丰富的函数和方法来解决这类问题。
3.2 数据分析在数据分析中，寻找极值点可以帮助我们理解数据的特征和趋势。
例如，我们可以通过寻找时间序列数据的极大值点来找到数据的峰值。
MATLAB中的统计工具箱提供了各种函数和方法来进行数据分析和极值点的寻找。
3.3 图像处理在图像处理中，寻找图像的极值点可以帮助我们定位图像的边缘和特征点。
例如，在边缘检测中，我们可以通过寻找图像的极小值点来找到图像的边缘。
MATLAB中的图像处理工具箱提供了各种函数和方法来进行图像处理和极值点的寻找。
四、总结本文介绍了MATLAB中寻找极值点的方法和应用。
优化设计-Matlab优化工具箱的介绍及8种函数的使用方法
计算结果 截面高度h x(1)=192.9958mm 斜边夹角θ x(2)=60.0005度 截面周长s f=668.5656mm
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminbnd(@fun,x0,options,P1
3.例题：
3.2.3函数fminunc
解：(1)建立优化设计数学模型 (2)编写求解无约束非线性优化问题的M文件
2 优化工具箱 （Optimization Toolbox）
• 优化工具箱主要应用 ①求解无约束条件非线性极小值； ②求解约束条件下非线性极小值，包括目标 逼近问题、极大-极小值问题； ③求解二次规划和线性规划问题； ④非线性最小二乘逼近和曲线拟合； ⑤求解复杂结构的大规模优化问题。
• 优化工具箱的常用函数
初始点
各分目标期望值 各分目标权重 线性不等式约束的常数向量 线性不等式约束的系数矩阵 设置优化选项参数 非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩阵
目标函数在最优解的海色矩阵
无定义时以空矩阵 符号“[ ]”代替
三、例题
3.5.1 函数fgoalattain
x1
x2
3.例题：
64516 2x 1 解：(1)建立优化设计数学模型 f ( X) x1 x1ctgx 2 sin x 2
MATLAB优化工具箱
MATLAB优化工具箱MATLAB（Matrix Laboratory）是一种常用的数学软件包，广泛用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
MATLAB优化工具箱（Optimization Toolbox）是其中一个重要的工具箱，提供了一系列用于求解优化问题的函数和算法。
本文将介绍MATLAB优化工具箱的功能、算法原理以及使用方法。
对于线性规划问题，优化工具箱提供了linprog函数。
它使用了线性规划算法中的单纯形法和内点法，能够高效地解决线性规划问题。
用户只需要提供线性目标函数和约束条件，linprog函数就能自动找到最优解，并返回目标函数的最小值和最优解。
对于整数规划问题，优化工具箱提供了intlinprog函数。
它使用分支定界法和割平面法等算法，能够求解只有整数解的优化问题。
用户可以指定整数规划问题的目标函数、约束条件和整数变量的取值范围，intlinprog函数将返回最优的整数解和目标函数的最小值。
对于非线性规划问题，优化工具箱提供了fmincon函数。
它使用了使用了一种称为SQP（Sequential Quadratic Programming）的算法，能够求解具有非线性目标函数和约束条件的优化问题。
用户需要提供目标函数、约束条件和初始解，fmincon函数将返回最优解和最优值。
除了上述常见的优化问题，MATLAB优化工具箱还提供了一些特殊优化问题的解决方法。
例如，对于多目标优化问题，可以使用pareto函数找到一组非劣解，使得在目标函数之间不存在改进的解。
对于参数估计问题，可以使用lsqnonlin函数通过最小二乘法估计参数的值，以使得观测值和模型预测值之间的差异最小化。
MATLAB优化工具箱的使用方法非常简单，只需按照一定的规范格式调用相应的函数，即可求解不同类型的优化问题。
用户需要注意提供正确的输入参数，并根据具体问题的特点选择适应的算法。
为了提高求解效率，用户可以根据问题的特点做一些必要的预处理，例如，选择合适的初始解，调整约束条件的松紧程度等。
优化工具箱
六．优化工具箱（Optimization Toolbox ）简介6．1 优化工具箱的功能及应用步骤1． 基本功能（1） 求解线性规划和二次规划问题；（2） 求解无约束条件非线性的极小值问题；（3） 求解带约束条件非线性的极小值问题；（4） 求解非线性方程组；（5） 求解带约束的线性最小二乘问题；（6） 求解非线性最小二乘逼近和曲线拟合问题。
2． 应用步骤（1） 根据所提出的最优化问题，建立数学模型，确定变量、约束条件合目标函数；（2） 对数学模型进行分析研究，选择合适的最优求解方法；（3） 根据最优化方法的算法，选择最优化函数，编程计算。
6．2优化工具箱的函数使用方法求解线性规划问题（1） 基本模型1122min ..T C xA x b s t A x b lb x ub ≤⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩其中x 为向量，A 1, A 2为常数矩阵，C, b 1, b 2 ,lb, ub 均为常数向量。
（2） 数linprog 调用x=linprog(C,A1,b1); %决策变量无上下约束条件，并且只含有“≤“约束条件； x=linprog(C,A1,b1,A2,b2); %决策变量无上下约束条件；x=linprog(C,A1,b1,A2,b2,lb,ub); %决策变量有上下约束条件；[x,fv]=linprog(…); %要求在迭代中同时返回目标函数值； [x,fv,ef]=linprog(…); %要求返回程序结束标志；[x,fv,ef,out]=linprog(…); ％要求返回程序的优化信息；（3） 例子例1 求线性规划问题123min 546z x x x =---subject to首先输入系数C=[-5; -4; -6]A= [1 -1 1;3 2 4;3 2 0]b=[20; 42; 30]lb=zeros(3,1)调用linprog函数[x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,[],[],lb) 输出结果：>> [x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,[],[],lb) Optimization terminated successfully. x =0.000015.00003.0000fv =-78.0000ef =1out =iterations: 6cgiterations: 0algorithm: 'lipsol'例1 求线性规划问题max z=2x1+3x2-5x3s.t. x1+x2+x3=72x1-5x2+x3>=10,x1,x2,x3>=0.首先输入系数C=[-2; -3; 5]A=[-2 5 1]b=-10Aeq=[1 1 1]beq=7lb=zeros(3,1)调用linprog 函数[x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb)输出结果：>> [x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated successfully.x =6.42860.57140.0000fv =-14.5714ef =1out =iterations: 7cgiterations: 0algorithm: 'lipsol'求解二次规划问题（4） 基本模型 11221min2..T T x Hx C x A x b s t A x b lb x ub +≤⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩ 其中x 为向量，H,A 1, A 2为常数矩阵，C, b 1, b 2 ,lb, ub 均为常数向量。
机械优化设计Matlab-优化工具箱基本用法
Matlab 优化工具箱x = bintprog （f ， A, b, Aeq, Beq ， x0, options ） 0—1规划 用MATLAB 优化工具箱解线性规划命令：x=linprog(c ，A ，b ） 2、模型：命令：x=linprog(c ，A ，b ，Aeq ，beq ） 注意：若没有不等式：存在，则令A=［ ]，b=[ ］. 若没有等式约束， 则令Aeq=［ ]， beq=[ ].min z=cX1、模型：3、模型：命令：［1］x=linprog（c，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB）[2］x=linprog（c，A，b，Aeq,beq，VLB，VUB, X0）注意：［1] 若没有等式约束，则令Aeq=[ ］，beq=［]. [2]其中X0表示初始点4、命令:［x,fval]=linprog（…）返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.例1 max解编写M文件小xxgh1。
m如下：c=［-0.4 —0。
28 —0.32 —0.72 -0.64 -0。
6］；A=[0。
01 0.01 0.01 0.03 0。
03 0.03;0。
02 0 0 0。
05 0 0;0 0。
02 0 0 0。
05 0;0 0 0.03 0 0 0。
08］；b=[850；700；100;900]；Aeq=[]; beq=［];vlb=[0；0；0;0;0;0]；vub=[］；[x，fval］=linprog(c,A，b，Aeq，beq,vlb,vub)例2解: 编写M文件xxgh2.m如下：c=[6 3 4］；A=[0 1 0]；b=[50];Aeq=［1 1 1］；beq=［120];vlb=[30,0,20］;vub=［];［x，fval]=linprog（c,A,b,Aeq，beq,vlb，vub例3 (任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求,又使加工费用最低？解设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。
OptimizationToolboxMATLAB优化工具箱
OptimizationToolboxMATLAB优化工具箱Optimization Toolbox－－求解常规和大型优化问题Optimization Toolbox 提供了应用广泛的算法集合，用于求解常规和大型的优化问题。
这些算法解决带约束、无约束的、连续的和离散的优化问题。
这些算法可以求解带约束的、无约束的以及离散的优化问题。
工具箱中包含的函数可以用于线性规划、二次规划、二进制整数规划、非线性优化、非线性最小二乘、非线性方程、以及多目标优化等。
用户能够使用这些算法寻找最优解，进行权衡分析，在多个设计方案之间平衡，以及将优化算法集成到算法和模型之中。
主要特点交互式工具用于定义、求解优化问题，并能监控求解过程求解非线性优化和多目标优化问题求解非线性最小二乘，数据拟合和非线性方程提供了解决二次方程和线性规划问题的方法提供了解决二进制整数规划问题的方法某些带约束条件的非线性求解器支持并行运算使用Optimization Toolbox 中的基于梯度的求解器寻找峰值函数（peaks function）的局部最小解。
运用优化工具箱提供的大型线性最小二乘法修复一张模糊的照片。
定义，求解以及评定优化问题优化工具箱提供了解决极小极大值问题的最常用方法。
工具箱包含了常规和大型优化问题的算法，使用户可以利用问题的稀疏结构来求解问题。
用户可以通过命令行或图形用户界面Optimization Tool调用工具箱函数和求解器选项。
通过命令行运行的优化程序(左，调用了定义指标函数（右上）和限定条件方程（右下）的MATLAB文件。
Optimization T ool 是一个将一般优化工作简单化的图形用户界面。
通过该图形用户界面，用户能够完成以下操作：定义自己的优化问题并选择求解器配置，检验优化选项和所选求解器的默认设置运行优化问题，显示中间以及最终结果在可选择的快速帮助窗口中查看特定求解器的文档在MATLAB 的工作空间和优化工具之间导入和导出用户问题的定义，算法配置和结果保存用户工作和使工作自动化，自动生成M 语言代码调用Global Optimization Toolbox中的求解器使用Optimization Tool 设置并求解的一个优化程序(左)。
【精品】数学建模Matlab优化工具箱汇编
fmin命令用于求一元函数极小点
使用格式:fmin(‘f’,x1,x2) 例如:fmin(‘cos’,3,4) 将得到ans=3.1416 这是介于3和4之间的函数cos x 的最小值点
例.求函数f(x)=2e-x sin x 的极大和极小值点
function y=f3(x)
function y=f4(x)
s.t. 1.5x1x2x1x20
x1x210
funf='f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)
+ 2*x(2) + 1);';
fung='g=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];';
fun = [funf fung];
x0=[1 1 1]; fsolve('xyz',x0)
q(2)=3*x+2^y-z^3+1;
计算结果: ans=
q(3)=x+y+z-5;
0.5991, 2.3959, 2.0050
一个完整的命令格式可得更多信息
x0=[1 1 1];
%给出初始值(猜测值)
options=[];
%置参数向量为默认值
fmins命令用于求多元函数极小值点 命令使用格式为:fmins(‘f’,x0)
f是目标函数文件名,x0是极小值点的猜测值
例.求函数的极小值 z10 (y 0 x2)2(1x)2
function z=f5(p) x=p(1);y=p(2); z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;
绘二元函数图 形,观察极小值 点
使用Matlab进行非线性优化问题求解的技巧
使用Matlab进行非线性优化问题求解的技巧介绍：非线性优化在工程、金融、科学等领域广泛应用，它涉及到求解一个目标函数的最小值或最大值，并且满足一系列约束条件。
Matlab是一个功能强大的数值计算软件，提供了许多用于求解非线性优化问题的工具和函数。
本文将介绍一些使用Matlab进行非线性优化问题求解的技巧，帮助读者更有效地应用这些工具。
一、定义目标函数和约束条件在使用Matlab求解非线性优化问题之前，首先要明确问题的数学模型。
假设我们要最小化一个目标函数F(x)，并且存在一系列约束条件g(x) <= 0和h(x) = 0。
在Matlab中，可以使用函数形式或者符号形式来定义目标函数和约束条件。
例如，使用函数形式可以这样定义目标函数和约束条件：```matlabfunction f = objective(x)f = x(1)^2 + x(2)^2;endfunction [c, ceq] = constraints(x)c = [x(1) + x(2) - 1; x(1)^2 + x(2)^2 - 2];ceq = [];end```其中，objective函数定义了目标函数，constraints函数定义了约束条件。
在constraints函数中，c表示不等式约束条件g(x) <= 0，ceq表示等式约束条件h(x) = 0。
二、使用fmincon函数求解非线性优化问题Matlab提供了fmincon函数来求解非线性优化问题。
该函数的基本语法如下：```matlab[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options)```其中，fun表示目标函数，x0表示初始解，A表示不等式约束条件的线性部分，b表示不等式约束条件的右侧常数，Aeq表示等式约束条件的线性部分，beq表示等式约束条件的右侧常数，lb表示变量的下界，ub表示变量的上界，nonlcon表示非线性约束条件，options表示优化选项。
Matlab的优化工具箱的几个应用函数及例子
optnew = optimget(my_options,'Display','final'); 参见： optimset
如果函数的导数容易求得，一般来说首先考虑使用三次插值法，因为它具有较高
的效率。对于只需要计算函数值的方法中，二次插值法是一个很好的方法，它的 收敛速度较快，尤其在极小点所在区间较小时尤其如此。黄金分割法则是一种十 分稳定的方法，并且计算简单。由于以上原因，Matlab 优化工具箱中使用得较 多的方法是二次插值法、三次插值法、二次、三次混合插值法和黄金分割法。 9.2.1.2 相关函数介绍 fminbnd 功能：找到固定区间内单变量函数的最小值。 语法： x = fminbnd(fun,x1,x2) x = fminbnd(fun,x1,x2,options) x = fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,...) [x,fval] = fminbnd(...) [x,fval,exitflag] = fminbnd(...) [x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...) 描述： fminbnd 求取固定区间内单变量函数的最小值。 x = fminbnd(fun,x1,x2)返回区间{x1，x2}上 fun 参数描述的标量函数的最小值 x。 x = fminbnd(fun,x1,x2,options)用 options 参数指定的优化参数进行最小化。 x = fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,...)提供另外的参数 P1,P2 等,传输给 目标函数 fun。如果没有设置 options 选项，则令 options=[]。 [x,fval] = fminbnd(...)返回解 x 处目标函数的值。 [x,fval,exitflag] = fminbnd(...)返回 exitflag 值描述 fminbnd 函数的退出 条件。 [x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...)返回包含优化信息的结构输出。 变量： 函数的输入变量在表 9-7 中进行描述，输出变量在表 9-8 中描述。与 fminbnd 函数相关的细节内容包含在 fun,options,exitflag 和 output 等参数中，如表 9-10 所示。
matlab鲍威尔法求二元二次函数的极小值
matlab鲍威尔法求二元二次函数的极小值鲍威尔法（Powell's method）是一种用于求解无约束优化问题的迭代算法。
在MATLAB中，你可以使用内建函数，比如fminunc 或fminsearch，或者手动实现鲍威尔法来求解二元二次函数的极小值。
不过，MATLAB并没有直接提供鲍威尔法的内建函数，因此你需要自己实现它。
下面是一个简化的鲍威尔法实现，用于求解二元二次函数的极小值。
假设我们的二元二次函数是f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f。
matlabfunction [xmin, fmin] = powell_method(func, x0, tol, max_iter) % func: 目标函数句柄% x0: 初始点% tol: 收敛容忍度% max_iter: 最大迭代次数n = length(x0); % 变量的维数x = x0;B = eye(n); % 初始基矩阵为单位矩阵for k = 1:max_iter% 在当前基方向上进行一维搜索for i = 1:n% 定义搜索方向d = B(:, i);% 一维线搜索确定步长alpha = linesearch(func, x, d);% 更新当前点x_new = x + alpha * d;% 检查收敛性if norm(x_new - x) < tolreturnend% 更新xx = x_new;% 更新基矩阵B(:, n) = x_new - x;B = B(:, 1:n-1);end% 使用QR分解更新基矩阵[Q, R] = qr(B);B = Q(:, 1:n);endxmin = x;fmin = func(x);endfunction alpha = linesearch(func, x, d)% 简单的线搜索实现（这里假设函数是凸的）alpha = 0.1; % 初始步长c1 = 1e-4; % 足够小的正数while func(x + alpha * d) > func(x) + c1 * alpha * d' * grad(func, x)alpha = alpha / 2;endendfunction g = grad(func, x)% 计算梯度（这里需要func的梯度信息）% 对于二次函数ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f% 梯度是[2ax + by + d, bx + 2cy + e]'% 这里只是一个示例，你需要根据实际的func来计算梯度% 假设a = 1;b = 2;c = 1;d = -4;e = -6;g = [2*a*x(1) + b*x(2) + d; b*x(1) + 2*c*x(2) + e];end% 示例：求解函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 6y 的极小值func = @(x) x(1)^2 + 2*x(1)*x(2) + x(2)^2 - 4*x(1) - 6*x(2);x0 = [0; 0]; % 初始点tol = 1e-6; % 容忍度max_iter = 1000; % 最大迭代次数% 调用鲍威尔法[xmin, fmin] = powell_method(func, x0, tol, max_iter);% 显示结果disp(['极小值点:', mat2str(xmin)]);disp(['函数极小值:', num2str(fmin)]);请注意，上面的代码片段中有几个地方需要特别注意：grad 函数需要根据你的目标函数来计算梯度。
MATLAB优化工具箱在机械优化设计中的应用
58 •电子技术与软件工程 Electronic Technology & Software Engineering软件应用• Software Application【关键词】MATLAB 优化工具箱 数值计算 实现算法 优化函数 机械优化设计MATLAB 是matrix 和laboratory 的组合，翻译为矩阵工厂或矩阵实验室，是由美国MathWorks 公司开发的面对科学计算、数据可视化、交互式程序设计的计算环境。
MATLAB 融合数值分析、数据可视化、矩阵计算、非线性动态系统建模、非线性动态系统仿真于一体，将上述功能集成在一个便于使用的视窗环境下。
在现代科学研究、现代工程设计、图像处理、信号处理、通信、金融等需要进行较多复杂有效数值计算的项目中应用广泛，提供了一种更加全面的计算方案。
MATLAB 的主要功能在于进行矩阵运算、实现算法、绘制数据、绘制函数、创建界面、连接程序等，其中MATLAB 的优化工具箱能够为技术人员提供优化函数。
MATLAB 优化工具箱时语法简单、初始参数不复杂、编程量小，在机械优化设计中有着十分重要的作用。
1 MATLAB语言与优化工具箱MATLAB 摒弃了以往程序语言编辑模式，适用于解决复杂工程问题。
MATLAB 基本数据单位为矩阵，指令表达式与工程、数学等常用形式相似，应用MATLAB 解决数学问题、工程问题也较为简捷。
MATLAB 结合了Maple 等软件的优点，支持C 语言、JA V A 语言、C++语言、FORTRAN 等，表现出更加强大的功能。
高效的数值计算与高效的符号计算功能，使MATLAB 更适用于繁杂的数学运算；完善的图形处理功能，使MATLAB 能够实现对计算结果的编程与数据可视化；接近数学表达式的自然化语言使MATLAB 的使用者更容易学习和掌握各类软件功能；功能丰富的信号处理工具箱、优化工具箱、通信工具箱等为使用者提供了方便、实用的处理工具。
【清华】7.5_实验七-无约束优化
实验七——无约束优化化工系分7陈龙2007011832『实验目的』1.掌握用MATLAB 优化工具箱的基本用法，对不同算法进行初步分析、比较。
2.练习用无约束优化方法建立和求解实际问题模型（包括非线性最小二乘拟合）。
『实验内容』-------------------------------------------------------------------------------------------------------一、问题2.（2）：取不同的初值计算下列非线性规划，尽可能求出所有局部极小点，进而找出全局极小点，并对不同算法（搜索方向、步长搜索、数值梯度与分析梯度等）的结果进行分析、比较。
)32(min 222121x x e z x x +=--。
【问题分析】对于该函数，显然有0≥z ，当且仅当021==x x 时，z=0。
另外，运用分析方法也可以得到极值点的必要条件：04)32(1222112121=++-=∂∂----x e x x e x z x x x x 06)32(2222122121=++-=∂∂----x e x x e x z x x x x 得到方程组的解为08.0,2.12121====x x x x 或，这为之后的分析提供方便。
用MATLAB 绘出该函数的三维图形和等高线图，以获得直观认识：（程序如下）———————————————————————————————————————[x1,x2]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);%产生二维数组集合z=exp(1).^(-x1-x2).*(2*x1.^2+3*x2.^2);mesh(x1,x2,z)%画三维网格图pause;contour(x1,x2,z,20)%画等高线图———————————————————————————————————————得到的图形如下所示，可以看出，图形好比平铺在地面上的一块方巾，其中一个角被高高拎起。
MATLAB 优化工具箱4.3
4.4 非线性最小二乘优化（lsqnonlin求解器）求 minS=（x^2+x-1）^2+(2*x^2-3)^2 ，初始点为 x=5 。 解：启动优化工具，设置参数，点start得结果 如下图所示;
4.5 线性规划（linprog求解器） f处输入函数多项式的系数。基本方法如前面几类。 4.6 智能优化算法（ga求解器） 要输入变量的个数。基本方法如前面几类。
模型输入时需要注意问题： 目标函数最小化； 约束非正； 避免使用全局变量。
3 GUI优化工具 启动： 命令行输入optimtool； Start/Toolboxes/Optimization/Optimization tool(optimtool)。
图一：GUI优化工具的界面
帮助，可隐藏 问题描述及计算结 果显示 优化选项的设置
二次规划 约束极小 （非线性规划） 0-1规划 非线性最小二乘 达到目标问题
s.t. Ax<=b Min F(X) s.t. G(X)<=0 Min c X s.t.AXห้องสมุดไป่ตู้=b X={0,1} Min r s.t. F(x)-wr<=goal Min max {Fi(x)}
X {Fi(x)}
T
X=fgoalattain(‘F’,x,goal,w) X=fminimax(‘FG’,x0)
图二：步骤示意图
4 应用实例 4.1 无约束优化（fminunc求解器） 求f(x)=x^2+4*x-6极小值，初始点取x=0。 解：首先建立目标函数文件FunUnc.m文件： function y=FunUnc(x) y=x^2+4*x-6; 然后启动优化工具（如图）：
Algorithm有两个选择：Large scale和Medium scale， 设置完参数点击start即可得到如图中的结果。
excel极小值公式
excel极小值公式Excel是一款功能强大的电子表格软件，广泛应用于各个领域。
其中，极小值公式是Excel中的一项重要功能，用于寻找数据范围中的最小值。
本文将介绍Excel极小值公式的使用方法和应用场景。
一、极小值公式的基本概念极小值公式在Excel中的函数名称为MIN，它的作用是从一组数值中选取最小值。
其基本语法如下：MIN(number1, number2, ...)其中，number1, number2等为待比较的数值或数值范围。
该函数会返回其中的最小值。
二、极小值公式的使用方法1. 单个数值的最小值：可以直接在函数中输入待比较的数值，如：=MIN(1, 2, 3, 4, 5)该公式将返回1，即数值1为最小值。
2. 数值范围的最小值：可以通过指定一个数值范围来寻找最小值。
例如，若A1:A5分别为1、2、3、4、5五个单元格的数值，则可以使用以下公式找到最小值：=MIN(A1:A5)该公式将返回1，即A1:A5范围内的最小值。
三、极小值公式的应用场景极小值公式在实际应用中具有广泛的用途，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 数据分析：在数据分析过程中，经常需要找到某个数据集合中的最小值。
通过使用极小值公式，可以快速找到最小值，并用于后续的分析和决策。
2. 条件筛选：有时需要根据特定条件筛选数据，例如找到某个产品销售额最低的月份，可以结合极小值公式和条件筛选功能实现。
3. 值的比较：极小值公式还可以用于比较不同数据集合的最小值。
通过将不同数据范围的最小值进行比较，可以快速找到最小值所在的数据范围。
四、使用极小值公式的注意事项在使用极小值公式时，需要注意以下几点：1. 数据范围的选择：确保选择的数据范围正确，不包含非数值或空白单元格，否则可能会影响结果的准确性。
2. 数值更新：在使用极小值公式时，如果数据范围发生变化，需要手动更新公式，否则可能会导致结果不准确。
3. 多个极小值：如果数据范围中存在多个最小值，极小值公式只会返回第一个最小值。
Matlab的fmincon函数
Matlab优化函数fmincon1.fmincon是一种局部优化函数，利用目标函数以及约束函数的一阶导数信息，从给的初始点开始，在满足约束的条件下，沿着目标函数下降的方向迭代，最后收敛到局部最优解。
约束函数不同，对应的结果当然会不一样，因为一般的多维优化问题总存在很多局部最优解，而fmincon只能找到离给的初始点最近的极小值，在你的问题中，可能在[-5,-6]区间上存在一个极小值，当然也可能是[-6,-7]，因此你优化的结果会不同。
exitflag是优化结果的标志，exitflag=1说明优化收敛到局部最优解；exitflag=4、5说明你采用的是有效集算法(active-set )，也得到相应的结果；如果exitflag=0那说明你的优化失败了。
2.fmincon函数，用与解方程和拟合。
fmincon可用于局部优化，全局优化。
功能强大，若灵活运用能解决很多问题。
局部优化的语句为：X = FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON)全局优化的语句为：opts1 = optimset('Algorithm','interior-point');opts2 = optimset('Algorithm','sqp');opts3 = optimset('Algorithm','trust-region-reflective');opts4 = optimset('Algorithm','active-set');createOptimProblem('fmincon','objective', FUN, 'x0', X0, ...'Aineq', A, 'bineq', b, 'Aeq', Aeq, 'beq', beq, 'lb', LB, ...'ub', UB, 'nonlcon', NONLCON, 'options',opts1)gs = GlobalSearch;[x1,fval1] = run(gs,problem1)3.X0=[2 2];A=[1 0.1;-0.1 -1];B=[4;-2];Aeq=[];Beq=[];LB=[];UB=[];NONLCON=[];options = optimset('Algorithm','active-set');[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT]=fmincon(@(x)x(1)^2+x(2)^2,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLC ON,options)结果：X =0.1980 1.9802FVAL =3.9604EXITFLAG =1OUTPUT =iterations: 3funcCount: 12lssteplength: 1stepsize: 0.0028algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'firstorderopt: 1.9757e-008constrviolation: 0message: [1x144 char]Matlab的fmincon函数(非线性等式/不等式约束优化问题求解)fmincon函数优化问题x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)fmincon是求解目标fun最小值的内部函数x0是初值A b线性不等式约束Aeq beq线性等式约束lb下边界ub上边界nonlcon非线性约束条件options其他参数，对初学者没有必须，直接使用默认的即可优化工具箱提供fmincon函数用于对有约束优化问题进行求解，其语法格式如下：x=fmincon(fun,x0,A,b)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,...)[x,fval]=fmincon(...)[x,fval,exitflag]=fmincon(...)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...)其中，x,b,beq,lb,和ub为线性不等式约束的下、上界向量，A和Aeq为线性不等式约束和等式约束的系数矩阵矩阵，fun为目标函数，nonlcon为非线性约束函数。
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• X=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,Beq) • 同前一调用格式相比，约束条件中增加 了等式约束 Aeq*X = Beq. • (若无丌等式约束，取A=[] 、B=[])
• X=fmincon(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB, UB) • 若设计变量X有上下限UB、LB用此格式 • 若X无取值限制，LB不UB为空矩阵[]。 • 若X（i）的下限为负无穷，则LB(i)=-Inf。 • 若X（i）的上限为正无穷，则UB(i)=Inf
优化 工具箱
——函数极小值
一、一元函数极小（fminbnd）
二、无约束极小值
（fminunc, fminsearch） 三、约束极小值(fmincon) 四、极大极小（fminimax）
极小值点
一元函数极小值
• [x,fval,exitflag,output]=fmin bnd (@fun,x1,x2,options)
有约束极小值
min f （X） s.t. AX≤b （线性丌等式约束） AeqX=beq （线性等式约束） C(X)≤0 （非线性丌等式约束条件） Ceq(X)=0（非线性等式约束） Lb ≤X ≤Ub （边界约束条件）
约 束 条 件
• • • •
x=fmincon(fun,x0,A,b) 给定初值x0，求解fun函数的极值点x. 约束条件为线性约束A*x<=b。 x0可以是标量、矢量或矩阵
附加参数 设置优化选项参数 调用目标函数的函数文件名 初始点 线性丌等式约束的常数向量 线性丌等式约束的系数矩阵 非线性约束条件的函数名
目标函数在最优解的海色矩阵
无定义时以空矩阵 符号“[ ]”代替
设计数矩阵
极大极小
• • • • • • • • • 目标函数： f1(X)=x1*x2 f2(X)=- x1 * (x2^2)/6 约束条件： h(x)= x1^2+x2^2=1 g1(X)=-x1<=0 g2(X)=x1 -1 <=0 g3(X)=-x2<=0 g4(X)=x2 -1 <=0
目标函数 在（x1,x2） 上的最小 值
终止迭 代条件
优化 参数
关于优 化算法 的信息
均为局 部解
无约束极小值
• [x,fval,exitflag,output,grad,hessi an]=fminunc(@litifun,x0)
梯度 Hessia n矩阵 从x0起，寻找x的局部 最小值。可以是向量、 标量、矩阵
返回目标函数的最优解
返回目标函数的最优值
返回算法的终止标志 优化算法信息的一个数据结构 返回目标函数在最优解的梯度
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)
• X=fmincon(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB, UB,NONLCON) • NONLCON是包含函数名的字符串，该函 数可以是M文件、内部文件。 • 例如，若NONLCON=’mycon’， • 则M文件mycon.m具有如下内容： • Function [C,Ceq]=mycon(X) • C=…..%计算X处的非线性丌等式 • Ceq=…%计算X处的非线性等式