2021年中考数学压轴题提升训练动点与函数图象含解析
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动点与函数图象
【例1】如图所示,在矩形ABCD 中,AB =8,AD =4,E 为CD 的中点,连接AE 、BE ,点M 从点A 出发沿AE 方向向E 匀速运动,同时点N 从点E 出发沿EB 方向向点B 匀速运动,点M 、N 的速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t ,连接MN ,设△EMN 的面积为S ,则S 关于t 的函数图象为（ ）
A B C D
【答案】D .
【解析】解：由题意知,AD =DE =CE =BC =4,AE ,
∴∠AED =∠BEC =45°,
∴∠MEN =90°,
又∵EN =t ,EM －t ,
∴S =12
EM EN ⋅⋅
=()12
t t ⋅⋅
=(2142t -⋅-+,（0≤t ≤）
图象为抛物线,开口朝下,当x 时,S 取最大值,
故答案为D .
【变式1-1】如图,点 P 是边长为 2 cm 的正方形 ABCD 的边上一动点,O 是对角线的交点,当点 P 由 A →D →C 运动时,设 DP =x cm ,则△POD 的面积 y （cm 2） 随 x （cm ）变化的关系图象为（ ）
A B
C D 【答案】B.
【解析】解：当P点在AD上运动时,0 y=1 2 ·PD×1= 1 2 x, 当P点在DC上运动时,0 y=1 2 ·PD×1= 1 2 x, 故答案为：B. 【变式1-2】如图,在△ABC中,∠ABC＝60°,∠C＝45°,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE∥BC,BD ＝DE＝2,CE＝5 2 ,BC＝ 24 5 ．动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动,运动到 点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q,设△BPQ的面积为S,点P的运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为（） A ． B ． C ． D ． 【答案】D . 【解析】解：∵PQ ⊥BQ ∴S △BPQ ＝12 PQ •BQ ①当点P 在BD 上（即0s ≤t ≤2s ） BP ＝t ,BQ ＝PQ •cos 60°＝12 t ,PQ ＝BP •sin t S △BPQ ＝12 PQ •BQ ＝12•12 t t t 2 该图象是关于t 的二次函数,其图象为一段开口朝上的抛物线； ②当P 在DE 上时（即2s ＜t ≤4s ） PQ ＝BD •sin BQ ＝BD •cos 60°+（t ﹣2）＝t ﹣1 S △BPQ ＝12 PQ •BQ ＝12t ﹣1） t , 该图象为一条线段,由左向右上升； ③当P 在DE 上时（即4s ＜t ≤132 s ） PQ ＝PC •sin 45°＝4﹣2t ,BQ ＝BC ﹣CQ ＝245－4+2t S △BPQ ＝12PQ •BQ =12）（245t ） 通过计算可知,此时函数解析式为二次函数,且二次项系数为：14 <0,即该段图象为一段开口朝下的抛物线； 综上所述,答案为D . 【例2】如图,正方形ABCD ,对角线AC 和BD 交于点E ,点F 是BC 边上一动点（不与点B ,C 重合）,过点E 作EF 的垂线交CD 于点G ,连接FG 交EC 于点H ．设BF ＝x ,CH ＝y ,则y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A . 【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠EBF ＝∠ECG ＝45°,AC ⊥BD ,EB ＝EC , ∵EF ⊥EG , ∴∠BEC ＝∠FEG ＝90°, ∴∠BEF ＝∠CEG , ∴△BEF ≌△CEG , ∴EF ＝EG , ∴∠EFG ＝45°, ∴∠CFH ＝∠BEF , ∴△BEF ∽△CFH , ∴BE BE CH CF =, ∴ x y =, ∴y ＝﹣x 2x （0＜x ）, 图象为一段开口朝下的抛物线, 即答案为：A ． 【变式2-1】如图1,在矩形ABCD 中,AB ＜BC ,点E 为对角线AC 上的一个动点,连接BE ,DE ,过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE ＝x ,图1中某条线段的长为y ,若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示,则这条线段可能是图1中的（ ） A ．线段BE B ．线段EF C ．线段CE D ．线段DE 【答案】D ． 【解析】解：A 、由图1可知,若线段BE 是y ,则y 随x 的增大先减小再增大,而BA ＜BC ,选项A 错误； B 、由图1可知,若线段EF 是y ,则y 随x 的增大而减小,选项B 错误； C 、由图1可知,若线段CE 是y ,则y 随x 的增大而减小,选项C 错误； D 、由图1可知,若线段D E 是y ,则y 随x 的增大先减小再增大,而由由大变小的距离大于由小变大的距离,在点A 的距离是DA ,在点C 时的距离是DC ,DA ＞DC ,选项D 正确； 故答案为：D ． 【变式2-2】（2018·洛宁县模拟）如图1,正△ABC 的边长为4,点P 为BC 边上的任意一点,且