C++程序设计第四章树形结构

4.2.4 二叉树的存储结构
• 顺序存树中结点数的最大值为100 struct SqBiTree { ElemType *base; //存储空间基址 int nodeNum; //二叉树中结点数 };
• 特点 – 结点间关系蕴含在其存储位臵中 – 浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树 – 实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树 中的数据元素
4.2.5 二叉链表类的定义
• 二叉链表类模板
//先序递归遍历二叉树的接口函数 void PreorderTraverse (void (*visit)(const ElemType &)); //先序非递归遍历二叉树的接口函数 void PreorderTraverseNonRecursive (void (*visit)(const ElemType &)); //中序递归遍历二叉树的接口函数 void InorderTraverse (void (*visit)(const ElemType &)); //中序非递归遍历二叉树的接口函数 void InorderTraverseNonRecursive (void (*visit)(const ElemType &)); //后序递归遍历二叉树的接口函数 void PostorderTraverse (void (*visit)(const ElemType &)); //后序非递归遍历二叉树的接口函数 void PostorderTraverseNonRecursive (void (*visit)(const ElemType &)); //层次遍历二叉树 void LevelTraverse (void (*visit)(const ElemType &e)); …………………. }
4.2.1 二叉树的结构定义
• 二叉树的基本形态

空二叉树 只有根结点的二叉树
右子树为空
左子树为空
左右子树均非空
4.2.2 几种特殊形态的二叉树
• • 满二叉树：一棵深度为k的二叉树若每一层上的结点数都 达到最大则称其为满二叉树。 完全二叉树：一棵具有n个结点且深度为k的二叉树若前 k－1层的结点数都达到最大，剩余的结点在第k层中从左 至右连续分布则称其为完全二叉树。 拟满二叉树：一棵具有n个结点且深度为k的二叉树若前 k－1层的结点数都达到最大，剩余的结点在第k层中随机 分布则称其为拟满二叉树。 正则二叉树：在一棵二叉树中，如果只存在度为0和度为 2的结点则称其为正则二叉树。 平衡二叉树：在一棵二叉树中，若其任一子树型均满足 ：|左子树的深度–右子树的深度|≤1，则称其为平衡二叉 树。
4.2.3 二叉树的性质
• 二叉树性质2 – 深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点（k≥1）。 – 证明 基于上一条性质，深度为 k 的二叉树上的结点数至多为 20+21+ …+2k-1 = 2k-1 。
4.2.3 二叉树的性质
• 二叉树性质3 – 对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、n2 个度 为 2 的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1。 – 证明： 设n1 为二叉树中度为1的结点数， 二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 ， 又二叉树上分支总数 b = n1 +2 n2 ， 而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1， 由此， n0 = n2 + 1 。
•
• •
4.2.2 几种特殊形态的二叉树
（a）
（b）
（c）
（d）
（e ）
4.2.3 二叉树的性质
• 二叉树性质1 – 在二叉树的第 i 层上至多有2i-1 个结点。 (i≥1) • 证明：用归纳法证明之 1. i=1时，只有一个根结点，2i-1 = 20 = 1；是对的 2. 假设对所有j(1 j<i)命题成立，即第j层上至多 有2j-1 个结点，那么，第i-1层至多有2i-2 个结点 又二叉树每个结点的度至多为2，第i层上最大 结点数是第i-1层的2倍， 即2i-2 * 2 = 2i-1 故命题得证
4.1树、森林的定义及基本术语
• 基本术语 – 结点的层次：设根结点的层次为1，则其子树的根结点 层次为2；第L 层结点的子树的根结点层次为L+1。 – 树的深度：树中结点（该结点必为树叶结点）的最大层 次。 – 孩子结点及双亲结点：结点的子树的根结点称为该结点 的孩子结点，该结点又称为孩子结点的双亲结点。 – 兄弟结点：拥有同一个双亲结点的若干个结点互称为兄 弟结点。 – 堂兄弟结点：在同一层次上，但双亲结点不同的若干个 结点称为堂兄弟结点。
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
4.1 树、森林的定义及基本术语
• 森林是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。 • 用森林的定义也可定义树：一棵非空的树由根结点及其子树 森林所构成。 • 树和森林均为典型的树型结构，从形态上看，树结构类似于 自然界倒长的一棵树
4.1树、森林的定义及基本术语
• 基本术语 – 结点：包含了数据元素及若干个指向其子树的分支。 – 结点的度：结点的子树数目或分支个数。 – 树的度：在树中取各结点的度的最大值。 – 分支结点（又称非终端结点）：度大于零的结点。 – 树叶结点（又称终端结点）：度为零的结点。 – 结点的路径：根结点到该结点所经分支和结点构成结 点的路径。 – 结点的路径长度：根结点到该结点路径上所经分支的 数目。
4.2.3 二叉树的性质
用归纳法证明如下： <1>当i=1 时，由完全二叉树的定义及编号规则可知，i 结 点是二叉树的根，其左孩子若存在编号是2 即2i，右孩子 若存在编号是3 即2i+1，性质成立。 <2>设编号为i-1 的结点其左孩子若存在编号是2(i-1)，右孩 子若存在编号是2(i-1) +1 性质成立。 <3>由完全二叉树的定义及编号规则可知，对于第i 个结点 ，其左孩子若存在，编号必为编号为i-1 的那个结点的左 孩子位序加2，即2(i-1)+2=2i；右孩子若存在，编号必为编 号为i-1 的那个结点的右孩子位序加2，即2(i-1) +1+2=2 i+1 ，故②和③成立。 性质得证。
第4章 树型结构
• 树型结构是一种典型的分支结构，并且具有明显的层次特 征。 • 树型结构在客观世界中是广泛存在的，如家族谱、组织机 构、博弈等都可用树型结构形象地表示。 • 树型结构在计算机领域中也有着广泛的应用：编译程序、 数据库系统、分析算法
4.1 树、森林的定义及基本术语
• 树(tree)是n ( n 0 )个结点的有限集T，当n=0时称为空树，否则 满足以下两个条件： – 有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root) – 其余结点可分为m( m 0 )个互不相交的子集T1,T2,…,Tm，其 中每一个子集本身又是一棵树，并称其为根结点的子树 (subtree)
lchild
data
rchild
二叉链表例
Root
A B C E D F B
A ^
^
C
^
^ E ^
D
^ G ^ F ^
G
在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域
4.2.4 二叉树的存储结构
• 二叉树的链式存储结构—三叉链表
template <class ElemType> struct BTnode { ElemType Data; BTnode<ElemType> *Lchild , *Rchild; BTnode<ElemType> *parent; };
二叉树的存储结构(顺序存储)
a b d e f c d b e f (a)
0 1 a 2 b 3 c 4 d 5 e 6 f 7 8
a c
(b)
9 10 11
0
1 a
2 b
3 c
4 d
5 e
6
7
8
9
10
11 f
4.2.4 二叉树的存储结构
• 二叉树的链式存储结构–– 二叉链表
// BTnode.h，二叉链表结点结构 template <class ElemType> struct BTnode { ElemType Data; BTnode<ElemType> *Lchild , *Rchild ; };
4.2.5 二叉链表类的定义
• 二叉链表类模板
BinaryTree& operator=(const BinaryTree &rhs)//赋值重载 { if(&rhs==this) return *this; _Destroy(m_root); m_root=_Copy( rhs.m_root); return *this; } ~BinaryTree() //析构函数 { _Destroy(m_root); } //按以先序次序输入结点值的方式建立二叉树的接口函数 void Create1(ElemType ch[],const ElemType &endChar); //以二叉树的先序和中序次序建立二叉树的接口函数 void Create2(ElemType ch1[],ElemType ch2[],int);
一棵完全二叉树的例子
•
4.2.3 二叉树的性质
• 二叉树性质4 – 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 log2 n +1 – 证明 设完全二叉树的深度为 k 则根据第二条性质得 2k-1≤ n < 2k 即 k-1 ≤ log2 n < k 因为 k 只能是整数，因此， k = log2 n +1。