事件的独立性(二)
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北师大版高中数学选修2-3 第二章《概率》
一、教学目标： 1、知识与技能：理解两个事件相互独立的概 念。 2、过程与方法：能进行一些与事件独立有关 的概率的计算。 3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析， 会进行简单的应用。 二、教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程：
小结：
求 较 复 杂 事 件 概 率 正向
( 互斥事件)
分类
分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· P(A) ·P (B) B)=
( 互独事件)
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
课外作业:
1、一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些 机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是 0.79，第3台是0.80，第4台是0.81， 且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在 这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率. 2、制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床 的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件， 其中恰有1件废品的概率是多少？ 3、甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球， 6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色 的概率是多少？
P(A+B)=P(A· B)+P(A· +P(A· B) B)=1- P(A· B)
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 13 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____
30
(1-a)(1-b)
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__. 6.某系统由A,B,C三个元件组成, 每个元件正常工作概率为P. P+P2则系统正常工作的概率为____P3
行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两 部分都合格则该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理 论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考 核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否 合格相互之间没有影响。
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合 格的概率；
（2）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保 留三位小数）
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) [1 P( A)][ P( B)][ P(C )] 1 1 (1 0.7)(1 0.7)(1 0.7) 0.027
练习：
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 14 则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______ 15
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 3 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___ 5
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 m+n- mn 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_______
P( A1 A2 +...+An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )
注：1）求积事件的概率必须注意事件的独立性，事件 和的概率必须注意事件是否互斥。 2）明确事件中的关键词，如，“至少有一个发 生”“至多有一个发生”，“恰有一个发生”，“都 发生”“都不发生”，“不都发生”。
常见类型如下：
A、B互斥
A、B独立
P( A B)
P( A B)
P( A) P( B) 1 P( A)P(B)
0
1 [ P( A) P( B)]
P( A) P( B)
P( A) P( B)
P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B )
P( A B)
P( A B A B)
甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4、 0.5、0.8。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如 果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中， 则飞机一定被被击落。求飞机被击落的概率。
例2 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
不是一等品的概率为 12 ，甲丙两台机床加工的零件都是一等
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的 概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一 个一等品的概率。
练习：
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间 没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾 的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1， 乙、丙都需要照顾的概率为0.125. （1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照 顾的概率分别为多少？ （2）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的 概率。
A B
C
C 42 7.在100件产品中有4件次品. C 41· 31 C 2 C100 ①从中抽2件, 则2件都是次品概率为___ C1001· 991 C ②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___ (不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取) C 4 1· 41 C C1001· 1001 C
P（A1· 2……An）=P（A1）· A P（A2）……P（An）
3、如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A， B中有一个发生）的概率：P(A+B)= P(A)+P(B) .
一般地，如果事件 A、A2、...An ，彼此互斥，那 1 么事件 A1 A2 +...+An 发生（即 A、A2、...An 中 1 恰有一个发生）的概率：
复习回顾
1、事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为： P(AB)= P(A)P(B) .
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
答案：1、 P= 2、 P=
0.79 0.81 0.404
2 2
0.04 0.95 0.96 0.05 0.086 8 6 4 6 1 3、 P 。 12 12 12 12 2
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五、教学反思：
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P( A B C) 1 0.027 0.973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
例3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知
甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的
1 概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 4 1 2 品的概率为 。 9
P( A) P( B)
P( A B A B A B)
1
1 P( A) P( B)
4 例1 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 ， 5 3 7 乙当选的概率为 ，丙当选的概率为 。 5 10 （1）求恰有一名同学当选的概率；
（2）求至多有一名同学当选的概率。
引申：
例4（05，全国）盒中有大小相同的球10个，其中
标号为1的球有3个，标号为2的球有4个，标号为5的 球有3个，第一次从盒中取1个球，放回后第二次再 取1个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记 第一次与第二次取到球的标号之和为 ，求 的 分布列。
例5（06，四川）某课程考核分理论与实验两部分进
一、教学目标： 1、知识与技能：理解两个事件相互独立的概 念。 2、过程与方法：能进行一些与事件独立有关 的概率的计算。 3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析， 会进行简单的应用。 二、教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程：
小结：
求 较 复 杂 事 件 概 率 正向
( 互斥事件)
分类
分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· P(A) ·P (B) B)=
( 互独事件)
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
课外作业:
1、一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些 机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是 0.79，第3台是0.80，第4台是0.81， 且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在 这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率. 2、制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床 的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件， 其中恰有1件废品的概率是多少？ 3、甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球， 6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色 的概率是多少？
P(A+B)=P(A· B)+P(A· +P(A· B) B)=1- P(A· B)
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 13 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____
30
(1-a)(1-b)
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__. 6.某系统由A,B,C三个元件组成, 每个元件正常工作概率为P. P+P2则系统正常工作的概率为____P3
行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两 部分都合格则该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理 论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考 核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否 合格相互之间没有影响。
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合 格的概率；
（2）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保 留三位小数）
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) [1 P( A)][ P( B)][ P(C )] 1 1 (1 0.7)(1 0.7)(1 0.7) 0.027
练习：
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 14 则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______ 15
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 3 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___ 5
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 m+n- mn 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_______
P( A1 A2 +...+An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )
注：1）求积事件的概率必须注意事件的独立性，事件 和的概率必须注意事件是否互斥。 2）明确事件中的关键词，如，“至少有一个发 生”“至多有一个发生”，“恰有一个发生”，“都 发生”“都不发生”，“不都发生”。
常见类型如下：
A、B互斥
A、B独立
P( A B)
P( A B)
P( A) P( B) 1 P( A)P(B)
0
1 [ P( A) P( B)]
P( A) P( B)
P( A) P( B)
P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B )
P( A B)
P( A B A B)
甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4、 0.5、0.8。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如 果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中， 则飞机一定被被击落。求飞机被击落的概率。
例2 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
不是一等品的概率为 12 ，甲丙两台机床加工的零件都是一等
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的 概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一 个一等品的概率。
练习：
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间 没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾 的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1， 乙、丙都需要照顾的概率为0.125. （1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照 顾的概率分别为多少？ （2）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的 概率。
A B
C
C 42 7.在100件产品中有4件次品. C 41· 31 C 2 C100 ①从中抽2件, 则2件都是次品概率为___ C1001· 991 C ②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___ (不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取) C 4 1· 41 C C1001· 1001 C
P（A1· 2……An）=P（A1）· A P（A2）……P（An）
3、如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A， B中有一个发生）的概率：P(A+B)= P(A)+P(B) .
一般地，如果事件 A、A2、...An ，彼此互斥，那 1 么事件 A1 A2 +...+An 发生（即 A、A2、...An 中 1 恰有一个发生）的概率：
复习回顾
1、事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为： P(AB)= P(A)P(B) .
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
答案：1、 P= 2、 P=
0.79 0.81 0.404
2 2
0.04 0.95 0.96 0.05 0.086 8 6 4 6 1 3、 P 。 12 12 12 12 2
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五、教学反思：
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P( A B C) 1 0.027 0.973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
例3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知
甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的
1 概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 4 1 2 品的概率为 。 9
P( A) P( B)
P( A B A B A B)
1
1 P( A) P( B)
4 例1 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 ， 5 3 7 乙当选的概率为 ，丙当选的概率为 。 5 10 （1）求恰有一名同学当选的概率；
（2）求至多有一名同学当选的概率。
引申：
例4（05，全国）盒中有大小相同的球10个，其中
标号为1的球有3个，标号为2的球有4个，标号为5的 球有3个，第一次从盒中取1个球，放回后第二次再 取1个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记 第一次与第二次取到球的标号之和为 ，求 的 分布列。
例5（06，四川）某课程考核分理论与实验两部分进