事件的独立性(二)

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事件的相互独立性-PPT

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系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个元件正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
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B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
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例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性；（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
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结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两

事件的独立性

结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1, A2,…, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 … An）
1 P( A1A2 … An) 1 P( A1)P( A2)…P( An) A1, A2,…, An
也相互独立
定义1.11 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ···< i k≤n
有 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik ) 则称A1，A2， An相互独立.
注. A1, A2,, An相互独立 A1, A2,, An两两相互独立
定义1.10 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B), P(BC ) P(B)P(C ), P( AC ) P( A)P(C ), P( ABC ) P( A)P(B)P(C ), 则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
P( A B) P( A)
1.引例盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个,
有放回地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
P(B A)
3 P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
(i 1,2,, n)
所以，系统Ⅱ正常工作的概率：
P(B2 ) P( A1 An1)P( A2 An2 )P( An A2n)

事件的相互独立性 (2)

B)时同样应注意事件 A、B 是否互斥．对于“至多”，“至少” 型问题的解法有两种思路：①是分类讨论；②是求对立事件，利用 P( A )＝1－P(A)来运算．
思考题 3
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情
况统计甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为 2 3 1 合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的 100 m 跑 5 4 3 的成绩进行一次检测，则 (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．思路分析记“甲、乙、丙三人 100 米跑成绩合格”分别为事件 A，B，C，显然事件 A，B，C 相互独立，ABC 表示三人都合格， A B C 表示三人都不合格，依题意即可求出(1)(2)，对于问题(3)要明白“出现几人合格的概率”表示可能没有，可能有一个，可能有两个也可能有三个．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)三人都不合格的概率： P0＝P( A B C )＝P( A )· P( B )· P( C ) 3 1 2 1 ＝ × × ＝ . 5 4 3 10 (3)恰有两人合格的概率：P2＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A 2 3 2 2 1 1 3 3 1 23 BC)＝5×4×3＋5×4×3＋5×4×3＝60.
2.公式拓展如果事件A1，A2，„，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．即P(A1A2A3„An)＝ P(A1)·P(A2)·„·P(An)． 3.判定相互独立事件的方法 (1)由定义，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则A、B独立． (2)有些事件不必通过概率的计算就能判定其独立性，如有放回的两次抽奖，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出它们是否相互独立．

10.2事件的相互独立性课件(人教版)

所以AB={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．
所以 P( A) P(B)= 1 , P( AB) 1 .
2
4
于是 P(AB)=P(A)P(B)．
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
从上述两个实验的共性中得到启示，我们引入这种事件关系的一般定义：
对任意两个事件A与B , 如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”.解题的关键是利用 A, B, A, B 来表示相关事件.可以借助树状图来分析.如图所示：
B=“第二次摸出球的标号小于3”
B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}，共6个样本点.
所以AB={(1，2)，(2，1)}．所以 P( A) P(B) 6 1 , P( AB) 2 1 .
12 2
12 6
此时P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A与事件B不独立．
1 P( AB) 1 0.02 0.98．
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
（4）方法3：事件“至少有一人中靶”可以看成“甲中靶”和“乙中靶”这两个事件的并事件，根据性质6，可得事件“至少有一人中靶”的概率为
解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”， A “甲脱靶”， B “乙脱靶”

高中数学 23 2.2 第2课时事件的独立性课件新人教B版选修23

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＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027，于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是 1－P( A B C )＝1－0.027＝0.973.
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学法归纳总结
[分析] 依据相互独立事件的定义或直观解释判断．
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[解析] ①事件A与B是互斥事件，故A与B不是相互独立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影响，∴A与B相互独立．
③由于每次取球观察(guānchá)颜色后放回，故事件A的发生对事件B发生的概率没有影响，
∴A与B相互独立． [说明] 相互独立事件是指两个实验中，一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
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课堂互动探究
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下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立吗？ ①抛掷一枚骰子，事件 A＝“出现 1 点”，事件 B＝“出现 2 点”； ②先后抛掷两枚均匀硬币，事件 A＝“第一枚出现正面”，事件 B＝“第二枚出现反面”；
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③在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一个 (yī ɡè)小球，观察颜色后放回袋中，事件A＝“第一次取到绿球”，B＝“第二次取得绿球”．
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甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别(fēnbié)为0.4、0.5、0.8.如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落．求飞机被击落的概率．

北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《事件的独立性》教学设计二

《事件的独立性》教学设计二教学设计一、导入新课前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，本节课我们来讨论与积事件的概率计算有关的问题.二、事件的独立性问题1 下列两个随机试验各定义了两个随机事件A和B：（1）试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，事件A表示“第一枚硬币正面朝上”，事件B表示“第二枚硬币反面朝上”.（2）试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他不同，采用有放回地方式从袋中依次任意摸出两球.设事件A表示“第一次摸到球的标号小于3”，事件B表示“第二次摸到球的标号小于3”.你觉得事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？如果事件A不发生，会影响事件B发生的概率吗？师生活动：教师提出问题，学生进行思考后回答问题，教师关注学生如何解释自己的思考过程.对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A的发生与否不影响事件B发生的概率.对于试验2，因为是有放回地摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A的发生与否也不影响事件B发生的概率.设计意图：选择两个符合独立性直观意义的试验，促进学生感悟事件的独立性.问题2上面两个随机试验中，事件A发生与否都不会影响事件B发生的概率，其数学本质是什么？分别计算两个试验的(),(),()P A P B P AB，你有什么发现？师生活动：学生独立思考解决问题教师注意观察学生如何计算P A P B P AB，关注学生是否能用集合语言正确描述样本空间以及不同的随(),(),()机事件，并给予个别指导，选择学生代表表达与交流思维过程.在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}Ω=，包含4个等可能的样本点.而{(1,1),(1,0)},{(1,0),(0,0)}A B ==，所以{(1,0)}AB = .由古典概型概率公式，得11()(),()24P A P B P AB ===，于是()()()P AB P A P B =. 积事件AB 的概率()P AB 恰好等于()P A 与()P B 的乘积.在试验2中，样本空间{(,),{1,2,3,4}M N M N Ω=∈∣，而 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}A =，{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1) ,(4,2)}B =，所以11()(),()24P A P B P AB ===. 于是也有()()()P AB P A P B =.教师小结：这两个随机试验都满足：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，事件A 和B 同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积.对上述两个试验的共同属性进一步抽象概括，我们引入这种事件关系的一般定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即若事件A 与事件B 相互独立，则()()()P AB P A P B =.设计意图：让学生探索两个试验中事件A ，B 之间关系的共同数学本质属性()()()P AB P A P B =，在此基础上，教师给出两个事件相互独立的描述性定义以及两个随机事件相互独立的概率乘法公式.追问（1）：问题1的两个随机试验中的随机事件A 和B 是否都相互独立？师生活动：先让学生基于问题2中的师生活动，利用两个事件相互独立的定义判断.追问（2）：考虑两个特殊的随机事件与任意一个随机事件是否相互独立，即必然事件与任意一个随机事件是否相互独立？不可能事件与任意一个随机事件是否相互独立？为什么？请给出你的推理过程.由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立.这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件∅总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生.师生活动：学生对“任意一个随机事件”的思考如果有困难，教师结合适当的例子来帮助学生推理与解释.设计意图：根据定义判断事件的相互独立性，进一步讨论特殊事件与任意一个随机事件之间的相互独立性，以使知识完整化、系统化.问题3 相互对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系，如果事件A 与事件B 相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以问题1（2）的有放回摸球试验为例，分别验证事件A 与B ，事件A 与B ，事件A 与B 是否相互独立？你有什么发现？请给出你的推理过程.师生活动：可以分组解决不同的问题，先独立思考，再合作交流教师应关注学生如何解释他们的判断，如何推理.由事件A 与事件B 相互独立，可以得到事件A 与事件B 相互独立，事件A 与事件B 相互独立.由事件A 与事件B 相互独立，再次利用上述结果，可以得到事件A 与事件B 相互独立.（除了教材给出的证明过程，下面的证明过程教师可以参考）对于A 与B ，因为A AB AB =⋃，而且AB 与AB 互斥，所以()()()()()()()P A P AB AB P AB P AB P A P B P AB =⋃=+=+.所以()()()()()(1())()()P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-=.由事件的独立性定义，A 与B 相互独立.类似的可以证明事件A 与,B A 与B 也都相互独立.教师小结：由事件的独立性定义可以证明事件A 与事件B 相互独立，事件A 与事件B ，事件A 与事件B ，事件A 与事件B 也都相互独立，即如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立.这是事件的相互独立的一个性质.设计意图：类比事件A 与事件B 相互独立的间题，得出与事件,A B 相互独立彼此等价的三条性质.这里提出新的问题，既是知识的自然延伸，又体现了一种提出问题、发现问题的思考方式.三、利用事件的独立性计算概率例1、甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：（1）两人都译出密码的概率（2）两人都译不出密码的概率；（3）恰有一人译出密码的概率；（4）至多有一人译出密码的概率；（5）至少有一人译出密码的概率.分析：（1）由于甲、乙两人独立破译一个密码，所以“甲译出密码”和“乙译出密码”为相互独立事件，用两个相互独立的事件同时发生的概率乘法公式求解.（2）由于“甲译出密码”和“乙译出密码”为相互独立事件，所以“甲译不出密码”和“乙译不出密码”也是相互独立的，用两个相互独立的事件同时发生的概率乘法公式求解.（3）“恰有一人译出密码”可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件.（4）思路1：“至多有一人译出密码”可以看作事件“两人都译不出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件.思路2：“至多有一人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”，可以用对立事件的公式求解.（5）思路1：“至少有一人译出密码”可以看作事件“两人都译出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件.思路2：“至少有一人译出密码”的对立事件为“两人都译不出密码”，可以用对立事件的公式求解.解：记“甲独立译出密码”为事件A，“乙独立译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且11 (),()34 P A P B==.（1）设事件C表示“两人都译出密码”，则C AB=.因为A与B相互独立，所以111()()()()3412P C P AB P A P B ===⨯=. 即两人都译出密码的概率是112. （2）设事件D 表示“两人都译不出密码”，则D AB =.因为A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立，因此，()()()()[1()][1()]P D P AB P A P B P A P B ===--11111342⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 即两人都译不出密码的概率是12. （3）设事件E 表示“恰有一人译出密码”，事件E 可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件，所以E AB AB =⋃，且两个事件AB 与AB 彼此互斥，因此()()()()P E P AB AB P AB P AB =⋃=+()()()()P A P B P A P B =+()[1()][1()]()P A P B P A P B =-+-1111113434⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 512=. 即恰有一人译出密码的概率为512. （4）设事件F 表示“至多有一人译出密码”.方法1：事件F 可以看作事件“两人都译不出密码”与恰有一人译出密码”的并事件，所以F D E =⋃，且D 与E 彼此互斥，因此1511()()()()21212P F P D E P D P E =⋃=+=+=，即至多有一人译出密码的概率为1112. 方法2：事件F 的对立事件为“两人都译出密码”，所以F C =，因此111()1()1()11212P F P F P C =-=-=-=.即至多有一人译出密码的概率为1112. （5）设事件G 表示“至少有一人译出密码”. 方法1：事件G 可以看作事件“两人都译出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件，所以G C E =⋃，且C 与E 彼此互斥，因此151()()()()12122P G P C E P C P E =⋃=+=+=. 即至少有一人译出密码的概率为12. 方法2：事件G 的对立事件为“两人都译不出密码”，所以G D =，因此11()1()1()122P G P G P D =-=-=-=. 即至少有一人译出密码的概率为12. 跟踪训练甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶. 师生活动：先分析随机试验，用集合语言表示随机事件由于涉及较多的符号推理与运算，应给予学生充分的时间独立研究，并鼓励学生表达交流运算与推理的过程.分析：设事件A 表示“甲中靶”，事件B 表示“乙中靶”.从要求的概率可知，需要先分别求事件A ，B 的对立事件,A B 的概率，并利用,,,A B A B 构建相应的事件.解：设事件A 表示“甲中靶”，事件B 表示“乙中靶”，则事件A 表示“甲脱靶”事件B 表示“乙脱靶”.由于两人射击的结果互不影响，所以事件A 与事件B 相互独立.由已知可得，()0.8,()0.9,()0.2,()0.1P A P B P A P B ====.（1）事件AB 表示“两人都中靶”，由事件相互独立的定义，得()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=.（2）“恰好有一人中靶”为事件AB AB ⋃，且AB 与AB 彼此互斥，根据概率的加法公式和事件相互独立定义，得()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B ⋃=+=+()()0.80.10.20.90.26P A P B =⨯+⨯=.（3）“两人都脱靶”为事件AB ，所以()()()(10.8)(10.9)0.02P AB P A P B ==--=.（4）方法1：“至少有一人中靶”为事件AB AB AB ⋃⋃，且,,AB AB AB 两两互斥，所以()()()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB P AB P AB AB ⋃⋃=++=+⋃0.720.260.98=+=.方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为1()10.020.98P AB -=-=.设计意图：利用两个事件相互独立的性质，计算较复杂事件的概率.小结：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积.例2、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”和事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件.解：设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，12,B B 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得()()212313392,448416P A P A ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭. ()()212214242,33939P B P B ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭. 设A 表示“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则1221A A B A B =⋃，且12A B 与21A B 互斥，1A 与22,B A 与1B 分别相互独立.所以()()1221()P A P A B P A B =+()()()()1221P A P B P A P B =+349458916912=⨯+⨯=. 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512. 归纳总结复杂事件概率的转化方法和求解步骤：（1）转化方法：①将所求事件分解成一些彼此互斥的事件的和； ②将所求事件分解成一些彼此相互独立的事件的积；③尝试先求对立事件的概率.（2）求解步骤：①列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；②厘清各事件之间的关系，列出关系式；③准确运用概率公式进行计算.设计意图：让学生综合利用事件的互斥关系的性质与事件的独立性计算两个事件积的概率，同时培养学生良好的思考习惯.巩固练习：教材第213~214页练习第1，2题.四、课堂小结教师引导学生回顾本节课学习的内容，并回答下列问题：通过本节课的学习，你能说说，事件A 与事件B 相互独立的含义是什么？如何判断事件A 与事件B 是相互独立的？如何判断事件A 与事件B 是互斥的？你能一一说出二者的区别吗？师生活动：在学生独立思考的基础上，教师根据学生的回答，进一步引导学生体会事件相互独立的含义.引导学生把握概念本质，区分“两个事件相互独立”与“两个事件互斥”.教师小结：事件的相互独立是事件之间一种重要的关系，但是它不同于事件的包含、相等、互斥和互相对立关系事件的独立性需要用概率来定义，而互斥的两个事件A与B是指事件A与B不能同时发生，其实质为P AB P A P B=.P AB P A B P A P B A B=⋃=+相互独立()()()()0,()()();,设计意图：一方面引导学生反思本节课的重点—概括判断事件A与B相互独立的方法，另一方面为了促进学生对容易混淆的事件的互斥与独立性概念进行比较、澄清.五、布置作业教材第214页习题7—4A组第1，2，3，4，5，6题.板书设计教学研讨本案例结合具体的随机试验（古典概型），根据实际问题背景，先直观判断两个事件是否相互独立，即如果两个事件相互独立，则事件A和事件B的发生互相不受影响，那么把其中一个换成它的对立事件.事件A和事件B是相互独立的，否则事件A和事件B不相互独立.然后计算(),()P A P B和()P AB，发现共性=，进而给出两个事件相互独立的一般定义.本案例提供了不同P AB P A P B()()()背景的随机试验，让学生直观判断给定的两个事件是否相互独立，对于古典概型，还可以进行计算验证.这样既突出了重点，又能有效克服难点.例题的设计利用事高中数学11 / 11件独立的性质，计算较复杂事件的概率.对例1，甲乙两人能否独立破译密码相互不影响，在跟踪训练中，甲是否中靶与乙是否中靶相互不受影响，因此可以直观判断两题中事件A 和事件B 相互独立.解题的关键（也是难点）是用事件A ，,,B A B 来表示相关事件，可以借助树状围完成这个任务.例2的设计是利用事件的独立性计算两个事件的积事件的概率.但由于问题比较复杂，教师可根据学生的情况，解题时借助表格，进行表述.。

关于事件独立性的两种判断

关于事件独立性的两种判断{|"复习指津-关于事件独立性的两甘肃镇原中学(744500)路兴平事件的独立性是概率中十分重要的基本概念,也是学生较难正确理解的重要概念,在概率论及数理统计问题中,有不少关于事件间独立的要求.因此,判断事件独立性成为概率问题中十分重要的事情.对具体问题,通常有以下两种判断方法:(--)定义法定义:如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,那么这样的两个事件就叫做相互独立事件.(二)公式法:定理一:对两个事件A与B,若P(AB)一P(A)P(B)成立,则称事件A与B相互独立.对个事件,也有下面两个定理:定理二:对个事件A-,Az,…,AJ,若对于任意的(1<k≤"),任意的l≤<2<…<≤",都有P(A一】Ai2…A)=P(Ail)P(A2)…P(A)成立,则称事件A,A2,…,A,相互独立.定理三:对个事件A,Az,…,A,若对于任意的A,A(i=/=j,i,一1,2,…,"),有P(AA,)一P(A)P(A,)成立,则称事件At,A,…,A两两独立.推论1:若事件A与事件B相互独立,则事件A与B,A与B,A与B也相互独立.在实际应用中,往往用定义判断(通常是根据实际问题的意义来判断)较为简单的事件的独立性,这种方法叫做"直接法".例如,甲,乙二人同射击一个目标,则"甲打中目标"与"乙打中目标"是相互独立的. 现实生活中,凡遇到种子发芽,元件寿命,机床运转, 电路开关等问题,在不加特殊限制的情况下,种子,元件之间都是相互独立的.一般情况下,取后放回的试验,每次的结果之间都是相互独立的,而取后不放回的试验,各结果之间不具有相互独立性.为了使试验种封断满足独立性,对于取后不放回试验,只要总数很大,而取做试验的样本数却又很小时,也可看作相互独立. 对于比较复杂的事件,特别是判断"个事件相互独立性,若都用"直接法"不但太繁,而且容易出现错误.这时就可以按照上面三个定理来判断,这种方法叫做"公式法".需要注意的是,使用定理---N断个事件事件相互独立需要验证的等式总数为C:++…+a一2一n一1个,而使用定理三判断n个事件两两独立则只需验证Ci个式子.【例】有四张卡片,一张涂红色,一张涂黄色,另一张涂红,黄,蓝三色.设A表示事件"从三张卡片中摸出一张有红色",B表示事件"从三张卡片中摸出一张有黄色",C表示事件"从三张卡片中摸出一张有蓝色".(1)判断事件A,B,C是否两两独立;(2)判断三个事件A,B,C是否独立.解:(1)显然P(A)一号,P(B)一2,P(c)一手,且P(AB)=1,P(A)P(B)一百2x2一1,有P(AB)一P(A)P(B).同理P(AC)一P(A)P(C),P(BC)一P(B)P(C).即A,B,C三个事件两两独立.而P(A)P(B)P(c)一丽8,即P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),所以A,B,C三个事件不相互独立.从这个例子可以看出,n个事件相互独立,必有这个事件两两独立,反之不一定成立.因此,对于比较复杂的事件,特别是判断个事件的相互独立性,必须用"公式法"验证,若只凭直觉则容易出现错误.。

课件7：2.2.2 事件的相互独立性

方法归纳解决此类问题应注意什么？ (1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件． (2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．
学以致用 3．在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
() A．0.56 C．0.75
B．0.48 D．0.6
【解析】都击中目标的概率为 P＝0.8×0.7＝0.56. 【答案】A
3．一件产品要经过 2 道独立的加工程序，第一道工序的
次品率为 a，第二道工序的次品率为 b，则产品的正品率
为( )
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
解：如图所示，记这段时间内开关 KA、KB、KC 能够闭合分别为事件 A、B、C.
由题意知，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间也没有影响，根据相互独立事件的概率公式得，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.
探究二相互独立事件同时发生的概率典例 2 甲、乙两人独立破译密码的概率分别为13、14，求： (1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多一人译出密码的概率； (5)至少一人译出密码的概率．
解：记 A 为“甲独立地译出密码”，B 为“乙独立地译出密码”．则 A 与 B， A 与 B 均相互独立． (1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112. (2)两个人都译不出密码的概率为 P( A B )＝P( A )P( B )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12.

高中数学选修2(新课标)课件2.2.2事件的相互独立性

(4)解法一：至多有 1 人击中目标，即事件 A B 或事件 A B 或事件 A B 发生．由于两人各射击一次，事件 A B 、事件 A B、事件 A B 不可能同时发生，为互斥事件，所以至多有 1 人击中目标的概率为 P( A B )＋P(A B )＋P( A B)＝P( A )P( B )＋0.48＝0.4×0.4＋0.48 ＝0.64.
由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件．于
是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B) 成立．从而事件 A 与 B 是相互独立的．
【答案】 (2)见解析
状元随笔 (1)因为事件 A 和事件 B 相互独立，故 P(A B )＝P(A)
－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P( B )．
由相互独立事件的定义知事件 A 与事件 B 相互独立．类似可证
明 A 与 B， A 与 B 也都相互独立． (2)两个事件的相互独立性可以推广到 n(n＞2，n∈N*)个事件的
＋P( A )P(B)＝0.6×0.4×2＝0.48.
(3)至少有 1 人击中目标，即事件 A B 或事件 A B 或事件 AB 发生，由于两人各射击一次，事件 A B 、事件 A B、事件 AB 不可能同时发生，为互斥事件，所以至少有 1 人击中目标的概率为 P(AB)＋ P(A B )＋P( A B)＝0.36＋0.48＝0.84.
【答案】 (1)①②③
(2)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论 A 与 B 的独立性：

事件的独立性与非独立性

事件的独立性与非独立性事件的独立性和非独立性是概率论和统计学中的基本概念，用于描述事件之间是否相互影响或相关。

在本文中，我们将探讨事件的独立性和非独立性的含义、特征以及其在实际问题中的应用。

一、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件在发生上相互独立，即一个事件的发生不会对其他事件的发生产生影响。

数学上，事件A和事件B是独立事件，当且仅当它们满足以下条件：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

独立事件的关键特征是事件之间的无关性。

例如，抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是两个独立的事件。

硬币落地时，正反两面的结果相互独立，无论之前的结果如何。

在实际问题中，事件的独立性有着广泛的应用。

例如，在概率计算中，我们经常通过事件的独立性来计算复杂事件的概率。

此外，在统计学中，事件的独立性也是很多统计方法的基础假设之一。

二、事件的非独立性与独立事件相对应，非独立事件指的是两个或多个事件在发生上相互有关联或影响。

在数学上，事件A和事件B是非独立事件，当且仅当它们不满足独立性的条件，即：P(A ∩ B) ≠ P(A) × P(B)非独立事件的特征是事件之间存在相关性。

例如，抽取一张扑克牌，第一次抽到一张红心牌，第二次再抽到红心牌的概率就会受到第一次抽到红心牌的结果影响。

在实际问题中，事件的非独立性也有着重要的应用。

例如，在风险管理和金融领域，我们经常需要考虑事件之间的相关性，以提前识别风险并采取相应的措施。

三、事件独立性和非独立性的意义事件的独立性和非独立性对于概率计算和统计推断具有重要的意义。

通过了解事件之间的关系，我们可以更准确地估计事件发生的概率，做出相应的决策。

当事件是独立的时候，我们可以简单地将不同事件发生的概率相乘，得到复杂事件的概率。

这在概率计算中非常有用，可以大大减少计算的复杂度。

3事件的相互独立性(2h)

0.9 0.8) (0.9)(0.8)
0.98
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2. 相互独立的直观认定方法及其应用
例2-3 甲乙丙三人射击敌机的命中率分别为0.4，0.5 和 0.7 . 已知飞机被单人命中而坠落的概率为0.2 ，被两人同时命中而坠落的概率为 0.6，被三人同时命中时则必坠落. (1) 求飞机在一次齐射中被击落的概率. 解以 A 表“飞机被击落” , 以Bi 表“飞机被 i 个人命中” , ( i = 1, 2, 3) , C1 , C2 ,C3 依次表“飞机被甲乙丙击中”, 则
| | 3600 3 | | 3600 4 | AB | 600 1 (2) P ( AB ) , | | 3600 6 1 1 1 P ( AB) P ( B A) P ( B ) P ( AB ) . 4 6 12 P ( AB) 1 6 1 P ( AB) 112 1 P ( B | A) , P ( B | A) . 2 P ( A) 4 1 P ( A) 3 4 3
P ( A) P ( B ) 0.6 (1 0.7) 0.18
P ( A B) P ( AB)
P ( A) P ( B) (1 0.6) (1 0.7) 0.12
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例3-2 设 P ( A) 0.3 , P( B) 0.4 , P ( AB ) 0.5 . 试求: P ( B | A B ) . 解
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2. 相互独立的直观认定方法及其应用
例2-3 甲乙丙三人射击敌机的命中率分别为0.4，0.5 和 0.7 . 已知飞机被单人命中而坠落的概率为0.2 ，被两人同时命中而坠落的概率为 0.6，被三人同时命中时则必坠落. (2) 求被击落的飞机为甲所击落的概率. 解以 A 表“飞机被击落” , 以Bi 表“飞机被 i 个人命中” , ( i = 1, 2, 3) , C1 , C2 ,C3 依次表“飞机被甲乙丙击中”, 则

课时作业2：2.2.2 事件的独立性

2．2.2 事件的独立性一、基础达标1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件答案 A解析由题意可得A 2表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2是相互独立事件．2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34 答案 C解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝16， ∴P (A )＝12，P (B )＝56. 又A ，B 为相互独立事件，∴P (A B )＝P (A )P (B )＝12×56＝512. ∴A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A B )＝1－512＝712.3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为()A.116 B.18C.316 D.14答案 C解析满足xy＝4的所有可能如下：x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.∴所求事件的概率P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316.4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)()A.49 B.190 C.45 D.59答案 B解析该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.5．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝12，P(B)＝23，则P(A B)＝________；P(A B)＝________.答案1616解析∵P(A)＝12，P(B)＝23，∴P(A)＝12，P(B)＝13.∴P (A B )＝P (A )P (B )＝12×13＝16， P (A B )＝P (A )P (B )＝12×13＝16.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．答案 35解析设此队员每次罚球的命中率为p ，则1－p 2＝1625， ∴p ＝35.7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．解设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1,2,3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1 A 2A 3，于是所求概率为P (A 1 A 2A 3)＝910×89×18＝110；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 二、能力提升8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23 答案 D解析由题意，P (A )·P (B )＝19， P (A )·P (B )＝P (A )·P (B )．设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(1－y )＝19，(1－x )y ＝x (1－y ). 即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ，∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.9．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78 答案 B解析设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立， ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以 P (E )＝P (ABC )∪(AB C )∪(A B C ) ＝P (ABC )＋P (AB C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝12×12×12＋12×12×(1－12)＋12×(1－12)×12＝38.10．在一条马路上的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．答案35 192解析由题意P(A)＝2560＝512；P(B)＝3560＝712；P(C)＝4560＝34；所以所求概率P＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝512×712×34＝35192.11．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求：(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．解(1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A，则A为选出的3位同学中没有男同学的事件，而P(A)＝C36C310＝16，所以P(A)＝1－16＝56.(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A，女同学甲通过测验的事件为B，男同学乙通过测验的事件为C，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A∩B∩C，由条件知A，B，C三个事件为相互独立事件，所以P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)．而P(A)＝C18C310＝115，P(B)＝45，P(C)＝35，所以P(A∩B∩C)＝115×45×35＝4125.12．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为A k(k＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1·A 2·A 3·A 4·A 5. ∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1·A 2·A 3·A 4·A 5)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)·P (A 5)＝(1－0.2)5＝(45)5.∴敌机未被击中的概率为(45)5.(2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得：敌机被击中的概率为1－(45)n ∴令1－(45)n ≥0.9，∴(45)n ≤110 两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3.∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．三、探究与创新13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．解设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P (B )＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12.(3)X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝P(A1)＝1 6，P(X＝2)＝P(A1A2)＝56×(1－45)＝16，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝56×45×(1－34)＝16，P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝56×45×34＝12，所以，X的分布列为。

事件的独立性大学数学教案2

第五节事件的独立性内容分布图示★ 引例★ 两个事件的独立性★ 例1★ 关于事件独立性的判断 ★ 有限个事件的独立性 ★ 相互独立性的性质★ 例2★ 例3★ 例4★ 例5★ 伯努利概型★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 例10 ★ 例11★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-5内容要点：一、两个事件的独立性定义若两事件A ,B 满足)()()(B P A P AB P = (1)则称A ,B 独立, 或称A ,B 相互独立.注: 当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但∅与S 既相互独立又互不相容(自证).定理1 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然.定理2 设事件A ,B 相互独立,则下列各对事件也相互独立:A 与B ,A 与B ,A 与B .二、有限个事件的独立性定义设C B A ,,为三个事件, 若满足等式),()()()(),()()(),()()(),()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ====则称事件C B A ,,相互独立.对n 个事件的独立性, 可类似写出其定义:定义设n A A A ,,,21 是n 个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称n A A A ,,,21 两两独立.三、相互独立性的性质性质1 若事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则其中任意)1(n k k ≤<个事件也相互独由独立性定义可直接推出.性质2 若n 个事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则将n A A A ,,,21 中任意)1(n m m ≤≤个事件换成它们的对立事件, 所得的n 个事件仍相互独立;对2=n 时，定理2已作证明, 一般情况可利用数学归纳法证之，此处略. 性质3设n A A A ,,,21 是n )2(≥n 个随机事件，则 n A A A ,,,21 相互独立←/→ n A A A ,,,21 两两独立.即相互独立性是比两两独立性更强的性质,四、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果: 事件A 发生(记为A ) 或事件A 不发生(记为A ), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设),10(,1)(,)(<<-==p p A P p A P将伯努利试验独立地重复进行n 次, 称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验, 或简称为伯努利概型.注: n 重伯努利试验是一种很重要的数学模型, 在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件A 在每次试验中发生的概率均为p ,且不受其他各次试验中A 是否发生的影响.定理3（伯努利定理）设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为).,,1,0(,)1(}{n k p p C k X P k n kk n =-==-推论设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中, 事件A 在第k 次试验中的才首次发生的概率为).,,1,0(,)1(1n k p p k =--注意到“事件A 第k 次试验才首次发生”等价于在前k 次试验组成的k 重伯努利试验中“事件A 在前1-k 次试验中均不发生而第k 次试验中事件A 发生”,再由伯努利定理即推得.例题选讲：两个事件的独立性例1 (讲义例1)从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记=A {抽到K }, =B {抽到的牌是黑色的}, 问事件A 、B 是否独立?注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.解一利用定义判断. 由,131524)(==A P ,215226)(==B P ,261522)(==AB P。

课件5：2.2.2　事件的独立性

→ 选择公式计算求值解令事件 A、B、C 分别表示 A、B、C 三个独立的研
究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件 A、B、C 相互独立，且 P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.
(1)他们都研制出疫苗，即事件 ABC 发生，故 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝15×14×13＝610. (2)他们都失败即事件 A B C 同时发生．故 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C)) ＝(1－15)(1－14)(1－13)＝45×34×23＝25.
(2)设 2 个白球为 a，b，两个红球为 1,2，则从袋中取 2 个球的所有取法为{a，b}，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，
则 P(A)＝46＝23，P(B)＝56，P(AB)＝23， ∴P(AB)≠P(A)·P(B)． ∴事件 A，B 不是相互独立事件，事件 A，B 能同时发生， ∴A，B 不是互斥事件．
解 (1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(A B C ∪ A B C ∪ A B C)，故所求事件的概率为 P＝P( A B C∪ A B C ∪A B C )
＝P( A )P( B )P(C)＋P( A )P(B)P( C )＋P(A)P( B )P( C ) ＝(1－P(A))(1－P(B))P(C)＋(1－P(A))·P(B)(1－P(C))＋ P(A)(1－P(B))(1－P(C)) ＝(1－15)×(1－14)×13＋(1－15)×14×(1－13)＋15×(1－14)(1－13)
＝45×34×23＋15×34×23＋45×14×23＋45×34×13＝25＋110＋125＋15＝56.
类型3 相互独立事件的实际应用

事件的相互独立性课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

1234
从应届高中生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他综合标准合格的概率为15，从中任选一学生，则三项均合格的概率为 (假设三项标准互不影响)
4
1
A.9
√B.90
4
5
C.5
D.9
解析
由题意知三项标准互不影响，∴P＝13×61×15＝910.
1234
已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__0_._0_0_9__.
＝14＋18＋112＝2141.
所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为2141.
反思感悟
求解相互独立事件的概率的具体步骤
(1)
(2)
(3)
确定各事件是否相互独立
确定各事件是否会同时发生
先确定每个事件的概率，再计算其积
跟踪训练1 一次数学考试的试卷上有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5 分，否则得0分，在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后3道题能得出正确答案的概率分别为 p，12，13，且每题答对与否相互独立. (1)当p＝23 时，求考生填空题得满分的概率；
3
随堂演练
1234
一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为
0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为
A.1
√B.0.629
C.0
解析
D.0.74或0.85
设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B，则P(A)＝0.85，P(B)＝0.74，由事件A与B相互独立，得“两根保险丝都熔断”为事件AB， ∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.85×0.74＝0.629.

【新教材精品教案】10.2 事件的相互独立性教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册

【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516．【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。

第12讲事件的独立性 (II) 例子

概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第12讲事件的独立性(II)1§1.6 独立性四川大学第12讲事件的独立性(II)3第12讲事件的独立性(II)四川大学四川大学第12讲事件的独立性(II)4上一讲我们讲了事件的独立性的概念及其性质四川大学第12讲事件的独立性(II)5（二）独立性的例子四川大学第12讲事件的独立性(II)6两事件的独立性一般可由实际情况去分析。

当两个事件之间没有关联(如两个人独立完成某项工作)或关联很弱时，即可认为它们是相互独立的。

四川大学四川大学第12讲事件的独立性(II)7例2 甲、乙、丙三部机床独立工作，由一个工人照管。

已知某时间段内它们无人照管的概率分别是0.9，0.8，0.7。

求(1) 在这段时间内至少有一台机床有人照管的概率；(2) 至少有二台机床需要同时照管的概率。

解设事件A, B, C 分别表示在这段时间内甲、乙、丙机床无工人照管。

四川大学四川大学第12讲事件的独立性(II)10(II)14四川大学第12讲事件的独立性(II)15设事件A , B , C , D 分别表示开关a , b , c , d关闭E 表示灯亮A , B , C , D 是相互独立的是否关闭相互独立。

(1)求灯亮的概率;(2)若已知灯亮时，求开关a 与b 同时概率闭的概率。

P (A )=P (B )=P (C )=P (D )=0.5由电路图知，只要a 和b 同时关闭，或者c 关闭，或者d 关闭，灯就会亮。

故E=AB+C+D四川大学四川大学第12讲事件的独立性(II)16是否合闭相互独立。

(1)求灯亮的概率;(2)若已知灯亮时，开关a 与b 同时关闭的概率。

P (A )=P (B )=P (C )=P (D )=0.5E=AB+C+D (1) 灯亮的概率()P E ()P D AB C =++()()()P P C A D B P =++()()()AB A P C P D D B P C ---()P AB CD +()()()()P A P B P C P D =++()()()()()()()()P A P B P C P A P B P D P C P D ---()()()()P A P B P C P D +四川大学P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=0.5E=AB+C+D(1) 灯亮的概率P P CA D=++=++()()()B PAB C()P E()P DP AB CD+---() AB A()()()P C P D DB P C=++()()()()P A P B P C P D---P A P B P C P A P B P D P C P D()()()()()()()() +P A P B P C P D()()()()20.5---4+0.50.50.50.50.50.5=++332=0.8125四川大学第12讲事件的独立性(II)17四川大学第12讲事件的独立性(II)2421(32)p p p =-21p p -3p =33(1)p p +-326(1)p p +-2(32)p p --三局二胜制，甲最终获胜的概率五局三胜制，甲最终获胜的概率33p =33(1)p p +-326(1)p p +-23p-23(1)p p =-33(1)p p +-326(1)p p +-23(1)[12(1)]p p p p p =--+-223(1)(21)p p p =--2p 3p =33(1)p p +-326(1)p p +-比较大小四川大学考研题评讲四川大学第12讲事件的独立性(II)29四川大学第12讲事件的独立性(II)302000年数学四第二(4)题设A , B , C 三个事件两两独立，则A , B , C 相互独立的充分必要条件是(A)A BC 与独立(B)AB A C 与独立(C)AB AC 与独立(D)A B A C 与独立解若A , B , C 相互独立，则A , BC 相互独立(命题1)或者[()]P A B C ()P A BC =()()()P A B P P C =()()P A P B C =反之，若A , BC 相互独立，则()P ABC [()]P A BC =()()P A P B C =()()()P A B P P C =则A , B , C 相互独立选(A)第一章的内容全部讲完请继续看下一章第二章随机变量及其分布四川大学第12讲事件的独立性(II)31。