黑体辐射

M 2
Vk k2 dk V 3 /V 2
（6）
由于每个光波矢量 k 都有两个可能的偏振方向，而三个坐标方向的波矢偏振方向组合 形式有两种，一种是三个波矢偏振方向相互垂直，另一种是存在一组平行的偏振方 向，所以式中要乘以 2，即因此光波模式数是光波矢量数的 2 倍。 上式用频率形式表示，即在体积为 V 的空腔内，波频率在 到 d 间隔的光波模式 数为
即单位时间从黑体的单位面积上所辐射出去的能量大小为
R(T )
2 π5 K 4 4 T 15c2 h3
（25）
五、
三种辐射公式的对比
图4 从瑞利——金斯曲线、维恩线和普朗克曲线对比的结果来看。在低频范围瑞利——金 斯曲线和普朗克曲线两者符合得很好，但是维恩线和普朗克曲线在低频有偏差；在高 频范围维恩线和普朗克曲线符合得很好，然而瑞利——金斯曲线明显偏离普朗克曲 线，而且频率越大，偏差越大当频率趋向于无穷时，瑞利——金斯曲线发散，这明显 是不符合实际的，热平衡时辐射能量只能是有限值。从推导过程可以看出，导致这个 荒谬结论的根本原因是，根据经典电动力学辐射场具有无穷多个振动自由度，而根据 经典统计的能量均分定理每个振动自由度在温度为 T 时的平均能量为 KT 。这个荒谬的 结论就是当时有名的“紫外灾难”。开尔文在一次演讲时说道：“动力学理论断言， 热和光都是运动的方式。但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得 黯然失色了……”其中的一朵乌云便指的是黑体辐射问题。关于这个问题，普朗克使用 插值法将瑞利——金斯公式和维恩经验公式化成了一条公式，也即普朗克公式，并为 了解释这个半经验公式的准确性提出了能量量子化假设。
四、
斯特藩——玻尔兹曼定律
斯忒藩-玻耳兹曼定律（Stefan-Boltzmann law），又称斯特藩定律，是热力学中的一 个著名定律，由斯洛文尼亚物理学家约瑟夫·斯特藩（Jožef Stefan）和奥地利物理学 家路德维希·玻耳兹曼分别于 1879 年和 1884 年各自独立提出。提出过程中斯特藩通过 的是对实验数据的归纳总结，玻耳兹曼则是从热力学理论出发，通过假设用光（电磁 波辐射）代替气体作为热机的工作介质，最终推导出与斯特藩的归纳结果相同的结 论。 本文用普朗克黑体辐射公式，对所有可能辐射频率进行积分，推导出斯特藩——玻尔 兹曼定律。 先设 A =
8 2 Vd c3
2、普朗克黑体辐射公式 根据量子化假设和玻色-爱因斯坦统计规律，在温度 T 的热平衡情况下，黑体辐射分配 到腔内每个模式上的平均能量为
E
h e
h / KT
1
（13）
通过（7）式乘以（13）式，并用体积 V 除，得到在频率 到 d 间隔的，单位体 积的能量表达式，即普朗克公式（11）。 由（9）式得到单位时间从黑体的单位面积上所辐射出去的频率在 附近单位频率范围 内的能量大小
I I
A cos I cos A
因此在整个 2 半球空间，一个小面积上通过的光通量如图 5
r sin d
d
r d

d
d

图5 则在面积 A 上的总光通量为
M I
2
0

/2
0
I cos sin d d
将(1)代入有
M I
cA P 2
0
再设 x KB ， dx KBd ，则
R(T ) A e x (
1 0


x 3 dx A 1 ) 4 4 KB KB B 1 K


0
x3e x dx
A 1 A π4 2 π5 K 4 4 (4) 3! T 4 B4 B4 90 15c 2h3 1 K
一、
瑞利—金斯黑体辐射公式
在 1900—1905 年间，瑞利（J.W.S.Rayleigh）和金斯（J.H.Jeans）根据经典电动力学 和统计物理学推导出辐射公式，推导过程如下。 1、 空腔内电磁场的本征振动个数
在一个有边界的空间内，只能存在一系列独立的具有特定波矢 k 的平面单色驻波。这 种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以 k 为标志。 空腔如图 1 所示
黑体辐射
陈蒄雄 中国计量学院 2013.3.3
什么是黑体？若一个物体对什么光都吸收而无反射，我们就称这种物体为“绝对黑 体”，简称黑体。黑体一词是在 1862 年由基尔霍夫所命名并引入热力学内，黑体 所辐射出来的光线则称做黑体辐射。我们说黑体不反射光，并不是意味着不产生辐 射，因为吸收和辐射并不对立，吸收是“你给我多少，我拿多少”，辐射是“我付 出的多少”。在许多旧的物理教材中，都说明绝对黑体是不存在的。然而，在茫茫 宇宙中却有许多这样的黑体——黑洞。黑洞就是黑体的一种。在霍金研究黑洞的霍 金辐射中，就认为黑洞是黑体。在理论计算中，一般用带有小洞口的空腔来作为黑体 计算。 1859 年，基尔霍夫证明黑体与热辐射达到平衡时，辐射能量与空腔的形状及组成的物 质无关。因此，我们为了计算方便，我们采用立方体空腔模型。 下面我们对经典的瑞利—金斯辐射公式、普朗克辐射公式、维恩位移定律和斯特藩— 玻尔兹曼定律进行推导和讨论。
2 πh h ，B ，则 2 c KT
0 1 3e B d A d A 3e B e KB d A 3 e KB d B 0 0 0 e 1 1 e K 0 K 1 B
R(T ) R( , T )d A 3
因为腔内各方向的辐射是均匀分布的，所以任意方向立体角 d的能量密度 P 与腔内的 总能量密度 的关系为
P
2
代入(3)得
M c A 4
即如在空腔上有一开口，则在单位时间，单位面积辐射到半球空间的能量为 。
c 4
附录 2 %画出图 3 >>x=0:0.01:5; >> y=(5-x).*exp(x)-5; >> plot(x,y),grid on %牛顿迭代法求解 >> x=5.0; >> for i=1:50 x=x-((5-x).*exp(x)-5)./((4-x).*exp(x)) end %最后得到结果收敛于 x 4.9651
R( , T )
2 KT 2 d c2
（10）
二、
普朗克黑体辐射公式
1900 年 10 月 19 日，基尔霍夫的学生普朗克，在德国物理学会会议上提出了一个黑体 辐射能量密度的分布公式：
E( , T )d
8 h 3 d c3 eh / KT 1
（11）
这个公式是普朗克为了凑合实验数据而猜出来的。普朗克为了找到一个理论的解释， 经过两个月的日夜奋斗，普朗克在 12 月 14 日在德国物理学会提出：电磁辐射的能量 交换只能是量子化的，即
附录 1 对于作用在如图 1 的空腔表面的驻波，设垂直于面积 A，且立体角为 dΩ 的方向上，光 通量（单位时间通过的波的能量）为 I 和-I，如图 4。
dFra Baidu bibliotek
P I -I
A
图4 设光速为 c，光运动单位距离的时间为 1/c，则在立体角内的光能密度（单位体积的光 能量）P 为
P2
I cA
在谐振腔内，光辐射强度是各向同性的，因此对与面积 A 法线夹角为 的入射光，光 通量仍为 I，而该方向的通量为
（2）
故每个波矢在波矢空间所占的体积元为
k x k y k z
3
xyz

3
V
（3）
波矢空间如图 2 所示
kz
k
ky
kx
图2 在波矢空间中，处于 k 和 d k 之间的波矢 k 对应的点都在以原点为圆心、 k 为半径、
d k 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为
4 3 4 k k d k 3 4k 2 d k 3 3
z
z
y x
y
图1 沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是
x
m k y y n k y y p k z z
m、n、p 为正整数。 在 x、y、z 方向上响铃两个光波矢的间隔分别为
（1）
k y y k y y kz z
R( , T )d
2 h 3 d c2 eh / KT 1
（14）
三、
维恩位移定律
维恩（W.Wien）根据实验结果，所得到的频率在 附近的辐射能量密度的经验关系式 为
E ( , T )d C1 3eC2 /T d
式中 C1 和 C2 为经验参数，T 为平衡时的温度。 1893 年，维恩发现黑体辐射的位移律。
式中 k k 、 d k d k 。 根据(1)式的驻波条件， k 的三个分量只能取正值，因此 d k 和 d k 之间的、可以存 在于 V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以 （4）
Vk
4k 2 d k k 2 d k 8 2
（5）
由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为
M
2、
8 2 Vd c3
瑞利——金斯辐射公式
（7）
根据经典能量均分定理，每个振动自由能为 KT ，包括 KT 的平均势能和 KT 的平 均动能。当然每一个光波的能量为 KT ，所以将式（7）乘以 KT 并用体积 V 除，就得 到在频率 到 d 间隔的，单位体积的能量表达式
1 2
1 2
（15）
mT 0.2898cm K
（16）
虽然威廉·维恩提出本定律的时间是在普朗克黑体辐射定律出现之前的 1893 年，且过 程完全基于实验数据的经验总结，但可以证明本定律是更为广义的普朗克黑体辐射定 律的一个直接推论。 根据普朗克黑体辐射公式（14），以波长为变量，即
R(, T )d R( , T )d
（19）
x
hc k T
（20）
化简得到
5(ex 1) xex 0
令
（21）
f ( x) 5(ex 1) xex
当 x 0 ， f (0) 0 ，显然此时 0 ， R( , T ) 0 ，与实际符合。
（22）
函数 f ( x) 是朗伯 W 函数，为了求 f ( x) 0 的解，利用数值方法的牛顿迭代法（程序 在附录 2）。 利用 Matlab 画出函数图像如图 3
E ( , T )
8 KT 2 d 3 c
（8）
由于小孔（黑体）辐射本领 R( , T ) 与腔内热平衡时的辐射场的能量密度 E ( , T ) 有关 系（推导见附录 1）
R( , T )
c E ( , T ) 4
（9）
即单位时间从黑体的单位面积上所辐射出去的频率在 附近单位频率范围内的能量大 小为
E nh , n 1, 2,3, …
（12）
这里的 h 后来被称为普朗克常量（ h 6.6260693(11) 1034 J s ）。在此能量量子化 假定下，他导出了著名的普朗克公式（11）。 下面来推导普朗克公式并导出黑体辐射公式。 1、 空腔内电磁场的本征振动个数
同推导瑞利—金斯公式的过程一样。 即（7）式 M
图3 从图知道 f ( x) 0 的解在[4,5]之间，先求出迭代公式为
x x
(5 x)e x 5 (4 x)e x
（23）
在通过迭代求出解，过程见附录 2。 最后求出结果为
x 4.9651 ，代入（20），得到 T
hc 0.28977767cm K Kx
（24）
c

2
c 2 hc2 R( , T )d 5
d e
hc / K T


1
（17）
对波长求偏导并令其等于 0，即
R( , T ) 0
得到
（18）
2 hc2 (
令
5
1
6 ehc / K T
hcehc / K T )0 1 7 KT (ehc / K T 1)2 1