固体物理习题解答

《固体物理学》部分习题解答补充：证明“晶体的对称性定律”。

证明：晶体中对称轴的轴次n并不是任意的,而是仅限于 n=1,2,3,4,6这一原理称为“晶体的对称性定律”。

现证明如下:设晶体中有一旋转轴n 通过某点O,根据前一条原理必有一平面点阵与你n 垂直,而在其中必可找出与 n垂直的属于平移群的素向量a,将a作用于O得到A 点将-a作用于O点得到A’点:若a= ,则L( )及L(- )必能使点阵复原,这样就可得点阵点B,B’,可得向量BB’,显然BB与a平行,因为空间点阵中任意互相平行的两个直线点阵的素向量一定相等,因而向量BB’的长度必为素向量a的整数倍即:BB’= ma由图形关系可得:=即m=0,±1,±2m n-2 -1 p 2-1 - 30 0 41 62 1 2p 1所以 n=1,2,3,4,6综上所述可得结论:在晶体结构中,任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重,二种,三重,四重或六重等五种,而不可能存在五重和七重及更高的其它轴次,这就是晶体对称性定律。

晶体的对称性定律证明:1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。

解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4ai j k i j k v π=⋅-+⨯+- 2()j k a π=+同理31212322()a a b i k a a a a ππ⨯==+⋅⨯ 32()b i j aπ=+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k aπ=-++同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为3(2)v π，其中0v 为正格子原胞体积证 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子体积*0123()v b b b =⋅⨯3*02331123(2)()()()v a a a a a a v π=⨯⋅⨯⨯⨯ 3*00(2)v v π=1.5 证明：倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

证：33121323,a aa a C A C B h h h h =-=-容易证明123123h h h h h h G C A G C B ⋅=⋅=112233G h b h b h b =++与晶面系123()h h h 正交。

1.6 如果基矢,,a b c构成简单正交系证明晶面族()hkl 的面间距为22()()k l d b c=+ 说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理证 简单正交系a b c ⊥⊥123,,a ai a bj a ck ===倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯123222,,b i b j b k a b c πππ===倒格子矢量123G hb kb lb =++ 222h i k j l k a b cπππ=++晶面族()hkl 的面间距2d Gπ== 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理3.2 讨论N 个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N 个格波解，当M=m 时与一维单原子链结果一一对应解 质量为M 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。

质量为m 的原子位于 2n ， 2n+2， 2n+4 ……。

牛顿运动方程2221212121222(2)(2)n n n n n n n n m M μβμμμμβμμμ+-+++=---=---—— 体系有N 个原胞，有2N 个独立的方程 方程2221212121222(2)(2)n n n n n n n n m M μβμμμμβμμμ+-+++=---=--- 的解[(2)]2[(21)]21i t na q n i t n aq n AeBeωωμμ--++==A ,B 有 非零解2222cos 02cos 2m aq aqM βωβββω--=--12222()4{1[1sin ]}()m M m M aq m Mm M ωβ+=±-+—— 两种不同的格波的色散关系 12222()4{1[1sin ]}()m M m M aq m Mm M ωβ++=+-+22(2)(2cos )0(2cos )(2)0m A aq B aq A M B βωβββω⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩12222()4{1[1sin ]}()m M m M aq m Mm M ωβ-+=--+对应一个q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2NM=m 2aq ω+=2aq ω-=长波极限情况下0q → sin()22qa qa ≈q ω-=与一维单原子晶格格波的色散关系一致3.3．考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于c 和10 c ．令两种原子质量相同，且最近邻间距为2a ．求在0k =和k a π=处的()k ω．大略地画出色散关系．本题模拟双原子分子晶体，如2H 。

∙ ∙1s u - 1s v - s u s v 1s u + 1s v + ()()21210s s s s s d u MC V u C V u dt-=-+-，()()21210,s s s s s d V MC u V C u V dt+=-+-将,.isK ai tisK ai ts s u ueeV Veeωω--=⋅=⋅代入上式有()()221011,1011,ikaika M u C e V C u M V C eu C V ωω--=+--=+-是U ，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为2211,(10)(10),11iK aiK aM C C e C eM Cωω--++- =0，解出242222220(1)011.M M C C conK a C Mωωω±-+-=⎡∴=±⎣当K=0时， 当K=/a π时2222/,0,C M ωω+-==2220/,2/,C M C M ωω+-==2ω与K 的关系如下图所示．这是一个双原子(例如2H )晶体3.6 计算一维单原子链的频率分布函数()ρω 解 设单原子链长度L Na = 波矢取值2q hN a π=⨯ 每个波矢的宽度2N aπ状态密度2N a π dq 间隔内的状态数2N a dq π—— 对应,q ω±取值相同，d ω间隔内的状态数目 ()22N a d dq ρωωπ=⨯一维单原子链色散关系 224sin ()2aq m βω=令0ω=0sin()2aq ωω=两边微分得到 0cos()22a aq d dqωω= cos()2aq =d ω=d ω=2d dq =代入()22N a d dq ρωωπ=⨯2ω=⨯一维单原子链的频率分布函数()ρω=3.7．设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有20()q Aq ωω=-求证：频率分布函数为()1/20023/21(),4V f Aωωωωωπ=-<;()0f ω=. 0,ωω>解 ()11222200000()0,0Aq f Aq q A ωωωωωωωωωω>-=>=<⇒-=⇒=-时，依据()3()2,()()2q q Vds q Aq f q ωωωπ∇=-=∇⎰，并带入上边结果有()()()()()()()1/21/200331/2223/201142()222q Vds VAVf AAq ωπωωωωωππωωπ=⋅=⋅-=⋅-∇-()222222222,222B xyK Kmm a a ma πππε⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B 点能量所以/2B A εε=4.2．写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数2k aπ=的0级波函数。

解：2221()*24()im xixim xim xikxikxaaaakx eeππππψ+===⋅=第一能带：*210,0,()2ixakm m x aππψ⋅===第二能带：23*222,,1,()xixaakb b b b m m x aaπππππψ''=→⋅=-=-∴=i i2a则即（e=e）第三能带：25*2222,,1,()ixixixaaakc c m m x eaaπππππψ'→⋅===⋅=即(2) 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度． 解：(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见，()V x 是个以a 为周期的周期函数，所以111()()()()a a b LbbV x V x V x dx V x dx Laa--===⎰⎰⎰题设4a b =，故积分上限应为3a b b -=，但由于在[],3b b 区间内()0V x =，故只需在[],b b -区间内积分．这时，0n =，于是 2222232111()()2236bbbb bbb b m m V V x dx b x dx b x xm b a a a ωωω----⎡⎤==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰。

（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数20021()cos ,()cos()cos2222b b m m m m m m V x V V x V V x xdx V x xdxb bbbbπππ∞=-∞'=+==∑⎰⎰11222102,1()cos2b g g m x E V m E b x dx bbωπ===-⎰第一个禁带宽度以代入上式,利用积分公式()2232cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu mm=+-⎡⎤⎣⎦⎰得22316m b ωπ=1g E 第二个禁带宽度222,2g E V m ==以代入上式,代入上式2222()cosb g m x E b x dx bbωπ=-⎰再次利用积分公式有2222m b ωπ=2g E4.4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带()sE k 函数解 面心立方晶格—— s 态原子能级相对应的能带函数0()()ss ik R ss s R N earestE k J J R e ε-⋅==--∑s 原子态波函数具有球对称性0*1()()[()()]()}0s i s i J J R R U V d ϕξξξϕξξ==--->⎰01()ss ik R ss R N earestE k J J eε-⋅==--∑—— 任选取一个格点为原点 —— 最近邻格点有12个12个最邻近格点的位置 ,,022,,022,,022,,022a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎪-⎪⎨⎪-⎪⎪⎪--⎩0,,220,,220,,220,,22aa a a a a a a ⎧⎪⎪⎪-⎪⎨⎪-⎪⎪⎪--⎩,0,22,0,22,0,22,0,22aa a a a a aa ⎧⎪⎪⎪-⎪⎨⎪-⎪⎪⎪--⎩022s a a R i j k =++ 01()s s ik R ss R N earestE k J J eε-⋅==--∑ ()(0)22()2(cossin)(cossin)2222x y z sx y a a i k i k j k k i j k ik R a ik k y y x x e ek a k a k a k a ei i -++⋅++-⋅-+==--—— 类似的表示共有12项—— 归并化简后得到面心立方s 态原子能级相对应的能带1()4(cos cos cos cos cos cos )222222ss y y x x z z E k J k ak ak ak a k ak a J ε=--++对于体心立方格子――任选取一个格点为原点 —— 有8个最邻近格点 —— 最近邻格点的位置 ,,222,,222,,222,,222a a a a a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎪---⎪⎨⎪-⎪⎪⎪--⎩ ,,222,,222,,222,,222a a a a a a a a a a a a ⎧-⎪⎪⎪--⎪⎨⎪-⎪⎪⎪--⎩222s a a a R i j k=++01()ss ik R ss R N earestE k J J eε-⋅==--∑()()()2222(cossin)(cossin)(cossin)222222x y z x y z sa a a a i k i k j k k i j k i k k k ik R y y x x z z eeek a k a k a k a k a k a i i i -++⋅++-++-⋅===---—— 类似的表示共有8项归并化简后得到体心立方s 态原子能级相对应的能带01()8cos(/2)cos(/2)cos(/2)ss x y z E k J J k a k a k a ε=-- 4.7．有一一维单原子链，间距为a ，总长度为Na 。