非线性有限元
线性和非线性有限元
目
CONTENCT
录
• 线性有限元方法 • 非线性有限元方法 • 线性与非线性有限元的比较 • 线性与非线性有限元的实例分析 • 未来研究方向与展望
01
线性有限元方法
定义与原理
定义
线性有限元方法是一种数值分析方法，用于求解偏微分方程的近 似解。它将复杂的求解区域离散化为有限个小的、简单的子区域 ，即有限元，然后对每个有限元进行求解，最终得到原偏微分方 程的近似解。
THANK YOU
感谢聆听
在实际应用中，应根据问题的特性和需求选择合适 的有限元方法。对于复杂的问题，可能需要结合多 种有限元方法进行求解。
05
未来研究方向与展望
线性有限元方法的改进与优化
80%
高效求解算法
研究更快速、稳定的线性有限元 求解算法，提高计算效率。
100%
自适应网格生成
发展更智能、自动的网格生成技 术，以适应复杂几何形状和边界 条件。
线性有限元
由于线性有限元基于线性方程组进行求解，因此计算复杂度 相对较低，适用于求解一些较简单的问题，如弹性力学问题 。
非线性有限元
非线性有限元需要求解非线性方程组，计算复杂度较高，但 能够处理更复杂的问题，如塑性力学、流体力学等领域的问 题。
精度比较
线性有限元
对于一些简单的问题，线性有限元可以给出较为精确的结果。然而，对于一些 复杂的问题，线性有限元可能无法准确描述非线性行为。
80%
多物理场耦合
研究线性有限元在多物理场耦合 问题中的应用，如流体-结构、电 磁-热等。
非线性有限元方法的改进与优化
高阶非线性有限元
发展高阶非线性有限元方法， 以更精确地描述复杂非线性行 为。
非线性有限元介绍1
非线性有限元介绍1.为什么使用FEA解决有限元问题（1）理解设计的意图。
有限元分析（FEA）是研究不同力学设计的有力工具。
（2）降低产品成本和开发周期。
1) FEA通过以下方式降低产品成本和开发周期；2) 在模具制造前识别成型问题；3) 使模具制造返工成本最低；4) 提前识别设计中缺陷减小样机的成本；5) 使用最少的材料；（3）获得结果的唯一办法。
1) FEA可以用来预测产品在极端工况下的性能，这些在实验中无法复现；2) 能在设计阶段提前考虑这些工况。
（4）很多工况在设计阶段无法预料。
2.收敛定义（1）在有限元中收敛有多重意义：1) 网格收敛；2) 时间积分精度；3) 非线性程序收敛；4) 求解精度；（2）网格收敛1) 增加模型单元数量会使仿真解趋于解析解。
网格收敛对线性和非线性问题都适用；在Abaqus中使用H网格自适应技术；2)进一步加密网格时，结果变化很小或不变时，认为网格达到收敛。
3)网格收敛规则的例外：网格奇异解；材料损伤累计在模型特定区域的局部问题；在Abaqus中使用H自适应网格技术；Abaqus提供特殊技术来减小网格依赖性，解决材料软化局部影响。
4)Abaqus提供评估网格收敛工具。
在打印输出文件（.dat）和结果文件（.fil）输出的节点（SJP）处应变跳变。
5)Abaqus后处理云图设置。
应力云图；不连续云图。
6)自适应网格误差设计。
见Abaqus/Standard 自适应网格课程介绍。
（3）瞬态问题时间积分精度。
对于具有物理时间尺度的瞬态问题，Abaqus提供用户定义参数，以控制对相关方程的积分精度：半增量容差。
1)评估当前增量中途点的最大不平衡力；2)一个增量中允许的最高温度变化；3)增量中根据开始和结束速率条件计算出的蠕变应变增量的最大容差。
（4）非线性求解收敛：见后续。
（5）求解精度。
获得精确解需要满足以下条件：准确解需要工程经验来建立合适有限元模型：材料、载荷、边界和求解程序。
非线性结构有限元分析
在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正 的牛顿迭代法或BFGS法。 1. 修正的牛顿迭代法。它与完全的牛顿法的不同在 于迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形 成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。但是这样 又带来了收敛速度慢和发散问题，对此程序中加入了 加速收敛和发散处理的措施。这些措施并不明显地增 加求解的时间，但却会对修正的牛顿迭代法的性能有 所改进。 2. BFGS法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一 种。它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的 一种折中方法。因为它在迭代过程中，并不重新形成
0 t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1 n n n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的
返回
取位移插值函数为： n
t
写成矩阵形式：
t i
ui N u
k 1
t k k i
；
ui N k uik
k 1
n
（10-26） （10-27）
u [N ] u
t k i
；
ui [ N ]uik
其中：Nk为插值函数，[N]为形函数矩阵； t k ui ，uik 为k点i方向上t时刻的位移和位移增量； n为单元节点数。 取坐标变换为：
v
v s
{R} [ N ]T qv dv [ N ]T qs ds {R0}
{u}
外载荷阵 （10-6） 为节点位移对时间的二 次导数；
为节点位移对时间的一 次导数。
{u}
《有限元非线性》课件
本课件介绍《有限元非线性》课程的重要概念和应用领域，帮助学习者深入 了解非线性有限元分析的基本原理和解决方案。
有限元分析基础概念
介绍有限元分析的基本原理，包括离散化方法、单元类型和刚度矩阵的计算。
进一步学习非线性有限元方法
深入讨论非线性有限元方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的应用和优缺点，以及适用场景。
常见的非线性问题类型
弹性-塑性耦合模型
讨论弹性和塑性耦合的模型，以及其在结构分析和变形分析中的应用。
本构方程的求解方法
详细介绍求解非线性本构方程的数值方法和迭代策略，包括线性化方法和增量迭代法。
探讨材料非线性、几何非线性和边界条件非线性等常见问题类型，并提供解决方案。
经典弹塑性模型
介绍经典弹塑性模型及其在非线性有限元分析中的应用，包括塑性流动准则和硬化规律。
渐进式塑性模型
探讨渐进式塑性模型的特点及其在复杂材料行为建模中的应用。
黏塑性模型
介绍黏塑性模型及其在某些材料和地质工程分析中的应用，如粘土和岩石。
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
非线性有限元方法
非线性有限元方法非线性有限元方法是大量应用于工程领域的计算方法，它主要用于求解复杂结构的力学问题，例如材料的变形、破坏和变形控制等。
与线性有限元方法不同，非线性有限元方法考虑因为载荷和边界条件的非线性导致问题的非线性本质，以及材料的非线性行为。
在这篇文章中，我们将讨论非线性有限元方法，包括其应用、工作原理以及其在工程领域中的重要性等内容。
首先，我们来研究一下非线性有限元方法的应用。
非线性有限元方法在许多方面都有应用。
其中最重要的领域是结构力学，包括建筑、航空航天、汽车等领域。
由于这些结构需要承受复杂的载荷，因此非线性有限元方法可以很好地模拟这些结构的行为，预测它们的性能和寿命。
此外，非线性有限元方法还可以应用于材料力学研究中，例如破碎、断裂和塑性变形等方面。
其次，我们来了解一下非线性有限元方法的工作原理。
与线性有限元方法类似，非线性有限元方法通过将结构分成小块进行离散，然后在每个小块中进行力学分析，最后将分析结果合并为整个结构的行为。
但是，与线性有限元方法不同的是，非线性有限元方法考虑到材料的非线性行为，采用迭代的方法计算结构的响应。
通常，在每一次迭代中，我们都将结构的当前状态作为一个初始猜测，然后求解出该状态下的切应力和位移场。
然后我们将这个位移场的结果代入底部，从而更新结构的状态。
如果解决方案收敛，则完成计算，否则就将新的状态再次代入求解。
这种方法的本质是将非线性问题转化为一系列线性问题的求解，通过迭代求解来逼近非线性问题的解。
最后，我们来讨论一下非线性有限元方法在工程领域中的重要性。
非线性有限元方法已成为现代工程设计和分析的不可或缺的工具。
它允许工程师们模拟和预测各种工程机构的行为，以及设计和优化各种结构。
例如，它可以帮助我们了解在不同载荷下建筑和桥梁行为的变化，预测材料的破坏和失效，以及优化汽车和飞机的结构以提高其性能。
总之，非线性有限元方法是一种复杂但十分有用的计算方法，它可以模拟各种结构的行为并预测其性能和寿命。
如何利用非线性有限元法进行力学分析
如何利用非线性有限元法进行力学分析非线性有限元法是一种用于数值分析问题的计算方法，其主要应用于力学分析领域。
这种方法在于其对于复杂结构的建模能力和高精度数值计算能力而备受推崇。
在本文中，将介绍如何对力学问题进行分析，以及如何应用非线性有限元法对力学分析进行模拟。
1. 引言力学分析整体上分为两种类型：静力学分析和动力学分析。
静力学分析研究对于物体的力和静止条件进行研究，其中力一般会造成物体的运动。
而动力学分析则研究运动物体的变化，特别是再一定条件下物体的振动问题等。
因为力学分析问题具有很高的复杂性，很多时候需要使用非线性有限元法来得到更准确的结果。
下面我们将详细介绍使用非线性有限元法进行力学分析的方法和流程。
2. 有限元法简介有限元法是一种现代数值计算方法，它将大工程结构分割为小的有限元。
在每个有限元内，结构的物理性质可以被认为是常量。
(具体内容可以自己百度)3. 如何利用非线性有限元法进行力学分析使用非线性有限元法进行力学分析的核心是将宏观问题转变为微观问题来进行模拟计算。
其中需要注意下面几点：3.1 确定力学分析的类型根据要进行分析的结构本身的性质和应用场景，可能涉及到静力学分析或者动力学分析。
其中静力学分析的计算主要涉及到结构在平衡状态下的情况，而动力学分析主要涉及到结构在某种条件下的运动和振动情况。
因此，在进行力学分析之前需要确定其类型，以便进行后续的计算。
3.2 建立结构模型根据具体情况，需要对结构进行建模。
建模可以通过一定的工具软件实现，或者手工建立结构模型。
模型的建立需要考虑到其复杂性和具体的应用场景。
构建好结构模型之后，需要对其进行精细化剖分得到单元网格，并进行编号。
3.3 确定边界条件在进行力学分析时，还需要考虑结构的边界条件。
边界条件可以通过指定某些点的坐标或者某些角度的变化来确定。
因此，在进行计算时需要根据具体情况设定边界条件，以便进行后续的计算。
3.4 进行数值模拟计算运用有限元法的基本原理，将每个单元的机械性质进行计算，根据力学分析的情况，可以得到结构节点的位移、应变和应力等参数。
非线性有限元之非线性求解方法
非线性有限元之非线性求解方法平衡回顾✧静态平衡是内力I和外载P力量平衡；✧在非线性问题中，模型的内力I可以是以下量的非线性函数；✧在非线性问题中，模型的外力P也可以是某些量的非线性函数，如位移u和时间t。
非线性求解方法1.已知一个分析，知道结构总载荷和初始刚度，目的是找到最后的位移。
线性分析中，一次计算就能求解出最终位移；非线性问题中不可能，因为结构刚度随着结构变形而改变。
2.求解这类非线性问题需要的是一种增量\迭代技术，获得的解是非线性问题准确的近似。
这些方程通常没有精确解。
3.Abaqus使用迭代求解该方程：使用牛顿拉普森方法求解近似解，使误差最小。
4.Abaqus用法：1）载荷历史被拆解为一系列的分析步；每个分析步拆解为一系列增量步；用户为初始时间增量猜测一个值；Abaqus使用自动增量算法确定其他的增量步。
在每个增量步结束时，Abaqus根据载荷与时间关系计算当前负载大小2）使用牛顿拉普森程序迭代求解每个增量结束时的解；根据收敛容差判断牛顿拉普森程序的收敛；如果迭代不收敛，减少增量步的大小；然后使用小增量步重新进行计算。
5.分析步、增量步、迭代步1）分析步仿真载荷历程含有一个或多个分析步。
2）增量步是分析步的一部分；在静态问题中，总载荷被分成很小的增量步。
以便可以沿着非线性路径求解。
3）迭代步迭代步是增量步中寻找平衡解得一次计算尝试。
5.牛顿拉普森方法Abaqus/Standard 基于牛顿拉普森方法的增量迭代求解技术，该方法是无条件稳定（任何大小的增量步都可以）。
增量步大小影响动态分析精度，每个增量步通常要求多次迭代才能满足收敛要求，每个分析步通常有多个增量步，牛顿拉普森定义了一个残差为0位移曲线。
6.牛顿拉普森方法基础。
平衡是u的非线性方程，牛顿拉普森迭代求解在Cu 处的线性方程，Cu是位移u的修正量。
7.残差定义为了得到线性方程组，重写一下平衡方程，R（u）是u的残差。
这个残差表示的是位移u处不平衡力。
03非线性分析要点
第三部分非线性分析第一章非线性有限元概述1.1非线性行为1、 非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。
如果绘制一个非线 性结构的载荷一位移曲线，则 力与位移的关系是非线性函数。
2、 引起结构非线性的原因：a 几何非线性：大应变，大位移，大旋转 （例如钓鱼竿的变形）b 材料非线性：塑性，超弹性，粘弹性，蠕变c 状态改变非线性：接触，单元死活3、 非线性行为一一分析方法特点A 不能使用叠加原理！B 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。
C 结构响应与施加的载荷可能不成比例。
1.2非线性分析的应用1、 一些典型的非线性分析的应用包括： 非线性屈曲失稳分析金属成形研究碰撞与冲击分析制造过程分析（装配、部件接触等）材料非线性分析 （塑性材料、聚合物）2、 橡胶底密封：一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶）， 及状态非线性（接触）的例子。
2.1非线性方程组的解法1、求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构的总位能的驻值 问题。
结构总位能n ： 口 "3弋门心 2、 增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即 ANSYS 中的荷载步或荷载子 步。
A 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前， 刚度矩阵以反映结构刚度的变化。
B 增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是 极限值屈曲分析）十分有用。
C 增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载-位移曲 线飘移。
D 对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。
应用最广的就是在每一 级载荷增量上用Newton-Raphsor 或其变形的迭代法。
3、 迭代法：割线刚度法：收敛性差，因此很少应用切线刚度法Newto n-Ra phsor 迭代法：切向刚度法中 2.2 Newto n-Ra phsor 迭代法 1、 优点：对于一致的切向刚度矩阵有 二次收敛速度。
非线性有限元解法
(9)
(10 )
•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限
元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0
(1)
用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1
(2)
相应于不同的载荷。
若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 ( un ,n ) P( un ) n R 0
KT n
KT ( un
)
un
(8)
un1 un un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。
u1 ( K1 )1 R
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
Kn K( un )
un1 ( K n )|1 R
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计
算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n
( un ) K( un )un R 0
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：
( un ) R
(8)
（失衡力收敛判据）
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为： ( u ) P( u ) R 0 (1)
材料非线性问题的有限元
一、材料非线性问题的有限单元法1．1 引言以前各章所讨论的均是线性问题。
线弹性力学基本方程的特点是1．几何方程的应变和位移的关系是线性的。
2．物性方程的应力和应变的关系是线性的。
3．建立于变形前状态的平衡方程也是线性的。
但是在很多重要的实际问题中，上述线性关系不能保持。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
又如长期处于高温条件下工作的结构，将发生蠕变变形，即在载荷或应力保持不变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展而继续增长，这也不是线弹性的物性方程所能描述的。
上述现象都属于材料非线性范畴内所要研究的问题。
工程实际中还存在另一类所谓几何非线性问题。
例如板壳的大挠度问题，材料锻压成型过程的大应变问题等，这时需要采用非线性的应变和位移关系，平衡方程也必须建立于变形后的状态以考虑变形对平衡的影响。
由于非线性问题的复杂性，利用解析方法能够得到的解答是很有限的。
随着有限单元法在线性分析中的成功应用，它在非线性分析中的应用也取得了很大的进展，已经获得了很多不同类型实际问题的求解方案。
材料非线性问题的处理相对比较简单，不需要重新列出整个问题的表达格式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性分析。
一般说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段，材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终得到问题的解答。
几何非线性问题比较复杂，它涉及非线性的几何关系和依赖于变形的平衡方程等问题，因此，表达格式和线性问题相比，有很大的改变，这将在下一章专门讨论。
这两类非线性问题的有限元格式都涉及求解非线性代数方程组，所以在本章开始对非线性代数方程组的求解作—一般性的讨论。
这对下一章也是必要的准备。
正如在前面已指出的，材料非线性问题可以分为两类。
非线性结构有限元分析课件
非线性结构有限元分析的步骤与流程
• 设定边界条件和载荷，如固定约束、压力 或力矩等。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01 步骤三：求解
02
选择合适的求解器，如Newton-Raphson迭代法或 直接积分法。
03 进行迭代计算，求解非线性结构的内力和变形。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01
步骤四：后处理
非线性有限元分析的基本概念
总结词
非线性有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的结构或系统离散化为有限个小的单元，并建立 每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。
详细描述
非线性有限元分析是一种基于离散化的数值分析方法，通过将复杂的结构或系统划分为有限个小的单 元（或称为有限元），并建立每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。这种方法能够 考虑各种复杂的边界条件和材料特性，提供更精确的数值结果。
非线性有限元分析的常用方法
总结词
非线性有限元分析的常用方法包括迭代法、增量法、 降维法等。这些方法可以根据不同的非线性问题选择 使用，以达到更好的分析效果。
详细描述
在非线性有限元分析中，常用的方法包括迭代法、增量 法、降维法等。迭代法是通过不断迭代更新有限元的位 移和应力，逐步逼近真实解的方法；增量法是将总载荷 分成若干个小的增量，对每个增量进行迭代计算，最终 得到结构的总响应；降维法则是通过引入一些简化的假 设或模型，将高维的非线性问题降维处理，以简化计算 和提高计算效率。这些方法各有优缺点，应根据具体的 非线性问题选择使用。
03
02
弹性后效
材料在卸载后发生的变形延迟现象。
材料强化
材料在受力过程中发生的强度增加 现象。
04
第13讲 非线性有限元问题的分类与一般解法-11_35620112
10.1 引言
c）应力-应变关系为{σ}=[D]{ε} ，式中[D]为常数矩阵。 ⇒ 基于线弹性假设。 d）边界约束条件在加载过程中保持不变。 如果在加载中位移边界条件发生改变，（如某自由的自 由度在一定载荷水平下成为被约束自由度），则系统成为非 线性。这种情况在接触分析中出现。 * 如果不满足上述①、②、③假设，结构系统的力学行为将 出现非线性。
{ΔPi } ( i = 1, 2,", m ) （增量可不等）
{P} = ∑ {ΔPi }
i =1 m
P
P
ΔPi
0
δ
δLeabharlann ②逐步施加载荷增量，逐步求解。每一步计算中，将 刚度矩阵[K(δ)]处理为常数（线性化），在不同载荷 步中，刚度矩阵具有不同值。即 由
{ΔPi } 线性化 JJJJJJJ J M {Δδ i } → {Δε i } → {Δσ i }
大位移（大转 动），大应变
接触非线性
与其他组合出现
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
10.2 非线性问题的分类
用以下例子说明各类非线性.
Δ
P/2
σ ,ε
P/2 L 求 P∼Δ 之关系 A
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
10.2 非线性问题的分类
① 线弹性（小位移） 应力： σ = P A 位移： 应变： ε
有限元法应用
(第十三讲)
清华大学汽车工程系 结构分析与CAE研究室
第10章 非线性有限元问题的分类与 一般解法
10.1 引言 10.2 非线性问题的分类 10.3 非线性问题的一般解法
10.1 引言
在线性有限元分析中作了以下假设： ①小位移(小变形)； ②线弹性； ③在加载过程中边界条件不变化。 由此，得静力学有限元方程：[ K ]{δ } = {P} 其中[K]为常数矩阵. 该方程为线性方程 即,
非线性有限元
（三）混合法 如对同一非线性方程组混合使用增量
法和迭代法，则称为混合法或逐步迭代法。 一般在总体上采用Euler增量法，而在
同一级荷载增量内，采用迭代法。
Ki-1
刚度的取值可根据给定的应力-应变曲 线导出。若每级计算都采用上一级增量计算 终了时的刚度值，则称为始点刚度法。
Ki-1
始点刚度法类似于解微分方程初值问题 的欧拉(Euler)折线法，计算方法简单但计算 精度较低，容易“漂移”。
若采用中点刚度法则可以提高精度。该 法类似于解常微分方程初值问题的龙格-库塔 （Runge-Kutta）法，包括中点切线刚度法 和中点平均刚度法。
(1) 直接迭代法 对非线性方程组
设其初始的近似解为 ，由此确定近似的
矩阵
可得出改进的近似解
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法
对非线性方程组
直到 变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足 作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
q-Newton—Raphson迭代法的计算过程
（2）初应力法 如果在弹性材料内确实存在初应力 ，则材料的应力应变关系为
由上式及虚功原理可导出单元的结点力为
集合单元得出以下的有限元方程 式中， 为由初应力 引起的等效结点荷载
初应力法就是将初应力看作是变化的， 以此来反映应力和应变之间的非线性关系。 通过不断地调整初应力，使线弹性解逼近非 线性解。
接触非线性 由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用，
使得部分边界条件随加载过程而变化，且不 可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆 性产生的非线性问题，称为接触非线性。
材科非线性有限元法 材料非线性是由本构关系的非线性引
非线性有限元1_非线性方程求解及收敛控制
2014-12-3
18
2.1 非线性方程组的解法－－增量法
增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即ANSYS中的 荷载步或荷载子步。 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载 增量之前，调整刚度矩阵以反映结构刚度的变化。
公式（ 4） ui 1 ui ui 1
2014-12-3 6
1.1 非线性行为——材料非线性
非线性的应力－应变关系是产生结构非线性的一个 普遍原因。
应力
应力
应变
应变
钢
橡胶
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1.1 非线性行为——状态改变非线性
许多非线性问题是与状态相关的。例如一段 绳索可以是松驰的或拉紧的。一个装配件的两部分可 能接触或脱离接触。
在这个接触例题中 ，接触面积未知， 它取决与施加载荷 的大小。
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1.1 非线性行为——分析方法特点
不能使用叠加原理! 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。 结构响应与施加的载荷可能不成比例。
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9
第一章 非线性有限元概述
1.1 非线性行为 1.2 非线性分析的应用
2014-12-3 25
2.2 Newton-Raphson迭代法－－力平衡
Newton-Raphson 法需要一个收敛的度量以决定何 时结束迭代。 给定外部载荷（Fa），内部载荷（ Fnr ,由单元应力 产生并作用于节点），在一个体中，外部载荷必须与内 力相平衡。
Fa - Fnr = 0
收是平衡的度量。
载荷
F
收敛半径 如果 ustart 在收敛半径内将收 敛，否则将发散。
ustart ?
材料非线性有限元分析
材料非线性有限元分析材料非线性有限元分析是一种重要的计算力学方法，用于研究在载荷作用下，材料会发生非线性行为的情况。
这种分析方法已经被广泛应用于工程领域，例如建筑结构、航空航天以及汽车工业等。
本文将详细介绍材料非线性有限元分析的原理、方法和应用。
首先，我们来介绍一下材料非线性。
在工程领域，材料的非线性行为主要包括弹塑性、损伤、断裂、破坏等。
这些非线性行为往往在高载荷作用下会显著增加结构的应力和应变，从而导致结构的失效。
因此，准确地预测和分析这些非线性行为对于工程设计和结构优化具有重要意义。
材料非线性有限元分析是一种基于有限元方法的计算机模拟技术，用于模拟和分析复杂结构在非线性载荷下的力学行为。
它通过将结构离散为许多小的有限元单元，并以数学模型描述每个单元的材料行为，从而建立了结构的有限元模型。
然后，结构的力学行为可以通过求解相应的离散形式的力学方程得到。
在材料非线性有限元分析中，有两个关键问题需要解决。
首先是材料本构模型的建立。
材料本构模型是描述材料应力和应变关系的数学模型，常用的包括弹性模型、塑性模型、损伤模型等。
选择合适的材料本构模型对准确预测和分析结构的非线性行为至关重要。
其次是数值方法的选择。
对于材料非线性问题，通常需要使用迭代算法，如牛顿-拉夫森法，来求解非线性方程。
此外，还需要选择适当的数值积分方法，以解决离散形式的力学方程。
材料非线性有限元分析在许多领域都有广泛的应用。
在结构工程领域，它可以用于分析钢筋混凝土结构、大跨度桥梁以及高层建筑等的受力性能。
在航空航天领域，材料非线性有限元分析可用于研究飞机机翼、航天器的结构强度和振动特性。
在汽车工业中，它可以用于分析车辆的碰撞、耐久性和振动特性。
总结起来，材料非线性有限元分析是一种重要的计算力学方法，能够准确地模拟和分析结构在非线性载荷下的力学行为。
它在工程领域有着广泛的应用，能够为工程设计和结构优化提供科学依据。
未来随着计算机硬件和数值方法的不断发展，材料非线性有限元分析将在更多领域得到应用，并为解决工程实际问题提供更准确和高效的方法。
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K 0 0 K K (δ )
1 0 1
矩阵
可得出改进的近似解
δ (K ) R
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法 对非线性方程组
K K (δ )
i i
δ
直到
i 1
(K ) R
i 1
i 1
δ δ
i
δ
i
变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
收敛半径 F
如果 δ初始 在收敛半径内, 解
将收敛; 否则解发散.
δ初始 ?
δ
位移
载荷
发散!
载荷 收敛
F
F
δ初始
δ
位移
δ初始 δ
位移
初始点在收敛半径外部
初始点在收敛半径内部
• 如果初始构形在收敛半径外部, 有两种技 术可帮助获得收敛解:
F F1
F
δ
δ
start
δ
δ
start
递增加载使目标更接近初始点
Kδ R R 0
式中， R 为由初应力 σ 0 引起的等效结点荷载
0
R 0 (c )
e
e T
B
v
T
σ 0 dV
初应力法就是将初应力看作是变化的， 以此来反映应力和应变之间的非线性关系。 通过不断地调整初应力，使线弹性解逼近非 线性解。
σ0
（3）初应变法 如果在弹性材料内确实存在初应变 0 ，则材料的应力应变关系为
1
1
ψ i F i K ( ) ( ) δ δ δ i 1 δ i δ i
i T
Newton—Raphson迭代法的计算过程
• 但 Newton-Raphson 法不能保证在所有 情况下都收敛! • 仅当初始构形在收敛半径 内时 NewtonRaphson 才收敛.
载荷
ψ ψ (δ ) F (δ ) R 0
在 δ δ i 附近按一阶Taylor级数展开
引入记号
ψ i K K T (δ ) ( ) δ
i T i
Newton—Raphson迭代公式为
δ ( K ) ψ ( K ) ( R F )
i i T i i T i
几何非线性 几何非线性属于大变形问题，位移和应变 或者它们中一个是有限量。可能会有三种情 况:大位移(包括线位移和角位移)、小应变；小 位移、大应变；大位移、大应变。此时反映 应变和位移关系的几何方程是非线性方程， u 1 u 2 v 2 w 2 x [( ) ( ) ( ) ] x 2 x x x v u u u v v w w xy x y x y x y x y
δ (K ) ψ (K ) (R F )
i i i
i 1 T
i0 1 Tδ Nhomakorabeai 1
δ δ
i
m-Newton—Raphson迭代法的计算过程
q-Newton-Raphson法
每次迭代后用一个简单的方法修正
的修正要满足以下的拟牛顿方程 K
K
i
K
i 1
(δ
i 1
δ ) ψ (δ ) ψ ( δ )
和
之间存在单值函数关系
( )
关系由试验确定，对于简单拉伸， 就是单轴的关系。
单元切线刚度矩阵
k s ( )δ R
e
e
可得整体平衡方程
k s ( ) B Ds BdV
v
T
K s (δ)δ R
整体切线刚度矩阵
K s (δ) (c ) k s ( )c
e T e
在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足
K (δ)δ R 0
ψ ( δ ) K (δ )δ R 0
i i i
作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
直接迭代法的计算过程
Newton—Raphson方法 设
(δ)为具有一阶导数的连续函数，
i
δδ
i
是方程的第i 次近似解。若
i i
非线性有限元
非线性问题 大多数实际问题属于非线性问题，根据 产生非线性的原因，非线性问题主要有三种 类型： ●材料非线性(物理非线性) ●几何非线性 ●接触非线性
材料非线性 应力与应变之间为非线性关系，通常与 加载历史有关，加载和卸载不是同一途径， 因而其物理方程中的弹性矩阵是应变的函数。 但材料非线性问题仍 属于小变形问题，位移和 应变是微量，其几何方程 是线性的。土、岩石、混 凝土等具有典型的材料非 线性性质，应当按材料非 线性问题处理。
用收敛增强工具扩大收敛半径
• 通常结合两种 策略获得收敛.
• 一般的规律是系统任何方面的突变会导致 收敛困难. –刚度突变. –载荷突变. • 最佳收敛行为是把突变分成一系列很多小 的递增的变化. –采用渐变加载. –采用小的时间步.
m-Newton-Raphson法
m-Newton—Raphson迭代公式为
材科非线性有限元法 材料非线性是由本构关系的非线性引 起的。但它和线弹性有限元一样，都属于小 变形问题，因而关于形函数的选取、应变矩 阵、应力矩阵及刚度矩阵的形式都是相同的， 不同的仅在刚度矩阵是按非线性弹性或弹塑 性矩阵计算的，这是材料非线性有限元的基 本内容。
全量形式非线性有限元 全量形式的非线性弹性本构方程：
刚度的取值可根据给定的应力-应变曲 线导出。若每级计算都采用上一级增量计算 终了时的刚度值，则称为始点刚度法。
P
Pi
Pi 1
Ki-1
Pi
δ
始点刚度法类似于解微分方程初值问题 的欧拉(Euler)折线法，计算方法简单但计算 精度较低，容易“漂移”。
若采用中点刚度法则可以提高精度。该 法类似于解常微分方程初值问题的龙格-库塔 （Runge-Kutta）法，包括中点切线刚度法 和中点平均刚度法。 P Ki-1 Pi
i 1 i i T i i T
i 1
i 1
(ψ ) ( K ) ψ δ (δ ) (K ) (1 ) i T i i T i (δ ) ψ (δ ) ψ
i 1 i T i i i T
i 1
δ (ψ ) ( K ) ( K ) ψ (δ ) i T i (δ ) ψ
D σ ε0
1
D σ 0
1
（二）增量形式非线性有限元求解方法 在用线性方法求解非线性方程组时，若 对荷载增量进行线性化处理，则称增量法。 它的基本思想是将荷载分成许多小的荷 载部分（增量），每次施加一个荷载增量。 此时，假定方程是线性的，刚度矩阵K为常 矩阵。对不同级别的荷载增量，K变化的。 这样，对每级增量求出位移增量，对它累加， 就可得到总位移。实际上就是以一系列的线 性问题代替了非线性问题。
i i T i
i 1
i 1
i T
q-Newton—Raphson迭代法的计算过程
（2）初应力法 如果在弹性材料内确实存在初应力 σ 0 ，则材料的应力应变关系为
σ Dε σ 0
由上式及虚功原理可导出单元的结点力为
F kδ B σ 0 dV
e e v
T
集合单元得出以下的有限元方程
平均等效应力
3J 2
1 2
2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )
平均等效应变
2 3 2 2 2 2 2 2 ( x y ) ( y z ) ( z x ) ( xy yz zx ) 3 2
Pi 1
δ
（三）混合法 如对同一非线性方程组混合使用增量 法和迭代法，则称为混合法或逐步迭代法。 一般在总体上采用Euler增量法，而在 同一级荷载增量内，采用迭代法。
P
Pi
Pi 1
Ki-1
δ
i
i 1
( K i 1 ) 1 ( K i ) 1 (K i ) 1
DFP(Davidon-Fletcher-Powell)公式
δ (δ ) ( K ) ψ (ψ ) ( K ) (K ) i T i i T i 1 i (δ ) ψ (ψ ) ( K ) ψ BFS（Broyden-Fletcher-shanno）公式
如果应力和应变之间的关系也是非线 性的，就变成了更复杂的双重非线性问题。 在几何非线性问题中一般都认为应力在弹性 范围内，应力与应变之间呈线性关系。工程 中的实体结构和板壳结构都存在几何非线性 问题，例如弹性薄壳的大挠度分析，压杆或 板壳在弹性屈曲后的稳定性问题。
接触非线性 由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用， 使得部分边界条件随加载过程而变化，且不 可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆 性产生的非线性问题，称为接触非线性。
e
整体平衡方程
K s (δ)δ R
K 与位移 有关， s
这是一个非线性方程组。一般用迭代 法求解。
（一）全量形式非线性有限元求解方法 (1)直接迭代法 (2)初应力法 (3)初应变法
K (δ)δ R 0 0 设其初始的近似解为 δ δ
，由此确定近似的
(1) 直接迭代法 对非线性方程组
σ Ds ε ( D Dp )ε
2 1 2 D为弹性矩阵 1 1 E 2( ) 0 0 Dp ( ) 3(1 ) 9 0 0 0 0 对称 2 0 0 0 3 2 0 0 3 2 0 3 2