离散数学第1章命题逻辑

什么是逻辑？
“逻辑”是英语 Logic 的译音，源于古希腊 文，原意主要指言语、思想、理性、规律性 等。 逻辑学起源于2000多年前的古希腊。 逻辑学也称为形式逻辑，是关于思维形态 的结构及其规律的科学。 也就是说，逻辑学研究人思维的形态结构 和一般规律。
什么是思维的形态结构？
思维形态是人们在思维过程中用以反映客观现
“我正在说谎”这句话是在逻辑学上称为“悖论”， 从它的真可以推断它的假，从它的假又可以推断它的 真。
命题的种类：
原子命题
(简单命题)：不能再分解成更简 (分子命题)：由若干个连结词、
单陈述句的命题。
复合命题
标点符号及原子命题复合构成的命题。
命题的表示： 在本课程的系统里，用大写字母表示。 例： P：今天下雨。 Q1：小王是大学生。
什么是数理逻辑？
数理逻辑是用数学的方法研究逻辑。 “数学方法”：建立一套有严格定义的符 号体系，即建立一套形式语言，来研究逻辑。 所以数理逻辑也称为“符号逻辑”。 数理逻辑分为命题逻辑和谓词逻辑两部分。
第一章 命题逻辑
第一节 命题与命题真值
什么是命题？
命题是表达判断的陈述句。
一个判断只有两种可能：正确的判断 或者 错误的判断。 把这种“正确”或者“错误”赋予命题， 就得到命题的真值。
连接词“或者”的表达分为两种情况：
可兼取的或，即两件事情可以同时发生。用
析取“∨”表达。
不可兼取的或，即两件事情不能同时发生。
用异或（也称排斥或） “

” 表达。
（3） 析取“∨”
例： P：小王能唱歌。 Q：小王能跳舞。 P∨Q：小王能唱歌或者能跳舞。
小王能唱歌与小王能跳舞可以同时发生，我
P F F T T Q F T F T P Q F T T F P F F T T Q F T F T PQ T F F T
P
Q ⇔ (PQ)
可以把这6种逻辑联结词看成是6种运算，因为 有运算结果； 其运算的对象是命题； 运算规则是每个连结词的真值表。 在后面的代数系统部分大家可以看到，运算 的概念是很广的，运算实际上是一种映射。
PQ 的真值应该如何定义？ P：土壤缺少水分。Q：这颗植物会死亡。 PQ
P
Q
F F T
T
F T F
T
T T F
T
善意规定
当且仅当
P 为 T，Q 为 F 时， PQ 的真 值为 F；而在其它情况下，PQ 的真值 均为 T。
注意“善意规定”。
例： P：天气好。 Q：我去公园。
1.如果天气好,我就去公 园。 PQ 2.只要天气好,我就去公 园。 PQ 3.天气好,我就去公园。 PQ
离散数学(Ⅰ)
东北大学离散数学课程组
什么是离散数学？

数学的研究对象根据其数据类型可以分为两种： 连续对象，如长度、温度、面积等。 离散对象，如商店商品，学生所学课程等。 离散数学是研究离散对象的结构以及它们之间相

互关系的科学。
为什么学习离散数学？ 离散数学是计算机科学与技术的理论基础。 计算机正是在离散数学中的图灵机的理论指导 下诞生的(1936提出图灵机---1946诞生计算机)。 现代计算机理论与技术的许多分支，比如：数 据结构、编译原理、操作系统、数据库原理、 软件工程、网络等都用到离散数学中的基本概 念、基本思想、基本方法。
命题的真值： 命题的真值只有两个：“真” 或 “假”。
命题的真值为真：一个命题所表达的判断与
客观情况一致，记作 T (True)。
命题的真值为假：一个命所题表达的判断与
客观情况不一致，记作 F (False)。
例如：“这面旗帜是红色的。” 是命题， 并且与客观事实相符，所以该命题真值为 T。
4.仅当天气好,我才去公 园。 QP 5.只有天气好,我才去公 园。 QP 6.我去公园,仅当天气好。 QP
用“” 表达必须前件是后件的充分条件， 即若前件成立，后件一定成立。
这一点要特别注意!!!它决定了哪个作为前件，哪 个作为后件。wenku.baidu.com
（6）等价(双条件）“”
表示“当且仅当”、“充分必要”等。

两件事不能同时发生，用“异或”。
P∨Q 与 P
Q 的真值表应该有什么不同？
P
F F T T
Q
F T F T
P
Q
F T T F
当且仅当P与Q的真值相同时，P 真值不同时为 T。
Q的真值为 F ，
（5）条件 “” 表示“如果… 那么 …”，“若…则…”等。 例：P：土壤缺少水分。Q：这颗植物会死亡。 P Q ： 如果土壤缺少水分，这颗植物就会死亡。 称 P是 PQ 的前件，Q 是 PQ的后件。 也可以说 P 是 Q 的充分条件，Q 是 P的必要条 件。
符合人的语言与思维的习惯。
（2）合取“∧” 表示：“并且”、“不但…而且...”、“既… 又 ...”、“尽管…还… ”等。 例： P：小王能唱歌。 Q：小王能跳舞。 P∧Q：小王能歌善舞。
真值表应该如何规定？
P F
Q F
P∧Q F
F T
T
T F
T
F F
T
定义：两个命题 P 和 Q 的合取是一个复合 命题，记作 P∧Q。 当且仅当P和Q的真值 均为 T 时，P∧Q的 真值为 T ，其它情况 下，P∧Q的真值均为 F。
因为它们的真值必须由两个运算对象确定。
练习：填空 已知P∧Q为T，则P为(
)，Q为( )。 已知P∨Q为F，则P为( )，Q为( )。 已知P为F，则P∧Q为( )。 已知P为T，则P∨Q为( )。 已知P∨Q为T，且P为F ，则Q为( )。 已知PQ为F，则P为( )，Q为( )。 已知P为F，则PQ为( )。 已知Q为T，则PQ为( )。 已知 PQ为F，则P为( )， Q为( )。
们用析取“∨”表达。
“∨”的真值如何规定？ 真值表： P Q P∨Q
F F T
T
F T F
T
F T T
T
定义：两个命题 P 和 Q 的析取是一个复合 命题，记作 P∨Q。 当且仅当P和Q的真值 均为 F 时，P∨Q的真 值为 F ，其它情况下， P∨Q的真值均为 T。
（4）异或“ ” 例：P：十二次列车早晨8:30开。 Q：十二次列车早晨9:00开。 P Q：十二次列车早晨8:30或者9:00开。
PQ为T，则Q为( 已知Q为T, PQ为T，则P为( 已知PQ为T，P为T , 则Q为( 已知PQ为F，P为T , 则Q为( PP 的真值为( ). PP 的真值为( )。
已知P为T，
)。 )。 ). ).
第三节 命题符号化
命题符号化，就是将自然语言表达的句子用
如：铜能导电，铁能导电，锡能导电，铅能导 电，…… 一切金属都导电。
演绎推理：由一般规律推出个别事实。
如：所有的金属都导电。 (一般规律，大前提) 铜是金属。 (个别事实，小前提) 铜能导电。 (个别结论，结论)
我们主要研究演绎推理。
现代逻辑的开创者是德国的莱布尼兹，在十八世纪 初， 他提出要把逻辑处理成演算 ，即数理逻辑。 又过了二百多年，罗素与怀特海总结了现代逻辑的发 展，建立了命题演算与谓词演算两个完整的体系。
计算机学科的理论基础是有用的，
离散数学是计算机学科的理论基础，
所以，离散数学是有用的。
“计算机学科的理论基础是有用的”这句话对交际 双方来说是不言而喻的，所以在表达中被省略。
逻辑学可分为传统逻辑与现代逻辑。 亚里士多德和弗朗西斯· 培根是传统逻辑的代表， 分别创立了演绎推理和归纳推理。
归纳推理：由若干个别事实推出一般结论。
实的具体形式，即 概念、判断、推理。
人们思维的形态结构：
概念 判断
推理
人的思维形态主要表现为推理
推理：
由若干个已知的判断(前提)，推出新的判 断(结论)的思维过程。
如何能正确的思维？
概念清楚，判断正确， 推理合乎逻辑。
比如：王刚问李明：“学离散数学有用吗？” 李明说：“当然有用了，离散数学是计算机学科的 理论基础嘛。” 李明的回答实际上包含了三句话的推理：
符号化的命题公式来表达。
命题符号化的步骤：
(1) 先将语句分解成原子命题。 (2) 将每个原子命题用大写字母表示。注意每个原
子命题都必须是一个完整的句子。
(3) 用确切的逻辑联结词联结原子命题，构成给定
命题的符号表达式。
例1 将下列命题符号化，并讨论它们的真值： ⑴ 3 是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 解：令 P： 3 是无理数，真值为T； Q：加拿大位于亚洲，真值为F； 符号化为： PQ，真值为F。
⑵ 除非 a 能被 2 整除，否则 a 不能被 4 整除。 其中 a 是一给定正整数。 解：令 P： a 能被 2 整除； Q： a 能被 4 整除； “除非 a 能被 2 整除，否则 a 不能被 4 整除”的含 义与“如果 a 不能被 2 整除，则 a 不能被 4 整除” 一样，也等价于说“如果 a 能被 4 整除，则 a 一定能 被 2 整除”。 所以⑵表达为： PQ，也即 QP。 当 Q为T，P一定为T。也即没有Q为T，P为F的情 况发生，所以 其真值为T。
作业
第8页: (1)(3)(5)(6)
第二节 逻辑联结词
简单命题可以用大写字母表示，复合命题如 何表示？ 复合命题由若干个连结词、标点符号及原子 命题复合构成的命题 复合命题用“逻辑联结词”将原子命题联结 起来表达。
归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联 结词，分别是： (1) 否定“” (3) 析取“∨” (5) 蕴涵“” (2) 合取“∧” (4) 异或“ (6) 等价“”
例：
P：⊿ABC是等边三角形。 Q：⊿ABC是等角三角形。 PQ ：⊿ABC是等边三角形当且仅当 它是等角三角形。
PQ的真值表：
按思维习惯，PQ， QP 应同时成立。
P F F T T
Q F T F T
PQ T F F T
当且仅当P与Q 的真值相同时， PQ的真值为T， 否则为F。
比较下面二表：
培养学生的数学修养和逻辑思维能力。
正如著名的物理学家劳厄所说：“重要的不
是获得知识，而是发展思维能力。”
第一篇 数理逻辑
逻辑学起源于2000多年前的古希腊，按其发展过 程可分为传统逻辑与现代逻辑。许多著名人物都对逻 辑学的发展做出过杰出贡献。亚里士多德和弗朗西斯 · 培根是传统逻辑的代表，分别创立了演绎推理和归纳 推理。
逻辑联结词看成是6种运算， 其运算的对象是命题； 运算规则是每个连结词的真值表。
P Q P P∧Q P∨Q P
Q
F
T T F
PQ
PQ
F
F T T
F
T F T
T
T F F
F
F F T
F
T T T
T
T F T
T
F F T
“”为一元运算；
因为一个命题 P 可以确定 P的真值。 “∧，∨，
，， ” 均为二元运算。

”
（1）否定“” 表示：“并非…”，“不…”等。 用于对一个命题 P 的否定，写成 P，并读成 “非P”。 例： P：2是素数。 P：2不是素数。
定义：设 P 为一命题，P 的否定是一个新命题， 记作P 。 P 的真值与 P 的真值相反。 真值表： P F T P T F
因为数理逻辑研究的是人的思维规律，所以 在规定逻辑连结词的真值表的时候，一定要
判断一句话是否是命题有两个关键： （1）是陈述句 ； （2）有且只有一个真值。
例: 判定下面这些句子哪些是命题? ⑴ 2是个素数。 ⑵ 雪是黑色的。
⑶ 2020年人类将到达火星。
⑷ 如果天不下雨并且我有时间，我就去看电影。 ⑸ x+y<5 ⑹ 请打开书！ ⑺ 您去吗？
⑻ 我正在说谎。
从这句话引出一个问题：说自己正在说谎这句话本 身是不是谎话？ 若真值为T，那么他就正在说谎话，“我正在说谎” 这话就是假的； 若真值为F，那么他就没有说谎，“我正在说谎”这 句话就是真的。 所以这句话没有真值，不是命题。
例2 符号化下列命题
⑴ 如果小张与小王都不去，则小李去。
⑵ 如果小张与小王不都去，则小李去。 解：令 P：小张去。Q：小王去。R：小李去。 ⑴命题符号化为： (P∧Q)R ⑵命题符号化为： (P∧Q)R
或
(P∨Q)R
例3 符号化下面命题： 仅当天不下雨且我有时间，才上街。 解：令 P：天下雨。Q：我有时间。R：我上街。 分析：由于“仅当”是表示的是“必要条件”。 即我上街 ，一定是天不下雨且我有时间时；而天不 下雨且我有时间时我不一定上街。 所以该命题表达为： R(P∧Q)