多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性-
多元线性回归模型
第二节 多元线性回归模型的参数估计
一、多元线性回归参数的最小二乘估计
二、最小二乘估计量的数值性质
三、最小二乘估计量的统计性质
四、参数的估计误差与置信区间
二 、最小二乘估计量的数值性质
ˆ ˆ ˆ 1.样本均值点在样本平面上，即Y 0 1 X 1 2 X 2
2.剩余项（残差）ei的均值为零，即 e
另外两个要求 假定8：无设定偏误，模型被正确地设定。
假定9：解释变量之间不存在完全共线性，没有精确的线性
关系。
三、多元线性回归模型的基本假定
无多重共线性假定： 各解释变量之间不存在严格的线性关系，或者说各解
释变量之间线性无关；亦即解释变量之间不存在精确的线
性关系，即是说不存在一列不全为0的数 1 , 2 , , k ， 能使下式成立：
其中，残差项ei是随机扰动项ui的估计。
二 、样本线性回归模型
特别地，当K=2时，二元线性样本回归函数为
ˆ ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X 1i 2 X 2i
二元线性样本回归模型为：
ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X 1i 2 X 2i ei
2 ei ˆ X X ) 0 2X 2i Yi ( 0 1 1i 2 2i ˆ 2
e i 0 ei X 1i 0 e i X 2 i 0
2.化简得正规方程
ˆ ˆ ˆ n 0 X 1i X 2i Y i
四、参数的估计误差与置信区间
三、最小二乘估计量的统计性质
在古典线性回归模型的基本假定下，一元线性回 归模型的OLS估计量是最优线性无偏估计量，这个性
多元线性回归模型的估计与解释
多元线性回归模型的估计与解释多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
与简单线性回归模型相比，多元线性回归模型允许我们将多个自变量引入到模型中，以更准确地解释因变量的变化。
一、多元线性回归模型的基本原理多元线性回归模型的基本原理是建立一个包含多个自变量的线性方程，通过对样本数据进行参数估计，求解出各个自变量的系数，从而得到一个可以预测因变量的模型。
其数学表达形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn为模型的系数，ε为误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法1. 最小二乘法估计最小二乘法是最常用的多元线性回归模型估计方法。
它通过使残差平方和最小化来确定模型的系数。
残差即观测值与预测值之间的差异，最小二乘法通过找到使残差平方和最小的系数组合来拟合数据。
2. 矩阵求解方法多元线性回归模型也可以通过矩阵求解方法进行参数估计。
将自变量和因变量分别构成矩阵，利用矩阵运算，可以直接求解出模型的系数。
三、多元线性回归模型的解释多元线性回归模型可以通过系数估计来解释自变量与因变量之间的关系。
系数的符号表示了自变量对因变量的影响方向，而系数的大小则表示了自变量对因变量的影响程度。
此外，多元线性回归模型还可以通过假设检验来验证模型的显著性。
假设检验包括对模型整体的显著性检验和对各个自变量的显著性检验。
对于整体的显著性检验，一般采用F检验或R方检验。
F检验通过比较回归平方和和残差平方和的比值来判断模型是否显著。
对于各个自变量的显著性检验，一般采用t检验，通过检验系数的置信区间与预先设定的显著性水平进行比较，来判断自变量的系数是否显著不为零。
通过解释模型的系数和做假设检验，我们可以对多元线性回归模型进行全面的解释和评估。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
3多元线性回归模型参数估计
3多元线性回归模型参数估计多元线性回归是一种用于预测多个自变量与因变量之间关系的统计模型。
其模型形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是模型的参数，ε是误差项。
多元线性回归模型参数的估计可以使用最小二乘法（Ordinary Least Squares,OLS）来进行。
最小二乘法的基本思想是找到一组参数估计值，使得模型预测值与实际观测值之间的平方差最小。
参数估计过程如下：1.根据已有数据收集或实验，获取因变量Y和自变量X1、X2、..、Xn的观测值。
2.假设模型为线性关系，即Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε。
3.使用最小二乘法，计算参数估计值β0、β1、β2、..、βn：对于任意一组参数估计值β0、β1、β2、..、βn，计算出模型对于所有观测值的预测值Y'=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn。
计算观测值Y与预测值Y'之间的平方差的和，即残差平方和（RSS，Residual Sum of Squares）。
寻找使得RSS最小的参数估计值β0、β1、β2、..、βn。
4.使用统计方法计算参数估计值的显著性：计算回归平方和（Total Sum of Squares, TSS）和残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）。
计算决定系数（Coefficient of Determination, R^2）：R^2 = (TSS - RSS) / TSS。
计算F统计量：F=(R^2/k)/((1-R^2)/(n-k-1))，其中k为自变量的个数，n为观测值的个数。
根据F统计量的显著性，判断多元线性回归模型是否合理。
多元线性回归模型参数估计的准确性和显著性可以使用统计假设检验来判断。
常见的参数估计的显著性检验方法包括t检验和F检验。
t检验用于判断单个参数是否显著，F检验用于判断整个回归模型是否显著。
多元线性回归模型参数估计
多元线性回归模型参数估计多元线性回归是一种用于建立自变量与因变量之间关系的统计模型。
它可以被视为一种预测模型，通过对多个自变量进行线性加权组合，来预测因变量的值。
多元线性回归模型的参数估计是指利用已知的数据，通过最小化误差的平方和来估计回归模型中未知参数的过程。
本文将介绍多元线性回归模型参数估计的基本原理和方法。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xp是自变量，β0、β1、β2、..、βp是回归系数，ε是残差项。
参数估计的目标是找到使得误差的平方和最小的回归系数。
最常用的方法是最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。
最小二乘法通过最小化残差的平方和来确定回归系数的值。
残差是观测值与回归模型预测值之间的差异。
为了进行最小二乘法参数估计，需要计算回归模型的预测值。
预测值可以表示为：Y^=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp其中，Y^是因变量的预测值。
参数估计的目标可以表示为：argmin(∑(Y - Y^)²)通过对目标函数进行求导，可以得到参数的估计值：β=(X^TX)^-1X^TY其中，X是自变量的矩阵，Y是因变量的向量，^T表示矩阵的转置，^-1表示矩阵的逆。
然而，在实际应用中，数据往往存在噪声和异常值，这可能导致参数估计的不准确性。
为了解决这个问题，可以采用正则化方法，如岭回归（Ridge Regression）和LASSO回归（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator Regression）。
这些方法通过在目标函数中引入正则化项，可以降低估计结果对噪声和异常值的敏感性。
岭回归通过在目标函数中引入L2范数，可以限制回归系数的幅度。
LASSO回归通过引入L1范数，可以使得一些回归系数等于零，从而实现变量选择。
这些正则化方法可以平衡模型的拟合能力与泛化能力，提高参数估计的准确性。
多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性
多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y表示因变量（被预测或解释的变量），X1,X2,...,Xn表示自变量（用于预测或解释因变量的变量），β0,β1,β2,...,βn表示模型的参数，ε表示误差项。
参数估计就是指通过样本数据来估计模型中的参数。
在多元线性回归中，常用的参数估计方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是最小化实际观测值与回归方程所预测值之间的残差平方和。
为了评估多元线性回归模型的显著性，可以进行假设检验。
最常用的假设检验是利用F检验来检验整个回归模型的显著性。
F检验的原假设是回归模型中所有自变量的系数都等于零，即H0:β1=β2=...=βn=0，备择假设是至少存在一个自变量的系数不等于零，即H1:β1≠β2≠...≠βn≠0。
F统计量的计算公式为：F=(SSR/k)/(SSE/(n-k-1))其中，SSR表示回归平方和，即实际观测值与回归方程所预测值之间的残差平方和，k表示自变量的个数，SSE表示误差平方和，即实际观测值与回归方程所预测值之间的残差平方和，n表示样本容量。
根据F统计量的分布特性，可以计算得出拒绝原假设的临界值，若计算出来的F统计量大于临界值，则可以拒绝原假设，认为回归模型是显著的，即至少存在一个自变量对因变量有显著影响。
除了整体的回归模型显著性检验，我们还可以进行各个自变量的显著性检验。
每一个自变量的显著性检验都是基于t检验。
t检验的原假设是自变量的系数等于零，即H0:βi=0，备择假设是自变量的系数不等于零，即H1:βi≠0。
t统计量的计算公式为：t = (βi - bi) / (SE(βi))其中，βi表示模型中第i个自变量的系数估计值，bi表示模型中第i个自变量的理论值（一般为零），SE(βi)表示第i个自变量的系数的标准误。
根据t统计量的分布特性，可以计算得出对应自由度和置信水平的临界值，若计算出来的t统计量的绝对值大于临界值，则可以拒绝原假设，认为该自变量是显著的，即对因变量有显著影响。
多元线性回归模型的各种检验方法
多元线性回归模型的各种检验方法多元线性回归模型是常用于数据分析和预测的方法，它可以用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
然而，仅仅使用多元线性回归模型进行参数估计是不够的，我们还需要对模型进行各种检验以确保模型的可靠性和有效性。
下面将介绍一些常用的多元线性回归模型的检验方法。
首先是模型的整体显著性检验。
在多元线性回归模型中，我们希望知道所构建的模型是否能够显著解释因变量的变异。
常见的整体显著性检验方法有F检验和显著性检查表。
F检验是通过比较回归模型的回归平方和和残差平方和的比值来对模型的整体显著性进行检验。
若F值大于一定的临界值，则可以拒绝原假设，即模型具有整体显著性。
通常，临界值是根据置信水平和自由度来确定的。
显著性检查表是一种常用的汇总表格，它可以提供关于回归模型的显著性水平、标准误差、置信区间和显著性因素的信息。
通过查找显著性检查表，我们可以评估模型的显著性。
其次是模型的参数估计检验。
在多元线性回归模型中，我们希望知道每个自变量对因变量的影响是否显著。
通常使用t检验来对模型的参数估计进行检验。
t检验是通过对模型的回归系数进行检验来评估自变量的影响是否显著。
与F检验类似，t检验也是基于假设检验原理，通过比较t值和临界值来决定是否拒绝原假设。
通常，临界值可以通过t分布表或计算机软件来获取。
另外，我们还可以使用相关系数来评估模型的拟合程度。
相关系数可以用来衡量自变量与因变量之间的线性关系强度，常见的相关系数包括Pearson相关系数和Spearman相关系数。
Pearson相关系数适用于自变量和因变量都是连续变量的情况，它衡量的是两个变量之间的线性关系强度。
取值范围为-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。
Spearman相关系数适用于自变量和因变量至少有一个是有序变量或者都是有序变量的情况，它衡量的是两个变量之间的单调关系强度。
取值范围也是-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。
最后，我们还可以使用残差分析来评估模型的拟合程度和误差分布。
多元线性回归模型
引子：中国汽车的保有量会超过1.4亿辆吗？中国经济的快速发展，居民收入不断增加，数以百万计的中国人开始得以实现拥有汽车的梦想，中国也成为世界上成长最快的汽车市场。
中国交通部副部长在“中国交通可持续发展论坛”上作出预测：“2020年，中国的民用汽车保有量将比2003年的数字增长6倍，达到1.4亿辆左右”。
（资料来源：人民网、新华网、中新网）是什么因素导致了中国汽车数量的快速增长？影响中国汽车行业发展的因素并不单一，经济增长、消费趋势、市场行情、业界心态、能源价格、道路发展、内外环境、相关政策……，都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。
怎样分析多种因素对汽车市场的影响？分析中国汽车业行业未来的趋势，应当具体分析这样一些问题：中国汽车市场发展的状况如何（用销售量观测）影响中国汽车销量的主要因素是什么？（如收入、价格、费用、道路状况、政策、环境等）各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负）各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？所得到的数量结论是否可靠？中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的产业政策？很明显，只用一个解释变量已经很难分析汽车产业的实际发展，而简单线性回归模型又不能解决多变量问题的分析，还需要寻求有多个解释变量的回归分析方法。
第三章 多元线性回归模型本章讨论：如何将简单线性回归的研究方式推广到多元的情况：● 多元线性回归模型● 多元线性回归参数的估计及区间估计 ● 多元线性回归方程的拟合优度 ● 多元线性回归的显著性检验 ● 多元线性回归预测第一节 多元线性回归模型及古典假定一、多元线性回归模型的定义一般形式：对于有1k -个解释变量的线性回归模型，可表示为与简单线性回归模型不同，模型中的(1,2,,)j j k β=是偏回归系数，样本容量为n 。
偏回归系数：控制其他解释量不变的条件下，第j 个解释变量的单位变动对被(1,2,,)k ki iX u i n β+++=解释变量平均值的影响。
多元线性回归模型：估计及t检验
多元线性回归：估计方法及回归系数显著性检验线性回归模型的基本假设:i ki k i i i u x x x y +++++=ββββΛ22110 i = 1 , 2 , … , n在普通最小二乘法中，为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设：1．解释变量间不完全相关；2．随机误差项具有0均值和同方差。
即:0)(=i u E , 2)(σ=i u Var i = 1 , 2 , … , n 3．不同时点的随机误差项互不相关（序列不相关），即0),(=-s i i u u Cov s ≠ 0, i = 1 , 2 , … , n4．随机误差项与解释变量之间互不相关。
即0),(=i ji u x Cov j = 1 , 2 , … , k , i = 1 , 2 , … , n5．随机误差项服从0均值、同方差的正态分布。
即i u ~ ),0(2σN i = 1 , 2 , … , n当模型满足假设1 ~ 4时，将回归模型称为“标准回归模型”，当模型满足假设1 ~ 5时，将回归模型称为“标准正态回归模型”。
如果实际模型满足不了这些假设，普通最小二乘法就不再适用，而要发展其他方法来估计模型。
广义（加权）最小二乘估计（generalized least squares ）当假设2和3不满足时，即随机扰动项存在异方差22)(ii i u E σ=，i = 1 , 2 , … , n ，且随机扰动项序列相关j i u u Cov ij j i ≠=,),(σ， i = 1 , 2 , … , n ，j=1 , 2 , … , n ，此时OLS 估计仍然是无偏且一致的，但不是有效估计。
线性回归的矩阵表示：y = X β + u （1）则上述两个条件等价为：Var(u )== ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn T T n n σσσσσσσσσ..............212222111211 ≠ σ 2 I 对于正定矩阵存在矩阵M ，使得 1''-=⇒=M ΩM I M M Ω。
5、计量经济学【多元线性回归模型】
二、多元线性回归模型的参数估计
2、最小二乘估计量的性质 当 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 为表达式形式时，为随机变量， 这时最小二乘估计量 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 经过证明同样也 具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）。 也就是说，在模型满足那几条基本假定的前提 下，OLS估计量具有线性性、无偏性和最小方差性 （有效性）这样优良的性质， 即最小二乘估计量
用残差平方和 ei2 最小的准则： i
二、多元线性回归模型的参数估计
1、参数的普通最小二乘估计法（OLS） 即：
min ei2 min (Yi Yˆi )2 min Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki )2
同样的道理，根据微积分知识，要使上式最小，只 需求上式分别对 ˆj ( j 0,1, k) 的一阶偏导数，并令 一阶偏导数为 0，就可得到一个包含 k 1 个方程的正 规方程组，这个正规方程组中有 k 1个未知参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk ；解这个正规方程组即可得到这 k 1 个参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 的表达式，即得到了参数的最小 二乘估计量；将样本数据代入到这些表达式中，即可 计算出参数的最小二乘估计值。
该样本回归模型与总体回归模型相对应，其中残差 ei Yi Yˆi 可看成是总体回归模型中随机误差项 i 的 估计值。
2、多元线性回归模型的几种形式： 上述几种形式的矩阵表达式： 将多元线性总体回归模型 (3.1) 式表示的 n 个随机方 程写成方程组的形式，有：
Y1 0 1 X11 2 X 21 .Y.2.........0.......1.X...1.2........2.X...2.2. Yn 0 1 X1n 2 X 2n
ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 是总体参数真值的最佳线性无偏估计 量（ BLUE ）；即高斯—马尔可夫定理 (GaussMarkov theorem)。
第三章 多元线性回归模型
其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平 方和的自由度。
检验) 三、方程的显著性检验(F检验 方程的显著性检验 检验
方程的显著性检验， 方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变 量与解释变量之间的线性关系在总体上 在总体上是否显著 量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著 成立作出推断。 成立作出推断。 即检验模型
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
Y = Xb + µ
其中
Y1 Y2 Y = M Yn
1 1 X = M 1 X 11 X 12 M X 1n X 21 X 22 M X 2n L L L X k1 X k2 M X kn n × ( k +1 )
回归系数的显著性检验（ 检验 检验） 第五节 回归系数的显著性检验（t检验）
方程的总体线性 总体线性关系显著≠每个解释变量 总体线性 ≠每个解释变量对被 解释变量的影响都是显著的 因此，必须对每个解释变量进行显著性检验， 以决定是否作为解释变量被保留在模型中。 检验完成的。 这一检验是由对变量的 t 检验完成的。
或
1 x ′x → Q n
其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量 的离差为元素组成的n×k阶矩阵
x11 L x k1 x= M L M x 1n L x kn
假设6，回归模型的设定是正确的。
第二节 参数的最小二乘估计
一、回归参数的最小二乘估计 二、随机项µ的方差的估计量 随机项 的方差的估计量
( )
( )
( )
= E ( X ′X
)
多元线性回归模型的参数估计
n 2
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
e
x x x ))2 ( yi ( 0 1 1i 2 2i k ki
1
n (2)
n 2
1
e
2
)(Y X) 2 (Y X
• 对数或然函数为
* L L nL ()
1 ' n L n (2 ) ( Y X )( Y X ) 2 2
1 T E ( NN ) E n
1
12 n E n 1
1 n n2
2 0
0 2I 2
标量符号 4、 （为了假设检验） ，随机扰动项服从正态分布
i ~ N(0, 2 )
i 1,2,, n
矩阵符号 4、向量 N 为一多维正态分布，即
N ~ N(0, 2 I )
二、多元线性回归模型的参数估计
1、普通最小二乘估计
• 普通最小二乘估计
随 机 抽 取 被 解 释 变 量 和 解 释 变 量 的 n 组 样 本 观 测 值 ：
且x的秩1??kx?此时xxt也是满秩的标量符号2随机误差项具有零均值同方差及不序列相关0?ie?ni21??22?????iievarni21??0??jijiecov????ji?矩阵符号2innenet20???011???????????????????????nneeene?????????????????????????????nntenne??????11???????????21121nnne???????????i22200????????????????????标量符号3解释变量与随机项不相关0?ijixcov?ni21??矩阵符号30?nxet即011????????????????????????????????????ikiiiiikiiiiexexexxe????????标量符号4为了假设检验随机扰动项服从正态分布02??nini21??矩阵符号4向量n为一多维正态分布即02inn?二多元线性回归模型的参数估计11普通最小二乘估计?普通最小二乘估计随机抽取被解释变量和解释变量的n组样本观测值
第四章-多元线性回归模型
Econometrics第四章多元线性回归模型（教材第四、五章）第四章多元线性回归模型4.1 多元线性回归模型4.2 最小二乘估计及其性质4.3 拟合优度4.4 假设检验4.5 模型结构稳定性检验4.6 可线性化的非线性回归模型学习要点多元线性回归模型，参数的OLS估计及其性质，显著性检验4.1 多元线性回归模型多元回归模型（multiple regression model ）f 包含多个解释变量的回归模型，称为多元回归模型。
f 例，二元线性回归模型PRF 的随机形式：f 上式表明，任何一个Y 值可以表示成两部分之和（1）确定性成分，即。
（2）随机成分，由除以外的因素决定。
f 其中，是截距，称为偏回归系数。
（教材PP72最后一段第一行有误）()12233 t t t t t tY B B X B X u E Y u =+++=+()12233t t B B X B X ++()t E Y t u 23,X X 23,B B 1B4.1 多元线性回归模型偏回归系数（partial regression coefficient ）f度量了在保持不变的情况下，单位变动引起均值的变化量。
f 度量了在保持不变的情况下，单位变动引起均值的变化量。
f 例，f 简言之，偏回归系数反映了当模型中其他解释变量为常量时，某个解释变量对被解释变量均值的“直接”或“净”影响。
()t E Y 2X 2X 3X 3X 3B 2B ()t E Y ()2315 1.20.8t t tE Y X X =−+4.1 多元线性回归模型多元线性回归模型的若干假定（以二元为例）f 假定1回归模型是参数线性的，并且是正确设定的。
f 假定2与随机扰动项不相关。
f 假定3 扰动项均值为零，即。
f 假定4 同方差，即。
f 假定5 扰动项和无自相关，即f 假定6解释变量和之间不存在完全共线性。
f 假定7 随机扰动项。
()20,iu N σ2X 23,X X ()0i E u =3X iu j u ()2i Var u σ=(),0 i j Cov u u i j=≠4.2 最小二乘估计及其性质多元线性回归模型的若干假定（以二元为例）f 假定6 解释变量和之间不存在完全共线性。
多元线性回归
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1、多元线性回归模型假定被解释变量与多个解释变量之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型。
即(1.1)其中为被解释变量，为个解释变量，为个未知参数，为随机误差项。
被解释变量的期望值与解释变量的线性⽅程为：(1.2)称为多元总体线性回归⽅程，简称总体回归⽅程。
对于组观测值，其⽅程组形式为：(1.3)即其矩阵形式为=+即(1.4)其中为被解释变量的观测值向量；为解释变量的观测值矩阵；为总体回归参数向量；为随机误差项向量。
总体回归⽅程表⽰为：(1.5)多元线性回归模型包含多个解释变量，多个解释变量同时对被解释变量发⽣作⽤，若要考察其中⼀个解释变量对的影响就必须假设其它解释变量保持不变来进⾏分析。
因此多元线性回归模型中的回归系数为偏回归系数，即反映了当模型中的其它变量不变时，其中⼀个解释变量对因变量的均值的影响。
由于参数都是未知的,可以利⽤样本观测值对它们进⾏估计。
若计算得到的参数估计值为，⽤参数估计值替代总体回归函数的未知参数，则得多元线性样本回归⽅程：(1.6)其中为参数估计值，为的样本回归值或样本拟合值、样本估计值。
其矩阵表达形式为:(1.7)其中为被解释变量样本观测值向量的阶拟合值列向量；为解释变量的阶样本观测矩阵；为未知参数向量的阶估计值列向量。
样本回归⽅程得到的被解释变量估计值与实际观测值之间的偏差称为残差。
(1.8)2、多元线性回归模型的假定与⼀元线性回归模型相同，多元线性回归模型利⽤普通最⼩⼆乘法(OLS)对参数进⾏估计时，有如下假定：假定1 零均值假定：，即(2.1)假定2 同⽅差假定(的⽅差为同⼀常数)：（2.2）假定3 ⽆⾃相关性：(2.3)假定4 随机误差项与解释变量不相关(这个假定⾃动成⽴)：（2.4）假定5 随机误差项服从均值为零，⽅差为的正态分布：（2.5）假定6 解释变量之间不存在多重共线性：即各解释变量的样本观测值之间线性⽆关，解释变量的样本观测值矩阵的秩为参数个数k+1，从⽽保证参数的估计值唯⼀。
计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验
当增加一个对被解释变量有较大影响的解释变量时， 残差平方和减小的比n-k-1 减小的更显著，拟合优度 就增大，这时就可以考虑将该变量放进模型。 如果增加一个对被解释变量没有多大影响的解释变量， 残差平方和减小没有n-k-1减小的显著，拟合优度会减 小，其说明模型中不应该引入这个不重要的解释变量， 可以将其剔除。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。 注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件 自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。
• 使用k期滞后变量，数据将损失k个样本观察值， 例如：
序号 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 y 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y(-1) Y(-2) Y(-3)
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的 拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
一元、二元模型的系数均大于0，符合经济意义，三元模型 系数的符号与经济意义不符。 用一元回归模型的预测值是1758.7，二元回归模型的预测值 是1767.4，2001年的实际值是1782.2。一元、二元模型预测 的绝对误差分别是23.5、14.8。
3) 三个模型的拟合优度与残差
二元：R2 =0.9954，E2 ei2 13405 三元：R2 =0.9957，E3 ei2 9707
746.5 788.3
第3章 多元线性回归模型
TSS
TSS
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解 释变量， R2往往增大（Why?)
因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加而减少。
这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加 解释变量即可。—— 但是，现实情况往往是，由增加 解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，因此在 多元回归模型之间比较拟合优度，R2 就不是一个合适 的指标，必须加以调整。
所以，在多元线性回归模型中，依然有
n
n
即
yi2 （[ Yˆi Y） ei ]2
i 1
i 1
n
n
n
（Yˆi Y）2 ei2 2 e（i Yˆi Y）
i 1
i 1
i 1
n
n
（Yˆi Y）2 ei2
i 1
i 1
（3-20）
TSS ESS RSS
（3-21）
可决系数
R 2 ESS 1 RSS
μ~ N(0, 2I)
假设5，回归模型的设定是正确的。
第二节 多元线性回归模型的 参数估计
任务
模型结构参数 0 、1、2 、L 、k 的估计
随机误差项的方差 2 的估计
方法
普通最小二乘法
内容
一、参数的普通最小二乘估计 二、参数的普通最小二乘估计量的性质 三、普通最小二乘样本回归函数性质 四、随机误差项的方差的普通最小二乘估计 五、样本容量问题
第三章 经典单方程计量经济学模型： 多元线性回归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测
§3.1 多元线性回归模型
多元线性回归模型的参数估计与显著性检验
多元线性回归模型的参数估计与显著性检验多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
在进行多元线性回归时，我们希望通过估计模型的参数来描述自变量与因变量之间的关系，并通过显著性检验来确定这种关系是否存在。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型可以用如下的数学表达式表示：Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn + ε其中，Y表示因变量（被解释变量），X1、X2、...、Xn表示自变量（解释变量），β0、β1、β2、...、βn表示回归方程的参数，ε表示误差项。
二、参数估计在多元线性回归中，我们需要通过样本数据来估计回归方程的参数。
最常用的估计方法是最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS），它通过最小化观测值与回归方程预测值之间的残差平方和来确定参数的估计值。
具体而言，最小二乘法的目标是选择参数的估计值，使得残差平方和最小化。
为了得到参数的估计值，可以使用矩阵形式的正规方程来求解，即：β = (X'X)-1X'Y其中，β是参数的估计值，X是自变量矩阵，Y是因变量向量，X'表示X的转置，-1表示逆矩阵。
三、显著性检验在进行多元线性回归时，我们通常希望确定自变量与因变量之间的关系是否显著存在。
为了进行显著性检验，我们需要计算模型的显著性水平（p-value）。
常见的显著性检验方法包括F检验和t检验。
F检验用于判断整体回归模型的显著性，而t检验用于判断单个自变量对因变量的显著性影响。
F检验的假设为：H0：模型中所有自变量的系数均为零（即自变量对因变量没有显著影响）H1：模型中至少存在一个自变量的系数不为零在进行F检验时，我们计算模型的F统计量，然后与临界值进行比较。
若F统计量大于临界值，则拒绝原假设，认为回归模型显著。
而t检验的假设为：H0：自变量的系数为零（即自变量对因变量没有显著影响）H1：自变量的系数不为零在进行t检验时，我们计算各个自变量系数的t统计量，然后与临界值进行比较。
多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性
[ˆ j
t 2
(n
k
1)
C jjˆ2
,
ˆ j
t 2
(n
k
1)
C jjˆ2 ]
统计软件自动给出各回归系数的上下限
七、例2.1
年份
消费
收入
人口
已知某地区的相关数据如右表所示， 1994
9
13.1
48.2
试求该回归方程。 解：使用Eviews实现回归，得到的方
1995 1996 1997
使 Q(ˆ0 , ˆ1,, ˆk ) min Q(0 , 1,, k )
分别求 Qe 关于 0 , 1,, k 的偏导数,并令其为零
Qe
Qe
0
0 BBˆ
k BBˆ
整理得正规方程组
n
n
n
nˆ0 ˆ1 xi1 ˆk xik yi
ˆ0
i 1
n
n
xi1 ˆ1 xi21 ˆk
非随机表达式
E(Y x1i , x2i , , xki ) 0 1x1i 2x2i k xki
可见，多元回归分析是以多个解释变量的固定值 为条件的回归分析，表示各解释变量X值固定时Y 的平均响应。
也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保
j
持不变的情况下，X j 每变化1个单位时，引起的
因变量的平均变动量。或者说
系显著。
t检验通不过的可能原因
（1）选择的自变量对因变量事实上并无显著影响； （2）选择的自变量具有多重共线性。
五、序列相关检验（DW检验）
1. 检验内容：检验随机误差项的无序列相关假设 是否成立。
2. 方法：与一元回归相同。
4.2多元线性回归模型
ˆ ˆ ˆ e′e = (Y − Y )′(Y − Y ) = Y ′( I − H )Y = ∑ ( yi − yi )2
i =1
n
SSe
称为残差平方和（error sum of squares）。
ˆ Cov (e , β ) = 0o ˆ 证明： Cov ( e , β ) = Cov[( I − H )Y ,( X ′X )−1 X ′Y ] = ( I − H )V (Y ) X ( X ′X )−1
性质3
= ( I − H )σ 2 I n X ( X ′X )−1 = σ 2 [ X ( X ′X )−1 − X ( X ′X )−1 X ′ ⋅ X ( X ′X )−1 ] = 0 ˆ 这一性质表明残差 e 与 β 的最小二乘估计 β 是不相关的，又 ˆ 由于残差平方和是 e 的函数,故它与 β 也不相关。
ˆ , β p )′ 之后，就可写出
ˆ ˆ Y = Xβ
或
ˆ ˆ ˆ Y = β 0 + β 1 x1 +
ˆ + β p xp
称为回归方程。利用回归方程，可由自变量 X 的观测值求出 因变量 Y 的估计值。以后称
A = X ′X 为正规方程的系数矩阵， B = X ′Y 为正规方的常数项矩阵， C = ( X ′X )−1 为相关矩阵。
只要能写出线性回归模型的X和Y，便能求得线性回归模型。
ˆ 称 e = Y − Y 为回归残差向量。则 ˆ Y = Xβ &#的误差，为
提高测量的精度，常将一物体称若干次再取其平均。若要同 时称几个物体，那么可以作为回归问题适当安排一个秤量方 案，以便在不增加秤量总次数的情况下增加每一物体重复秤 量的次数以提高秤量的精度。现有四个物体A、B、C、D， 其重量分别为 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 , 按以下方案称重： （1） 把四个物体都放在天平右盘，左盘放上砝码，使 天平达到平衡，记砝码重为 y , 则 y1 = β 1 + β 2 + β 3 + β 4 + ε 1 （2） 在天平右盘放A、B，左盘放C、D，为使天平达 到平衡，要放上砝码 y2 。若砝码放左盘，则 y2 >0；放在右 盘，则 y2 <0。则 y2 = β 1 + β 2 − β 3 − β 4 + ε 2 ;
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4. 在显著性水平 条件下的临界值 F(k,nk1)
5. 判断：如果采用样本数据计算的结果 FF(k,nk2)， 则拒绝原假设，认为因变量和该自变量之间的线性关 系显著。
F检验通不过的可能原因
（1）选择自变量时漏掉了某些有重要影响 的因素；
（2）自变量与因变量的关系是非线性的。
（1）当不显著的变量较多时，不能同时剔除，要 从最小的那个系数所对应的变量开始逐一删除。
（2）删除一个变量后腰观察其他统计量的变化， 如果有所改善，认为剔除是适宜的；否则应保留在 模型中。
第二章 多重回归分析法
2.1 多元线性回归模型及其参数估计 2.2 多元线性回归的显著性检验 2.3 利用多元线性回归方程进行预测 2.4 解释变量的选择 2.5 多重共线性 2.6 预测实例
2.1 多元线性回归模型及其参数估计
一、线性回归模型的一般形式
如果因变量（被解释变量）与各自变量（解释变量） 之间有线性相关关系，那么它们之间的线性总体回归 模型可以表示为：
写成矩阵形式为：YXBε
其中
y1
Y
y
2
yn
1 x11 x21 X 1 x12 x22
1 x1n x2n
xk1
xk
2
0
B
1
xkn
k
1
ε
2
n
实际上，在多元线性回归分析中，比一元线性回归 分析增加了一个假设条件，即自变量之间不存在线 性关系。
V a r(ˆj)2(X TX ) 1jj2 C jj （ j0,1,2, ,k）
其中，C jj 是 (X T X )1主对角线上的元素。 可以证明， ˆ j 具有最小方差的特性。（证明略）
五、随机误差项的方差的估计量
和一元线性回归类似有平方和分解
n
n
ST (yiy)2 (yiyˆi)2
二、简单相关分析 分别计算预测对象与各影响因素的简单相关
系数，选择那些与预测对象相关程度高者作为自 变量。
三、逐个剔除法（后退法）
首先将与预测对象有关的全部因素引入方程， 建立模型，然后依据每个回归系数的t值大小，逐 个剔除那些不显著的变量，直到模型中包含的变 量都是影响预测对象的显著因素为止。
注意：
给定置信水平 1 ，置信区间为
Y ˆ0 t2(n k 1 )ˆ 1 X 0 (X T X ) 1 X 0 T
其中， t α 是自由度为年n-k-1的t分布临界值。
2.4 解释变量的选择
一、因素分析
因素分析是一种定性分析。它是预测时选择自 变量的第一步。凭借对预测对象的熟悉、了解，分 析找到影响预测对象的所有因素，从中选择。
界值3.201，所以回归系数均显著。 （3）DW 1.95在6 2附近，不存在序列相关。
2.3 利用多元线性回归方程进行预测
一、点预测
当给定自变量的某一特定值为 X 0(1 ,x10,x20, ,xk0)
对因变量进行点估计为 y ˆ0ˆ0ˆ1 x 1 0ˆkxk0
用矩阵表示为 Yˆ0 X0B 。 二、区间预测
一、经济检验 二、拟合优度检验 三、回归方程的显著性检验 四、回归系数的显著性检验 五、序列相关检验
一、经济检验（逻辑检验）
1. 检验内容：参数估计值的符号和大小是否与 经济理论和经济实际相符合。 2. 回归系数的估计值与实际相反的原因 （1）某些变量的取值范围太窄；
（2）模型中遗漏了某些重要因素； （3）模型中自变量之间有较强的线性关系。
Qe Qe 0
0 BBˆ
k BBˆ
整理得正规方程组
n
n
n
nˆ0 ˆ1 xi1 ˆk xik yi
n
i1 n
i1
i1
n
n
ˆ0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i1
xi1
ˆ1
i1
xi21
ˆk
i1
xi1xik
检验不再一致，需要分别进行； 序列相关检验与一元回回归是一致的。
七、续例2.2，给定显著性水平 0.05，进行检验
解：根据运行结果 （1） R.7. 方程的拟合优度较高； （2） F 1.8 9 8 4 4 .2 8 8 F 6 . (2 ,9 ) 方程通过显著性检验； （4）回归系数的显著性检验 tβ ˆ. tβ ˆ.，均大于临
i1
xi1 yi
n
n
n
n
ˆ0 i1 xik ˆ1 i1 xikxi1 ˆk i1 xi2k i1 xik yi
其矩阵形式为
XTXB ˆXTY
解得
B ˆ(XTX)1XTY
所以多元线性回归方程的矩阵形式为
Y ˆX B ˆX (X TX ) 1X TY
由于 E(ˆj ) j ；var(ˆj)Cjj2；
故可得的置信度为1 的置信区间为：
[ˆ j t 2 ( n k 1 )C jjˆ 2 ,ˆ j t 2 ( n k 1 )C jjˆ 2 ]
统计软件自动给出各回归系数的上下限
七、例2.1 年份 消费 收入 人口 已知某地区的相关数据如右表所示， 1994 9 13.1 48.2
试求该回归方程。 解：使用Eviews实现回归，得到的方
2019 2019 2019
9.5 10 10.6
13.9 13.8 14.8
48.9 49.54 50.25
程为
2019 2019
13.4 16.2
16.4 20.9
51.02 51.84
y ˆi . . x i .x i 2000 17.7 24.2 53.76
可见，多元回归分析是以多个解释变量的固定值 为条件的回归分析，表示各解释变量X值固定时Y 的平均响应。
也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保
j
持不变的情况下，X
每变化1个单位时，引起的
j
因变量的平均变动量。或者说
j
给出 X
单位变
j
化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）
影响。
y 0 1 x 1 2 x 2 k x k
二、多元回归模型的基本假定
（1）E [i|x1i,x2i, xki]0 i,, ,n
（2）V a r(i|x 1 i,x2 i,...,xki)2 i,, ,n 等方差性 （3）C o v (i,j) 0i j,i,j 1 ,2 , ,n 无序列相关
（4） C o v (i,X i) 0i 1 ,2 , ,n
三、参数估计方法—最小二乘估计
用最小二乘法估计回归参数 0,1,,k
考虑 Q eQ (0,1, ,k)
n
(yi01xi1 kxik)2
使
i1
Q (ˆ 0 ,ˆ 1 , ,ˆ k ) m Q (0 i,n 1 , ,k )
分别求 Q e 关于 0,1,,k的偏导数,并令其为零
n
ˆ
Qe
(yi yˆi)2
i1
nk1 nk1
此时，估计量的标准差可表示为：
n
ˆˆj Sˆj
Var(
ˆ j
)
Cjjˆu2
(yi yˆi)2
Cjj
i1
nk1
C j j 是 (X T X )1主对角线上的元素（j=0,1,…,k）。
六、回归系数的置信区间
一元回归的参数估计是多元回归参数估计的特例。
n
Q ei2 min i1 (YXB )('YXB ) (Y'B'X')(YXB ) Y'YY'XBB'X'YB'X'XB
根据：( AB) ' B ' A', (Y ' XB) ' B ' X 'Y 所以：Y ' XB与B'X'Y 是同值 Q 2X 'Y 2X'XB＝0 B B ( X'X )1X'Y
y 0 1 x 1 2 x 2 k x k
对每一组观测值
y i 0 1 x 1 i 2 x 2 i k x k i i
i1,2, ,n
非随机表达式
E ( Y x 1 i,x 2 i,,x k i) 0 1 x 1 i 2 x 2 i k x k i
四、回归系数的显著性检验
1. 检验内容：检验因变量和每个自变量的线性关系。
2. 建立原假设和备择假设：
H 0 :β i 0 H 1 :β i 0i 1 ,2 ,,k
3.
构造统计量
tβˆi
βˆi S(βˆi)
~t(nk1)
4.在显著性水平 条件下的临界值 tα（ 2 nk1）
5.判断：如果采用样本数据计算的结果 tˆi ， tα(nk) 则拒绝原假设，认为因变量和该自变量之间的线性关
（5）进一步假定 i ~N(0,σ2) 即 ~N(0,2In)
其中 I n 是 n 阶单位方阵
（6）ra(X n) kkn各自变量之间不存在显著相关关系
预测模型
y ˆ ˆ0 ˆ 1 x 1 i ˆ2 x 2 i ˆk x k i
ei Yi Yˆi 是观测值与预测值（回归值）之间的离差
系显著。
t检验通不过的可能原因