利用一元二次方程解决问题(1)
一元二次方程应用题分类讲练
开启 智慧
销售问题
2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,
若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件, 但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%. 商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品? 每件商品的售价应为多少元?
一元二次方程应用
有关“动点”的面积问题
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的
2
单循环比赛的场数=队数乘以队数减1再除以2
1、要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间比赛一场, 计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得:
单循环比赛场数
=15
单循环比赛的场数=队数乘以队数减1再除以2
xx 1 15
2
x2 x 30 0
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+x(1+x)=121
x x 解方程,得
__1_0__,
1
2 __-1_2___(.不合题意,舍去)
答:平均一个人传染了____1_0___个人.
一元二次方程应用（3）
几何与方程
快乐学习 1
几何与方程
例1：一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图， 它的长为8cm，宽为5cm．如果镜框中央长方形图案的
x
当x102时，352x15. 符合题意.
答：自行车棚的长和宽分别为15米和10米.
常见的图形有下列几种：
练习：
3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利 用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有 一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积 为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
24.4.1运用一元二次方程解决图形面积问题
利用一元二次方程解决图形问题
【例1】如图，某学校要在校园内墙边
的空地上建一个矩形的存车处，存车 处的一面靠墙（墙长22米），另外三 面用90米长的铁栅栏围起来．如果这 个存车处的面积为700平方米．求这 个矩形存车处的长和宽．
举一反三训练
1.〈2015，保定模拟〉在Rt△ABC中，∠B为直角，AB ＝6 cm，BC＝12 cm，动点P以每秒1 cm的速度匀速 自A点沿AB方向移动，同时点Q以每秒2 cm匀速自B 点沿BC方向移动，则( C )秒后△PQB的面积等于
员？
(1)设增长率为x， 根据题意，得10×(1＋x)2＝12.1，
解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)．
答：月平均增长率为10%. (2)6月份的投递任务为：12.1×(1＋0.1)＝13.31 (万件)． ∵13.31÷0.6≈22.18(名)，
∴现有的21名快递投递业务员不能完成任务，至少需
利润 ×100% 进价（或成本）
折扣数 ＝折扣后价格，如原价1 000元，打5.5折，现价550元． 10
谢谢
本题(2)属于典型的增长率问题，这类问题的等量关系 均为：原量×(1＋增长率)增长次数＝增加后的量，或原量
×(1－减少率)减少次数＝减少后的量．
举一反三训练
2．〈2015，湖南长沙〉现代互联网技术的广泛应用，催 生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型 “大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月 份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件． 现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公 司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快 递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务
一元二次方程应用题(专题)
一元二次方程应用题（专题）一、“买卖规律”应用题（1）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（2）在北京2008年第29届奥运会前夕，某超市在销售中发现：奥运会吉祥物—“福娃”平均每天可售出20套，每件盈利40元。
为了迎接奥运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。
经市场调查发现：如果每套降价4元，那么平均每天就可多售出8套。
要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？（3）某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件。
已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件。
为在月内赚取8000元的利润。
售价应定为每件多少元？二、“套用公式题”应用题（1）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m。
②试求养鸡场的最大面积。
（2）如图，某农户发展养禽业，准备利用现有的34米长的篱笆靠墙AB（墙长为25米）围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，这个养鸡场的长和宽各是多少？BA（3）若把一个正方形的一边增加2 cm，把另一边增加1 cm，所得的矩形比正方形面积多14 cm2，求原来得正方形边长．（4）7.利用旧墙为一边(旧墙长为7m)，再用13米长的篱笆围成一个面积为20m²的长方形场地，则长方形场地的长和宽分别是多少米？四、“相同百分比”应用题（1）某工厂2005年的总产值为30万,2007年的总产值可以达到120万.求平均每年产值的增长率.（2）某乡产粮大户,2007年粮食产量为50吨,由于加强了经营和科学种田,2009年粮食产量上升到60.5吨.求平均每年粮食增长的百分率.（3）某校2006年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2008年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？（4）小明将1000元存入银行，定期一年，到期后他取出600元后，将剩下部分(包括利息)继续存入银行，定期还是一年，到期后全部取出，正好是550元，请问定期一年的利率是多少？（5）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。
九年级(上)数学教案：用一元二次方程解决问题(全3课时)
教学过程教师主导活动学生主体活动2.某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？三．释疑拓展：1.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元。
求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
2.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.（1）如果要围成面积为36平方米的花圃，AB的长是多少米？（2）能围成面积比36平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.学生思考后可以小组讨论，让学生谈谈自己是如何思考让学生独立思考，然后让学生板演，最后学生点评教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动2某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？三．释疑拓展：某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降1元，可多售50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余的旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出。
如果这批旅游纪念品一共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？四．检测巩固：1.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。
调查表明：这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就将减少10个。
为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？让学生先独立思考，然后小组讨论交流，最后全班展示交流，并让学生自己归纳发现的结论学生思考后可以小组讨论让学生谈谈自己是如何思考的。
一元二次方程应用题精选含答案
一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数.2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售,增加赢利，尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2)要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．4。
某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。
为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价O。
1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？三、平均变化率问题增长率(1）原产量+增产量=实际产量．（2）单位时间增产量=原产量×增长率．(3)实际产量=原产量×(1+增长率）．6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少？7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价,现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？四、形积问题8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半,求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．五、围篱笆问题10、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？六、相互问题(传播、循环)11、（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会？(2）要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场，计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛？（3) 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念,全班共送了3080张照片．如果该班有x 名同学，根据题意可列出方程为?12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．(1)求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少人患上流感?第21题图13、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？七.行程问题：14、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。
一元二次方程应用题
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解：设今年某市市财政净收入为1， 这两年中市财政净收入的平均年增长率为x， 根据题意，得 (1x)22
1 x 2
x 1 2 x1 1 2 0.414 41.4% , 符合题意. x2 1 2 0 不合题意，舍去. 答：这两年中市财政净收入的平均年增长率约为41.4%.
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
根据题意，得 1 2x (6 x) 8
D
C
整理，得
x2
2
6x
8
0
解这个方程，得 x1 2, x2 4
Q
0 x 6 所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面
上页 积等于8cm2
A 下页 结B束
P
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm, 动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点
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例1：用以根长22厘米的铁丝，能否折成 一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个 面积为32厘米的矩形？说明理由。
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
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2. 如图，在长为40米，宽为22米的矩 形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直 的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的 面积为760平方米，道路的宽应为多少？
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解：设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为 (x2)和 (x2), 根据题意，得(x2)2+(x2)2 x2 332 整理，得 x2 324
x18 当x18时，x2 16, x2 20； 当x= 18时，x2= 20, x2 16. 答：这三个连续偶数分别为16、18和20，或20、 18和16.
(完整版)一元二次方程应用题精选(附答案)
一元二次方程应用题精选1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部，求小路宽的宽度．分作为耕地要使耕地的面积是540m210、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?11、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？12、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。
10.11.一元二次方程的实际运用(1)
如图，设路宽为x米， 横向路面 32x米2 ，
(2)
纵向路面面积为20x米2 。 草坪矩形的长（横向）为 （32-x)米 ， 草坪矩形的宽（纵向） (20-x)米 。 相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2 即 32 x 20 x 540. 2 x 化简得： 52x 100 0, x1 50, x2 2 再往下的计算、格式书写与解法1相同。
例.一块长36m，宽24m的矩形草地，现 要在它的中央修建一个矩形喷水池，周 围的草地作走道，走道的宽度相等，且 喷水池的面积是矩形草地面积的 5 ， 27 求周围走道的宽度。
分析：设走道的宽度为 xm, 其等量关系是喷水池的 面 5 积是矩形草地面积的 27
解：设周围走道的宽度为xm， 由题意得 5 （36 2 x） (24 2 x） 36 24 27 解得x1 22(舍去), x2 8 答：周围走道的宽度为 8米。
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
(32 2 x)(20 2 x) 540
化简得，
x 26 x 25 0 ( x 25)( x 1) 0 x1 25, x2 1
2
(1)
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1米.
（26 x）米。
想一想，
为什么？
长为(40 2 x）米 宽为(26 2 x）米
长为(40 x）米 宽为(26 x）米
点评：解答这类问题，并没有用到什么 复杂的数学知识，只是运用化归思想， 把几条小路归在一起，草坪归在一起， 这种做法给综合分析问题、解决问题带 来很大方便。
练习：
解得x1 x2 25 当x 25时,50 x 25 答 : 长方形模型的长和宽都 为25cm。 （3）x(50 x） 700此方程无实数解 答：要用 100cm的铅丝做成一个面积是 700cm2 的长方形模型是不可能 的。
一元二次方程的实际应用题
一元二次方程的实际应用题（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）。
4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
利用一元二次方程解决实际问题
(利用一元二次方程解决实际问题) 一元二次方程是一个形式如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
它的解可以通过使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得。
利用一元二次方程，我们可以解决许多实际问题，如求解物体的运动轨迹、解决几何问题等等。
下面将通过几个实际问题的例子来说明如何利用一元二次方程解决实际问题。
例1：一个石头从100米高的地方自由落下，求石头落地时的速度和落地时间。
解：根据物体自由落体运动的规律，石头落地时的速度可以通过一元二次方程求解。
设石头落地时的速度为v，落地时间为t，则有以下等式：100 = 0.5 * g * t^2 （物体自由落体的位移公式）v = g * t （物体自由落体的速度公式）其中，g为重力加速度，取9.8 m/s^2。
将第二个等式代入第一个等式中，得到：100 = 0.5 * (v/t) * t^2200 = v * t将上述方程组代入一元二次方程的标准形式ax^2+bx+c=0中，得到：t^2 - (200/v) * t + 0 = 0根据一元二次方程的求根公式，可以解得：t = (200/v)/2 = 100/v将t代入第二个等式中，得到：v = g * (100/v)v^2 = 100 * gv = √(100 * g) ≈ 31.3 m/s所以，石头落地时的速度约为31.3 m/s，落地时间为t = 100/v ≈ 3.2 s。
例2：一个花瓶从楼顶上掉下来，从花瓶掉到地面的时间为5秒，求楼顶的高度。
解：根据物体自由落体运动的规律，花瓶掉到地面的时间可以通过一元二次方程求解。
设楼顶的高度为h，则有以下等式：h = 0.5 * g * t^2其中，g为重力加速度，取9.8 m/s^2，t为花瓶掉到地面的时间，取5秒。
将上述方程代入一元二次方程的标准形式ax^2+bx+c=0中，得到：0.5 * g * t^2 - h = 0根据一元二次方程的求根公式，可以解得：h = 0.5 * g * t^2 = 0.5 * 9.8 * 5^2 = 122.5 m所以，楼顶的高度为122.5米。
用一元二次方程解决问题(含答案)
4.3用一元二次方程解决问题（1）目标导航：知识要点：根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．学习要点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．基础巩固题1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．3、直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．A．37B．5 C．38D．74、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;D．以上都不对5、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm26、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?7、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？8、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm ）？九 年级 练数 学 习同步9、如图，在ΔABC 中，∠B=90º，AB=4cm ，BC=10cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以1cm/s 的速度向点C 移动，问：经过多少秒后，点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1？AB P C思维拓展题10、如图所示，在一个长为32米，宽为20米的矩形空地上，建造一个草坪，并修筑等宽且互相垂直的两条路，要使草坪的面积为540米2，求路的宽度。
一元二次方程解决实际问题
一元二次方程解决实际问题一元二次方程是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题时发挥着重要的作用。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
在实际问题中，一元二次方程可以用来描述各种物理、经济以及自然现象。
下面将介绍一些常见的实际问题，并且展示如何使用一元二次方程来解决它们。
1. 抛物线的运动轨迹：当一个物体在空中自由落体时，它的运动轨迹是一个抛物线。
假设一个物体从高度h处自由落体，忽略空气阻力，则它的运动可以用一元二次方程来描述。
根据物体在t秒钟后的高度可以得到方程h = -gt^2 + vt + h0，其中g为重力加速度，v为初速度，h0为初始高度。
通过解一元二次方程，可以计算出物体在任意时刻的高度。
2. 金融利息的计算：在金融领域，利息的计算经常涉及到一元二次方程。
例如，假设你存入银行一笔本金P，年利率为r，存款时间为t年。
在t年后，你的存款总额可以表示为P(1 + rt)。
如果你希望在t年后的存款总额达到一定的目标金额A，那么可以建立一元二次方程P(1 + rt) = A，通过解方程可以计算出需要的存款金额P。
3. 最大值和最小值问题：在一些实际问题中，需要找到一个函数的最大值或者最小值。
例如，假设你想要修建一个长方形花园，但是只有一定的围墙长度。
设花园的宽度为x，长度为y，则围墙长度为2x + 2y。
如果围墙长度为L，那么可以建立一元二次方程2x + 2y = L，并通过解方程可以找到使得花园面积最大的宽度和长度。
通过以上例子可以看出，一元二次方程在解决实际问题时具有广泛的应用。
它可以用来描述抛物线的运动轨迹、计算金融利息、寻找最大值和最小值等等。
因此，掌握解一元二次方程的方法是非常重要的，它能够帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
一元二次方程应用题含答案整理版
一元二次方程应用题含答案整理版一、汽车长途行驶问题问题描述：某辆汽车以每小时60公里的速度行驶，已经过两个小时，此时与起点相距180公里。
问汽车行驶多少小时能与起点相距510公里？解决方法：设汽车行驶的小时数为x。
根据题意可得方程：60x + 180 = 510。
将方程变为一元二次方程的标准形式：60x = 510 - 180。
化简得：60x = 330。
通过移项可得：x = 330 ÷ 60 = 5.5。
答案：汽车需要行驶5.5小时才能与起点相距510公里。
二、商品折扣问题问题描述：一件商品原价300元，商场进行打折促销，最终价格为192元。
问打了多少折扣？解决方法：设打折的折扣率为x。
根据题意可得方程：300 × (1 - x) = 192。
将方程变为一元二次方程的标准形式：300 - 300x = 192。
通过移项可得：300x = 300 - 192 = 108。
化简得：x = 108 ÷ 300 = 0.36。
答案：商品打了36%的折扣。
三、跳水运动员问题问题描述：某跳水运动员从3米高的平台跳下，每次跳水后下一次的距离比上一次距离减少2米。
已知他一共跳了5次，最后一次跳了9米。
问他第一次跳了多高？解决方法：设他第一次跳的高度为x米。
根据题意可得方程：x + (x - 2) + (x - 4) + (x - 6) + (x - 8) = 9。
将方程变为一元二次方程的标准形式：5x - 20 = 9。
通过移项可得：5x = 9 + 20 = 29。
化简得：x = 29 ÷ 5 = 5.8。
答案：该跳水运动员第一次跳了5.8米。
四、炒股问题问题描述：小明通过购买股票进行炒股，他买入了股票A，每股价格为30元。
经过一段时间后，股票A涨了10%，小明决定抛售，以每股33元的价格卖出。
问小明一共赚了多少钱？解决方法：设小明买入的股票A的数量为x股。
根据题意可得方程：30x × 1.1 = 33x。
一元二次方程的实际问题
一元二次方程的实际问题一元二次方程是解决实际问题中常用的数学模型，它具有广泛的应用。
本文将为您介绍一些与一元二次方程相关的实际问题，并探讨如何解决和应用这些问题。
1. 炮弹的射程问题在物理学中，炮弹的射程可以通过一元二次方程来计算。
假设一颗炮弹以初始速度v0以角度θ发射，重力加速度为g。
炮弹的水平射程由以下公式给出：R = (v0²sin2θ) / g其中R表示射程的距离。
通过解这个一元二次方程，我们可以计算出炮弹的射程。
这对于军事战略和工程设计都是重要的考虑因素。
2. 物体自由落体问题当一个物体从高处自由落体时，其下落的距离可以通过一元二次方程来描述。
考虑一个物体从高度h开始自由落体的情况，下落时间为t，重力加速度为g。
物体的下落距离可以由以下方程给出：h = (1/2)gt²解这个一元二次方程可以得到物体下落的时间和距离。
这个问题在力学和日常生活中都有着重要的应用，例如在建筑和运动中。
3. 计算机图形学中的二维变换在计算机图形学中，二元二次方程广泛应用于二维图形的变换。
例如，我们可以通过一元二次方程来描述平移、旋转和缩放等变换。
这些变换可以通过矩阵运算表示为一元二次方程，并且可以利用求解方程来实现对图像的几何变换。
4. 数字游戏中的解谜问题一元二次方程也常出现在数字游戏中的解谜问题中。
这些问题要求我们通过给定的线索和条件来确定未知数的值。
通过列出并解决一元二次方程，我们可以找到解决这些解谜问题的答案，从而推进游戏的进程。
总结：一元二次方程不仅在数学中具有重要的地位，而且在实际问题解决和应用中也有广泛的用途。
本文介绍了炮弹的射程、物体自由落体问题、计算机图形学中的二维变换以及数字游戏中的解谜问题等与一元二次方程相关的实际应用。
通过理解并解决这些问题，我们可以更好地应用数学知识解决实际生活和工作中的难题。
一元二次方程的应用题
一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题（1）一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。
解设这两个月的平均增长率是x。
，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）。
答这两个月的平均增长率是10%。
说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n。
对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n。
二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31。
因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去。
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。
答需要进货100件，每件商品应定价25元。
说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点。
三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的`年利率。
（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x。
一元二次方程应用题
22.3 实际问题与一元二次方程(1)一 问题探究探究一：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传染中平均一个人传染了几个人？（1）分析：设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感。
在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感。
（2）根据等量关系列方程并求解:(3)如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有 人患流感。
探究二：定价问题［提示：单位利润×销量＝总利润］某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。
为了扩大销售，增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。
经调查发现，如果每台电视机每降价10元，平均每天可多售出5台。
专卖店降价第一天，获利30000元。
问：每台电视机降价多少 元?分析：原来每台盈利400元，每台降价x 元后，现在每台的盈利为(400-x )元；原来每天可售出50台，现在降价了，销量提高了，每降10元提高5台销量。
所以现在的销量是：(10550x ⨯+)台 解：设每台电视机降价x 元，依题意，列方程得：三 基础演练：1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人2.中新网4月26日电 据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）。
若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了_____人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经n 轮传播，将有_____人被感染.3.2010年中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场一只带病毒的小鸡经过两天的传染后使鸡场共有169只小鸡遭感染患病，在每天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？据题意列出方程为____________________________.4. 参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件。
运用一元二次方程解决实际问题教案
运用一元二次方程解决实际问题教案一元二次方程是初中数学中比较重要和常见的一种形式。
它可以用来解决许多实际问题，如抛物线运动、图像对称等。
在初中数学的教学中，学习及掌握一元二次方程的解法方法和应用至关重要。
本文将围绕运用一元二次方程解决实际问题这一主题，探讨初中数学教师如何设计一份科学合理、具有可操作性的教案，帮助学生更好地理解和应用这个知识点。
一、教学目的1. 知道一元二次方程的定义和特征。
2. 熟练掌握一元二次方程的解法方法，包括因式分解法和配方法。
3. 学会运用一元二次方程解决实际问题，如抛物线问题、图像对称等。
二、教学内容1. 一元二次方程的定义和特征（1）什么是一元二次方程？（2）一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0。
（3）一元二次方程的特征：二次项系数a ≠ 0；方程的解可以是实数、复数或无解。
2. 一元二次方程的解法方法（1）因式分解法：将一元二次方程左右两边因式分解得到结果。
（2）配方法：通过变形使一元二次方程成为一个完全平方三项式。
3. 运用一元二次方程解决实际问题（1）抛物线问题：使用一元二次方程的解法方法，求出抛物线的顶点、对称轴、焦点等信息。
（2）图像对称问题：使用一元二次方程的特征和解法方法，求出图像关于哪条线对称。
三、教学过程1. 前置知识引入通过提问和讨论的方式，引入一元二次方程的概念和特征，激发学生对该知识点的兴趣。
2. 一元二次方程的解法方法（1）因式分解法利用例题的方式，详细讲解因式分解法的步骤和注意事项。
并鼓励学生举一些实例，熟悉这个解法方法。
（2）配方法与因式分解法一样，我们也可以通过例题的方式来详细介绍配方法的使用步骤和注意事项。
3. 运用一元二次方程解决实际问题（1）抛物线问题通过一些抛物线的例题来具体让学生掌握如何运用一元二次方程解决实际问题，如求出抛物线的顶点、对称轴、焦点等信息。
（2）图像对称问题同样的，我们可以利用例题，让学生通过运用一元二次方程的特征和解法方法，解决一些图像对称问题。
一元二次方程应用题
1．（6分）关于x 的一元二次方程012)1(2=++--m mx x m .（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数． 【答案】（1）见解析； （2）m=2或m=3． 【解析】试题分析：（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出方程的两根：x 1=11m m +-，x 2=1，要使原方程的根是整数，必须使得x 1=11m m +-=1+21m -为正整数，则m-1=1或2，进而得出符合条件的m 的值．解：（1）∵△=b 2-4ac=（-2m ）2-4（m-1）（m+1）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由求根公式，得x=()2221m m ±-，∴x 1=()2221m m +-=11m m +-，x 2=()2221m m --=1； ∵m 为整数，且方程的两个根均为正整数， ∴x 1=11m m +-=1+21m -，必为正整数， ∴m-1=1或2， ∴m=2或m=3．考点：根的判别式；一元二次方程的定义． 2．爱家百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。
经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？ 【答案】每件童装应降价20元． 【解析】试题分析：先求出每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件，再利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程，即可求出答案； 试题解析：∵如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件， ∴如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件， 设每件童装应降价x 元，根据题意列方程得， （40-x ）（20+2x ）=1200， 解得x 1=20，x 2=10（舍去）， 答：每件童装应降价20元．考点：一元二次方程的应用3．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加 20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？ 【答案】（1）每千克核桃应降价4元或6元．（2）该店应按原售价的九折出售． 【解析】 试题分析：（1）设每千克核桃降价x 元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． 试题解析：：（1）解：设每千克核桃应降价x 元． 根据题意，得 （60-x-40）（100+2x×20）=2240． 化简，得 x 2-10x+24=0 解得x 1=4，x 2=6． 答：每千克核桃应降价4元或6元．（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元． 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元． 此时，售价为：60-6=54（元），5460×100%=90%． 答：该店应按原售价的九折出售． 考点：一元二次方程的应用．4．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m 2？【答案】10，8． 【解析】试题分析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm 可以得出平行于墙的一边的长为（2521x -+）m ．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm 可以得出平行于墙的一边的长为（2521x -+）m ，由题意得：(2521)80x x -+=，化简，得213400x x -+=，解得：15x =，28x =，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12． 答：所围矩形猪舍的长为10m 、宽为8m ．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．5．尼泊尔地震牵动着全中国人民的心，中国红十字基金会开展了“一方有难，八方支援”的赈灾活动．5月15日，中国红十字基金会联手北京成龙慈善基金会等共同出资400万元人民币，采购5000只“赈济家庭箱”（“赈济家庭箱”包括当地受灾群众急需的毛毯、防潮垫、睡袋、雨衣、服装、餐具、个人护理用品等），作为首批物资援助尼泊尔地震灾区．该基金会计划到第三批援助物资为止共采购18200只“赈济家庭箱”．（图为中国红十字基金会工作人员介绍“赈济家庭箱”内的物品）（1）如果第二批、第三批援助物资的增长率相同，求采购“赈济家庭箱”的增长率． （2）按照（1）中采购“赈济家庭箱”的增长速度，该基金会采购第四批“赈济家庭箱”需要筹措资金多少万元？ 【答案】（1）20﹪；（2）691.2万元 【解析】 试题分析：（1）解答此题利用的数量关系是：第一批“赈济家庭箱”×（1+每次增长的百分率）2=第三批援助物资数，设出未知数，列方程解答即可；（2）第三批援助物资数×（1+每次增长的百分率）=第四批援助物资数，依此列式子解答即可． 试题解析：（1）设采购 “赈济家庭箱”的增长率为x ，根据题意列方程得：()()18200x 15000x 1500050002=++++ 整理得：01675252=-+x x解得：2.01=x 2.32-=x （不合题意，舍去） 答：采购 “赈济家庭箱”的增长率是20﹪（2）()2.691728.14002.14002.0140033=⨯=⨯=+（万元）答：该基金会采购第四批“赈济家庭箱”需要筹措资金691.2万元 考点：一元二次方程的应用. 6．如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB 、BC 各为多少米？【答案】AB ，BC 分别是20米、20米． 【解析】试题分析：设AB 的长度为x ，则BC 的长度为（100-4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB 的长度为x ，则BC 的长度为（100-4x ）米． 根据题意得 （100-4x ）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100-4x=20或100-4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．考点：一元二次方程的应用．7．（本题8分）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？【答案】700【解析】试题分析：设箱子的底面宽为x，则长为x+2，然后列出方程进行求解．试题解析：设箱子底面宽为x米，长为（x+2）米，根据题意得：x（x+2）=15解得x1=3，x2=-5（舍去）∴矩形铁皮宽为5米，长为7米∴花费：5×7×20=700元…考点：一元二次方程的应用．8．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a－c）=0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】（1）△ABC是等腰三角形；理由见解析；（2）△ABC是直角三角形；理由见解析；（3）x1=0，x2=－1．【解析】试题分析：（1）直接将x=-1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=－1是方程的根，∴（a+c）×（－1）2－2b+（a－c）=0，∴a+c－2b+a－c=0，∴a－b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形；理由：∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2－4（a+c）（a－c）=0，∴4b2－4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵当△ABC是等边三角形，a= b=c∴（a+c）x2+2bx+（a－c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=－1．考点：一元二次方程的应用．9．（本题10分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1．5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】（1）2000；（2）2．【解析】试题分析：（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程试题解析：解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．考点：分式和二次方程的应用．10．（本题9分）某服装柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利l200元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么每件服装应降价多少元?【答案】20元【解析】试题分析：设每件童装应降价x元，根据题意列出方程，即每件童装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去．试题解析：试题解析：设每件童装应降价x元，由题意，得(9050)(202)1200x x --+=，解得110x =，220x =，为使顾客得到较多的实惠，应取x=20．故每件童装应降价20元． 考点：一元二次方程的应用． 11．（10’）有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；（2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？【答案】本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题．只要把握住总花费=单价×数量，这一等量关系，解决此题就会比较容易．注意不要忽视了单价不低于440元这个条件．（1）应去乙公司购买；（2）该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台． 【解析】 试题分析：：（1）把数量6分别代入甲乙两公司的计算方法即可求出到哪家公司购买花费较少；可以利用等式总花费=单价×数量；（2）把总价7500代入甲乙两公司的计算方法，看哪个适合题意． 试题解析：解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用6×（800﹣20×6）=4080（元）， 在乙公司购买需要用75%×800×6=3600（元）＜4080（元）， ∴应去乙公司购买； 2分（2）设该单位买x 台，若在甲公司购买则需要花费x （800﹣20x ）元； 若在乙公司购买则需要花费75%×800x=600x 元；①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器， 则有x （800﹣20x ）=7500， 2分 解之得x 1=15，x 2=25． 2分当x 1=15时，每台单价为800﹣20×15=500＞440，符合题意；当x 2=25时，每台单价为800﹣20×25=300＜440，不符合题意，舍去． 1分 ②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，则有600x=7500，解之得x=12．5，不符合题意，舍去． 2分 答：该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台． 1分 考点：一元二次方程的应用． 12．（8分）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，BC=4cm ，一动点P 从C 出发沿着CB 方向以1cm/S 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 方向以2cm/S 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为t （s ）．（1）当t 为几秒时，△PCQ 的面积是△ABC 面积的 41？（2）△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能，求出t 的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）t=2；（2）△PCQ 的面积不可能是△ABC 面积的一半，理由详见解析【解析】试题分析：（1）根据三角形的面积公式可以求出时间t；（2）由等量关系S△PCQ=S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．试题解析：（1）∵S△PCQ=t（8﹣2t），S△ABC=×4×8=16，∴t（8﹣2t）=16×，整理得t2﹣4t+4=0，解得t=2．答：当t=2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；（2）当S△PCQ=S△ABC时，t（8﹣2t）=16×，整理得t2﹣4t+8=0，△=（﹣4）2﹣4×1×8=﹣16＜0，∴此方程没有实数根，∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．考点：1．一元二次方程的应用；2．三角形的面积．x（本题12分）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B的横坐标恰好是方程2-4=0 13．x x的解，点P从C点出发沿y轴正方向以1的解，点C的纵坐标恰好是方程2-4+4=0个单位/秒的速度向上运动，连PA、PB，D为AC的中点.1）求直线BC的解析式；2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？3）如图2，若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不变，请说明理由并求其值.【答案】（1）直线BC的解析式为y=-x+2；（2）当t=2秒，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等；（3）当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和不会发生改变，为180°．理由见解析；【解析】试题分析：（1）解方程可求出A（-2，0），B（2，0），C（0，2），再设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C两点的坐标代入，用待定系数法即可求出直线BC的解析式；（2）当t=2秒，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．为此，作DM⊥x轴于点M，作DN ⊥y轴于点N，根据等腰直角三角形及角平分线的性质，利用SAS证明△PCD≌△BOD，则DP=DB ，∠PDC=∠BDO ，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP ⊥DB ；（3）在QA 上截取QS=QP ，连接PS ，利用∠PQA=60°，得出△QSP 是等边三角形，进而得出△APS ≌△BPQ ，从而得出∠APQ+∠ABQ=60°+∠APQ+∠PAS=180°得出答案．试题解析：（1）解方程x 2-4=0得，x 1=-2，x 2=2，所以A （-2，0）、B （2，0），解方程x 2-4x+4=0得x 1=x 2=2，所以C （0，2），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B 、C 两点的坐标代入， 得⎩⎨⎧==+22b b k ，解得⎩⎨⎧=-=21b k ，∴直线BC 的解析式为y=-x+2；（2）当t=2秒，即CP=OC 时，DP 与DB 垂直且相等．理由如下： 如图1，连接OD ，作DM ⊥x 轴于点M ，作DN ⊥y 轴于点N ，∵A （-2，0），C （0，2）， ∴△OAC 是等腰直角三角形， ∵D 为AC 的中点， ∴OD 平分∠AOC ，OD=DC=21AC ， ∴DM=DN=OM=ON=m ． 在△PCD 与△BOD 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∠=∠==ACDO DC BOD PCD OC BO PC 211350， ∴△PCD ≌△BOD （SAS ），∴DP=DB ，∠PDC=∠BDO ， ∴∠BDP=∠ODC=90°， 即DP ⊥DB ；（3）当Q 在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ 的度数和不会发生改变．理由如下： 如图2，在QA 上截取QS=QP ，连接PS ，∵∠PQA=60°，∴△QSP 是等边三角形， ∴PS=PQ ，∠SPQ=60°， ∵PO 是AB 的垂直平分线， ∴PA=PB ，而PA=AB ， ∴PA=PB=AB ，∴∠APB=∠ABP=60°， ∴∠APS=∠BPQ ，∴△APS ≌△BPQ （SAS ）， ∴∠PAS=∠PBQ ， ∴∠APQ+∠ABQ=∠APQ+（∠ABP+∠PBQ ） =60°+（∠APQ+∠PBQ ）=60°+（∠APQ+∠PAS ）=60°+120°=180°；考点：1、待定系数法；2、全等三角形的判定与性质；3、等腰直角三角形的判定与性质；4、等边三角形的性质与判定14．（本题7分）已知关于x 的方程022)13(22=+++-k k x k x . （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长6=a ，另两边长c b ,恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长. 【答案】（1）证明见解析；（2）三角形的周长为16或22； 【解析】 试题分析：（1）由一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根，所以只需证明△≥0即可． （2）先求出方程的两根x 1=3k-1，x 2=2，则可设b=2k ，c=k+1，然后讨论：当a 、b 为腰、当b 、c 为腰、当a 、c 为腰分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可．试题解析：△=[-（3k+1）]2-4×1×（2k 2+2k ）， =k 2-2k+1，=（k-1）2，∵无论k 取什么实数值，（k-1）2≥0， ∴△≥0，所以无论k 取什么实数值，方程总有实数根；（2）x 2-（3k+1）x+2k 2+2k=0，因式分解得：（x-2k ）（x-k-1）=0， 解得：x 1=2k ，x 2=k+1，∵b ，c 恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k ，c=k+1，当a 、b 为腰，则a=b=6，而a+b ＞c ，a-b ＜c ，所以三角形的周长为：6+6+4=16； 当b 、c 为腰，则k+1=2k ，解得k=1，∴b=c=2，因为6，2，2不构成三角形，∴所以这种情况不成立； 当a 、c 为腰 k+1=6 则k=5， ∴b=10，∴三角形的周长为：6+6+10=22 综上，三角形的周长为16或22；考点：1、根的判别式；2、等腰三角形的性质 15．（10分）如图，要设计一副宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度都相同，如果使剩余面积为原矩形图案面积的31，应如何设计每个彩条的宽度？【答案】应设计彩条宽为5cm 【解析】试题分析：设每个彩条的宽度为xcm ，根据题意，得()()302031220230⨯⨯=--x x解得：x 1=5，x 2=30（二倍大于30，舍去）， 应设计彩条宽为5cm ，考点：一元二次方程的应用． 16．（本题10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【答案】（1）4元或6元；（2）九折． 【解析】 试题分析：（1）设每千克核桃降价x 元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．试题解析：（1）设每千克核桃应降价x 元．根据题意，得(6040)(10020)22402xx --+⨯=．化简，得 210240x x -+= 解得14x =，26x =．答：每千克核桃应降价4元或6元．（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%90%60⨯=． 答：该店应按原售价的九折出售．考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．17．如图所示，在△ABC 中，∠B=90º，△ABC 三边长为整数且两直角边的长为关于x 的一元二次方程0)82(72=++-k x x 的两实数根，其中k 为正整数，且AB<BC【答案】（1）AB=3 BC=4 AC=5 （2）t=1S 或2S【解析】试题分析：（1）根据已知可知方程有两个不相等的根，由根的判别式可求出K 的取值范围, 又已知其中k 为正整数可求出K 的值.（2）根据题意可表示出PB 、QB 的值，就可表示出△PBQ 的面积，解方程求出时间即可. 试题解析：（1）解得 由已知为正整数，2 当时， 解得这时AC=295222=+ AC 不为整数舍 当时，解得 这时AC=54322=+ AB=3 BC=4 AC=5（2）设ts（） t=1S 或2S考点：解一元二次方程，根的判别式，三角形的边的关系，勾股定理.18．如图, 某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽。
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1.4 用一元二次方程解决问题（1）
学习目标： 1、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能检验所求的问题的结果是否符合实际意义；
2、体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。
学习重难点：教学重点：在实际问题中寻找等量关系，建立方程。
教学过程：
一、预习检测
1．把一块长80㎜、宽60㎜的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500㎜2的无盖铁盒。
若设小正方形的边长为x㎜，下面所列的方程中，正确的是（）A、（80－x）（60－x）=1500 B、（80－2x）（60－2x）=1500
C、（80－2x）（60－x）=1500
D、（80－x）（60－2x）=1500
2.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元，则平均每次调价的百分率是( )
A、9%
B、10％
C、11％
D、12％
二、典型例题
问题1、用一根长22 cm的铁丝：
（1）能否围成面积是30
2
cm的矩形？（2）能否围成面积是32 2
cm的矩形？
猜想：这根铁丝围成的矩形中，面积最大的是多少？
变式拓展：在宽为20m、长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分
作为耕地，要使耕地面积为5402m，道路的宽应为多少？
问题二、某钢厂今年1月某种钢的产量为2500吨，3月上升至3600吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
变式一、若5月份产量又下降到2916吨，则3至5月平均每月降低的百分率是多少？
变式二、某钢厂去年1月某种钢的产量为2500吨，要使第一季度的总产量达到9100吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？（只列式）
三、反思总结：
四、达标检测
如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）花圃的面积．（用含a的式子表示）
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，
求出此时通道的宽．
五、课后作业
如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？
（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。