第二基本形式

3.曲面的第二基本形式

3.1曲面的第二基本形式

在2中所研究的对象都是属于曲面的内蕴几何，即所研究的只是曲面本身的内蕴性质，而不依赖于曲面在空间中如何弯曲。为了研究曲面在空间中的弯曲性，我们有必要引进du 和dv 的另一个二次微分形式，就是我们在这里要介绍的第二基本形式。

设2C 类曲面S 的方程为

),(v u r r =，

即),(v u r 有连续的二阶导函数vv uv uu r r r ,,.

现在固定曲面S 上一点),(v u P ，并设π为曲面在P 点的切平面。 曲线)(C :

[])(),()(,)(s v s u r r s v v s u u ===或

是S 上过P 点的一曲线，其中s 是自然参数。设P '是曲线)(C 上在P 点邻近的一点，P 和P '点的自然参数的值分别为s 与s s ∆+，即P 点的向径为)(s r ，P '点的向径为)(s s r ∆+.利用泰勒公式得 2))((2

1)()(s r s r s r s s r P P ∆++∆=-∆+='ε ， 其中0lim 0

=→∆εs .

设n 为曲面在P 点的单位法向量，由P '作切平面π的垂线，垂足为Q ，则

,n P Q δ='其中δ为从平面π到曲面S 的有向距离（如图2-11）

。 由于 ,00=∙=∙r

n n QP ， 所以有

[].))((2

1)()()(2s n r n n

s r s s r n P P n

P P QP n

P Q ∆∙+∙=∙-∆+=∙'=∙'+=∙'=εδ

因此当0≠∙r n

时，无穷小距离δ的主要部分是 ,2

1)(2122ds r n s r n ∙=∆∙ 由于

,v r u r r

v u += v r u r v r v u r u r r

v u vv uv uu ++++=222， 又因为

,0=∙=∙v u r n r n

所以

.2222dv r n dudv r n du r n ds r

n vv uv uu ∙+∙=∙=∙ 引进符号：

,,,n r N n r M n r L vv uv uu ∙=∙=∙= （2.27） 于是前式为

,2222Ndv Mdudv Ldu r d n ++=∙=∏ （2.28） 它称为曲面的第二基本形式，它的系数L 、M 、N 称为曲面的第二类基本量。

上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻画了曲面在空间中的弯曲性。

根据上述讨论，我们可以看出第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向n 的正侧弯曲时为正，向n 的反侧弯曲时为负。

现在把曲面的单位法向量 2F EG r r r r r r n v u v u v u -⨯=⨯⨯=

代入（2.27）中，就有 ,)

,,(2F EG r r r n r L v u uu uu -=∙= ,)

,,(2F EG r r r n r M v u uu uv -=∙=

.)

,,(2F EG r r r n r N v u uu vv -=∙=

另一方面，对关系式0=∙dr n 进行微分，便得

,02=∙+∙r d n dr dn

由此得出

∏∙-=∙=.2dr dn r d n

第二类基本量还可以用另外的形式来表示，由于u r 、v r 在切平面上，所以 ,0,0=∙=∙n r n r v u

将上两式微分后得

,0,0=∙+∙=∙+∙u v uv u u uu n r n r n r n r

.0,0=∙+∙=∙+∙v v vv v u uv n r n r n r n r

与（2.27）比较，我们得到

,u u uu n r n r L ∙-=∙=

,u v v u uv n r n r n r M ∙-=∙-=∙=

.v v vv n r n r N ∙-=∙=

2.曲面的第一基本形式

2.1曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 给出曲面S ：

),(v u r r = （2.2）

上的曲线)(C ：

)(,)(t v v t u u == （2.18）

或

[].)(),(t v t u r r =

对于曲线)(C 有

,dt dv r dt du r dt dr v u += 或者

.dv r du r dr u u +=

若以s 表示曲面上曲线的弧长，则

222)(dv r du r dr ds v u +==

.222

22dv r dudv r r du r v v u u ++=

令

,,,v v v u u u r r G r r F r r E ∙=∙=∙= （2.19 )

则有

.2222Gdv Fdudv Edu ds ++= （2.20）

这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧线。设曲线)(C 上两点),(),(10t B t A 则弧长为 ⎰⎰++==1010.)(2)(22t t t t dt dt dv G dt dv dt dv F dt du E dt dt ds s （2.20）是关于微分dv du ,的一个二次形式，称为曲面S 的第一基本形式。用I 表示：

,222Gdv Fdudv Edu I ++=

它的系数

v v v u u u r r G r r F r r E ∙=∙=∙=,,

称为曲面S 的第一类基本量。

曲面的第一基本形式在曲面论中占有非常重要的地位。 对于曲面的特殊参数表示),,(y x z z =有

{},),(,,y x z y x r =

则

{},,,0,1x

z p p r x ∂∂==