高一数学基础知识讲义函数及其性质

第二讲 函数及其性质

知识要点一：

函数及其相关概念

⑴映射：设,A B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射。 记作：:f A B →。

⑵象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果,a b 对应那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。

⑶一一映射：设,A B 是两个非空集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。

⑷函数：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈这里x 叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。

这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。 ⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。 ⑹区间：

定 义 名 称 符 号

{}x a x b ≤≤ 闭区间 [],a b {}x a x b << 开区间 (),a b

{}x a x b ≤< 半开半闭区间 [),a b {}x a x b <≤

半开半闭区间

(],a b

闭区间是包括端点，开区间不包括端点。实数集R 可以表示为(),-∞+∞，“∞”读作“无穷大”，例如：“3x ≥”可以表示为[)3,+∞，“4x <-”可以表示为(),4-∞-。

高考要求：

了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。

例题讲解：

夯实基础

一、判断下列关系哪些是映射。 1）,,:A Z B Z f ==平方； 2）,,:A R B R f +

==平方；

3）{}

11,,:A x x B R f =-≤<=求倒数；

4）{},0,1,:A N B f ==当n 为奇数时，1n →；当n 为偶数时，0n →； 5）{}

,Z A C Z B -

==正奇数，:21,f n m n →=-其中,n A m B ∈∈； 二、已知()23

,1

x f x x +=

-求()(),2f t f x +。 ()()()23

()1

223

2721

21

t f t t x x f x x x +=

-++++=

=

++-解：

三、求下列函数的定义域。 1）

21

23y x x =

+-

2）y =

2230

(3)(1)031

x x x x x x +-≠+-≠∴≠-≠解： 且

3）

1x y +=

{}

1101

10x 110x x x x x x x ⎧≠-⎪-≥⇒≤⎨-=≠∴≤≠-≠解： 0且 且

四、求函数解析式： 1）已知

,1)1(2

x

x x f -=求)(x f 。 2）已知569)13(2

+-=+x x x f ，求)(x f 。

2

2

1()11

()1()1x

f x x f x x x x

f x x =

-∴=

-∴=-Q 解：

222

21

313

(1)1

()965

93

21225

4848

t x t t t f x t t t t t x x -+=--∴=⋅-⋅+-+-++-+-+解： x=

= = =

3）已知)(x f 是二次函数，且满足

,2)()1(,1)0(x x f x f f =-+=求)(x f 。

222(0)(0)1(1)(1)2211x bx c a f C

x b x c x bx c x x bx a b bx x a b -+≠∴==+-++---=+++-=∴==-解：设a a a 2a

2()1f x x x =-+

4）若函数)(x f 满足方程a x R x ax x

f x af ,0,,)1

()(≠∈=+

为常数，且1±≠a ，求)(x f 。

222222211()()(1)1()()(2)a ()()a af f x a x x

a f x af a x x f x a x a a x a f x x

⎧+=⎪⎪⎨

⎪+=⎪⎩

=--=

解： （-1） （-1）

注意：求函数的解析式大致有如下几种方法：

①拼凑法；②换元法；③待定系数法；④解析法。注意因题型而选择方法。

小结：求函数的定义域，就是求使得该函数表达式有意义自变量的范围，大致有如下几种方法：①一次函数、二次函数的定义域是全体实数；

②函数表达式形式是分式的，分母不为0；

③函数表达式形式是根式的，如果开偶次方根，被开方式要大于等于零；如果开奇次方根，被开方式可以取全体实数；

④零指数幂与分数指数幂的底数不能为零；

⑤在有实际意义的解析式中，一定要由实际问题决定其定义域； ⑥多个限制条件取交集。 五、求下列函数的值域 1）

()

()4113(1)4115(3)43111

f x x x f f =-+-≤≤-=-⋅-+==-⋅+=-解： 2）

()[]

222

()241234

1

22

(2)224211(3)234317

1,7f x x x x x f f y =-+≤≤==⋅=⋅-⋅+==⋅-⋅+=∴∈解：