小学数学《找规律与定义新运算》练习题(含答案)
第07讲_定义新运算与找规律(二)_例题
定义新运算与找规律（二）整式的加减100％第七讲定义新运算与找规律（二）课程预览定义新运算与找规律（二）定义新运算找规律趣味课堂定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．例1． （1）若A ❀B 表示()()3A B A B +⨯-，则()32-❀()23-=________．（2）定义新运算为1b a b a a b =-+-M ，则()()2612=M M M _______．（3）运算*按右表定义，如321*=，那么()()2413***的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（4）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：2a a b b ⊕=+，()1ba b a ⊗=--， 那么()()42112⊗⊗⊕⊕=⎡⎤⎣⎦__________．（5）定义运算“∆”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ∆=-+， 则()()2211m m ∆-∆∆=⎡⎤⎣⎦________．* 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 1 4 2 3 2 1 3 4 44321课堂笔记点点精讲 定义符号定义符号 定义程序定义新运算板块一 定义新运算第七讲 定义新运算与找规律（二）例2．定义运算：()()()()1111121a b a a a a b b∆=++++++-，（1）当4321x ∆=时，x =___________；（2）当2105y ∆=时，y =___________；（3）当20152016m n ∆=时，m =___________，n =___________．例3．（1）定义一种新运算“⊕”：S a b =⊕，其运算原理如图1所示的程序框图，则式子5436⊕-⊕=___________．（2）对正整数n 定义()!11n n n =⨯-⨯⨯，如图2是求10!的程序框图，则在判断框内应填的条件是（ ） A ．10i < B ．10i > C ．11i ≤D ．10i ≤定义程序 开始输入a 、b()1S a b =+()1S b a =+?a b >输出S 结束 是否 图1图2开始输入ns s i =⨯输出S结束否 1i =，1s =1i i =+ 是例4．按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，请你探索第2015次输出的结果为______________．1. 定义运算“*”：a ba b a b⨯*=+． （1）20151111*****=个________________；（2）若20155526a a a a ******=个，则a =________________．2. 下图程序输出结果为________________．点点精练 1a =，1b =2b b =是否3a ≤1a a =+开始 结束输出结果 输入x5x +12x 输出x 为奇数x 为偶数第七讲 定义新运算与找规律（二）常见数列： 1 3 5 7 9 …… 21n -（n 为正整数）2 4 6 8 10 …… 2 4 8 16 32 …… 2 5 10 17 26 …… 03 8 15 24 …… 2 6 12 20 30 …… 1 3 6 10 15 ……11 23 5…… （斐波那契数列）x -x +x -x +x -…… x + x -x + x -x +……例5． 定义一个新的数字i ，已知21i =-，4221i i i =⋅=，54i i i i =⋅=，以此类推，则2016i =______．例6． 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数． 如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依次类推，则2016a =_______．例7．一列数0b ，1b ，2b ，…，具有下面的规律，21n n b b +=，221n n n b b b ++=+，若01b =，则2015b =_______．课堂笔记 点点精讲找规律数字规律表格规律板块二 找规律数字字母规律图形规律例8． 定义一种对于三位数abc （a 、b 、c 不完全相同）的“F 运算”：重排的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为0）． （1）579经过三次“F 运算”得__________；（2）假设abc 中a b c >>，则abc 经过一次“F 运算”得______（用代数式表示）；（3）猜想：任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个定值_______．例9．由于()()()111nn n ⎧-⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，所以我们通常把()1n -称为符号系数．（1）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是_______，第n 个式子是________（n 为正整数）．（2）观察下列单项式：13x -，2215x ，3335x -，4463x ，…按此规律，第五个单项式是________，第n 个单项式是__________；（3）计算：()122n a b a b+-+-； （4）请你根据（2）式写出一个当n 为偶数时值为1，当n 为奇数时值为0的式子．例10．（1）观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，…， 则n 个等式是______________________；（2）已知2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…， 若288a ab b+=⨯（a 、b 为正整数），则a b +=___________；第七讲 定义新运算与找规律（二）（3）何小旭在一本书中发现了下面三个奇怪的等式：11313122+=⨯；558.218.213636+=⨯；121231312525+=⨯何小旭想除了上述三个之外应该还有这样奇怪的式子，于是何小旭进一步研究， 不但写出了很多奇怪的等式，还找到了内在的规律：如果一个数为()bb a a>， 另一个数为______时（用a 、b 表示），可以构成类似上述奇怪的等式．例11．如图，正方形ABCD 、DEFH 的边长都是5cm ，点P 从点D 出发，到点A ，然后沿箭头所指方向运动（经过点D 时不拐弯），则从出发开始连续运动2014cm 时，它离______点最近，此时它距该点_________cm ．例12．如图，已知青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳落在标有数字1的顶点上，…，则第2016次跳后所停的顶点对应的数字为（ ） A ．5B ．2C ．3D ．4例13．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿黄 绿 蓝 紫图形规律ABDEFH12345例14．正整数按下图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字_________．例15．已知2m ≥，2n ≥，且m 、n 均为正整数，若将n m 进行如下方式的“分解”，则：（1）在52的“分解”中最大的数是__________；（2）若3m 的“分解”中最小的数是31，则m =_________．例16．在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a ij (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a ij ，规定如下：当i j ≥时，1ij a =；当i j <时，0ij a =．例如：当2i =，1j =时，211ij a a ==．按此规定，13a =_____；表中的25个数中，共有_____个1；计算：111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅的值为________．表格规律1251017...4361118 (9)871219...1615141320 (25242322)21......↓↓↓↓←↓↓↓←←↓↓←←←↓←←←←第一列第二列第三列第四列第五列第一行第二行第三行第四行第五行1 1 233322 3 5 7 9 3235 427 94325 27 2911 343 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15a 21a 22 a 23 a 24 a 25 a 31a 32 a 33 a 34 a 35 a 41a 42 a 43 a 44 a 45 a 51a 52 a 53 a 54 a 55第七讲 定义新运算与找规律（二） 1. 2015201523+的个位数字是________．2. 探究数学“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”．则T =_______．3. 已知下列等式：①3211=②332123+=③33321236++=④33332123410+++=……由此规律可知，第n 个等式是_______________________．4. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D ．请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数：1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是___________（用含n 的代数式表示）．点点精练横扫学霸1.把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，…，点O处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A接触时，指针指向_______（东、南、西、北），当圆与2012所对应的点接触时，指针指向_______（东、南、西、北）．2.观察下列等式：1223113221⨯=⨯；1334114331⨯=⨯；2335225332⨯=⨯；3447337443⨯=⨯；⨯=⨯；…6228668226以上每个等式中两边数字分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们成这类的等式为“数字对称等式”．（1）根据上述格式反应的规律填空，使式子成为“数字对称等式”；①______⨯275=572⨯_______；②请写一个“数字对称等式”：______⨯______=_______⨯_______；（2）设这类等式左边两位数的十位数为a，个位数字为b，且29≤+≤，写出表示“数a b字对称等式”一般规律式子（含a、b，不化简）；第七讲 定义新运算与找规律（二）3. 将1，2，3，…，100，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()13a b a b +--中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这50个值的和的最小值．4. 记12n n S a a a =+++，令12n n S S S T n +++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”．已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，求15，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”．。
定义新运算练习题
定义新运算练习题一、选择题1. 下列哪个选项不是新定义运算的示例？A. 对于任意实数a和b，定义a*b=a+b+abB. 对于任意自然数a和b，定义a#b=a×b+1C. 对于任意整数a和b，定义a△b=a-b+1D. 对于任意实数a和b，定义a⊕b=a×b2. 如果定义新运算a@b=a×b+a+b，那么3@4的值是：A. 27B. 19C. 25D. 233. 根据新定义a*b=a+b-ab，计算2*3的结果：A. 1B. 5C. 7D. 3二、填空题4. 定义新运算a⊗b=a×b-a-b+1，计算5⊗6的结果为______。
5. 如果a⊕b表示a的b次方，那么2⊕3等于______。
6. 定义新运算a&b=a×b÷(a+b)，计算4&6的结果为______。
三、解答题7. 定义新运算a⊥b=a^2-b^2，求5⊥3的值。
8. 定义新运算a⊕b=a×b-a-b，计算8⊕5的值，并解释运算规则。
9. 定义新运算a⊞b=a+b+ab，如果a=2，b=3，求a⊞b的值。
四、应用题10. 某学校定义了一种新运算a⊝b=a×b+a+b，现在需要计算4个学生的平均分，已知他们的分数分别为85、90、78、88，用新定义的运算求出平均分。
11. 定义新运算a⊟b=a×b-a-b+1，如果a=3，b=5，求a⊟b的值，并解释运算规则。
12. 某数学竞赛中，定义了一种新运算a⊡b=a×b+a-b，现在有两组数字，第一组为2、3、4，第二组为5、6、7，求每组数字新运算的和。
五、开放性问题13. 设计一种新运算a⊣b，使得对于任意正整数a和b，a⊣b的值总是大于a和b的乘积。
请给出运算定义，并证明你的设计满足条件。
14. 如果定义新运算a⊤b=a×b+a-b，现在有一系列数字，a1=1, a2=2, a3=3, ..., an=n，求a1⊤a2⊤a3⊤...⊤an的值。
小学数学六年级奥数《定义新运算(二)》练习题(含答案)
小学数学六年级奥数《定义新运算（二）》练习题（含答案）一、填空题1.规定:a ※b =(b+a )×b ,那么(2※3)※5= .2.如果a △b 表示b a ⨯-)2(,例如3△444)23(=⨯-=,那么,当a △5=30时, a= .3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .4.已知a ,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2-=⊗ab b a ,那么[]=⊗⊕⊕⊗)53()86(4 .5.x 为正数,<x >表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .6.如果a ⊙b 表示b a 23-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x ⊙5比5⊙x 大5时, x = .7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= .8.我们规定:符号○表示选择两数中较大数的运算,例如:5○3=3○5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:5△3=3△5=3.请计算:=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛••25.210623799343.03323625.026176.0 .9.规定一种新运算“※”: a ※b =)1()1(++⨯⋅⋅⋅⨯+⨯b a a a .如果(x ※3)※4=421200,那么x = .10.对于任意有理数x , y ,定义一种运算“※”，规定:x ※y=cxy by ax -+,其中的c b a ,,表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x ※m=x (m ≠0),则m 的数值是 .○ △ △ ○二、解答题11.设a ,b 为自然数,定义a △b ab b a -+=22.(1)计算(4△3)+(8△5)的值;(2)计算(2△3)△4;(3)计算(2△5)△(3△4).12.设a ,b 为自然数,定义a ※b 如下:如果a ≥b ,定义a ※b=a -b ,如果a <b ,则定义a ※b= b - a .(1)计算:(3※4)※9;(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说,下面两式是否成立?①a ※b= b ※a ;②(a ※b )※c= a ※(b ※c ).13.设a ,b 是两个非零的数,定义a ※b ab b a +=. (1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a 是一个自然数,且a ※3=2,试求出a 的值.14.定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a ⊙b . 比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;(2)说明,如果c 整除a 和b ,则c 也整除a ⊙b ;如果c 整除a 和a ⊙b ,则c 也整除b ;(3)已知6⊙x =27,求x 的值.———————————————答 案——————————————————————1. 100.因为2※3=(3+2)×3=15,所以(2※3)※5=15※5=(5+15)×5=100.2. 8.依题意,得305)2(=⨯-a ,解得8=a .3. 42.18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.4. 98.原式]1313[4)]253()186[(4⊕⊗=-⨯⊕-+⊗=982254254]11313[4=-⨯=⊗=-+⊗=5. 11.<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.6. 6.x ⊙5-5⊙x=(3 x -2×5)-(3×5-2 x )=5 x -25,由5 x -25=5,解得x=6.7. 45678.8. 21. 因为•6.0○322617=○322617=,0.625△853323=△853323=, •3.0△319934=△319934=,106237○10623725.2=○4949=, 所以,原式2149318532=++=.9. 2.令x ※3=y ,则y ※4=421200,又4212002726252413532244⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=,所以y=24,即x ※3=24.又24=432323⨯⨯=⨯,故x =2.10. 4.由题设的等式x ※y=cxy by ax -+及x ※m=x (m ≠0),得000=⋅⋅-+⋅m c bm a ,所以bm=0,又m ≠0,故b=0.因此x ※y=ax -cxy.由1※2=3,2※3=4,得⎩⎨⎧=-=-46232c a c a 解得a =5,c =1. 所以x ※y =5x -xy ,令x =1,y=m 得5-m=1,故m =4.11. (1)原式()()62585834342222=⨯-++⨯-+=;(2)原式()323222⨯-+=△4=7△4=37474722=⨯-+;(3)原式()525222⨯-+=△()19434322=⨯-+△132831319131922=⨯-+=.12. (1)原式=(4-3)※9=1※9=9-1=8;(2)因为表示a ※b 表示较大数与较小数的差,显然a ※b= b ※a 成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(3※4)※9=8,而3※(4※9)=3※(9-4)=3※5=5-3=2.13. (1)按照定义有2※36132332=+=,3※412253443=+=. 于是(2※3)※4613=※4=3127451324241361344613=+=+. 2※(3※4)=2※60012012425252421225122521225=+=+=. (2)由已知得233=+aa ① 若a ≥6,则3a ≥2,从而233>+a a 与①矛盾.因此a ≤5,对a =1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a =3符合要求.14. (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.(2)如果c 整除a 和b ,那么c 是a 和b 的公约数,则c 整除a ,b 的最大公约数,显然c 也整除a ,b 最小公倍数,所以c 整除最小公倍数与最大公约的差,即c 整除a ⊙b .如果c 整除a 和a ⊙b ,由c 整除a 推知c 整除a ,b 的最小公倍数,再由c 整除a ⊙b 推知, c 整除a ,b 的最大公约数,而这个最大公约数整除b ,所以 c 整除b .(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.因为6与x 的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x 的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到x30.⨯63⨯=所以15x.=。
定义新运算练习题(含解析)
定义新运算练习题1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。
2．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。
3．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。
4.如果2△3＝2＋3＋4＝9，5△4＝5＋6＋7＋8＝26，照这样计算，求9△5。
5．定义一种新运算：3△2＝3＋33＝36，5△4＝5＋55＋555＋5555＝6170，那么7△4的结果是。
6．定义新运算：若2※3＝2＋3＋4，5※4＝5＋6＋7＋8，求2※（3※2）的值。
7.规定：符号“△”为选择两数中较大的数，“○”为选择两数中较小的数．例如5△2＝5，3○6＝3，求[（8○3）△5]×（4○7）。
附加题：8.2▽4＝8，5▽3＝13，3▽5＝11，9▽7＝25．按此规律计算，求10▽12。
定义新运算-解析1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。
【分析】根据规定a*b＝30×a＋20×b，计算3*8时，a＝3，b＝8。
运用新定义计算。
【解答】a*b＝30×a＋20×b3*8＝30×3＋20×8＝2502．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。
【分析】△的运算是两数和与两数差的乘积；据此解答即可。
【解答】6.2△3.8＝（6.2＋3.8）×（6.2﹣3.8）＝10×2.4＝243．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。
【分析】根据a△b＝2.5a﹣b，把4△5改写为2.5×4﹣5，算出结果，再用这个结果的2.5倍减6，即是（4△5）△6的结果。
定义新运算题目及答案解析-小学奥数
专题定义新运算知识点1直接运算型【基础训练】1、【★】设a, b都表示两个不同的数，规定：a4b=2x让3XR表示a的2倍加上b的3倍的和.(1)求4△ 7的值.(2)求24 3的值.【答案】(1) 29; (2) 13【解析】(1)找到a与b对应的数，根据定义的新运算，将算式中的a与b换成对应的数，再进行计算，即a=4,b=7, 4A 7=2X4+ 3X7=29(2)方法同上，即a=2, b=3, 2A3=2X2+ 3X3=13.2、【设a、b都表示两个不同的数，规定：aVb=aXk (a+b) . (1)求5V6V7的值. (2)求7、( 5V4)的值.【答案】107; 59【解析】(1)按照从左往右的顺序计算，①先算5V6=5X6- (5+6) =30—11=19,②再算19▽ 7=19X7— ( 19+7) =133-26=107,所以5V6V7=107.(2)有括号的要先算括号里面的，①先算5V4=5X4— (5+4) =20 —9=11,②再算7V 11=7X 11 —( 7+11) =77- 18=59,所以7N (5V4) =59.3、x,y表示两个数，规定新运算我"及"C如下:x^ry=2 X x+3 X,yxO y=6 X xX1y)求10^r2 的值.(2)求4。
25的值.【答案】26; 600【解析】(1)原式=2X1计3X2=26 (2)原式=6X 4X25=600【拓展提升】1、【★★★】规定：aD b=a- (a+ 1) + (a+2) +…+ (a+ b—1),其中a、b表示自然数.求1口10的值.【答案】5050【解析】1口100=1+2+3+- + 100= ( 1 + 100) X 100+2=50502、【★★★］已知x、y是任意有理数.我们规定：x☆y=x + y—1, xOy=xX于2. (1)求10^9.(2)求7。
8.(3)求4O：(6^8) ☆ (305)］的值.【答案】18; 54; 98【解析】(1) 10+9=10 + 9—1=18; (2) 708=7X*2=54(3)先算小括号里面的6+8和305, 6^8=6 + 8-1=13, 3。
小学奥数 定义新运算 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
【奥数专题】精编人教版小学数学五年级上册 定义新运算(试题)含答案与解析
经典奥数：定义新运算（专项试题）一．选择题（共6小题）1．对于两个数a、b．定义一种运算“*”，a*b＝3a+2b．则3*5＝（）A．19B．15C．6D．52．假设a#g＝（a+g）÷（a÷g），如果x#（5#1）＝6，那么x是（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.43．假设A※B表示A的3倍减去B的2倍，即A※B＝3A﹣2B．已知x※（4※1）＝7，那么x※4＝（）A．7B．9C．19D．364．如果规定符号“☆”为选择两数中的较大数，“△”为选择两数中的较小数，例如：4☆6＝6，4△6＝4，那么[（8△4）☆6]×（4☆8）＝（）A．48B．24C．325．将2020年2月2日记成20200202，这个数字从左往右、从右往左读都样，我们称这样的数为“世纪吉祥数”。
从2000年到2099年这样的“世纪吉祥数”有（）个。
A．15B．12C．9D．36．如果：a*b＝a×（b+3），则5*2＝5×（2+3）＝25．同理可得：4*8＝（）A．32B．56C．44二．填空题（共6小题）7．如果规定：符号*表示选择两个数中较大的数，#表示选择两个数中较小的数，例如3*8＝8，3#8＝3，则4.5#5.4＝，（3.6*15.6）÷（1.2#1.8）＝。
8．根据运算定律，填一填。
78.6×※+☆×2.4＝78.6×10，※＝，☆＝。
9．如果A△B表示3×A+B，例如2△4表示3×2+4＝10，那么，5△2＝。
10．规定A△B＝5A﹣B，如果X△（5△2）＝1；那X＝。
11．如果1*3＝1+11+111＝123，2*4＝2+22+222+2222＝2468，3*3＝3+33+333＝369，那么5*4＝．12．有这样两种运算◆和■：规定a◆b＝a×b﹣a，a■b＝a÷b+a．则（6◆5）■4＝．三．解答题（共9小题）13．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），按收方由密文→明文（解密），已知加密规则为明文a，b，c对应的密文a+1，2b+4，3c+9，例如明文1，2，3对应的密文为2，8，18，如果接收的密文7，18，15，则解密得到的明文是什么？14．对于实数x、y，定义一种新的运算*，x*y＝ax+by，其中a、b为常数，等式的右边是通常的加法与乘法运算，已知3*2＝7，2*3＝8，则1*1是多少？15．定义一种新运算：a*b＝3a+5ab+kb，其中a和b为任意两个不为0的数，k为常数．比如：2*7＝3×2+5×2×7+7k（1）如果5*2＝7*3，8*5与5*8的值相等吗？请说明理由（2）当k取什么值时，对于任何不同的a和b，都有a*b与b*a，即新运算“*”符合交换律？16．1*5＝1+11+111+1111+11111，2*4＝2+22+222+2222，3*3＝3+33+333，4*2＝4+44，那么（1）7*4＝？（2）210*2＝？17．a和b都是正整数，设a※b表示从a起b个连续正整数的和。
定义新运算题目及答案解析-小学奥数
专题定义新运算知识点1 直接运算型【基础训练】1、【★】设a，b都表示两个不同的数，规定：a△b=2×a＋3×b，表示a的2倍加上b的3倍的和.（1）求4△7的值.（2）求2△3的值.【答案】（1）29；（2）13【解析】（1）找到a与b对应的数，根据定义的新运算，将算式中的a与b换成对应的数，再进行计算，即a=4,b=7，4△7=2×4＋3×7=29；（2）方法同上，即a=2，b=3，2△3=2×2＋3×3=13.2、【★★】设a、b都表示两个不同的数，规定：a▽b=a×b－（a+b）.（1）求5▽6▽7的值.（2）求7▽（5▽4）的值.【答案】107；59【解析】（1）按照从左往右的顺序计算，①先算5▽6=5×6－（5+6）=30－11=19，②再算19▽7=19×7－（19+7）=133－26=107，所以5▽6▽7=107.（2）有括号的要先算括号里面的，①先算5▽4=5×4－（5+4）=20－9=11，②再算7▽11=7×11－（7+11）=77－18=59，所以7▽（5▽4）=59.3、【★★】x,y表示两个数,规定新运算“☆”及“○”如下:x☆y=2×x+3×y，x○y=6×x×y.（1）求10☆2的值.（2）求4○25的值.【答案】26；600【解析】（1）原式=2×10＋3×2=26；（2）原式=6×4×25=600【拓展提升】1、【★★★】规定：a□b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1），其中a、b表示自然数.求1□100的值.【答案】5050【解析】1□100=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=50502、【★★★】已知x、y是任意有理数.我们规定：x☆y=x＋y－1，x○y=x×y－2.（1）求10☆9.（2）求7○8.（3）求4○[（6☆8）☆（3○5）]的值.【答案】18；54；98【解析】（1）10☆9=10＋9－1=18；（2）7○8=7×8－2=54（3）先算小括号里面的6☆8和3○5，6☆8=6＋8－1=13，3○5=3×5－2=13.再计算中括号里面的13☆13=13＋13－1=25.最后计算4○25=4×25－2=98.知识点2 反解未知型【拓展提升】1、【★★★】设x、y都表示两个不同的数，规定：x□y=x×y+2A，已知3□4=16.（1）求常数A是多少？（2）求3□（4□5）【答案】2；76【解析】（1）建立方程，3×4+2A=16，解得A=2.（2）先算括号里面的，①4□5=4×5+2×2=20+4=24，②再算3□24=3×24+2×2=72+4=762、【★★★★】规定：()()()121a b a a a a b ∆=+++++++-，其中a 、b 表示自然数. 已知1465x ∆∆=（）,求x .【答案】x=2【解析】先求1△4=1+2+3+4=10，再算x △10=65，那么x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+…+（x+9）=65,即10x+45=65，解得x=2知识点3 总结规律型【拓展提升】1、【★★★】已知：13123*=⨯⨯，242345*=⨯⨯⨯，4545678*=⨯⨯⨯⨯，…（1）求33*的值.（2）求25*的值.【答案】60；7202、【★★★】已知：12111∇=+，23222222∇=++，444444444444∇=+++，……（1）求73∇的值 。
小学数学《定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一） 直接运算型【例1】（★★★奥数网题库）两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为ab.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算： （1）(269)4等于多少？（2）108（200819）分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0 （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（200819）=10813=4[前铺]定义运算“⊙”如下：2a ba b +⊕=． （1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008 （2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）2007⊕2009＝200720092+＝2008；2006⊕2008＝200620082+＝2007（2）1⊕5⊕9＝152+⊕9＝3⊕9＝392+＝6 1⊕（5⊕9）＝1⊕592+＝1⊕7＝172+＝4；【例2】 （★★★奥数网题库）定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）， （1） 求5※7，7※5； （2） 求12※（3※4），（12※3）※4；（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.[巩固]定义新的运算a b a b a b ⊕=⨯++，求： （1）62⊕，26⊕（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕（3）这个运算有交换律吗？分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23； 1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23（3）由于a b a b a b ⊕=⨯++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.[拓展]如果a 、b 、c 是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a ＋b ＝b ＋a ，（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：（a ，b ）*（c ，d ）＝（a ×c ＋b ×d ，a ×c －b ×d ）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律．分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律， （2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律． 【例3】 （★★★奥数网题库）我们规定：a cb d ＝ad+bc ，求2516 4021的值． 分析：2516 4021＝25×21+40×16＝525+640＝1165[巩固]我们规定：a cb d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5． 求45610的值．分析：45610＝4×10－5×6＝40－30＝10【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25[巩固] 定义两种运算“⊕”“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b=a+b-1，a ⊗b=a ×b-1，计算：4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）分析：⊕68=6+8-1=13，⊕35=3+5-1=7，137⊕=13+7-1=19，4⊗19=4×19-1=754[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）=75【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝a b3+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b＝a b-23+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891[巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b2+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝a b 12+-． 求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)； (2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析: （教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数，所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001【例6】 （★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；[(1)(1)][(1)1]m m mn m nn n n m m m CP P =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯．求：123456666666,,,,,C C C C C C分析：16C=（16P）÷（11P）=6÷1=6；26C=(6×5)÷（2×1）=15；36C=（6×5×4）÷（3×2×1）=20；46C=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；56C=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；66C=（66P）÷（66P）=1[前铺]对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：24P ＝4×3＝12．34P ＝4×3×2＝24．求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，．分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720．[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二） 反求未知数【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）【例8】（★★★★奥数网题库）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=ymx yx 26+⋅⋅ (其中m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=6121221224m m ⨯⨯==⨯+⨯+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所以6295429==222911⨯⨯⨯+⨯[拓展]x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k=64，k 不是自然数， 所以m=l ，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）计算机程序语言【例9】 （★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____．分析：观察表格可得：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是余数因为1999÷9＝222……1，所以C ＝1．[前铺]下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．分析：运算器输入的A是被除数，B是除数，输出的是商减去1，2008÷4＝502，502-1=501，所以C＝501．【例10】（★★★★奥数网题库）有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3.(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？分析：（1）输入9经过A装置以后结果是9＋5＝14，再经过B装置以后结果是14÷2＝7，经过C装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．（2）最后经过装置C后结果是100，那么输入装置C的数字是100＋4＝104，那么输入A的数字是104－5＝99，输入D的数是99÷3＝33，输入B的数是33×2＝66．所以最开始输入的数是66．[拓展]例题中的装置，输入7，输出的还是7，用尽量少的装置应怎样连接？分析：C·D·A·B（四）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．导游告诉他，部落算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按古老部落的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．分析: 由部落算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得“7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★★★奥数网题库）先阅读下面材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个整数（见下表）：'(1263)32'17(12631)31'8(12632)3xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是正整数，，被整除是正整数，，被除余是正整数，，被除余 将明文转换成密文，如：，即R 变为L ； ，即A 变为S ．按上述方法将明文HAK 译为密文．分析：这是一道非常有意思的题目．明文HAK 对应16、11、18；16217233++=，即H 变为V ；1118123++=，即A 变为S ；1863=，即K 变为Y ，所以将明文HAK 译为VSY ． 1．（例2）规定：A ※B ＝B ×B ＋A ， （1）计算（2※3）※（4※1）， （2）这个运算有交换律吗？分析：（1）2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36．（2）因为B ※A ＝A ×A ＋B ≠ B ×B ＋A ，所以 这个运算不符合交换律 2．（例6）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1） 求3！，4！，5！； （2） 证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！ 分析：（1）3！＝3×2×1＝6； 4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！） ＝7×（6！） ＝7！3．（例7）“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，按此规则，如果n ⊙8＝68，那么n 的值是多少？分析：观察条件可知⊙前面一个数表示相加的开始一个数，⊙后面一个数表示连续相加的个数，所以n⊙8＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（n＋7）＝8×n＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝8×n＋28＝68，所以n＝5．4．（例8）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，所以A＝55．（例10）有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置c：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6.这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A就写成B·A，输入4，结果是35.装置A·C·D连结，输入8，结果是多少？分析：输入8经过A装置以后，结果为8×5＝40，经过C装置以后，结果为40÷4＝10，经过D装置以后，结果成为10－6＝4．所以最终结果为4．。
小学数学定义新运算典型例题
小学数学定义新运算典型例题1. 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
2. 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。
3.对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。
4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]5.如果1※2＝1＋112※3＝2＋22＋2223※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算：（3※2）×5。
小学数学定义新运算典型例题答案：例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
分析A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。
分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c ＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。
分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。
解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
小学数学《定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一） 直接运算型【例1】 （★★）定义运算“⊕”如下：()2a b a b ⊕=+÷（1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008（2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（1）2007⊕2009=(2007+2009)÷2＝2008；2006⊕2008=(2006+2008)÷2＝2007（2）1⊕5⊕9＝（1+5）÷2⊕9＝3⊕9＝（3+9）÷2＝61⊕（5⊕9）＝1⊕（5+9）÷2＝1⊕7＝（1+7）÷2＝4；【例2】 （★★★）n*b 表示n 的3倍减去b 的2倍，例如3*2＝3×3－2×2＝5.根据以上的规定，10*6应等于_____.分析：根据新运算“*”的规定：10*6＝10×3－6×2＝18.[巩固] 设a △b ＝a ×a －2×b ，那么，5△6＝______，5△2＝_____.分析：(1)5△6＝5×5－2×6＝13(2)5△2＝5×5－2×2＝21【例3】 （★★★）我们规定：a c b d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5. 求45 610的值.分析：45 610＝4×10－5×6＝40－30＝10[前铺]如果用|A,B|表示A 与B 中较大数与较小数之差，求：（1）|2+3，2×3|；（2）||3，5|，3|分析：（1）|2+3，2×3|=|5，6|=6-5=1（2）||3，5|，3|=|5-3，3|=|2，3|=3-2=1【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）设m 、n 是两个数，规定：m*n ＝4×n－(m ＋n)÷2，这里“×，＋，一，÷”是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“*”是新的运算符号. 计算：3*(4*6)＝ _____.分析：4*6＝4×6－（4＋6）÷2＝19，3*19＝4×19－（3＋19）÷2＝65.[巩固] 规定：a ▽b ＝（a ＋b ）÷2+2×a ，则3▽（6▽8）是多少？.分析：6▽8＝（6＋8）÷2+2×6＝19，3▽19＝（3＋19）÷2+2×3＝17，所以3▽（6▽8）＝17.【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝(a+b)÷2，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝(a+b-1)÷2.求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)；(2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析:（1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数， 所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以 1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001[巩固] 定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝(a+b)÷3，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝(a+b-1)÷3，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b ＝(a+b-2)÷3.求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891【例6】 （★★★北京市第十一届“迎春杯”赛）如果 3*2=3＋33=362*3=2＋22＋222=2461*4=1＋11＋111＋1111=1234那么4*5=( ).分析：4*5=4＋44＋444＋4444＋44444=49380[巩固]规定： 6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234.求7*5.分析：7*5=7+77+777+7777+77777=86415【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1） 求3！，4！，5！；（2） 证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！分析：（1）3！＝3×2×1＝6；4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！）＝7×（6！）＝7！[拓展] 对自然数m ，n （n ≥m ），规定m n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）.例如：24P ＝4×3＝12.34P ＝4×3×2＝24.求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，.分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120.（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720.[总结] 这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二）反求未知数【例8】 （★★★★奥数网题库）假设A*B 表示A 的3倍减去B 的2倍，即A*B ＝3A －2B.已知w*(4*1)＝7，求w*4的值．分析：4*1＝3×4－2×1＝10，所以w*(4*1)＝w*10＝3×w －10×2＝7，所以w ＝9.那么w*4＝ 9*4＝3×9－4×2＝19.[前铺]对于数 a ， b ， c ， d ，规定〈a ， b ， c ，d 〉=2ab-c ＋d.已知〈1，3，5，x 〉=7，求x 的值.分析：＜1，3， 5，x ＞＝2×1×3-5＋x ＝1＋x=7，x=6【例9】（★★★★奥数网题库）对于两个数a、b，a△b表示a＋b－1.计算：（1）（7△8）△6（2）（6△A）△A＝84，求A.分析：（1）7△8＝7＋8－1＝14，14△6＝14＋6－1＝19；（2）6△A＝6＋A－1＝5＋A，（5＋A）△A＝5＋A＋A－1＝2×A＋4＝84，所以A＝40.[拓展]如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？分析：（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，由6a-18=12，解得a=5【例10】（★★★★第八届“祖冲之杯”数学邀请赛）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，A＝5[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837.老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同. 请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ .分析: 由红毛族算式“8×8＝8 ”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8.由“9×3＝3”知“3”是0.“7”是5.于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”.[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，A×B=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=A×B=2008×4=8032[拓展]如果运算器输出的是下面的规律，“？”应填什么呢？分析：通过观察，15÷3=5=4+1，28÷7=4=3+1，60÷15=4=3+1，所以，第四列的？处应填（7+1）×8=64，第五列的？处应填：52÷13-1=4-1=31．（例1）a、b是自然数，规定：a△b＝a×5＋b÷3，求8△9的值.分析：8△9＝8×5＋9÷3＝432．a*b表示a的3倍减去b的一半，例如，1*2=1×3-2÷2=2，根据这个规定，计算：（1）10*6 （2）7*（2*4）.分析：10*6=10×3-6÷2=27，7*（2*4）=7*（2×3-4÷2）=7*4=7×3-4÷2=193．（例5）定：A※B＝B×B＋A，计算（2※3）※（4※1）的值.分析：2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36.4．（例4）如果a◇b＝a×b－（a＋b），已知（3◇4）◇x=19，求x的值.分析：3◇4＝3×4－（3＋4）＝5，5◇x＝19，5×x－（5＋x）＝19，4x-5=19，4x=24，x=6.5．（例12）右下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，A÷B×2=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=A÷B=2008÷4×2=1004。
六年级奥数定义新运算及答案
六年级奥数定义新(Xin)运算及答案1.规(Gui)定:a※b=(b+a)×b,那(Na)么(2※3)※5= 。
2.如(Ru)果a△b表(Biao)示,例(Li)如3△4,那(Na)么,当a△5=30时(Shi), a= 。
3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= 。
4.已知a,b是任意有理数,我们规定: a⊕b= a+b-1,,那么。
5.x为正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是。
6.如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x= 。
7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= 。
8.规定一种新运算“※”: a※b=.如果(x※3)※4=421200,那么x= 。
9.对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是。
10.设a,b为自然数,定义a△b。
(1)计算(4△3)+(8△5)的值；(2)计算(2△3)△4；(3)计算(2△5)△(3△4)。
11.设a，b为自然数，定义a※b如下:如果a≥b，定义a※b=a-b，如果a<b，则定义a※b= b-a。
(1)计算:(3※4)※9；(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说，下面两式是否成立?①a※b= b※a;②(a※b)※c= a※(b※c)。
12.设a,b是两个非零的数,定义a※b。
小学数学《定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一） 直接运算型【例1】（★★★奥数网题库）两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为ab.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算： （1）(269)4等于多少？（2）108（200819）分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0 （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（200819）=10813=4[前铺]定义运算“⊙”如下：2a ba b +⊕=． （1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008 （2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）2007⊕2009＝200720092+＝2008；2006⊕2008＝200620082+＝2007（2）1⊕5⊕9＝152+⊕9＝3⊕9＝392+＝6 1⊕（5⊕9）＝1⊕592+＝1⊕7＝172+＝4；【例2】 （★★★奥数网题库）定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）， （1） 求5※7，7※5； （2） 求12※（3※4），（12※3）※4；（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.[巩固]定义新的运算a b a b a b ⊕=⨯++，求： （1）62⊕，26⊕（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕（3）这个运算有交换律吗？分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23； 1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23（3）由于a b a b a b ⊕=⨯++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.[拓展]如果a 、b 、c 是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a ＋b ＝b ＋a ，（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：（a ，b ）*（c ，d ）＝（a ×c ＋b ×d ，a ×c －b ×d ）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律．分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律， （2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律． 【例3】 （★★★奥数网题库）我们规定：a cb d ＝ad+bc ，求2516 4021的值． 分析：2516 4021＝25×21+40×16＝525+640＝1165[巩固]我们规定：a cb d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5． 求45610的值．分析：45610＝4×10－5×6＝40－30＝10【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25[巩固] 定义两种运算“⊕”“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b=a+b-1，a ⊗b=a ×b-1，计算：4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）分析：⊕68=6+8-1=13，⊕35=3+5-1=7，137⊕=13+7-1=19，4⊗19=4×19-1=754[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）=75【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝a b3+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b＝a b-23+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891[巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b2+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝a b 12+-． 求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)； (2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析: （教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数，所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001【例6】 （★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；[(1)(1)][(1)1]m m mn m nn n n m m m CP P =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯．求：123456666666,,,,,C C C C C C分析：16C=（16P）÷（11P）=6÷1=6；26C=(6×5)÷（2×1）=15；36C=（6×5×4）÷（3×2×1）=20；46C=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；56C=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；66C=（66P）÷（66P）=1[前铺]对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：24P ＝4×3＝12．34P ＝4×3×2＝24．求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，．分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720．[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二） 反求未知数【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）【例8】（★★★★奥数网题库）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=ymx yx 26+⋅⋅ (其中m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=6121221224m m ⨯⨯==⨯+⨯+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所以6295429==222911⨯⨯⨯+⨯[拓展]x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k=64，k 不是自然数， 所以m=l ，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）计算机程序语言【例9】 （★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____．分析：观察表格可得：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是余数因为1999÷9＝222……1，所以C ＝1．[前铺]下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．分析：运算器输入的A是被除数，B是除数，输出的是商减去1，2008÷4＝502，502-1=501，所以C＝501．【例10】（★★★★奥数网题库）有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3.(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？分析：（1）输入9经过A装置以后结果是9＋5＝14，再经过B装置以后结果是14÷2＝7，经过C装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．（2）最后经过装置C后结果是100，那么输入装置C的数字是100＋4＝104，那么输入A的数字是104－5＝99，输入D的数是99÷3＝33，输入B的数是33×2＝66．所以最开始输入的数是66．[拓展]例题中的装置，输入7，输出的还是7，用尽量少的装置应怎样连接？分析：C·D·A·B（四）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．导游告诉他，部落算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按古老部落的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．分析: 由部落算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得“7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★★★奥数网题库）先阅读下面材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个整数（见下表）：'(1263)32'17(12631)31'8(12632)3xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是正整数，，被整除是正整数，，被除余是正整数，，被除余 将明文转换成密文，如：，即R 变为L ； ，即A 变为S ．按上述方法将明文HAK 译为密文．分析：这是一道非常有意思的题目．明文HAK 对应16、11、18；16217233++=，即H 变为V ；1118123++=，即A 变为S ；1863=，即K 变为Y ，所以将明文HAK 译为VSY ． 1．（例2）规定：A ※B ＝B ×B ＋A ， （1）计算（2※3）※（4※1）， （2）这个运算有交换律吗？分析：（1）2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36．（2）因为B ※A ＝A ×A ＋B ≠ B ×B ＋A ，所以 这个运算不符合交换律 2．（例6）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1） 求3！，4！，5！； （2） 证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！ 分析：（1）3！＝3×2×1＝6； 4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！） ＝7×（6！） ＝7！3．（例7）“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，按此规则，如果n ⊙8＝68，那么n 的值是多少？分析：观察条件可知⊙前面一个数表示相加的开始一个数，⊙后面一个数表示连续相加的个数，所以n⊙8＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（n＋7）＝8×n＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝8×n＋28＝68，所以n＝5．4．（例8）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，所以A＝55．（例10）有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置c：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6.这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A就写成B·A，输入4，结果是35.装置A·C·D连结，输入8，结果是多少？分析：输入8经过A装置以后，结果为8×5＝40，经过C装置以后，结果为40÷4＝10，经过D装置以后，结果成为10－6＝4．所以最终结果为4．。
第五单元创新题型[定义新运算、程序框图、探究规律]专项练习-五年级数学(解析版)人教版
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2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列第五单元：创新题型·[定义新运算、程序框图、探究规律]1．学校的电脑开机密码是“◎□☆◎”，屏幕给出的提示是：☆×15＝60，36÷☆＝□，◎÷□＝◎，这个开机密码是( )。
【答案】0940【分析】已知☆×15＝60，根据“积÷一个因数＝另一个因数”，由此求出☆的值；把☆的值代入36÷☆＝□中，求出□的值；把□的值代入◎÷□＝◎中，求出◎的值；由此得出这个开机密码。
【详解】因为☆×15＝60，所以☆＝60÷15＝4；把☆＝4代入36÷☆＝□，得：36÷4＝□，所以□＝36÷4＝9； 把□＝9代入◎÷□＝◎，得：◎÷9＝◎，所以◎＝0；所以，这个开机密码是0940。
【点睛】本题考查含有字母式子的求值，把未知数的值代入式子中，求出得数。
2．规定()a b a b b =-÷，2m 40.3=，则m =( )。
【答案】2.6【分析】根据()a b a b b =-÷，2m 40.3=可知，a 2m =，b 4=，代入后可得方程()2m 440.3-÷=，解方程，即可求出m 的值。
【详解】由题意可得：()2m 440.3-÷=解：()2m 4440.34-÷⨯=⨯2m 4 1.2-=2m 44 1.24-+=+2m 5.2=2m 2 5.22÷=÷m 2.6=【点睛】关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为方程进行计算。
3．定义2a b a b =-※ ，则()234※※=( )。
【答案】193【分析】先把a ＝4，b ＝2代入2a b -中，计算出242-的结果为14，再把a ＝14，b ＝3代入2a b -中，计算出2143-即可。
六年级思维训练4 定义新运算(原卷+解析)
六年级思维训练定义新运算1、规定：如果A大于B，则【A-B】=A-B，如果A等于B，则【A-B】=0，如果A小于B，则【A-B】=B-A，根据上述规律计算：【4.1-1.3】+【2.3-5.6】+【3.2-2.3】=2、对于正整数 A与B，规定A*B=A×（A+1)×（A+2)×……×（A+B+1)。
如果(X*3）*2=3660，那么X=3、国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用，核检码可以根据前面9个数字按照一定的顺序算得。
如某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检验码的计算顺序是①7×10+1×9+0×8+7×7+1×6+7×5+5×4+4×3+3×2=207②207÷11=18 (9)③11-9=2，这里的2就是该书号的检验码。
依照上面的顺序，求书号ISBN7-303-07618-□的检验码。
4、若A 、B 、C 为任意正整数，定义：[A,B,C]=（A ×B+C,D)；（D,E ）-（F ，G ）=（D ×G-E ×F ）则[11,2,5]-[3,1,7]=( , )5、有ABCD 四种计算机装置，装置A ；将输入的数乘以5；装置B 将输入的数加上3；装置C 将输入的数除以4，装置D 将输入的数减去6，这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B ，就写成A*B ，输入4，结果就是23，输入装置B 后面连接A ，就写成B*A ，输入4，其结果是35①装置A*C*D 连接，输入19，结果是多少？②装置D*C*B*A 连接，输入什么数，结果是96？6、规定A@B===+⨯++⨯2010@2009322@1)111，求，已知）（（X B A B A7、用A*B 表示A 和B 中较大的数除以较小的数所得的余数。
四年级定义新运算题库
四年级定义新运算题库一、定义新运算题目。
1. 设a、b都表示数，规定a△b = 3× a - 2× b，- 求3△2，2△3的值。
- 这个运算“△”有交换律吗？- 求(17△6)△2，17△(6△2)的值。
- 这个运算“△”有结合律吗？解析：- 对于a△b = 3× a - 2× b，那么3△2 = 3×3−2×2=9 - 4 = 5；2△3=3×2−2×3 = 6 - 6 = 0。
- 因为3△2≠2△3，所以这个运算“△”没有交换律。
- 先计算17△6 = 3×17−2×6 = 51 - 12 = 39，则(17△6)△2 = 39△2 = 3×39−2×2 = 117 - 4 = 113；又6△2 = 3×6−2×2 = 18 - 4 = 14，17△(6△2)=17△14 = 3×17−2×14 = 51 - 28 = 23。
- 因为(17△6)△2≠17△(6△2)，所以这个运算“△”没有结合律。
2. 规定a⊙ b=a× b-(a + b)，求5⊙4，4⊙5的值。
解析：- 当a = 5，b = 4时，5⊙4 = 5×4-(5 + 4)=20 - 9 = 11；当a = 4，b = 5时，4⊙5 = 4×5-(4 + 5)=20 - 9 = 11。
3. 对于两个数a、b，规定a⊕ b=a× b + a + b，求6⊕2的值。
解析：- 当a = 6，b = 2时，6⊕2 = 6×2+6 + 2 = 12 + 6+2 = 20。
4. 规定a*b = 4× a+3× b，求(3*4)*2的值。
解析：- 先计算3*4 = 4×3+3×4 = 12 + 12 = 24，则(3*4)*2 = 24*2 = 4×24+3×2 = 96+6 = 102。
找规律及定义新运算.学生版
内容 基本要求略高要求较高要求找规律 学会基本的找规律方法 能做常见的找规律题型，能根据题意找出相应的对应关系 能做综合试题 定义新运算 熟悉基本题型能根据题意进行运算板块一、找规律模块一、代数中的找规律【例1】 点1A 、2A 、3A 、…、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）．A ．2008、2009-B ．2008-、2009C ．1004、1005-D ．1004、1004-【例2】 如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点（包括这两点）之间移动，点B 在1-、0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（ ）．A ．b a -B ．1b a - C ．11a b- D ．2()a b -【例3】 一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，114b a，…(0≠ab )，其中第7个式子 是 ，第n 个式子是 (n 为正整数)．【例4】 搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.① ② ③【例5】 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，。
请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当中考要求找规律及定义新运算数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C 第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(用含n的代数式表示)。
【例6】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90︒，然后在桌面上按逆时针方向旋转90︒，则完成一次变换．若骰子的）A．6 B．5 C．3 D．2【例7】观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算181624...8n+++++（n是正整数）的结果为（）A．2(21)n+B．2(21)n-C．2(2)n+D．2n【例8】观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有个．图3图2图1【例9】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的13610...，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的14916...，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）1+8=?1+8+16=?1+8+16+24=?……图1 图2A．15 B．25 C．55 D．1225【例10】如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．【例11】下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。
小学数学《找规律与定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）例题分析【例1】（☆）下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：⑴ 3，5，7，11，15，19，23，……⑵ 6，12，3，27，21，10，15，30，……⑶ 2，5，10，16，22，28，32，38，24，……⑷ 2，3，5，8，12，16，23，30，……分析：这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。
因为：⑴除了15其余都是质数；⑵除了10其余都是3的倍数；⑶除了5其余都是偶数；⑷相邻两数之间的差依次是1，2，3，4，5，6，……，成等差数列。
【例2】（☆）下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：（1） 11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 （）10 10 5 11 6 15 （）15 6 1（2） 12 43 6 94 8 12 165 10 15 ( ) 256 12 18 24 30 367 ( ) 21 28 35 42 49分析：（1）这个是著明的“杨辉三角”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
（）处分别填上5、20。
其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。
中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。
在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
（2）每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。
【例3】（☆☆）在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数字之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2，0，0，8 ？1，9，9，9，8，5，1，3，7，6，7，3，3，9，2，7，1，9，9，6，……分析：运用奇偶性进行分析，这些数的奇偶性依次是：奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，……四个奇数一个偶数循环出现，而2，0，0，8均为偶数，必定不会出现在相邻的位置上。
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小学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）内容概述1．找规律这类题目，要求我们能够观察数列或数表中每一个数自身的特征（如奇偶性，整除性，是否为质数或者合数等等）、相邻数之间的差或商的变化特征（常见的有等差数列，等比数列，菲波那契数列，复合数列等等），有时候还需要考虑连续多个数之间的和差倍关系，甚至对于某个自然数的余数数列。
2．定义新运算这类题目要求我们严格按照题目中给出的公式和新运算符号的定义进行计算。
某些比较复杂的题也会用到解方程的方法。
譬如：已知a*b=2a+3b, 3*x=21, 求x的值；有6+3x=21，则x=5。
例题分析【例1】（☆）下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：⑴ 3，5，7，11，15，19，23，……⑵ 6，12，3，27，21，10，15，30，……⑶ 2，5，10，16，22，28，32，38，24，……⑷ 2，3，5，8，12，16，23，30，……分析：这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。
因为：⑴除了15其余都是质数；⑵除了10其余都是3的倍数；⑶除了5其余都是偶数；⑷相邻两数之间的差依次是1，2，3，4，5，6，……，成等差数列。
【例2】（☆）下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：（1） 11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 （）10 10 5 11 6 15 （）15 6 1（2） 12 43 6 94 8 12 165 10 15 ( ) 256 12 18 24 30 367 ( ) 21 28 35 42 49分析：（1）这个是著明的“杨辉三角”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
（）处分别填上5、20。
其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。
中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。
在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
（2）每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。
【例3】（☆☆）有一串数“1、3、11、47、﹡、1439、…”中“*”所代表的数是多少？分析：将原数列中每个数分别加上1，则可得：2，4，12，48，*+1，1440，……，猜测相邻两项的倍数依次是2，3，4，5，6，……，那么*+1=48×5=240=1440÷6，说明猜测无误，则*=240-1=239，原数列的第n 项=[ 第(n -1)项+1 ]×n -1。
【例4】（☆☆）在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数字之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2，0，0，8 ？1，9，9，9，8，5，1，3，7，6，7，3，3，9，2，7，1，9，9，6，……分析：运用奇偶性进行分析，这些数的奇偶性依次是：奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，……四个奇数一个偶数循环出现，而2，0，0，8均为偶数，必定不会出现在相邻的位置上。
【例5】（☆☆）从1开始连续n 个自然数的和的个位数字可以有多少种不同的数字？分析：1≤n ≤20时，前n 个自然数之和的个位数字依次是1，3，6，0，5，1，8，6，5，5，6，8，1，5，0，6，3，1，0，0。
当n =21，22，23，……时，前n 个自然数之和的个位数字与n =1，2，3，……时相同，所以从1开始连续n 个自然数的和的个位数字可以有6种（0，1，3，5，6，8）不同的数字。
【例6】（☆☆☆）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，……一共2005项，其中一共有多少个是6的倍数？分析：这串数从第三个起，每个数都是它前面两个数的和，所以这是一个菲波那契数列。
这串数除以6的余数依次是：1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，……，注意：计算余数的时候不用把原数计算出来，可以直接用菲波那契数列的规律计算余数，如前两个数是5，2，则下一个数是（5+2）/6的余数，为1 。
余数数列从第一个起，每24个循环一次，每一次循环中有两个数是6的倍数，而2005 =24×83+13，所以这2005个数中一共有2×83+1=167个是6的倍数。
例3和例5都是要找出循环的规律，然后用周期问题加以解决。
【例7】（☆☆☆）有一列数：1，1999，1998，1，1997，1996，1，1995，……从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么第2000个数是多少？分析：观察可知，从第一个数起，每三个数中就有一个是1，而去掉1剩余的数是以1999为首项的连续递减自然数，又2000=3×666+2，说明第2000个数是（1999+1）-2×666-1=667。
补充一问：这一列数中最小的数是多少？分析：表面上看好象最小的数是1，其实经计算可得，后边几项为1，3，2，1，1，0，1，1，0……，即从第2998项开始，后边的数以1，1，0的方式循环，所以这个数列中最小的数是0。
【例8】（☆☆☆）如果b a 表示)23(b a -，例如2524354=⨯-⨯= ，那么5 x 比x 5大5时，那么x 等于几？分析：根据定义5 x =103523-=⨯-x x ，x 5x x 215253-=-⨯，则5215103+-=-x x ，解得x =6。
【例9】（☆☆☆）对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：)1()2)(1(-+++=*b a a a a b a 如果36602)3(=**x ，那么x 等于几？分析：法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个乘数。
3660=60 61⨯，即3660260=*，则603=*x ；60= 543⨯⨯，即33*=60，所以x 等于3。
法二：可以先将（x*3）看作一个整体y ，那么就是y*2=3660，y*2=y （y+1）=3660=60×61,所以y=60，那么也就有x*3=60，60= 543⨯⨯，即33*=60，所以x 等于3。
【例10】（☆☆☆）规定aΔb=a(a+2)－(a+1)－b, 计算：（2Δ1）+…+（11Δ10）=______。
分析：这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和。
但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b=a-1，所以，我们不妨把b=a-1代入原定义。
aΔb=a(a+2)－(a+1)－b 就变成了aΔ（a-1）=a(a+2)－(a+1)－（a-1）=2a .所以2Δ1=22，3Δ2=23，……，11Δ10=211，则原式=22+23+24+…+211=50516231211=-⨯⨯。
小结：这里需要补充一个公式：从1开始的连续自然数的平方和公式：1×1+2×2+3×3+……+n×n=n(n+1)(2n+1) ÷6 .【例11】（☆☆☆）规定数a 、b 之差（大减小）即为aΔb,那么（…（（（1Δ2）Δ3）Δ4）Δ…Δ99）Δ100=___。
分析：1Δ2=1，（（1Δ2）Δ3）=1Δ3=2，（（（1Δ2）Δ3）Δ4）=2，（（（（1Δ2）Δ3）Δ4）Δ5=3，3Δ6=3，3Δ7=4，4Δ8=4，4Δ9=5，5Δ10=5，……，观察可知运算的结果依次是1，2，2，3，3，4，4，5，5，……，则原式=100÷2=50.【例12】（☆☆☆☆）定义b a *为a 与b 之间（包含a 、b ）所有与a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如7*14=（7+9+11+13）÷4=10，18*10=（18+16+14+12+10）÷5=14。
在算术□*（19*99）=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？分析：19*99=（19+99）÷2=59，所以方格中填的数一定大于80。
如果填的是个奇数，那么只能是80×2-59=101；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是80×2-60=100。
因此所填的数可能是100和101。
附加题目说明：附加题目供老师根据上课时间选讲，学生版讲义没有附加题目。
【附1】（第四届“华杯赛”复赛第8题）将自然数按如下顺次排列：1 2 6 7 15 16…3 5 8 14 17 …4 9 13 …10 12 …11 …在这样的排列下，3排在第二行第-列，13排在第三行第三列，问：1993排在第几行第几列?分析：奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增.第n 斜行中最大的数是n S =21n(n+1).第62斜行中最大的数是21×62×63=1953.第63斜行中最大的数是1953+63。
2016.所以1993位于第63斜行.第63斜行中数是由下向上递增，左边第-住数字是1954.因此，1993位于第63斜行由上向下数第(1993—1954+1)=40位.即原阵列的第(63—40+1)=24行，第40列.【附2】在下面各数阵中，第10行的第3个数分别是几（从左往右数）?分析：（1）48 ；观察可知在图形中第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第9行有9个数，所以第9行的最后一个数为45，那么第10行为：46，47，48，49，…（2）53 ；行数为奇数的数字从左往右写，行数为偶数的数字从右往左写，45在第9行最右端，第10行最右端第一个数为46，所以第10行的数从右往左是：46，47，48，49，50，51，52，53，54，55，从左往右数第三个数为53。
【附3】（1995年小学数学奥林匹克初赛民族卷第10题）有-列数：2、3、6、8、8、…从第三个数起，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这-列数的第80个数应是 .分析：这串数为2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、8、6、…，除去前两个数外，其余各数每六个-组，按6、8、8、4、2、8的顺序重复出现.(80—2)÷6=78÷6=13，因此，这串数的第80个数是8.练习1、找规律（1）3，4，6，9，14，22，（ ），56……（2）1，4，8，13，19，（ ），34，（ ），……（3）2，3，5，7，11，13，（ ），19……（4）1，2，2，4，8，32，（ ）……（5）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（ ），（ ）……2、有一列数3，1000，997，3，994，991，……从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么在这列数中最小的数是几？它第一次出现时在这列数的第几个？3、一串数排成一行：头两个数都是1，从第三个数起，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，...问：这串数的前100个数中（包括其100个数）有多少个偶数？4、定义A ◎B 表示A 、B 之间所有奇数的和，例如12◎7=9+11=20，计算（2◎10）◎19。