控制系统的频域分析与校正

频率特性定义
稳定的线性定常系统对正弦输入信号 Xsin ω t 的输出的稳态分量 y(t)与输入正弦信号的复数 比。
y(t ) Y sin[t ( )]
其中：
Y A( ) | G ( j ) | 为系统的幅频特性。 X
() G( j) 为系统的相频特性。
闭环系统频率特性
通常， 描述闭环系统频率特性的性能指标主要有谐振 峰值 M p 、谐振频率 p 、带宽和带宽频率 b 。其中： 谐振峰值 M p 指系统闭环频率特性幅值的最大值。 谐振频率 p 指系统闭环频率特性幅值出现最大值时 的频率。 带宽频率 b 指当系统 G( j ) 的幅频特性 G( j) 下降到
绘制系统的Nichols曲线。
14.2 基于频域法的控制系统 稳定性能分析
14.2.1 频域法的稳定性判定和 稳定裕度概述

Nyquist稳定判据


频域响应的分析方法最早应用就是利用开环 系统的Nyquist图来判定闭环系统的稳定性， 其理论基础是Nyquist稳定性定理。 内容是：如果开环模型含有m个不稳定极点， 则单位负反馈下单变量闭环系统稳定的充要 条件是开环系统的Nyquist图逆时针围绕(1,j0)点m周。
14.2.1 频域法的稳定性判定和 稳定裕度概述

关于Nyquist定理的进一步解释： 若系统的开环模型 G( s) H ( s) 为稳定的，则 当且仅当 G( s) H ( s) 的Nyquist图不包围(1,j0)点，闭环系统是稳定的。如果Nyquist图 顺时针包围(-1,j0)点p次，则闭环系统有p个不 稳定极点。 若系统的开环模型 G ( s ) H ( s ) 不稳定，且有p 个不稳定极点，则当且仅当 G( s) H ( s) 的 Nyquist图逆时针包围(-1,j0)点p次，闭环系统 是稳定的。若Nyquist图逆时针包围(-1,j0)点q 次，则闭环系统有q－p个不稳定极点。
对数幅相图
对数幅相图即 Nichols 曲线。 是将对数幅频特性和对数相频特性 2 张图，在 角频率 为参变量的情况下合成一张图。 即以相位 ( ) 为横坐标，以 20lg A( ) 为纵坐标， 以 为参变量的一种图示法。
14.1.2 MATLAB频域分析的 相关函数
bode(G) bode(G,w) bode(G1,'r--',G2,'gx',…) [mag,phase,w] = bode(G) 绘制系统 Bode 图。系统自动选取频率范围 绘制系统 Bode 图。 由用户指定选取频率范围 同时绘制多系统 Bode 图。 图形属性参数可选 返回系统 Bode 图相应的幅值、 相位和频率向 量。可使用 magdb = 20*log10(mag)将幅值 转换为分贝值 [mag,phase] = bode(G,w) 返回系统 Bode 图与指定 w 相应的幅值、 相位。 可使用 magdb = 20*log10(mag)将幅值转换 为分贝值
14.1.2 MATLAB频域分析的 相关函数
nyquist(sys) 绘制系统 Nyquist 图。系统 自动选取频率范围 nyquist(sys,w) 绘制系统 Nyquist 图。由用 户指定选取频率范围 nyquist(G1,'r--',G2,'gx',…) 同时绘制多系统 Nyquist 图。 图形属性参数可选 [re,im,w] = nyquist(sys) 返回系统 Nyquist 图相应的 实部、虚部和频率向量 [re,im] = nyquist(sys,w) 返回系统 Nyquist 图与指定 w 相应的实部、虚部
主要内容(续)
14.2.2 基于频域法的控制系统稳定判定相 关MATLAB函数 14.2.3 MATLAB频域法稳定性判定实例 14.3 控制系统的频域法校正 14.3.1 频域法超前校正及实例 14.3.2 频域法滞后校正及实例 14.3.3 频域法超前滞后校正及实例 本章小结

极坐标图
极坐标图即 Nyquist 曲线。 系统的频率特性表示为：
G( j) A()e j ( ) p() jq() ，
频率特性 G ( j ) 是输入信号频率 的复变函数，当频率从
0 连续变化时， G ( j ) 端点的极坐标轨迹。
极坐标图
MATLAB 在绘制 Nyquist 曲线时频率是从 连 续变化的。 自动控制原理的教材中一般只绘制频率从 0 部分曲 线。可以分析得出，曲线在范围 0 与 0 内， 是以横轴为镜像的。
14.2.1 频域法的稳定性判定和 稳定裕度概述
对数频率稳定判据 当 p=0 时，在开环对数幅相特性曲线 20lg G 0 的范围 内，相频特性曲线 ( ) 对 线的正穿（由下至上）次 数与负穿（由上向下）次数相等，则系统闭环稳定； 当 p 0 时， 在开环对数幅相特性曲线 20lg G 0 的范围 内， 若相频特性曲线 ( ) 对 线的正穿次数与负穿次数 之差为 p/2，则系统闭环稳定。
14.2.1 频域法的稳定性判定和 稳定裕度概述

系统相对稳定性的判定
系统的稳定性固然重要，但它不是唯一刻画 系统性能的准则，因为有的系统即使稳定， 其动态性能表现为很强的振荡，也是没有用 途的。因为这样的系统如果出现小的变化就 可能使系统不稳定。此时还应该考虑对频率 响应裕度的定量分析，使系统具有一定的稳 定裕度。
14.2.1 频域法的稳定性判定和 稳定裕度概述
相角稳定裕度 系统极坐标图上 G ( j ) 模值等于 1 的矢量与负实轴的 夹角：
(c ) (180 ) 180 (c )
相角稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时，系统所 允许的最大相位滞后。
14.2.1 频域法的稳定性判定和 稳定裕度概述
MATLAB 与控制系统仿真
第14章 控制系统的频域分析与校正
主要内容


14.1 控制系统的频域分析 14.1.1 频率特性概述 14.1.2 频率特性的不同表示方法 14.1.3 MATLAB频域分析的相关函数 14.1.4 MATLAB频域分析实例 14.2 基于频域法的控制系统稳定性分析 14.2.1 频域法稳定性判定和稳定裕度概述
幅值稳定裕度是系统极坐标图上 G ( j ) 与负实轴交 点（ g ）的模值 G(g ) 倒数：
1 Kg G(g )
在对数坐标图上，采用 Lg 表示 K g 的分贝值，有
Lg 20lg Kg 20lg A(g )
幅值稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时，系统 增益所允许的最大增大倍数。
频率特性

频率特性和传递函数的关系：
G( j) G(s) |s j

频率特性曲线有三种表示形式，即：


对数坐标图 极坐标图 对数幅相图
Nyquist稳定判据

如果开环模型含有m个不稳定极点，则单 位负反馈下单变量闭环系统稳定的充要 条件是开环系统的Nyquist图逆时针围绕 (-1,j0)点m周。
14.1.2 MATLAB频域分析的 相关函数
ngrid 在 Nichols 曲线图上绘制等 M 圆和等 N 圆。要注意在对数坐标中，圆的形状会 发生变化 ngrid('new') 绘制网格前清除原图，然后设置 hold on。后续 Nichols 函数可与网格绘制在 一起
注：上述函数的帮助文档导读
稳定裕度

系统的相对稳定性包括相角稳定裕度和幅值 稳定裕度。
相角稳定裕度为系统极坐标图上 G ( j ) 模值等于 1 的 矢量与负实轴的夹角：
(c ) (180 ) 180 (c )
相角稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时，系统所 允许的最大相位滞后。
稳定裕度（续）
频率特性曲线表示

频率特性曲线有三种表示形式，即：

对数坐标图 极坐标图 对数幅相图


对数坐标图
对数坐标图即 Bode 图， 由对数幅频特性和对数相频特性曲线两 张图组成。 对数幅频特性幅度的对数值 L( ) 20lg A( )(dB) 与频率
的关系曲线；
对数相频特性是频率特性相角 ( ) 与频率 的关系曲线。 对数幅频特性的纵轴为 L() 20lg A()(dB) ，采用线性分度； 横坐标为角频率 ，采用对数分度。 对数相频特性的纵轴为 ( ) ，单位为度，采用线性分度； 横坐标为角频率 ，也采用对数分度。横坐标采用对数分 度，扩展了其表示的频率范围。
2
绘制系统的Bode图。
14.1.3 MATLAB频域分析实例
注：演示例3 系统的开环传递函数为

K Gk ( s) 2 ( s 10s 500)
绘制K取不同值时系统的Bode图。
14.1.3 MATLAB频域分析实例
注：演示例4 单位负反馈k ( s) 2 (s s)(s 10)
14.1.2 MATLAB频域分析的 相关函数
nichols(G) nichols(G,w) 绘制系统 Nichols 图。 系统自动选取频率范围 绘制系统 Nichols 图。 由用户指定选取频率范 围 nichols(G1,'r--',G2,'gx',…) 同时绘制多系统 Nichols 图。 图形属性参数可 选 [mag,phase,w] = nichols(G) 返回系统 Nichols 图相应的幅值、 相位和频率 向量。可使用 magdb = 20*log10(mag)将幅值 转换为分贝值 [mag,phase] = nichols(G,w) 返回系统 Nichols 图与指定 w 相应的幅值、 相 位。可使用 magdb = 20*log10(mag)将幅值转 换为分贝值