样本平均数分布的方差
第2课时 用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差
第2课时用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差教学目标【知识与技能】会用样本平均数、方差估计总体的平均数方差，并进行简单的分析.【过程与方法】经历用样本平均数、方差估计总体的平均数方差的过程，积累统计经验.【情感态度】培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义.【教学重点】会用样本平均数、方差估计总体的平均数方差，并进行简单的分析.【教学难点】理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断.教学过程一、创设情境，导入新课某园艺场采摘苹果，边采摘、边装箱，共装了2 000箱.苹果的市场收购价为4元/kg.现在要估计出这2 000箱苹果的销售收入，我们可以怎样去做？方法一：全面调查，就是一箱箱的称，再根据苹果的总质量估计这2 000箱苹果的销售收入.方法二：采取抽样的方法.该园艺场从中任意抽出了10箱苹果，称出它们的质量，算出平均质量，再估计2 000箱苹果的总质量，从而估计这2 000箱苹果的销售收入.你觉得哪一种方法最合适？【教学说明】教师出示一个实际问题让学生思考，比较两种调查方法，提出自己的观点，激发学生探究的兴趣.二、合作探究，探索新知1.上述问题中，如果10箱苹果的质量分别如下(单位：kg)16，15，16.5，16.5，15.5，14.5，14，14，14.5，15你能估计出2 000箱苹果的销售收入是多少吗？怎样计算？学生尝试解答：(1)算出它们的平均数：x＝15.15kg(2)把x作为每箱苹果的平均质量，由此估计出2 000箱苹果的销售收入为：4×15.15×2 000＝121 200(元)2.小结：现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数.但是要注意：用样本的平均数估计总体的平均数，如果样本容量太小，往往差异较大.【教学说明】学生通过解决问题，体会用样本平均数估计总体平均数的方法和过程，教师强调应该注意的问题.3.我们可以用样本的平均数估计总体的平均数，那么，怎样用样本的方差估计总体的方差呢？问题：甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的白糖，怎样比较这两种包装机那一台质量更好呢？4.学生尝试解答：从中各随机抽出10袋，测得实际质量如下(单位：g)甲：501 500 503 506 504 506 500 498 497 495乙：503 504 502 498 499 501 505 497 502 499(1)分别计算两个样本的平均数；(2)分别计算两个样本的方差；(3)哪台包装机包装的质量较稳定？解：(1)x甲＝(501＋500＋503＋506＋504＋506＋500＋498＋497＋495)÷10＝501，x乙＝(503＋504＋502＋498＋499＋501＋505＋497＋502＋499)÷10＝501；(2)s2甲＝110[(501－501)2＋(500－501)2＋…＋(495－501)2]＝12.6，s2乙＝110[(503－501)2＋(504－501)2＋…＋(499－501)2]＝6.4；(3)∵s2甲＝s2乙，∴乙包装机包装10袋糖果的质量比较稳定.5.小结：我们可以用样本的方差来估计总体的方差，从而估计总体数据的波动情况.【教学说明】教师引导学生解决实际问题，经历用样本方差估计总体方差的过程，对解题过程有一个清晰的认识.三、示例讲解，掌握新知【例】王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%.现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示.(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；(2)试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？【分析】(1)根据平均数的求法求出平均数，再用样本估计总体的方法求出产量总和即可解答.(2)要比较哪个山上的杨梅产量较稳定，只要求出两组数据的方差，再比较即可解答.解：(1)x甲＝40(千克)，x乙＝40(千克)，总产量为40×100×98%×2＝7 840(千克)；(2)s2甲＝14[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38，s2乙＝14[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24，∵s2甲＞s2乙，∴乙山上的杨梅产量较稳定.【教学说明】教师要引导学生先观察图像获取相关的信息，然后结合问题尝试进行解答，教师对相关的方法进行总结.四、练习反馈，巩固提高为调查八年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成家庭作业所需时间(单位：min)分别为：60，55，75，55，55，43，65，40.(1)求这组数据的众数、中位数.(2)求这8名学生每天完成家庭作业的平均时间；如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时间不能超过60分钟，问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？解：(1)在这8个数据中，55出现了3次，出现的次数最多，即这组数据的众数是55；将这8个数据按从小到大的顺序排列为40，43，55，55，55，60，65，75，其中最中间的两个数据都是55，即这组数据的中位数是55.(2)这8个数据的平均数是56，所以这8名学生每天完成家庭作业的平均时间为56分钟.所以该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求.五、师生互动，课堂小结1.现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数.但是要注意：用样本的平均数估计总体的平均数，如果样本容量太小，往往差异较大.2.我们可以用样本的方差来估计总体的方差，从而估计总体数据的波动情况.课后作业完成同步练习册中本课时的练习.。
样本方差与总体方差
样本⽅差与总体⽅差⼀、⽅差（variance)：衡量随机变量或⼀组数据时离散程度的度量。
概率论中⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的⽅差（样本⽅差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平⽅值的平均数。
概率论中的⽅差表⽰⽅法：样本⽅差，⽆偏估计、⽆偏⽅差（unbiased variance）。
对于⼀组随机变量，从中随机抽取N个样本，这组样本的⽅差就是Xi^2平⽅和除以N-1。
总体⽅差，也叫做有偏估计，其实就是我们从初⾼中就学到的那个标准定义的⽅差，除数是N。
统计中的⽅差表⽰⽅法：⼆、为什么样本⽅差的分母是n-1？为什么它⼜叫做⽆偏估计？简单的回答，是因为因为均值你已经⽤了n个数的平均来做估计在求⽅差时，只有(n-1)个数和均值信息是不相关的。
⽽你的第ｎ个数已经可以由前(n-1)个数和均值来唯⼀确定，实际上没有信息量。
所以在计算⽅差时，只除以(n-1)。
那么更严格的证明呢？样本⽅差计算公式⾥分母为n-1的⽬的是为了让⽅差的估计是⽆偏的。
⽆偏的估计(unbiased estimator)⽐有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的，尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最⼩才更有意义，这个问题我们不在这⾥探讨；不符合直觉的是，为什么分母必须得是n-1⽽不是n才能使得该估计⽆偏。
⾸先，我们假定随机变量的数学期望是已知的，然⽽⽅差未知。
在这个条件下，根据⽅差的定义我们有由此可得是⽅差的⼀个⽆偏估计，注意式中的分母不偏不倚正好是！这个结果符合直觉，并且在数学上也是显⽽易见的。
现在，我们考虑随机变量的数学期望是未知的情形。
这时，我们会倾向于⽆脑直接⽤样本均值替换掉上⾯式⼦中的。
这样做有什么后果呢？后果就是，如果直接使⽤作为估计，那么你会倾向于低估⽅差！这是因为：换⾔之，除⾮正好，否则我们⼀定有,⽽不等式右边的那位才是的对⽅差的“正确”估计！这个不等式说明了，为什么直接使⽤会导致对⽅差的低估。
概率分布函数的均值方差和标准差
概率分布函数的均值方差和标准差
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数；标准差是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。
１.方差和标准差都是对一组（一维）数据进行统计的，反映的是一维数组的离散程度；而协方差是对2维数据进行的，反映的是2组数据之间的相关性。
２.标准差和均值的量纲（单位）就是一致的.，在叙述一个波动范围时标准差比方差更便利。
方差可以看作就是协方差的一种特定情况，即2组与数据完全相同。
３.协方差只表示线性相关的方向，取值正无穷到负无穷。
４.协方差只是说明了线性相关的方向，说道无法表明线性相关的程度，若来衡量有关程度，则采用相关系数。
生物统计学简答
生物统计学简答题1.实验设计的基本要求①实验目的要明确。
安排实验时，需要对试验的预期结果及其生产和科研中的作用做到心中有数。
②试验条件要有代表性。
试验条件要符合代表性，实验结果才能符合实际被推广利用。
③试验结果要可靠。
试验误差越小，精确度越高，试验具有的价值才能被体现和应用。
④试验结果要能重演。
在相同的条件下，重复进行相同试验要能得到与原试验结果相同或相近的结果。
2.试验设计的作用①合理的试验设计对科学试验非常重要,它不仅能够节省人力、物力、财力和时间，更重要的是它能够减少试验误差，提高试验的精确度,取得真实可靠的试验资料，为统计分析得出正确的推断和结论奠定基础。
②在生物学研究中，一项工作要取得客观理想的结果，必须做到试验目的明确、试验设计合理、试验操作精细，并采用正确的统计方法对试验结果进行分析。
3、控制试验误差的途径：①选择纯合一致的试验材料。
②改进操作制度，使之标准化。
③精心选择试验单位，各试验单位的性质和组成要求均匀一致。
④采用合理的试验设计4.试验设计的基本原则及作用：①重复。
作用：（1）可以通过不同重复之间的差异估计实验误差；（2）降低试验误差，有效提高试验的精确度；②随机。
作用：（1）不掺杂任何人为主观因素，避免任何主观成见（2）与重复结合，能提供无偏的试验误差估计值；③局部控制。
作用：（1）可以控制和减少非试验因素对试验结果的影响，最大限度地降低试验误差。
5.试验误差的来源①试验材料固有的差异。
指试验中各处理的供试材料在其遗传和生长发育方面或多或少存在着差异。
②试验条件不一致。
指各试验单位的构成不一致和各试验单位所处的外部环境条件不一致，即非试验因素的不一致。
③操作技术不一致。
包括各处理或处理组合在培养、采样、滴定、比色等操作存在时间上或质量上的差别。
④偶然性因素的影响。
包括人工无法控制的环境差异和遗传差异、试验工作中疏忽大意造成的错误等引起的误差6.随机区组设计、优缺点：随机区组设计是根据局部控制和随机原理进行的，将试验单位按性质不同分成与重复数一样多的区组，使区组内非试验因素差异最小而区组间非试验因素差异最大，每个区组均包括全部的处理。
用样本估计总体(频率分布直方图、平均数、方差等)
s2
1 10
4 (2 5)2
2 (5 5)2
4 (8 5)2
7.2
3．（2015 江苏苏州市高三上调考）如图是小王
所做的六套数学附加题得分（满分 40）的茎叶
图，则其平均得分为 ．
JSY33
第 3 题图
【考点】茎叶图.
【答案】 31．
【分析】 根据茎叶图的数据，得；
数据的平均分为
x = 18 28 30 32 38 40 =31． 6
55、在公路发展的早期，它们的趋势还能顺从地貌，即沿河流或森林的边缘发展。可 如今，公路已无所不在，狼、熊等原本可以自由游荡的动物种群被分割得七零八落。 与大型动物的种群相比，较小动物的种群在数量上具有更大的波动性，更容易发生杂 居现象。这段话主要讲述的是 。 A.公路发展的趋势 B.公路对动物的影响 C.动物生存状态的变化 D.不同动物的不同命运
56、从3月下旬到10月上旬，太阳在地球上直射位置的移动规律是： A.赤道→南回归线→赤道 B.赤道→北回归线→赤道 C.南回归线→赤道→北回归线
D.人权是个人权利和集体人权的统一
67、在觅食过程中，成百上千只蚂蚁在蚁穴和食物所在处之间来来往往，最终都能够 在相对最短时间内得到食物，却从来不会有拥堵现象出现。德国科学家赫尔冰发现， 避免道路拥堵是基于蚂蚁之间的交流。在一条路有可能出现拥堵时，返回的蚂蚁就向 迎面过来的同伴发出信息素，让它选择另一条路。他认为，人类可以采取相同方法减 少车辆拥塞现象。
这段文字的主旨是 。
A.城市发展面临危机 B.城市是人类文明的中心所在 C.城市的演进伴随着各种问题 D.城市要健康发展必须积极有效地应对各种挑战
69、1983年，沃伦和马歇尔发现人的胃内有幽螺菌(HP)，并分离培养成功，为常见的 胃病病因和诊治作出了划时代的贡献。世界上约1/3人口感染HP，我国感染率较高， 儿童占50%以上，成人占70%以上。HP主要通过口口传播，也可经中介物如餐具、牙 具或患者排泄物污染他人的手或食物从而导致感染。防止儿童感染HP，在防止青少年 胃病，促进儿童健康成长和社会公共卫生等方面都有重大意义。
样本方差的期望
样本方差
先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。
样本方差用来表示一列数的变异程度。
样本均值又叫样本均数。
即为样本的均值。
均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
公式
样本方差的公式为
简介
在许多实际情况下，人口的真实差异事先是不知道的，必须以某种方式计算。
当处理非常大的人口时，不可能对人口中的每个物体进行计数，因此必须对人口样本进行计算。
样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。
样本方差的无偏性
我们从一个样本取n个值y1，...，yn，其中n <N，并根据这个样本估计方差。
直接取样本数据的方差给出平均偏差的平均值：
样本方差分布
作为随机变量的函数，样本方差本身就是一个随机变量，研究其分布是很自然的。
在yi是来自正态分布的独立观察的情况下，Cochran 定理表明s2服从卡方分布：
如果大数定律的条件对于平方观测值同样适用，则s2是σ2的一致估计量。
可以看出，估计的方差趋于零。
在Kenney and Keeping （1951：164），Rose和Smith（2002：264）和Weisstein（n.d.）中给出了渐近等效的公式。
正态总体的样本均值和样本方差相互独立。
总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数知识要点整理
● 本章重点：1．了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，会作频数直方图和频率直方图．2．掌握均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数的计算方法．● 知识要点：1. 样本均值：∑=i x nx 1 2. 加权平均： 0,1,11>==∑∑==i ni i n i i i p p p x x3. 方差：∑∑==-=-=n i i n i i x x n x x n s 1221221)(1 标准差（均方差）2s s =4. 中位数：将数据),,2,1(n i x i=由小到大重新排列为**2*1n x x x ，，， ，其中位数（处于中间位置的数）⎪⎩⎪⎨⎧+=++为偶数为奇数n x x n x m x n n n )(21*12*2215. 众数：重复出现次数最多的那个数给定一组数据x 1, x 2, …, x n ，则这组数据的均值、方差和标准差分别为：∑==n j j x n x 11，∑=-=n j j x x n s 122)(1，∑=-=n j j x x n s 12)(1若存在一组数p 1, p 2, …, p n ，满足11=∑=n j j p ，则数据x 1, x 2, …, x n 的加权平均数为， ∑==n j j j x p n x 11● 例题示范 例1 设有一组5个数据: x 1=0.051, x 2=0.055, x 3=0.045, x 4=0.065, x 5=0.048. 记 0528.05151==∑=k k x x , 则∑=-51)(51k k x x =( )A.0B.0.0528C.150⨯.0528D. 1500000(.051.055.045.065.048)++++解 因为∑=-51)(51k k x x =∑∑==-51515151k k k x x =x x -= 0所以，应该选A ．例2 一组数据19，16，22，25，35，20，32，24的中位数是（ ）．A . 22B . 23C . 24D . 25解 因为将这组数据按大小顺序排列：35，32，25，24，22，20，19，16，所以这些数据的中位数为23)2224(21=+所以，应该选B ．例 3 设一组数据1x =0, 2x =1, 3x =2，它们的权数分别为1.01=p ,6.02=p , 3.03=p ，则这组数据的加权平均数是x = .解 加权平均数x =∑=31j j j x p =23.016.001.0⨯+⨯+⨯= 1.2 所以，应该填写：1.2。
均值
4．1．2．1 样本均值的数字特征可以证明，样本均值的数学期望（或称样本均值的均值）等于总体均值，即： (4.2)样本均值的方差有以下两种：1、当从无限总体抽样时，(4.3)2、当从有限总体不放回抽样时，(4.4)( N-n）/（N-1）称为有限总体的校正系数，通常情况下，N很大，N-1几乎等于N，所以校正系数可简化为1-n/M,方差也可简化为(4.5) ，n/N称为抽样比。
实际工作中当抽样比小于5%时，1-n/N也近似于1 ，故校正系数往往可以忽略不计。
若从有限总体放回抽样，这时，有限总体可视为无限总体，样本均值的方差(4.6)4．1．2．2 中心极限定理当总体X 服从正态分布N（μ，σ2）时，由正态分布的性质知，样本均值也服从正态分布，即∽N（μ，σ2/n）;当总体不服从正态分布时，的抽样分布又是怎么样一种情况呢？统计学中的一个极其重要的定理中心极限定理,可以回答这一问题：即无论总体的分布具有何种形式，只要样本容量n 足够大，的分布就近似标准正态分布N（0,1），因而样本均值的抽样分布，也就近似正态分布N（μ，σ2/n）。
例2:设总体有5名工人A，B，C，D，E，的日产量分别为10，20，30，40，50解：由此计算出总体平均日产量=30 总体标准差现按不考虑顺序不重复抽样的方法，随机抽取2名工人组成一个样本，则可能样本数目为（个）我们将这10个可能样本列表如下：由以上资料计算：所有可能样本均值的标准差（平均误差）= （式中m为可能样本数目）所有可能样本均值的平均数（期望值）E（）= （总体均值）又：如按不重复抽样公式计算：（与抽样平均误差概念计算结果一致）（放回抽样也是一样，这里不再举例，见教材151-153页）从以上例题和中心极限定理的意义中，我们可以得到以下几点结论：1、无论是放回或是不放回抽样，样本均值的数学期望总是等于总体的均值2、样本均值的标准差即抽样误差，总是按一定比例小于总体的标准差，而且不放回抽样的抽样误差比放回抽样的抽样误差要小；3、扩大样本容量，样本均值的标准差（抽样误差）减小4、从分布形式看，当总体为非正态分布时，样本均值的抽样分布随着样本容量的扩大而趋近于正态分布。
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;样本方差的算术平方根叫做样本标准(偏)差。
样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
1、标准偏差标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 统计学名词。
一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。
标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
标准偏差公式:S = Sqr(?(xn-x拨)^2 /(n-1))公式中?代表总和，x拨代表x的算术平均值，^2代表二次方，Sqr代表平方根。
例:有一组数字分别是200、50、100、200，求它们的标准偏差。
x拨 = (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5 S^2 = ((200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2)/(4-1) =(62.5^2+(-87.5)^2+(-37.5)^2+62.5^2)/3 =(3906.25+7656.25+1406.25+3906.25)/3 = 16875/3 = 5625标准偏差 S = Sqr(5625) = 752、方差方差是实际值与期望值之差平方的平均值，而标准差是方差平方根。
方差:是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即 s^2=1/n[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]通俗点讲，就是和中心偏离的程度～用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小)。
在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定Access 术语表A“高级筛选/排序”窗口 (Advanced Filter/Sort window) 可以在其中从头开始创建筛选的窗口。
样本平均数的方差的推导
样本平均数的方差的推导:假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本坷,则有E(x i) = X,cf；i=员即每一个样本单位都是与总体同分布的。
在此基础上，证明样本平均数以总体平均数为期望值。
11=丄£(西+禺+…+耳)n=：[E(xJ +Eg) E(兀j]= l(X + X+...+ X) = Xn接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。
在此，需要注意方差的计算公式为：曲=E(X—E( X))?以下需要反复使用这一定义:b； = E（x - E（元））2"（工人+心：…+兀収）2=—E（为（召+无+…+兀“一/庆）' rr=—7 E[（X] — X） + （尤2 - X）（X” 一X）]=—^E（A]~xy+（x2—X）2—（x n—X）2+y©—x）（Xj-x） n /X j =-4 E（x, -X）2 + E（X2一乂尸+ ••• + E（x n一天尸 +》E（x, -X）（x y - X）‘2 _/x j1 2=右・nb =—ir n在证明中，一个关键的步骤是工£3-斤）（®-无）= 0,其原i幻因在于这一项事实上是兀与勺的协方差。
由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为（）。
如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差小于（）。
此时样本均值的方差为心乩二n N-1样本方差的期望：证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。
乞（召-M先构造一个统计量为S'=---------- ,我们来求它的期望。
117 yx2‘十根据方差的简捷计算公式：心—-（X）-,可得E （S'）W E （工彳一品）冷正 g ） -处（元2）］ 其中，同样运用简捷计算公式，可以得到： £（召2）=或+（£（召））2=分+0； E （元2）= b ； + （E （x ））2 =^L+X 2 原式化为1 r _ 2E （S 、= — “C ：+0）一〃（丄L+乂 2）un等式的两端同除以右侧的系数项，得到 E( S') - 成 77-1令s — n s’— n77-1 7?-l r-1 )2工(兀-元)2 r-I n77-1则有 E(S) = b ；= «T ；+X 2)-(5L II + X 2) 6。
抽样分布与参数估计
2 x
（5.7）
（5.8）
x
n
（5.9）
【例 5-3】计算例 5-2 中 10 名推销员平均的任职年限 及其标准差， 并与例 5-2 求得的样本平均数的期望值与方差 作比较。 解： (1 2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5
2
正态分布时，所需的样本容量 n 可以较小，反之则需 要较大的样本容量。通常将样本单位数不少于 30 的 称为大样本。
二、样本比例的抽样分布
(一)样本比例的期望值与方差
设随机变量 X 服从二点分布，其总体平均数为 ， 又
称为总体比例，总体方差 2 ( ) ( 1 ) 。现对其进行 n 次独立重复观测，得到下列样本：(X1，X 2，…，X n)，其中， 观测结果为“成功”的次数是 N1。 我们把样本中“成功”的次数所占比例定义作样本比例 P。
一、样本平均数的抽样分布
（一）样本平均数的期望值与方差
在放回抽样的情形下，设从总体中抽出的 样本为 x1 , x 2 , , x n ，其是相互独立的，并且 为 ，则可推导出样本平均数的期望值与方
2
与总体服从同一分布。设总体均值为 ，方差 差、标准差分别为：
X1 + X 2 + + X n E( X ) E( ) n 1 E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) n
0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10
抽样分布
x
/ n
x s/ n
N (0,1)
t=
N ( , )
2
t分布
总体方差未知或样本容量n小于30时，标准离差的分布呈t分布。
四、 t 分布
对于不同的自由度，t分布有不同的曲线。
四、 t 分布
( 1 ) t分布曲线左右对称，围绕平均数μt =0 向两侧递降。 （2）t分布受自由度df=n-1制约，每个df都有一条t分布曲线。 （3）df小，t值离散程度大。 （4）和正态分布相比，t分布的顶端偏低，尾部偏高，自由度
2 s1 F 2 s2
此Ｆ值具有s12的自由度df1=n1-1和s22的自由度 df2=n2-1。
六、 F 分布
df1 df1 df2 1 ( ) df1 df 2 2 F 2 2 2 f (F ) df1 df2 df1 df 2 df1 df2 ( ) ( ) (df1 F df2 ) 2 2 2
Ｆ分布是随自由度df1和df2进行变化的一组曲线。
Ｆ分布的概率累积函数
f (F )
F
0
f ( F )dF
六、F 分布
1
Ｆ分布的平均数μF=1 ，Ｆ的取值区间为[0,+∝ ）
Ｆ分布曲线的形状仅决定于df1和df2。在df1＝1或2时， 2 Ｆ分布曲线呈严重倾斜的反向Ｊ型，当df1≧ 3时，转
为左偏曲线。
第四章：统计数的分布——抽样分布
从总体中抽取的样本提供的信息仅是总体的一部分，它不能 提供完全准确的信息，必然存在着一定的误差。 对于样本容量相同的多次随机抽样样本，其统计量是变异的， 且其取值有一定的概率，即样本统计量也是一个随机变量，此 分布规律称为抽样分布(sampling distribution)。
样本平均数的方差推导
样本平均数的方差推导一、概念介绍方差是用于衡量数据离散程度的统计学指标，可以表示数据与平均值之间的差距。
样本平均数是指从总体中抽取的一组n个样本数据的平均值，表示总体的平均水平。
样本平均数的方差可以用来评估样本平均数的离散程度，反映了样本平均数与总体平均数之间的差异。
为了推导样本平均数的方差，需要先了解样本平均数和总体平均数的关系，以及方差的定义。
1.样本平均数和总体平均数的关系设总体的平均数为μ，样本的平均数为x̄，则有x̄=(x₁+x₂+...+x̄)/n，其中x₁，x₂，...，x̄表示样本中的数据。
2.方差的定义总体方差可以定义为每个数据与总体平均数的差距的平方的平均值，即Var(X) = E[(X - μ)²]，其中E[·]表示期望。
3.样本平均数的方差的推导根据样本平均数的定义，可以将x̄展开为(x₁+x₂+...+x̄)/n，然后展开方差的计算式，得到：Var(x̄) = E[((x₁ + x₂ + ... + x̄)/n - μ)²]由于总体平均数μ是一个固定值，可以移到E的外面，得到：Var(x̄) = (1/n²) * E[(x₁ + x₂ + ... + x̄ - nμ)²]根据方差定义的展开式：Var(A + B) = E[(A + B - E(A+B))²] = E[(A - E(A))² + (B -E(B))² + 2(A - E(A))(B - E(B))]将A设为(x₁+x₂+...+x̄)和nμ，B设为-nμ，代入方差的展开式，可以得到：Var(x̄) = (1/n²) * E[(x₁ - μ)² + (x₂ - μ)² + ... + (x̄ - μ)² + 2(x₁ - μ)(-nμ) + 2(x₂ - μ)(-nμ) + ... + 2(x̄ - μ)(-nμ)]根据方差的定义，可以得到：Var(x̄) = (1/n²) * (n * Var(x) + 2 * n * (x₁ - μ)(-nμ) +2 * n * (x₂ - μ)(-nμ) + ... + 2 * n * (x̄ - μ)(-nμ))由于每个样本数据x₁，x₂，...，x̄是独立同分布的，它们与总体平均数μ的差距的期望是0，即E(x-μ)=0。
统计学基础练习题库及参考答案
第一章 定量资料的统计描述 1第一部分一、单选题1、甲乙丙三位研究者评价人们对四种方便面的喜好程度。
甲让评定者先挑选出最喜欢的品 牌，然后挑出剩余三种最喜欢的， 最后挑出剩余两种比较喜欢的。
研究者乙让评定者把四种 品牌分别给予 1～5 的等级评定 （1 表示最不 ， 5 表示最喜欢 ），研究者丙只是让评定者挑出 自己最喜欢的品牌。
三位研究者所使用的数据类型是： BA ．称名数据 -顺序数据 -计数数据B ．顺序数据 -等距数据 -称名数据C ．顺序数据 -等距数据 -顺序数据D ．顺序数据 -等比数据 -计数数据2、调查 200 名不同年龄组的被试对手表的偏好程度如下：表 1 200该题自变量和因变量的数据类型是： A ．称名数据 -顺序数据 C ．顺序数据 -等距数据3、 157.5 的实上限是： CA ． 157.75B ． 157.65 4、随机现象的数量化表示称为 :B A ．自变量 B ．随机变量 5、实验或研究对象的全体称为： AA ．总体B ．样本点 6、下列数据中，哪个数据是顺序变量： A ．父亲月收入 2400 元C ．约翰 100 米短跑得第 2 名 二、概念题 数据类型、变量、观测值、随机变量、总体、样本、个体、次数、比率、概率、参数、统计 量、 μ、ρ、r 、 σ、 S 、 β、 n 。
第一章 定量资料的统计描述 2一、单选题1、一批数据中各个不同数据值出现的次数情况是： AA ．次数分布B ．概率密度C ．累积概率密度D ．概率2、以下各种图形中，表示连续数据频次分布的是： CA ．条图B ．圆图C ．直方图D ．散点图3、特别适用于描述具有百分比结构的分类数据的统计图 :BC ．157.55D ．158.5 C ．因变量 D. 相关变量 C ．个体 D ．元素 C B ．迈克的语文成绩是 80 分 D ．玛丽某项技能测试得了 5 分。
DB ．计数数据 -等比数据A．散点图B．圆图C．条图 D ．线图5、以下各种统计图中，表示离散数据频次分布的:AA．圆图B．直方图C．散点图 D ．线形图6、相关变量的统计图是： AA．散点图B．圆图C．条图 D ．线图7、适用于描述某种事物在时间上的变化趋势，以及一事物随另外一事物的发展变化的趋势，还适用于比较不同人物群体在心理或教育现象上的变化特征以及相互联系的统计图是： DA散点图B圆图C条图D．线图二、多选题1、频次分布可以为：ABCDA ．简单次数分布B．分组次数分布C．相对次数分布D．累积次数分布2、以下各种图形中，表示连续数据频次分布的是：BDA ．圆图B．直方图C．条图D．线图3、累加曲线的形状大约有：ABDA ．正偏态B．负偏态C．F 分布D．正态分布4、统计图按照形状划分为：ABCDA直方图B曲线图C圆图D．散点图三简答题1、简述条图、直方图、圆图、线图、散点图的用途。
心理统计样本平均数的分布
t分布表的使用（类似Z分布） 课下阅读185-188页，掌握t分布特点。
12
样本均数分布为t分布
样本平均数分布的标准误
SE=Sx= x=s / n-1
或者
s Sx=
x= n-1 / n
s
= x2 / n
sn-1 =
x2 / n-1
13
三、总体参数的估计(不讲)
学习样本分布
可以对总体参数进行估计：由样本统计量 估计总体参数（推论统计）
总体参数估计包括点估计和区间估计
14
点估计：总体参数通常不知道，可以用具体的
某个样本统计量估计。由于样本统计量取值为 数轴上某一点，故对总体参数的估计为点估计。
（1）通常用样本平均数(X)，作为总体参数的 估计值（理论上希望抽样没有偏差，故样本平 均数代表总体平均数） 。
论总体。
7
样本分布与总体分布的关系
1. 形状:
当总体分布为正态，方差已知时，样本
均值的分布形状一定是正态分布。总体 分布不知道，但是方差已知，只要样本
容量 n 较大时(30 以上)，样本均值的分
布近似正态分布。这样可以用正态分布 理论理解样本统计量和总体参数的关系。
8
2. 均值（平均数）:
每个样本平均数总是落在总体均值μ的附近
所有这些可能的样本会组成一个简单、有序、可
预测的模式 (样本分布). 因此, 我们可以用样本 平均数的分布（distribution of sample mean） 的特征为依据来预测。
样本平均数的分布（distribution பைடு நூலகம்f sample
mean）：总体中可抽取的所有可能的特定容量
实验设计与数据处理试题库
一、名词解释：（20分）1.准确度和精确度：同一处理观察值彼此的接近程度同一处理的观察值与其真值的接近程度2.重复和区组：试验中同一处理的试验单元数将试验空间按照变异大小分成若干个相对均匀的局部，每个局部就叫一个区组3回归分析和相关分析：对能够明确区分自变数和因变数的两变数的相关关系的统计方法：对不能够明确区分自变数和因变数的两变数的相关关系的统计方法4.总体和样本：具有共同性质的个体组成的集合从总体中随机抽取的若干个个体做成的总体5.试验单元和试验空间：试验中能够实施不同处理的最小试验单元所有试验单元构成的空间二、填空：（20分）1.资料常见的特征数有：（3空）算术平均数方差变异系数2.划分数量性状因子的水平时，常用的方法：等差法等比法随机法（3空）3.方差分析的三个基本假定是（3空）可加性正态性同质性4.要使试验方案具有严密的可比性，必须（2空）遵循“单一差异”原则设置对照5.减小难控误差的原则是（3空）设置重复随机排列局部控制6.在顺序排列法中，为了避免同一处理排列在同一列的可能，不同重复内各处理的排列方式常采用（2空）逆向式阶梯式7.正确的取样技术主要包括：（）确定合适的样本容量采用正确的取样方法8.在直线相关分析中，用（相关系数）表示相关的性质，用（决定系数）表示相关的程度。
三、选择：（20分）1试验因素对试验指标所引起的增加或者减少的作用，称作（C）A、主要效应B、交互效应C、试验效应D、简单效应2.统计推断的目的是用（A）A、样本推总体B、总体推样本C、样本推样本D、总体推总体3.变异系数的计算方法是（B）4.样本平均数分布的的方差分布等于（A）5.t检验法最多可检验（C）个平均数间的差异显著性。
6.对成数或者百分数资料进行方差分析之前，须先对数据进行（B）A、对数B、反正弦C、平方根D、立方根7.进行回归分析时，一组变量同时可用多个数学模型进行模拟，型的数据统计学标准是（B）A、相关系数B、决定性系数C、回归系数D、变异系数8.进行两尾测验时，u0.10=1.64,u0.05=1.96,u0.01=2.58,那么进行单尾检验，u0.05=(A)9.进行多重比较时，几种方法的严格程度（LSD\SSR\Q）B10.自变量X与因变量Y之间的相关系数为0.9054，则Y的总变异中可由X与Y的回归关系解释的比例为（C）A、0.9054B、0.0946C、0.8197D、0.0089四、简答题：（15分）1.回归分析和相关分析的基本内容是什么？（6分）配置回归方程，对回归方程进行检验，分析多个自变量的主次效益，利用回归方程进行预测预报：计算相关系数，对相关系数进行检验2.一个品种比较试验，4个新品种外加1个对照品种，拟安排在一块具有纵向肥力差异的地块中，3次重复（区组），各重复内均随机排列。
样本平均数的方差
样本平均数的方差是一种重要的统计概念，它可以帮助我们了解数据集中值的分布情况。
它可以用来衡量一组数据之间的变异程度，也可以用来衡量某种测量结果的可靠性。
本文将讨论样本平均数的方差的概念，以及如何使用它来评估数据集中值的分布情况。
首先，我们需要了解什么是样本平均数的方差。
样本平均数的方差可以定义为一组数据的均值与其他值的差异程度的度量。
它反映了一组数据的变异程度，以及数据离均值的距离。
公式中的“n”代表样本的大小，“x”表示样本中的每个值，“x（平均）”表示样本中所有值的平均值。
其次，我们可以使用样本平均数的方差来评估数据集中值的分布情况。
如果样本的方差较小，则说明数据集中的值都接近均值，如果方差较大，则说明数据集中的值有较大的差异。
例如，在一次考试中，如果学生成绩的方差较小，则说明所有学生的成绩都比较接近，反之，如果学生成绩的方差较大，则说明学生成绩存在较大差异。
第三，样本平均数的方差也可以用来衡量某种测量结果的可靠性。
如果测量结果的方差越小，则说明测量结果的可靠性越高。
例如，在一次实验中，如果某种测量的方差较小，则说明这种测量的结果更可靠，而如果方差较大，则说明这种测量的结果不太可靠。
最后，我们可以使用计算机软件计算样本平均数的方差。
这样我们就可以很方便地计算出一组数据中值的分布情况，以及某种测量结果的可靠性。
总之，样本平均数的方差是一种重要的统计概念，它可以帮助我们了解数据集中值的分布情况，以及某种测量结果的可靠性。
它可以通过计算机软件来计算，这样我们就可以很方便地得出数据集中值的分布情况，以及某种测量结果的可靠性。
分布列的方差
分布列的方差
方差是统计学中非常重要的概念，它反映了分布样本数据的离散程度。
方差即
差异性，揭示了一类事物在某种特征上的变异性，表现为多个变量之间的联系。
简单来说，方差就是求出一批数据中，各数据项和其平均数之间的差异之和。
方差在许多生活娱乐场景中都有着重要的作用，特别是在成绩的改善上。
比如，如果一次考试的分数分布统计中，方差过大，最高分和最低分的差值拉开甚远，那么就可以判断这次考试不太公平，学生的收获有待提升。
在音乐制作的过程中，诸如控制各乐器的音量、控制动态影响以及平衡音色平衡等等，方差也同样起着至关重要的作用。
此外，在定价时，方差也是一个值得考虑的指标。
由于消费者有不同的消费能力，因此商家根据消耗者的消费能力和可接受范围，可以适当调节商品的方差，来提升销售额。
总而言之，方差作为一个统计学概念，在生活娱乐中对我们有很多帮助，它不
仅能用于衡量分布数据，还可以用于改善作品质量，协助定价等等，都是很有用的数据参考。
D(样本方差)
D(样本方差)
D在统计学中表示方差。
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。
公式是D（X）=1/n[(x1-m)2+(x2-m)2+xxx+(xn-m)2]。
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
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σ2与总体方差σ2、样本容量n的关系是xσ2=（σ2 1.样本平均数分布的方差x
／）。
2.样本中各观察值与其平均数的差数的平方的总和为（P42 ）。
3.样本中各观察值与其平均数的差数的总和为（0 ）；样本中各观察值与平
均数的差数的平方的总和为（P42 ）。
4.一般而言，假设测验可能犯（ 2 ）类错误。
5.一般正态分布的正态离差U=（）；样本平均数分布的正态离差U=
（）。
6.一个4因素3水平试验的所有可能处理组合数为（81 ）。
7.由回归方程估计x为某一定值时条件总体平均数的95％置信区间为
（）；估计x为某一定值时条件总体预测值的95％置信区间为（）。
8.有12个处理，要进行随机区组设计，可查得随机数字表中任一页的任一行，去掉
（00 ）、（97 ）、（98 ）和（99 ）四个数字后，凡大于12的数均被12除后得余数，将重复数字划去，即得12个处理的排列次序。
9.有6个处理，每处理3次重复，用对比法设计，至少要安排（9 ）个对照。
10.有8个处理，每处理3次重复，用对比法设计，至少要安排（12 ）个对照。
11.有一个总体共有4个个体，分别为2，4，6，8，从总体中进行复置随机抽样，每次抽2
个观察值，抽出所有样本，则共有（）个可能样本；所有样本平均数分布的平均数为（），标准差为（）。
12.有一样本，其6个观察值分别为6，3，8，4，1，3；则其中数为（ 3.5 ），均
方为（22.5 ）。
13.有一样本，其6个观察值分别为7，3，8，4，2，3；则其中数为（ 3.5 ）。
14.有一样本，其6个观察值分别为7，4，8，5，2，3；则其中数为（ 4.5 ）。
15.有一样本的5个观察值为2，7，7，5，4；则其样本均方为（28.6 ）。
16.有一正态分布N(16,4),已知U0.05＝1.96，则其分布中间有95％观察值的全距为
（7.84 ）。
17.有一正态分布N（30，9），则落于24与36之间的观察值的百分数为（）。
18.有一正态分布N（36，9），已知U0.01＝2.58，则其分布中间有99％观察值的全距为
（10.32 ）。
19.有一组观察值为11，26，15，24，9，22；则其极差为（17 ）。
20.在成组数据的平均数比较时，当两样本的总体方差已知时用（u ）测验；
当两样本的总体方差未知，但可假定二者相等且为小样本时用（t ）测验。
21.在对比法和间比法试验结果的统计分析中，凡相对生产力超过（）的品种
一般可以认为显著优于对照；相对生产力仅超过（）则宜继续观察。
22.在随机区组设计中，小区的随机可借助于随机数字表来进行。
如有12个处理，可查得
表中任一页的任一行，去掉00、（97 ）、（98 ）和（99 ）四个数字后，凡大于12的数均被12除后得余数，将重复数字划去，即得12个处理的排列次序。
23.在一定的概率保证之下，估计出一个能够覆盖参数μ的区间称为（置信区
间），区间的上下限称为（置信限），区间的长度称为（），保证该区间能覆盖参数的概率（1-α）称为（置信限）。
24.在正互作时，从各因素的最佳水平推论最优组合，估计值将偏（）。
25.2χ值与观察次数O、理论次数E、分组数k的关系是2χ＝（），
2
χ分布是（）变数的理论分布。