考研高等数学复习——高斯公式
南京航空航天大学《高等数学》10.6高斯(Guass)公式 通量与散度
的Σ1 两个Σ曲−3 面积Σ2 分正Σ好3 抵 Σ消1 , Σ2
Σ
Σ3
Ω2
Σ
− 3
−n
证得高斯公式 .
Σ2
∴ 综合一、二步高斯公式 得证 .
7
注 Σ 当闭 , 取外侧 , P , Q , R 有连续偏导数
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系.
8
例1 计算 : I = ∫∫ x 2dydz + y 2dzdx Σ Σ : x = 0, y = 0, z = 0, x = a, y = b, z = c − −外侧
= − 2π dθ 0
h r 3dr
Dxy
=−
1 πh4
0
2
14
D xy
解法2
对Σ锥：n = −{ x, y, z} / x2 + y2 + z2 = {cosα ,cos β ,cosγ }
∫∫ x2dydz + y2dzdx + z2dxdy
Σ锥
∫∫ = [ x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ ]ds
∫∫ ( y − z)dydz + (z − x)dzdx + ( x − y)dxdy
Σ锥
= ∫∫ [( y − z)cosα + (z − x)cos β + ( x − y)cosγ ]ds Σ锥
∫∫ = − [( y − z)x + (z − x) y + ( x − y)z]/ x2 + y2 + z2 ds Σ锥
gradu ⋅ gradv = ∇u ⋅ ∇v = ∂u ∂v + ∂u ∂v + ∂u ∂v ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
高等数学 高斯公式
球 3 r2 r2 sindrdd
O
y
x
3
2
d
d
R r 4 sin dr 12 R5
0
0
0
5
12
高斯(Gauss)公式 通量与散度
(P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx Rdxdy 高斯公式
使用Guass公式时易出的差错:
(1) 搞不清 P,Q, R是对什么变量求偏导; (2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算;
Dxy
R z
dv
R(
x
,
y
,
z
)dxdy
8
高斯Gauss)公式 通量与散度
R z
dv
R(
x
,
y,
z
)dxdy
同理
P x
dv
P(
x,
y,
z)dydz
自 己
Q y
dv
Q(
x,
y,
z)dzdx
证
合并以上三式得
(P x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
高斯公式
9
高斯(Gauss)公式 通量与散度
2
z
解
z y 1 x 0
绕y轴旋转曲面方程为
O
n
y 1 z 2 x 2 (如图)
x
y
22
高斯(Gauss)公式 通量与散度
高斯公式
欲求 I (8 y 1)xdydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
补 1 : y 3, 取右侧.
有 I
1 1
考研高等数学复习——高斯公式
考研高等数学复习——高斯公式高斯公式是高等数学中的一个重要的公式，它是计算闭曲线内部面积的一种方法。
高斯公式可以用于求解定积分，也可以用于计算二重积分和三重积分。
高斯公式在数学和物理中都有广泛的应用。
在数学中，高斯公式常用于计算包围封闭曲线的内部面积，或者计算通过曲面的流量。
在物理学中，高斯公式常用于计算电场的通量和磁场的通量，以及计算介质中的电荷和磁荷的总量。
高斯公式的表述为：对于平面封闭曲线C，其内部有一无穷个数的点，每个点视为源点，曲线C上有一单位的源强度。
假设曲线C包围的面积为A，则通过曲线C的总通量Φ等于A。
这个公式的数学表达式可以表示为：∫∫D dxdy=∮C(xdy-ydx)其中D表示平面曲线C所围成的区域，∮C表示曲线C的线积分，dxdy表示在D上的二重积分，xdy-ydx表示曲线C的微分形式。
高斯公式的证明可以通过对二重积分的计算来完成。
假设曲线C的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，其中t的范围为[a,b]，则曲线C的线积分可以表示为∫C(xdy-ydx)=∫[a,b] (x(t)dy(t)-y(t)dx(t))根据微积分中的参数方程曲线上的导数关系，我们可以得到dy(t)=dy/dt dt，dx(t)=dx/dt dt，并将其代入线积分的表达式中，得到∫C(xdy-ydx)=∫[a,b] (x(t)(dy(t)/dt)-y(t)(dx(t)/dt))dt=∫[a,b](x(t)*dy(t)/dt-y(t)*dx(t)/dt)dt通过对该式进行变形，我们可以得到∫C(xdy-ydx)=∫[a,b]((x(t)dx(t)/dt+y(t)dy(t)/dt)dt利用变量替换，我们可以将x(t)dx(t)/dt+y(t)dy(t)/dt表示为求面积D上的二重积分，即∫∫D dxdy。
因此，我们得到了高斯公式∮C(xdy-ydx)=∫∫D dxdy利用高斯公式，我们可以简化一些定积分的计算过程。
数值分析45高斯公式重要知识
成立
b
n
P( x)( x)dx
a
Ak P( xk )( xk )
k0
但 ( xk ) 0(k 0,1,..., n)
故 ( x)与P( x)正交
再证充分性。即 ( x)与P( x)正交
xk 是高斯点
对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f(x),
用 ( x) 除 f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)，
b
n
Q( x)dx
a
AkQ( xk )
k0
再注意到ω(xk)=0，知Q(xk) = f(xk)，从而有
b
n
Q( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
于是由前面的推导知
b
b
a f ( x)dx a Q( x)dx
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
这说明公式对一切次数不超 过 2n+1 的 多 项 式 均 能 准 确 成 立，故xk是高斯点。
因此勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。
特殊地若取P1(x) = x 的零点x0 = 0 作节点构造 求积公式
1
1 f ( x)dx A0 f (0)
令它对 f(x) = 1准确成立，即可定出A0 = 2. 即一点高斯公式为
1
1 f ( x)dx 2 f (0)
中矩形公式
再取
P2
(
x)
待定系数法
举例 要构造下列形式的高斯公式
1
0 x f ( x) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
解 则其代数精度应为 2n 1 21 1 3 即
《高等数学》第十章 第六节 高斯公式 通量与散度
①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立,假设存在 M 0 G, 使
P x
Q y
R z
M 0
0
23
因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域
d xd yd z
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
24
(M0 ) G,使在 (M 0 )上, P Q R 0 x y z
设 (M 0 )的边界为 取外侧, 则由高斯公式得
P d y d z Q d z d x R d x d y
(M0)
P Q R x y z
0
d
01dr
03r(r
sin
z) dz
9
2
.
)
(
1y
利 用 柱 面 坐 标 得
5
使用Guass公式时应注意:
1. P, Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧.
6
例 2 利用高斯公式计算曲面积分
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS ,
:
00
r
2，
h,
r z h.
202
d
h
0
dr
h
r
(r
cos
r
sin
z)
r
dz
高等数学11.6高斯(Gauss)公式
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
高斯公式_精品文档
高斯公式1. 简介高斯公式，又称为高斯-勒让德公式（Gauss-Legendre Formula），是数学上用于计算曲线围成的面积或曲面闭合的体积的公式。
该公式最早由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出，之后法国数学家阿道夫·勒让德对其进行了推广和应用。
高斯公式在数学、物理学等领域都有着广泛的应用。
它不仅适用于计算平面图形的面积，还可以用于计算球体、圆锥体、圆柱体、球面等的体积。
2. 高斯公式的数学表达高斯公式的数学表达可以表示为：∮ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∬(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy其中，P(x, y)和Q(x, y)是二元函数，表示平面上的向量场。
左侧的积分表示沿着曲线的环绕积分，右侧的积分表示沿着曲线围成的区域的面积。
3. 高斯公式的应用举例3.1 计算平面图形的面积高斯公式可以用于计算平面图形的面积。
假设有一个简单闭合曲线C，可以将其分解为若干小曲线段，然后利用高斯公式求得每个小曲线段上的向量场P和Q，并对整个曲线C进行积分。
根据高斯公式的等式关系，左侧的积分将等于右侧的面积积分，从而得到该平面图形的面积。
3.2 计算球体的体积高斯公式还可以用于计算球体的体积。
以球心为原点建立球坐标系，设球面的方程为r = f(θ, φ)，其中r为球面上一点到球心的距离，θ和φ为球坐标系下的两个参数。
然后利用高斯公式对球面的方程进行积分，即可得到球体的体积。
3.3 计算圆锥体的体积高斯公式也可以用于计算圆锥体的体积。
以圆锥体的顶点为原点建立柱坐标系，设圆锥面的方程为z = f(θ, r)，其中z为圆锥面上一点到圆锥顶点的距离，θ和r为柱坐标系下的两个参数。
然后利用高斯公式对圆锥面的方程进行积分，即可得到圆锥体的体积。
4. 总结高斯公式是数学上用于计算曲线围成的面积或曲面闭合的体积的重要公式。
它有着广泛的应用领域，可以用于计算平面图形的面积、球体的体积、圆锥体的体积等。
高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式
2 答案： a 5 . 5
试题链接：
(2012) 计算曲面积分 I 2 x 3 xy 2 dydz 2 y 3 yz 2 dzdx 2 z 3 zx 2 dxdy，
其中 为z a 2 x 2 y 2 (a 0) 的上侧（答案： . 2 a 5 .）
0 Dz
1 4 h . 2
1 : z h, 上侧 cos cos 0, cos 1
2 2 2 2 ( x cos y cos z cos )d S z dS 1 1
h2 d xdy h4 .
Dxy
故所求积分为
1. P , Q , R 是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件;
3.Σ 是取闭曲面的外侧.
Guass公式应用之一:简化曲面积分计算
课 例1 计算曲面积分 ( x y )dxdy ( y z ) xdydz 本 其中 Σ 为柱面 x 2 y 2 1 及平面 z 0, z 3 例 2 所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧. 解 P ( y z ) x, Q 0, R x y,
二、高斯公式物理意义--通量与散度
1. 通量的定义: 有向量场
A( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k
A d S A n 0dS
沿场中某一有向曲面Σ 的第二类曲面积分
32 其中：z x 2 y 2 位于平面z 2下方的部分的下侧.（答案： ） 3 (2007) 计算曲面积分 xz 2 dydz x 2 y z 2 dzdx 2 xy y 2 z dxdy，
经典高等数学课件D11-6高斯公式
P , Q, R在 所围区域内偏导，不连续(因在原点不连续)
添加曲面1：x 2 y2 z 2 a 2取外侧
13
添加曲面1：x y z a 取外侧
2 2 2 2
则I （
1
)
1
xd yd z yd zd x zd xd y ( x2 y2 z2 )
3 2
，
1 0 3 a
1 3 a
x d y d z y d z d x z d x d y，
1
3d v
3
是1所围区域
z o x x
z
n
yy
1 4 a 3 3 4 a 3
o
1
14
1.分面投影法 I Pdydz Qdzdx Rdxdy的计算方法 2.合一投影法 3.高斯公式法
I ( x 3 z x )d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y.
解: 补充曲面 1 : z 1, 下侧
z
2
1
( x , y ) D x y : x 2 y 2 1，则
I
1 1
1
用柱坐标
则 xdydz 2 ydzdx 3( z 1)dxdy
.
2006研
2.计算 2 x 3dydz 2 y 3dzdx 3( z 2 1)dxdy，
其中是z 1 x y（z 0）的上侧.
2 2
2004研
11
z 2 x 2 y 2 , 1 z 2 取上侧, 求 练习：设 为曲面
考研数学：高数重要公式总结(高斯公式)
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微积分-高斯公式
说明: 说明 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且 div A > 0 表明该点处有正源,
div A < 0 表明该点处有负源,
div A = 0 表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度. . 若向量场 A 处处有 div A = 0, 则称 A 为无源场. 例如, 例如 匀速场 v = (vx , vy , vz ) (其 vx , vy , vz 为 数), 中 常
Σ
∂v ∂v ∂v 证:令 P = u , Q = u , R = u , 由高斯公式得 ∂x ∂y ∂z ∂2v ∂2v ∂2v + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ∂x ∂y ∂z
∂v ∂v ∂v = ∫∫ u cosα + cos β + cosγ d S Σ ∂x ∂y ∂z
U(M0 )
(
∂P ∂Q ∂R )d xd y d z + + ∂x ∂ y ∂z
≠0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
三、通量与散度
引例. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
v(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
= 2∫∫∫ z d x d ydz −π h
Ω
4
∑1 h h
o x
∑
y
= 2∫ z ⋅π z dz −π h
2
0
h
4
1 4 =− π h 2
例3. 设Σ 为曲面 z = 2 − x − y , 1≤ z ≤ 2 取上侧, 求
高等数学(第五版)10-6高斯公式
DxyD xyFra bibliotekD xy
若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 同理
P P ( x, y, z )dydz x dv, Q Q( x, y, z )dzdx y dv ,
A ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场 A( x , y , z ) 穿过曲面Σ 向着指定侧的通量.
P Q R 而 叫做向量场A 的散度，记作 A. div x y z
高斯公式现在可写成： A ndS divAdv .
2 2 2
( x
解: 根据两类曲面积分的联系，
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
x 2dydz y 2dzdx z 2dxdy
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 z
z h ( x 2 y 2 h2 ) 补充 1 :
1 : z z1 ( x , y )
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy.
R （把R( x , y , z )看作z的函数 [ dz ]dxdy z1 ( x , y ) z 用牛顿 莱布尼兹公式） D xy R dxdydz . z
高斯(1777 – 1855)
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德、牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的
高数 高斯公式
P cos Q cos R cos dS
R dxdydz Rdxdy 只证 z
高斯 ( Gauss ) 公式
2
z2 ( x , y ) R R z dxdydz Dx y dxdy z1( x, y ) z dz R( x, y, z 2 ( x, y)) R( x, y, z1 ( x, y)) dxdy
其中V { P, Q, R}
16
1、通量的定义
设有向量场
A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
沿场中某一有向曲面Σ 的第二类曲面积分为
称为向量场 A( x , y , z ) 向正侧穿过曲面Σ 的通量. 如E为电场强度 , 单位时间通过的电通量 I EdS
Dx y
证明: 设 : z1( x, y) z ( x, y) z2 ( x, y) , ( x, y) Dx y z 1 2 3 XY型区域 2
3 1
又
Rdxdy Rdxdy 1 3 2
V 则称此极限值为 A 在点 M 处的散度, 记为 divA.
2. 散度的定义:
极限 lim
A dS
高斯 ( Gauss ) 公 式20
V M
存在,
divA = Vlim M
A dS V
反映了在点 x, y, z )处的通量强度 (
18
散度在直角坐标系下的形式
A dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
高等数学--高斯公式 PPT
不是二维单连通区 域.
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
为
所围立体,
判断下列演算是否正确?
(1)
x3 r3
d
yd
z
y3 r3
d
zd
x
z3 r3
d
xd
y
1 R3
x3 d y d z y3 d z d x z3dx d y
1 R3
3( x 2
y2
R2
z2)d
v
3 R
d v 4 πR2
(2)
Q u y
R u v
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
z
利用Gauss 公式, 得
考研数学公式(word版)
考研数学公式（word版）高等数学公式导数公式：(tgx)??sec2x(ctgx)???csc2x(secx)??secx?t gx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna1(logax)? ?xlna基本积分表：(arcsinx)??11?x21(arccosx)???1?x21(arctg x)??1?x21(arcctgx)???1?x2?tgxdx??lncosx ?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx? C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2 ?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a 2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2nd x2?sec2?cosx?xdx?tgx?Cdx2?csc?sin2x?x dx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctg xdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C ?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?2I n??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2n???x2a22 x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2a2222x?ad x?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222a?xdx?a?x ?arcsin?C22a22三角函数的有理式积分：2u1?u2x2dusinx?，cosx?，u?tg，dx? 21?u21?u21?u2 一些初等函数：两个重要极限：ex?e?x双曲正弦:shx?2ex?e?x双曲余弦:chx?2shxex?e?x双曲正切:thx??chxex?e?xarshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)11?xarthx?ln21?x三角函数公式：·诱导公式：函数角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin limsinx?1x?0x1lim(1?)x?e???xcos tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα -ctgα ctgα tgα -ctgα ctgα -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα -sinα -cosα tgα -cosα -sinα ctgα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -tgα tgα -ctgα -tgα ·和差角公式：·和差化积公式：sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?c os??sin?sin?tg(???)?tg??tg?1?tg??tg?ctg?? ctg??1ctg(???)?ctg??ctg?sin??sin??2sin??? 22??????sin??sin??2cossin22??????cos??c os??2coscos22??????cos??cos??2sinsin22cos??? ·倍角公式：sin2??2sin?cos?cos2??2cos2??1?1?2sin2? ?cos2??sin2?ctg2??1ctg2??2ctg?2tg?tg2?? 1?tg2? ·半角公式：sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?3tg ??tg3?tg3??1?3tg2?sintg?2????1?cos??1?c os?cos??2221?cos?1?cos?sin??1?cos?1?cos?s in???ctg????1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos ?abc???2R·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosCsinAsinBsinC?2 ·正弦定理：·反三角函数性质：arcsinx??2?arccosxarctgx??2?arcctgx 高阶导数公式——莱布尼兹公式：(uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuvk?0n?u(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)u v?????uv???uv(n)2!k! 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)柯西中值定理：?F(b)?F(a)F?(?)曲率：当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
Gauss公式与散Stokes公式
有向封闭曲面
外侧的流量
v ndS
，其中n
为
外
侧的单位法向量 ， 所围成的区域为 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
（1） 0 ，流出大于流入，表明 内 有“源”； （2） 0 ，流出小于流入，表明 内 有“洞”；
（3）0 ，流出等于流入。
比式
1 V
vndS
表示流速场中单位时间内从单位
体积内流出 的平均流量，称为流速场 v在内的
(1,1,0)
2
.
3.5 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯 (Stokes) 公式
高斯公式是格林公式在三维空间的推广，而格林 公式还可从另一方面推广，就是将曲面 的曲面积分 与该曲面 的边界闭曲线 C 的曲线积分 联系起来。
定理3.4（斯托克斯定理）
n
设分片光滑曲面 的边界是分段光滑闭曲线 C 。 空间
（2）若当积P分 x曲, 面Q y不, 封R 闭z，时则，添由加G辅au助ss 曲公面式使得之封闭；
当封闭xd曲y面dz取内yd侧z时dx，Gzdaxussd公y 式3中的dV符号3V应，为负号；
应用 Gauss 公式前首先要检验 P, Q,R, P , Q , R 的
x y z
故连续V条件。dV
Dxy
二、旋度
1、环量
定义设有向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，
称 A 沿有向闭曲线 C 的 曲线积分
C Ads C Pdx Qdy Rdz
为向量场 A 沿有向闭曲线 C 的 环量。
环量表示了向量场 A 沿有向闭曲线 C 旋转的整体
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 记其所围成的空间区域为 ，
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z
2 z d x d ydz h4
2
h
z
z2
dz
h4
0
1 h4
2
1 h
o
y
x
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练习题
一、利用高斯公式计算曲面积分:
1、 x 3dydz y 3dzdx z 3dxdy,其中 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 外侧；
2、 xdydz ydzdx zdxdy,其中 是界于z 0 和 z 3之间的圆柱体 x 2 y 2 9的整个表面的外 侧；
3、 xzdydz,其中 是上半球面 z R 2 x 2 y 2 的上侧 .
二、证明:由封闭曲面所包围的体积为
V
1 3
(
x
cos
y cos
z cos
)ds ,式中
cos , cos , cos 是曲面的外法线的方向余弦 .
三、求向量 A (2 x z)i x 2 y j xz 2 k , 穿 过曲面 :
二、简单的应用
例1 计算曲面积分
( x y)dxdy ( y z)xdydz
其中 Σ 为柱面 x2 y2 1及平
面z 0, z 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧.
解 P ( y z)x, Q 0,
x
R x y,
1
z
3
o1
y
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
的闭曲面,包围的区域为 ,记体积为V .若
当V 收缩成点 M 时, 极限
A dS
lim
M
V
存在,
则称此极限值为 A在点 M 处的散度, 记为divA.
散度在直角坐标系下的形式
divA P Q R xyz
高斯公式可写成
divAdv AdS
四、小结
1、高斯公式
(
P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
3、应用的条件
4、物理意义
练习. 利用Gauss公式计算积分
z
其中 为锥面 x2 y2 z2 介于 z = 0 及
z = h(h>0) 之间部分的下侧. 解:作辅助面
1 h
o
y
x
1: z h, (x, y) Dxy : x2 y2 h2, 取上侧
z
原式
( y z)dxdydz
3
(利用柱面坐标得)
( sin z) d d dz
x
1
o1
y
2
1
dd
3
(sin
z) dz
9.
0
0
0
2
使用Gauss公式时应注意:
1.P,Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ 是取闭曲面的外侧.
例2. 计算
x d y d z y d z d x z d x d y, 其中∑为半球面
记 , 1所围区域为,
则在 1 上
2
,
0
I (
)(x2 cos y2 cos z2 cos ) d S
1 1
2 (x y z) d x d y d z Dxy h2 d x d y
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I 2 (x y z) d xdydz Dxy h2 d x d y
三、a3 (2 a2 ).
6 四、divA ye xy x sin( xy) 2xz sin( xz2 ).
解: 作取下侧的辅助面
z
2
1 : z 1 (x, y) Dx y : x2 y2 1
I
用柱坐标
用极坐标
1
1
1
1
d x d ydz ( 1
1y
Dxy
2
1
dd
0
0
2
cos2 d
0
13
12
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三、物理意义----通量与散度
1.通量的定义: 设有向量场
第六节
高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式
Gauss 公式
一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度
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一、高斯(Gauss)公式
定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在
上有连续的一阶偏导数, 则有
u( x, y, z) , v( x, y, z)沿 的外法线方向的方向导
数.
证明: (uv
vu)dxdydz
(u
v n
v
u )ds
n
其中 是空间闭区域 的整个边界曲面.
(注
2 x 2
2 y 2
2 z 2
,称为拉普拉斯算子)
练习题答案
一、1、12 a5； 2、81 ； 3、 R4 .
5
4
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面 Σ 的第二类曲面积分为
Pdydz Qdzdx Rdxdy A dS
称为向量场 A( x, y, z)向正侧穿过曲面 Σ 的通量.
2. 散度的定义:
设有向量场 A( x, y, z),在场内作包围点 M
为
立方体0 x a , 0 y a ,0 z a 的全表面,流
向外侧的通量 .
四、求向量场 A e xy i cos( xy) j cos( xz2 )k 的散
度.
五、设u( x, y, z) , v( x, y, z)是两个定义在闭区域 上的
具有二阶连续偏导数的函数,u , v 依次表示 n n
的上侧.
z
解:以半球底面 0 为辅助面,
且取下侧, 记半球域为 , 利用 高斯公式有
o
0
y
x
原式 =
0
0
3d xd yd z
x dydz
0
3 2 R3 0 2 R3
3
ydzdx
zdxdy
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例3. 设 Σ 为曲面 z 2 x2 y2, 1 z 2 取上侧,求
I
(x3z x) d y d z x2 yz d z d x x2z2 d x d y.
P d y d z Q d z d x Rdx d y (Gauss 公式)
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由两类曲面积分之间的关系知 ( P Q R )dV xyz (P cos Q cos R cos )dS.
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系.