高二数学向量在平面几何解题中的应用PPT教学课件

四、应用向量知识证明等式、求值
例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，
使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，
求△AEM的面积
DF
C
分析：如图建立坐标系，设E(e,0)M(4,2),
N是AM的中点，故N(2,1) AM(4,2)
M N
ENANAE=(2,1)-(e,0)=(2-e,1) A M E N (4 ,2 )(2 e ,1 ) 0 A
解得：e=2.5
EB
故△AEM的面积为5
四、应用向量知识证明等式、求值
例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，
使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，
求△AEM的面积
DF
C
解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由
正方形面积为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2)
a 2 bc 2b
a 2 bc 2a
C ( F , ) (a ,b )
2 b 2 a 2 ab
bca2 CF
CH即
CF//CH
而CF、CH有公共点C，所以
2bc
C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点

三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例二、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，
A
解：设AD与BE交于H，
BCa CAb
HE
CH p
B
DC
H B A ( b C p )a 0 b a p a 0
B C H ( a A p )b 0 b a p b 0
papb 0 p(a b ) 0
CB H A 0 C H BA
即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。
在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，
使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线
解：设 AB a,AC b
P
C
则 AN 1b,AM 1a
2
2
由此可得 BN NP 1ba
2
CM M Q1ab
2
N
A
B M
P A A N N ,P P ( A b a ) a b
A A Q M M ,A Q ( Q b a ) a b 即 PA AQ故有 PA// AQ，且它们有 Q 公共点A，所以P、A、Q三点共线
分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量ACCB，即 ACCB0。 解：设 AOa,OC b
则 A C ab,C B ab，
由此可得：A C C a B b a b
B O
22
22
aba b
r2r20
即 ACCB0 ，∠ACB=90°
思考：能否用向量坐标形式证明？
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已知：平行四边形ABCD。
D
求证：A 2 B B 2 C C 2 D D 2 A A 2 B C 2 D
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 ABa,ADb其它线段对应向 A
量用它们表示。
C B
解：设 ABa,ADb，则 B b C ,D a ,A A a C b ;D a B b
22
A 2 B B2 C C 2 D D 2 2 A (a b)
A 2 B C 2 a D b 2 a b 2
a 2 2 a b b 2 a 2 2 a b b 2 2 a 2 b 2 2 a 2 b 2
∴ A 2 B B 2 C C 2 D D 2 A A 2 B C 2 D
（3）两向量相等充要条件：
abab,且方向相同。
a ( x 1 ,y 1 ) b ( x 2 ,y 2 ) a b x 1 x 2 ,y 1 y 2
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
C 例一、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
HE
m cb a
C H ( c , c)b c(a ,b ) aa
B
DC
由A、B、F共线；CF⊥AB对应向量共线及垂直解得：
( AAb , BB a //) CAx a FF 2 c 可可 ( , b y 得得) ：：a 0 c b 2 x b b a( (x y c c a a ) )2 0 y b ( a ) c 0 xy
一、向量有关知识复习
（1）向量共线的充要条件:
a 与 b 共线 a b R ,b 0
a ( x 1 ,y 1 ) b ( x 2 ,y 2 ) a /b /x 1 y 2 x 2 y 1 0
（2）向量垂直的充要条件：
a b a b 0 a 0 , b 0
a ( x 1 ,y 1 ) b ( x 2 ,y 2 ) a b x 1 x 2 y 1 y 2 0
M N
AM(8,4) ENANAE=(4,2)-(e,0)=(4-e,1) A
EB
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点
A
分析：如图建立坐标系，设A(0,a) B(b,0) C(c,0)
再只设要H(求0,出m)点FH(x、,yF) 的坐标，
F
B就H可(求b,出m)CHBH、CCF A的坐
标B 进C 而H 确 ( 定 A b 两,m 向)c 量, (共a )线 ，b 即 三a c点 m 共0线。
H B A ( b C p )a 0 b a p a 0
B C H ( a A p )b 0 b a p b 0
papb 0 p(a b ) 0 CB H A 0 C H BA
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点
A
分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证 CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF F
过点H 只须证 ABCH
HE
由此可设 BCa CAb B
DC
CH p
如何证 p AB0？
利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。