微分方程在人口预测模型中的应用(200603杨亚辉)

微分方程在人口预测模型中的应用

杨亚辉

（海南软件职业技术学院海南琼海571400）

【内容摘要】函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究。因此如何寻求函数关系，在实践

中具有重要意义。在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关

系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找函数及其

导数的关系式。这样的关系式就是所谓的微分方程。微分方程建立

以后，对它进行研究，找出未知函数来，这就是解微分方程。对实

际问题建立微分方程（组）和解微分方程的过程，称为微分方程建

模。本文通过讨论两个主要的人口预测模型―马尔萨斯（Malthus）

模型和逻辑（Logistic）模型来揭示微分方程在建立人口预测模型

中的应用。

【关键词】常微分方程；应用；数学建模；人口预测模型；马尔萨斯（Malthus）模型；逻辑（Logistic）模型

引言：数学模型就是为了一个特定目的,对现实世界的一个特定对象,根据其特有的内在规律将错综复杂的实际问题做出一些必要的简化、假设,应用适当的数学工具得到的一个数学结构。建立数学模型,要通过调查、收集数据资料,观察和研究实际对象的固有特征

和内在规律,抓住问题的主要矛盾建立起反映实际问题的数量关系然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。

我们经常遇到一个因变量相对于一个或多个自变量变化率的有关信息，并且对描述这些相关变量的函数感兴趣。比如，若P 代表一个地区（或国家）在某个时刻t 的人数，那么有理由假设人数随时间的变化率依赖于当前量P 的大小及其他一些因素。我们希望确定P 和t 之间的关系，从而用来预测P 。如果用P （t ）表示当前人口数量，t +△t 时刻的人口数量为P （t +△t ），那么△t 期间人口数的变化△P 由下式给出 △P ＝P （t +△t ）－P （t ）

假设时间t 是连续改变的，以便我们可以利用微积分。对上式两边除以△t ，得到 ()()P P t t P t kP t t

+-==△△△△ 我们可以把△P /△t 从物理上理解成P 在时间段△t 上的平均变化率，△P /△t 也可从几何上解释为连结点（t 0 ,P (t 0)）和点(t 0 + △t , P （t +△t ）)的线段的斜率。令△t 趋于零，由导数的定义得到下面的微分方程 0lim t P dP kP t dt

∆→∆==∆ 其中dP /dt 表示瞬时变化率。导数有三种不同的作用：

（1） 在连续问题中表示瞬时变化率。

（2） 在离散问题中逼近平均变化率。

（3） 导数作为曲线的切线的斜率。

用导数去逼近平均变化率，常能利用微积分来揭示所求变量之间的函数关系。把导数解释成瞬时变化率在许多建模问题的应用问题中很有用。把导数从几何上解释成曲线的切线的斜率，也有助于构造出数值

解。下面讨论两个著名的用微分方程建立的人口预测模型的例子。我们会看到，微分方程在建立模型的过程中的重要作用。

一、马尔萨斯（Malthus ） 模型

由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手。因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型。

英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型。

马尔萨斯的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r 。在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型。

模型建立和求解：设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为

t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,

并设0t t =时刻的人口为0N ,于是

⎪⎩⎪⎨⎧==．

，00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为

)(00e )(t t r N t N -=,

此式表明人口以指数规律随时间无限增长。

模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是

)1961(02.09e 1006.3)(-⨯=t t N 。

模型分析：这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数。因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34。6年增加一倍．

但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口。如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改。

二、逻辑（Logistic ）模型

马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能满足一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少

时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小。因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改。

1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,

当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型。

由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为

⎪⎩

⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，000)(1d d N t N N N N r t N 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,

)(00e 11)(t t r m m

N N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=。

下面,我们对模型作一简要分析。

（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向

于极限值m N ；

（2）当m N N <<0时,

01d d >⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；

（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 22

2,所以当2m N N <