平方根知识点及练习题
人教七年级下数学_必刷题《课时1_算术平方根》刷基础
6.1 平方根课时1 算术平方根知识点一 算术平方根的概念1.（2019上海黄浦区模拟）0.01的算术平方根是（ ）A.±0.1B.±0.0001C.0.001D.0.12.（2020河北保定期末）“9的算术平方根”这句话用数学符号表示为（ ）A.√9B.±√9C. √3D.±√33.（2019江苏无锡滨湖区期末）√214的值等于（ ）A.32B.﹣32C.± 32D. 81164.（2019湖南长沙芙蓉区校级期中）若√x =3，则x 的值是（ ）A.±3B.9C.±9D.35.（2020山东潍坊月考）下列语句正确的是（ ）A.﹣164的算术平方根是﹣18B.﹣164的算术平方根是18C.164的算术平方根是18D.164的算术平方根是﹣186. 4的倒数的算术平方根是（ ）A.﹣14B.14C.12D.﹣127.−√(−6)2=__________；(-6)2的算术平方根为 ；(±6)2的算术平方根为__________；|-81|的算术平方根为__________.知识点二 利用计算器求一个正数的算术平方根8.利用计算器计算数的大小：√25.7≈__________（结果精确到0.1）.9.利用计算器求下列各式的值：（1）√961；（2）√175.5625；（3）√23（结果精确到0.01）.知识点三 比较大小10.通过估算比较大小，下列结论不正确的是（ ）A.√172＞√16B.−√10＜−√(−11)2C.√7−22＜12 D.√15需要√2011.比较下列各组数的大小.（1）−√10与-3.2；（2）√6−12与√2+12； （3）√3−12与12； （4）√99−72与85.参考答案1.答案：D解析：0.01的算术平方根是0.1.故选D .2.答案：A解析：“9的算术平方根”这句话用数学符号表示为√9.故选A.3.答案：A解析：√214=√94=32，故选A.4.答案：B解析：∵√x =3，∴x =32=9，故选B.5.答案：C解析：被开方数与算术平方根均为非负数，所以164的算术平方根是18正确，故选C.6.答案：C解析：4的倒数是14，14的算术平方根是12，故选C.7.答案：﹣6 6 6 9解析：(-6)2=36，36的算术平方根为6，所以−√(−6)2=﹣6；(-6)2=36，36的算术平方根为6；(±6)2==36，36的算术平方根为6；|-81|=81，81的算术平方根为9.故答案为-6，6，6，9.8.答案：5.1解析：依次按键√、25.7、=，显示：5.069516742.∴√25.7≈5.1.9.答案：见解析解析：（1）依次按键√、961、=，显示：31.∴√961=31.（2）依次按键√、175.5625、=，显示：13.25.∴√175.5625=13.25.（3）依次按键√、23、=，显示：4.795831523.∴√23≈4.80.10.答案：B解析：A 选项，因为172＞16，所以√172＞√16，故A 正确；B 选项，-√(−11)2=-11，-11＜-√10，所以-√10＞-√(−11)2故B 错误；C 选项，√7＜3，因此√7-2＜1，因此√7−22＜12，则C 正确，D 选项，因为15＜20，所以√15＜√20，故D 正确，故选B.11.答案：见解析解析：（1）∵-3.2=-√10.24，10＜10.24.∴√10＜√10.24，∴-√10＞-√10.24，即-√10＞-3.2.（2）∵2＜√6＜3，1＜√2＜2，∴1＜√6-1＜2，2＜√2+1＜3， ∴√6-1＜√2+1，∴√6−12＜√2+12. （3）∵1＜√3＜2，∴0＜√3-1＜1，∴√3−12＜12. （4）∵√99−72＜√100−72，∴√99−72＜32. ∵32=1510，85=1610，∴32＜85，∴√99−72＜85.。
二次根式知识点及典型例题(含答案)
4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根（ ）A.36B.81121 C.2-（5） D.41【答案】A.2=36±（6）∴36的平方根为6±，即6± ∴36的算术平方根为6，即B.2981=11121±（）∴81121的平方根为911±，即911±∴81121的算术平方根为911，即911 C.25=25±（）∴2-（5）的平方根为5±，即5± ∴2-（5）的算术平方根为5，即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．练习1、计算：（1 （2）【答案】（1）211=121（2）20.9=0.810.9±表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。
练习1、x为何值时，下列各式有意义。
【答案】解：A.10x-≥，即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥，即01x≤≤有意义C.10x+>，即1x>-D.230x+≥，即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解：33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于（）.D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是（）A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根，4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是（）3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解：A、本选项不能合并，错误；3=-2，本选项错误；B、√-8C、（(x+2y)2=x2+2xy+4y2，本选项错误；D、√18-√8=3√2-2√2=√2，本选项正确．故选D【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例8、）【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1【答案】B【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1【答案】D解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．【解析】代数式√x有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．x-13.要使式子2-x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2【答案】D解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．4. 下列计算正确的是（）=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3，原式计算错误，故本选项错误；B、√2与√3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；=√2，计算正确，故本选项正确；C、2√12D、3+2√2≠5√2，原式计算错误，故本选项错误；根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．5. 若，则＝【答案】6【解析】原方程变为：，所以，，由得：＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6中等题1.结果是。
七年级数学算术平方根(人教版)(基础)(含答案)
故选B．
试题难度：三颗星知识点：算术平方根
6.算术平方根等于它本身的数是( )
A.1 B.﹣1
C.0 D.0或1
答案：D
解题思路：
算术平方根等于它本身的数是0或1．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：算术平方根
7. =________； =________．( )
；
．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：算术平方根
4. 的算术平方根是( )
A.9 B.±9
C.±3 D.3
答案：D
解题思路：
9，9的算术平方根为3．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：算术平方根
5.下列各数，没有算术平方根的是( )
A. B.﹣4
C. D.0.001
答案：B
解题思路：
负数没有算术平方根；
， ；
答案：A
解题思路：
设该广场的宽为x，则长为3x．
由题意得：
解得x=80或x=﹣80（舍去）
所以 ；
所以该广场的长为240；
故选A．
试题难度：三颗星知识点：算术平方根
A.﹣0.1，9 B.0.1，3
C.±0.1，±3 D.0.1，﹣3
答案：B
解题思路：
0.01的算术平方根是0.1；
，9的算术平方根为3．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：算术平方根
3. 的值等于________； 的值等于________．( )
A.﹣4， B.4，
C.±4，± D.16，
答案：B
解题ห้องสมุดไป่ตู้路：
A. ，36 B. ，
平方根(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题6.2平方根（基础篇）（专项练习）一、单选题1．4的平方根是（）A ．2B ．2-C ．16D ．2±2．）A ．﹣2B ．2C ．﹣12D ．123的值（）．A ．在3到4之间B ．在4到5之间C ．在5到6之间D ．在6到7之间4．下列计算正确的是（）A2=B 5=±C ．4D ．7=±5．平方根是13±的数是（）A ．13B ．16C ．19D ．19±6．若是169的算术平方根，是121的负的平方根，则（＋）2的平方根为（）A ．2B ．4C ．±2D ．±47．下列命题是真命题的是（）A ．25的平方根是5B ．0.01的平方根是0.001±C ．只有正数才有算术平方根D ．平方根是其本身的数只有08．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简a b a -+-+的结果是（）A ．b c --B ．c b -C ．222a b c -+D ．2a b c++9．将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（）A B ．2C ．1.5D ．110．有一个如图的数值转换器，当输出值是4时，输入的是（）A ．8B ．16C ．D ．二、填空题11．如果0x <，0y >且24x =，29y =，则x y +=___________．12．若2y ，则yx =________.13a ，小数部分为b ，则=a _________，b =_________．14 3.873≈ 1.225≈≈___．151=，则2x +6的平方根是______．16．某正数的平方根是a 和5a -，则这个数为_________．17．()29-的四次方根是______．18．七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1边长为a （cm ）．若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积为162cm ，那么a 的值为__．三、解答题19．求下列各式中的x ．(1)29250x -=；(2)24(2)90x --=．20．计算：(1)()()2202131---；(2)233--21．已知2a b +（1）求2a －3b 的平方根；（2）解关于x 的方程2420ax b +-=．22．（1=__________；（2=__________；（3）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，请化简：a -23．定义：若A B m -=，则称A 与B 是关于m 的关联数．例如：若2A B -=，则称A 与B 是关于2的关联数．(1)若49与a 是关于2的关联数，则=a ________；(2)若21x -与53x -是关于2的关联数，求51x +的平方根；(3)若M 与N 是关于m 的关联数，53M mn n =++，N 的值与m 无关，求N 的值．24．发现：（1）面积为249cm 的正方形纸片，它的边长是______cm ；拓展：（2）面积为226cm 的长方形纸片，如果它的长是宽的2倍，则长和宽各是多少cm ？延伸：（3）在面积为249cm 的正方形纸片中能否沿着边的方向（如图所示）裁出一块面积为226cm 的长方形纸片，使它的长是宽的2倍?说明理由．参考答案1．D【分析】根据平方根的意义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．【详解】∵()22=4±∴4的平方根为2±．故选：D．【点拨】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根是解题的关键．2．C【分析】先化简，再计算倒数．【详解】解：＝−2，-2的倒数是1 2-．故选：C．【点拨】本题考查了倒数，算术平方根，熟练掌握相关知识是解题的关键．3．C【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：∵56<，5到6之间．故选C．【点拨】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分与小数部分是解题的关键．4．D【分析】A、根据负数没有平方根即可判定；B、根据算术平方根的定义即可判定；C、根据算术平方根的定义即可判定；D、根据平方根的定义即可判定．【详解】解：AB5=，故选项错误；C、4==-，故选项错误；D、7=±，故选项正确．故选：D．【点拨】此题考查了平方根、算术平方根的定义．此题比较简单，注意熟记定义是解此题的关键．5．C【分析】根据平方根的定义求解即可．【详解】解：∵211 39⎛⎫±=⎪⎝⎭，∴平方根是13±的数是19．故选C．【点拨】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根．6．C【分析】求出m、n的值，求出m+n的值，再根据平方根定义求出即可．【详解】解：∵m是169的算术平方根，n是121的负的平方根，∴m=13，n=-11，∴m+n=2，∴（m+n）2的平方根是，故答案为C．【点拨】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．7．D【分析】根据平方根的概念判断即可．【详解】解：A、25的平方根是±5，故本选项命题是假命题；B、0.01的平方根是±0.1，故本选项命题是假命题；C、正数和0都有算术平方根，故本选项命题是假命题；D、平方根是其本身的数只有0，故本选项命题是真命题；故选：D．【点拨】本题考查的是平方根及算术平方根的概念，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．A【分析】先判断0b c a <<<，可得0b a -<，再结合算术平方根的含义可得0c <c =-，再化简绝对值即可．【详解】解：∵0b c a <<<，∴0b a -<，∴a b a -+-+()()a b a c =---+-a b a c=--+-b c =--．故选A ．【点拨】本题考查的是算术平方根的含义，化简绝对值，整式的加减运算，掌握“算术平方根的含义与化简绝对值”是解本题的关键．9．A【分析】求出长方形的面积，即为正方形的面积，开方即可求出正方形边长．【详解】解：根据题意得：故选：A ．【点拨】此题考查了算术平方根，弄清题意是解本题的关键．10．B【分析】设输入的数为x ，根据输出值是4即可求出答案．【详解】解：设输入的数为x ，∴4=，16x ∴=，故选：B ．【点拨】本题考查的是算术平方根的概念和性质，解题的关键是掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解题的关键，注意有理数的概念．11．1【分析】24x =即x 是4的平方根，29y =即y 是9的平方根，因而根据0x <，0y >且24x =，29y =就可确定x ，y 的值，进而求解．【详解】解：∵24x =，29y =，∴2x =±，3=±y ，又∵0x <，0y >，∴2x =-，3y =，∴231x y +=-+=．故答案为：1．【点拨】本题考查平方根的意义，求代数式的值，有理数的加法运算．根据条件正确确定x ，y 的值是解题关键．12．94【分析】根据算术平方根的非负性求得,x y 的值，代入代数式即可求解．【详解】解：∵2y ，∴230,320x x -≥-≥，∴230x -=，解得32x =，∴2y =，∴23924yx ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：94．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．13．33【分析】根据34<首先确定a 的值，则小数部分即可确定．【详解】解：34<< ，3a ∴=，则3b =．故答案是：33．【点拨】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．14．12.25【分析】根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左向右移动1个位数”可知答案．1.225≈，≈12.25故答案为：12.25【点拨】本题考查了求算术平方根，掌握规律是解题的关键．15．±21=，解得=1x -，继而计算264x +=，再根据平方根的定义解答．【详解】解：1=，21x ∴+=1x ∴=-264x ∴+=4的平方根是±2故答案为：±2．【点拨】本题考查平方根与算术平方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．16．254【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得50a a +-=，解方程求出a ，然后根据平方根的意义求出这个正数．【详解】解： 某正数的平方根是a 和5a -，50a a ∴+-=．解得52a =．2525()24±= ．∴这个数为254．故答案为：254．【点拨】本题考查了平方根的性质与意义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，且它们互为相反数．17．3±【分析】计算出()2981-=，再找出四次方等于81的数即可．【详解】解：∵()2981-=，又∵()4381±=∴()29-的四次方根是3±，故答案为：3±．【点拨】本题考查平方根的推广，有理数的乘方．解题的关键是正确找出四次方等于81的数．18．8【分析】设阴影小正方形的边长为x cm ，根据阴影部分的面积列出方程，求出x 的值，进而得出大正方形的对角线的长度是4x cm ，最后求出边长a 即可．【详解】设“小狐狸”脸部小正方形的边长为x cm ，由题意得：21(24)162x x x x +⨯-=，解得：x =x =-∴小正方形的边长为，∴大正方形的对角线为：，∴大正方形的边长为8(cm)=，8a ∴=．故答案为：8．【点拨】本题主要考查七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的关系是解题的关键．19．(1)1255,33x x ==-(2)1271,22x x ==【分析】（1）先移项，然后利用平方根求解方程即可；（2）先移项，然后利用平方根求解方程即可．【详解】（1）解：29250x -=移项得：2925x =，∴2259x =，∴53x =±，∴1255,33x x ==-（2）24(2)90x --=24(2)9x -=，∴29(2)4x -=∴32=2x -±∴1271,22x x ==．【点拨】题目主要考查利用平方根解方程，熟练掌握解方程方法是解题关键．20．(1)5；(2)8--【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可；（2）先化简各式，然后再进行计算即可．【详解】（1）解：22021(3)(1)--93(1)=-+-6(1)=+-5=；（2）解：233|-+932=-+8=-【点拨】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．21．（1）23a b -的平方根为4±；（2）3x =±．【分析】（1）先由相反数的定义列出等式，再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出a 、b 的值，然后代入，根据平方根的定义求解即可；（2）先将a 、b 的值代入，再利用平方根的性质求解即可．【详解】（1）由相反数的定义得：02a b ++=由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：203120a b b +=⎧⎨+=⎩解得24a b =⎧⎨=-⎩则23223(4)41216a b -=⨯-⨯-=+=故23a b -的平方根为4±；（2）方程2420ax b +-=可化为224(4)20x +⨯--=整理得22180x -=29x =解得3x =±．【点拨】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义等知识点，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．22．（1）5；5；（2）()0(0)a a a a ⎧≥⎨-<⎩；（3）b a -【分析】（1）根据算术平方根求解即可；（2）结合（1）中结果求解即可；（3）根据数轴得出0c a b <<<，且a b <，然后将各式化简合并同类项求解即可．【详解】解：（15=5==；故答案为：5；5；（2）当0a ≥a =；当0a <a =-；()0(0)a a a a ⎧≥=⎨-<⎩，故答案为：()0(0)a a a a ⎧≥⎨-<⎩；（3）由数轴得：0c ab <<<，且a b <，∴a +∴a -()()a abc c a =-++-+-a a b c c a=-++-+-b a =-．【点拨】题目主要考查算术平方根的化简及根据数轴判断式子的正负，整式的加减法等，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键．23．(1)47；(2)3±；(3)165．【分析】（1）根据关联数的含义，列方程求解即可；（2）根据关联数的含义，列方程求得x 的值，即可求解；（3）根据关联数的含义，可得M N m -=，可得N M m =-，根据题意，求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：492a -=解得47a =，故答案为：47；（2）由题意可得：21(53)2x x ---=解得：85x =，519x +=9的平方根为3±（3）由题意可得：M N m -=，则53(51)3N M mn n m n m n m ++--==+=+-，∵N 的值与m 无关∴510n -=，解得15n =则116355N =+=【点拨】本题考查了新型定义题型，解一元一次方程、整式的值与字母无关，解题的关键是准确理解题干，列出方程，进行解答．24．（1）7；（2，长为；（3）不能，理由见解析【分析】（1）根据正方形的面积公式和正方形的面积即可求出正方形的边长；26cm列出方程求解即可；（2）设长方形的宽为x cm，则长为2x cm，根据长方形的面积为2（3）根据题意比较正方形的边长和长方形的长即可判断．49cm，【详解】解：（1）∵正方形的面积为2∴边长7==cm．（2）设长方形的宽为x cm，则长为2x cm，根据题意得x·2x＝26，x2＝13，解得x＝∵x∴x∴长为2x＝，，长为，（3）不能．理由：因为7，即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片．【点拨】此题考查了正方形和长方形面积公式，算数平方根的性质，解题的关键是根据题意求出正方形的边长和长方形的长和宽．。
第1节平方根
内容对应本章知识①整体思想实数③数形结介思想平方根、实数⑫方程思想立方根⑬分类讨论的思想算术平方根全章方法及技巧梳理I.保分点全掌握---------------知识点系统学习知识点1:平方根典例解读出题角度1:(重点)求一个数的平方根【例1一1】求下列各数的平方根：9(1)16； (2) 0： (3) 0・ 49； (4) ——:(5) 一9・121解析：根据平方根的定义及性质即可求解.解:(1)因为(±4) 2=6 所以16的平方根是±4：(2)W为02=0,所以0的平方根是0；(3)因为(±0. 7) 2=0. 49,所以0・49的平方根是土0. 7；(4)因为(±2)丄丄,所以2的平方根是±丄：II 121 121 11(5)因为一9<0,所以一9没有平方根.出题角度2：(拔高点)平方根性质的应用【例1一2】求下式中的X：(I) X2 = 64 ； (2) 2=144：(3) X2=1.69； (4) 49^=25 .解：(】)因为=64 •所以x=±8： (2) W为9/ = 144 ,所以x=±—・(3)3|丸为j2 = 1.69 ,所以x=±l ・ 3； (4)因为49A2= 25 ,所以x2=—,所49以x=±-・7方法规律1：本题中，对于(2)、(4),运用了等式的基本性质2.在求x的值时，则运用了平方根的定义.方法规律2：在求•个数的平方根时，经常需要判断这个数“是哪个数的平方”，因此，记住常见的•些数的平方，对学好本部分知识很有帮助.11121314151617181920知识浓缩1. 如果•个数的平方等于e那么这个数叫做d的_________ ,也称为_____ .如果x~ = (1 1那么就叫做__ 的平方根.2. •个正数a的正的平方根，记作“ ______ ",正数a的负的平方根记作“ _____ ”.这两个平方根合起来记作“ __________ ",读作“正、负根号求•个数的平方根的运算，叫做3・易错捉示：回•个正数的平方根有________ 个，它们互为 __________ : 0只有_____ 个平方根，它是0本身; ______ 没有平方根.举•反三训练1-1.求下列各式的值(1) 土屈;(2) -V16 ：(4)举•反三训练1-2.求满足下列各式的X的值:(1) 169X2=100；(2) +-3 = 0：(3) (2x-l)2 =9 ・1-3.已知加-1的平方根是±3,3“ + b -l 的平方根是±4,求“ + 2b 的值. 知识浓缩 举仮三训练 2-1.求下列各数的算术平方根: (1) 16： 9；(3)I. 21：36・49(5) -4.133r25x+6,解：因为•个正数的平方根互为相反数，所以(3A -2)+(5A +6)=0,所以 -丄，所以3x-2=--,所以这个数是巴. 2 24易错点拨出题角度3：(易错题)概念不淸导致错误 【例1—4】1?的平方根是 ________________ ・16错解^原式=±1-.或丄.44错解解析：•个带分数计算平方根时，我们需要先将带分数化为假分数, 然后再分/、分母分别开平方，本题错误的原因是把1和2分别计算平16方根，然后再合起来的，这样不符合任何运算规律. 正确解法：1善的平方根为土洁 =±扌.方法规徐：带分数开平方时可先化为假分数，然后再考虑开平方.知识点2：算数平方根 典例解读出题角度1：(重点)算数平方根的概念 【例2-1］求下列各数的算术平方根(1)64;(2) (-3)2：(3) 1—.49解析：根据算术平方根的左义，求一个数d 的算术平方根可转化为求 一个数的平方等于"的运算，更具体地说，就是找岀平方后等于"的 正数. 解：(2)因为8?=64,所以64的算术平方根是8,即奶=8：(2)因为(-3尸=32=9,所以(-掰的算术平方根是3,即圧产=3；(3) 因为1兰=里，又(-)2=-,所以1兰的算术平方根是色，即49 49 7 49 49 7方法规律：这类问题应按算术平方根的左义去求.要注意(-3)2的算术 平方根是3,而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其举仮三训练2-2.小张计划用100举•反三训练举•反三训练2-4.化简 J （x-2）2 .举•反三训练2-5.下列各组数据中的三个数，可 作为出题角度2：（拔高点）算数平方根的实际应用【例2-2］ ■段电路中的电阻R （单位:欧）和电压5单位：伏）以及电流 （单位：安）之间的关系是：U 』R.己知电压为220V,电阻是22欧,求此时的电流.解：根据U=FR 、知道220=rx22,所以尸=100,由于/是正数，所以/=10 安.易错点拨出题角度3：（易错题）概念不清导致错误 【例2-3］厲的算术平方根是____________ . 错解：厲的平方根是±3.错解解析：的本身就衣示9的算术平方根，即屁3.在这里实际上是 求3的平方根.正确解法：厲的平方根是±苗.出题角度4：（易错题）忽视隐含条件导致错误 【例2-4】化简炉茹7. 错解：J （3-;r ），= 3 -；r.错解解析：错解忽视了 3-”<0这•隐含条件，因为庙$0,所以其值 不能为负数. 匸确解法：J （3—；r ）‘ =13—龙1=龙一3.方法规律：形如后的式J'•开平方，应注意被开方数中a 的正负情况： 当心0时，長=。
平方根和立方根知识点总结及练习
基础知识巩固一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根1平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根．2开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义;3平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±3 4一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 5符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根1算术平方根的定义： 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 x≥0中,规定a x =;2a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数;3当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小;一般来说,被开放数扩大或缩小a 倍,算术平方根扩大或缩小a 倍,例如=5,=50;4夹值法及估计一个无理数的大小5a x =2x≥0 <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 6正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零; a a ≥00≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a a <0 a ≥07平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数; 3、立方根1立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根也叫做三次方根,即如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根2一个数a 的立方根,记作3a ,读作：“三次根号a ”,其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方; 3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根,是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根;4利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即()330a a a -=->;5a x =3 <—> 3a x =a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x633a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;典型例题分析知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是 A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数2、下列语句中,正确的是A ．一个实数的平方根有两个,它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个3、下列说法中：①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±;其中正确的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4、()20.7-的平方根是A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.49 5、下列各组数中,互为相反数的组是A 、－2与2)2(- B 、－2和38- C 、－21与2 D 、︱－2︱和2知识点二：计算类题型1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.___________, ___________,___________.2、=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 38-= .3、① 2+32—52 ② 771-7③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 41)2(823--+4、1327-＋2)3(-－31- 233364631125.041027-++---3知识点三：利用平方根和立方根解方程1、12x-12-169=0； 212142=x 3125)2(3=+x知识点四：关于有意义的题a ,有非负性,a 0a a ≥0;要使1a有意义,必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义,则a 的取值范围是 A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义,x 应满足的条件是3、当________x 时,式子21--x x 有意义;知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x,则a 是多少2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根,求m 的值;3、已知x 、y 都是实数,且334y x x =--,求x y 的平方根;知识点六：非负性的应用1、已知实数x,y 满足 2x -+y+12=0,则x-y 等于解答：根据题意得,x-2=0,y+1=0,解得x=2,y=-1, 所以,x-y=2--1=2+1=3．2、已知a 、b 满足0382=-++b a ,解关于x 的方程()122-=++a b x a ;3、若0)13(12=-++-y x x ,求25y x +的值;4、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ,求代数式acb -的值;5、已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数,求ab －2－27 的值;重点知识巩固考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义1如果一个正数x 的平方等于a,即,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根;2如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟;如果,那么x 叫做a 的平方根;3如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根;如果,那么x叫做a的立方根;2、运算名称1求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算;2求一个数的立方根的运算,叫做开立方;开立方和立方互为逆运算;3、运算符号1正数a的算术平方根,记作“a”;2aa≥0的平方根的符号表达为;3一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数;4、运算公式4、开方规律小结,a的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反1若a≥0,则a的平方根是a数,其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根;实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0;2若a<0,则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数,则a的立方根是;3正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数;。
人教版数学七年级下册6.1平方根算术平方根 同步练习
6.1 平方根第1课时算术平方根基础训练知识点1 算术平方根的定义1.算术平方根等于它本身的数是_________;_________的算术平方根等于它的相反数.2.(2016·黄冈)错误!未找到引用源。
的算术平方根是_________.3.下列说法正确的是()A.因为62=36,所以6是36的算术平方根B.因为(-6)2=36,所以-6是36的算术平方根C.因为(±6)2=36,所以6和-6都是36的算术平方根D.以上说法都不对4.下列说法正确的是()A.错误!未找到引用源。
表示25的算术平方根B.-错误!未找到引用源。
表示2的算术平方根C.2的算术平方根记作±错误!未找到引用源。
D.2是错误!未找到引用源。
的算术平方根知识点2 求算术平方根5.(2016·杭州)错误!未找到引用源。
=()A.2B.3C.4D.56.设错误!未找到引用源。
=a,则下列结论正确的是()A.a=441B.a=4412C.a=-21D.a=217.已知边长为m的正方形的面积为12,则下列关于m的说法中,错误的是()①m不是有理数;②m是方程m2-12=0的解;③m满足不等式组错误!未找到引用源。
④m是12的算术平方根.A.①②B.①③C.③D.①②④8.一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是()A.a+1B.a2+1C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
+19.已知一个表面积为12 dm2的正方体,则这个正方体的棱长为()A.1 dmB.错误!未找到引用源。
dmC.错误!未找到引用源。
dmD.3 dm知识点3 算术平方根的非负性(错误!未找到引用源。
≥0,a≥0)10.(1)错误!未找到引用源。
中,被开方数a是_________,即a_________0;(2)错误!未找到引用源。
是_________,即错误!未找到引用源。
_________0,即非负数的算术平方根是_________;负数没有算术平方根,即当a_________0时,错误!未找到引用源。
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3， ＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】 求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8． （2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979． 【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根． 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝ ，y ＝ ；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝ ；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 举一反三：【变式】 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554． 【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得； （2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 举一反三：【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________； 如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________； 如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52， 所以x 2=1.21， 即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值． 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可． 解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±， 解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=， 解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 举一反三：【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -． （1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解． 【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0， 解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可； （2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】 求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可． （2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可． （4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75， 解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键． 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】 已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。
(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.23(2)0y z -++=，求xyz 的值。
平方根基本知识点
2011-2012暑期第一次课 内容：平方根 一、平方根的定义填空：平方根的定义： 注意： 练习： 1、94的平方根是 ，25的平方根是_________. (-4)2的平方根是___________. 2、2)9(-的平方根是（ ）（A ）±3 （B ）±9 （C ）3 （D ）－9 二、平方根的表示：求下列各数的平方根：5, 3, 121，练习：1、若a 的平方根是±5,则a =___________.2、设a x =2，有下列几种说法：（1）a 是x 的平方根 （2）a 是x 的平方（3）x 是a 的平方根（4）x 是a 的平方。
正确的是（ ）（A ）（1）和（2） （B ）（2）和（3） （C ）（2）和（4） （D ）（1）和（3） 3、有下列说法：（1）416±= （2）因为4是正数，所以4有平方根 （3）因为0既不是正数也不是负数，所以0没有平方根（4）可以平方的数一定也可以开平方 （5）如果一个数有平方根，那么这个数的平方根一定有两个。
其中正确的有（ ）个。
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、判断：9的平方根是3（ ）；3是9的平方根（ ）9的平方根是3是9的平方根（ ）2是4的平方根（ ） 三、算术平方根定义：思考：平方根和算术平方根的区别和练习 练习：1、求下列个数的算术平方根（1）、 196； （2） ；（3）0.04 ； （4）1022、如果一个数的平方根是3+a 和152-a ，求这个数。
2.1一个数的平方根是2a-3与5-a ，求a 的值和这个数。
四、非负性 计算下列各值：，，，，，，从上面的计算，你可以得到那些结论：练习：1、若33-+-x x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3 xB ．3 xC ．3≥xD ．3=x1.1若x 、y 都是实数，且y = 4，求xy 的值.25611.24y +，求x 与y 的值。
平方根和立方根复习
平方根和立方根复习知识点一：平方根(1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作。
(2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根。
0的算术平方根是0。
a(a≥0)的算术平方根记作。
巩固练习一：基础题知识点1 算术平方根1．(呼伦贝尔中考)25的算术平方根是( )A ．5B ．－5C ．±5D . 52．(杭州中考)化简：9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3.14的算术平方根是( ) A .12 B ．－12 C .116 D ．±124．(南充中考)0.49的算术平方根的相反数是( )A ．0.7B ．－0.7C ．±0.7D ．05．(－2)2的算术平方根是( ) A ．2 B ．±2 C ．－2 D . 26．(宜昌中考)下列式子没有意义的是( )A .－3B .0C . 2D .（－1）27．下列说法正确的是( )A ．因为52＝25，所以5是25的算术平方根B ．因为(－5)2＝25，所以－5是25的算术平方根C ．因为(±5)2＝25，所以5和－5都是25的算术平方根D ．以上说法都不对8．求下列各数的算术平方根：(1)144； (2)1； (3)1625； (4)0.a a9．求下列各式的值：(1)64；（2）121225； (3)108；(4)（－3）2.知识点2 估计算术平方根10．一个正方形的面积为50平方厘米，则正方形的边长约为() A．5厘米B．6厘米C．7厘米D．8厘米11．(安徽中考)设n为正整数，且n＜65＜n＋1，则n的值为() A．5 B．6 C．7 D．812．(泉州中考)比较大小：用“＞”或“＜”号填空)．中档题16．设a－3是一个数的算术平方根，那么()A．a≥0 B．a＞0 C．a＞3 D．a≥3 17．(台州中考)下列整数中，与30最接近的是(B)A．4 B．5 C．6 D．7 18．(东营中考)16的算术平方根是()A．±4 B．4 C．±2 D．219．若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是()A．1 B．－1 C．0 D．0或120．下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10，记为±100＝10；③(－6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个21．(天津中考)已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为() A．1 dm B. 2 dm C. 6 dm D．3 dm22．若一个数的算术平方根是11，则这个数是．23．若x－3的算术平方根是3，则x＝．24．(青海中考)若数m，n满足(m－1)2＋n＋2＝0，则(m＋n)5＝．25．计算下列各式：(1)179； (2)0.81－0.04； (3)412－402.26．比较下列各组数的大小：(1)12与14；(2)－5与－7；(3)5与24；(4)24－12与1.5.27．求下列各式中的正数x的值：(1)x2＝(－3)2；(2)x2＋122＝132.28．兴华的书房面积为10.8 m2，她数了一下地面所铺的正方形地砖正好是120块，请问每块地砖的边长是多少？综合题30．国际比赛的足球场长在100 m到110 m之间，宽在64 m到75 m之间，为了迎接某次奥运会，某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2，请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？并说明理由．巩固练习二：基础题知识点1 平方根1．(黄冈中考)9的平方根是()A．±3 B．±13C．3 D．－32．(绵阳中考)±2是4的()A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根3．下面说法中不正确的是()A．6是36的平方根B．－6是36的平方根C．36的平方根是±6 D．36的平方根是64．下列说法正确的是()A．任何非负数都有两个平方根B．一个正数的平方根仍然是正数C．只有正数才有平方根D．负数没有平方根5．(怀化中考)(－2)2的平方根是()A．2 B．－2 C．±2 D. 2 6．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．(1)(－3)2；(2)－42；(3)－(a2＋1)．知识点2 平方根与算术平方根的关系7．下列说法不正确的是()A．21的平方根是±21 B.49的平方根是23C．0.01的算术平方根是0.1 D．－5是25的一个平方根8．(武汉校级月考)下列式子中，计算正确的是()A．－ 3.6＝－0.6 B.（－13）2＝－13C.36＝±6 D．－9＝－3 9．求下列各数的平方根与算术平方根：(1)(－5)2；(2)0；(3)－2；(4)16.10．求下列各式的值：(1)225； (2)－3649； (3)±144121.11．下列说法正确的是()A．－8是64的平方根，即64＝－8B．8是(－8)2的算术平方根，即（－8）2＝8C．±5是25的平方根，即±25＝5D．±5是25的平方根，即25＝±512．(东营中考)81的平方根是()A．±3 B．3C．±9 D．913．(郾城区期中)若x2＝16，则5－x的算术平方根是()A．±1 B．±4C．1或9 D．1或314．如果某数的一个平方根是－6，那么这个数的另一个平方根是6，这个数是．15．若x＋2＝3，求2x＋5的平方根．16．已知25x2－144＝0，且x是正数，求25x＋13的值．17．求下列各式中的x：(1)9x2－25＝0；(2)4(2x－1)2＝36.21．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．22．(1)一个非负数的平方根是2a －1和a －5，这个非负数是多少？(2)已知a －1和5－2a 都是m 的平方根，求a 与m 的值．知识点二：立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．a 的立方根记作3a 。
平方根、立方根知识点+例题+练习题
《 实 数 》1------平方根、立方根一、平方根1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
即a r =2，r 叫做a 的一个平方根。
２.平方根的性质与表示⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= ，负数没有平方根3.平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a 的平方根的运算。
a a =2==⎩⎨⎧-a a 00<≥a a ()a a =2 （0≥a ） 4.a 的双重非负性：0≥a 且0≥a （应用较广）例：y x x =-+-44 得知0,4==y x5.如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=４开平方后，得____6.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294 *若0>>b a ，则b a >二、立方根和开立方１．立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a ２. 立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０.３. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。
()a a =33 a a =33 33a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
三、推广： n 次方根１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。
当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个。
n a ± ０的偶次方根为０。
八上实数平方根知识点+例题+练习(分类全面)
三.开平方开平方的概念：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根.开平方运算的性质：1.平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：（1）若心。
，则（0=u；（2）不管■为何值，总有注意二者之间的区别及联系.题型一、平方根1.下列说法正确的是（）A. —81的平方根是±9B.任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数D. 2是4的平方根2.卜9|的平方根是（）A. 81B. ±33.阿的平方根是（）A. ±12B. 124.下列各数没有平方根的是（A. 18B. （一3尸C. 3D. -3C. -12D. ±712）C. &1丫D. 11. 1 最小整数为（）A. 0B. 1C. 2D. 36.卮7的值是（）A. 13B. 3C. 19D. 97.下列说法不正确的是（）A. 土也表示两个数："或一①B.在数轴上表示正数的两个平方根的两个点，总是关于原点对称C.正数的两个平方根的积为负数D. 9的平方根是38.下列说法中正确的是（）A.」的平方根是: 16 4B.任何有理数都有平方根C.任何非负数都有两个平方根D. 一个正数的两个平方根的和等于零9.如果，=人那么（）A. a=bB. aWbC. a+b=OD. a=b 或 a+b = O10. 225的平方根是_____ , 0.81的平方根是_____ .11.如果一个正数的平方根是a+3与及一 15,那么这个正数是________ .12.如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是_______ .13.求下列各数的平方根：（1）49；（2）；-9(3)0. 0081；(4)10^14.已知2a—1的平方根是±3, 3a+b —1的正平方根是4,求a+2b的平方根.15.当x为何值时，下列各式有意义？(1)斤彳；⑵ C7; (3) J77T.16.求下列各式中的x.(1)Y = 361；(2)A;+1=1. 01；17.下列命题中，正确的个数有()①1的平方根是1：②1是1的平方根；③(一1尸的平方根是一1; ④一个数的平方根等于0, 这样的数不存在.A. 1B. 2C. 3D. 418.若&的平方根是±3,则0=.若a的平方根是±3,则0=.19.已知一个正数的平方根是3x-2和5x + 6,则这个数是_______ .题型二、算术平方根1.非负数a的算术平方根表示为, 225的算术平方根是 ________________, 0的算术平方根是2.闻= ----- ‘肾------ '一得^ ------- -3. J而的算术平方根是_____ ，|-0.64］的算术平方根是____4.若x是49的算术平方根，则x等于()A. 7B. -7C. 49D. -495.若&7=7,则x的算术平方根是()A. 49B. 53C. 7D. y/536.若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是（)A. 1B. -1C. 0D. 0 或 17.后斤的化简结果是（）A. 2B. -2C. 2 或一2D. 48. （—11尸的算术平方根是（）A. 121B. 11C. ±11D.没有平方根9.求下列各数的算术平方根.(1)100：⑵3 64(3)0. 0001；(4)0.10.求下列各式的值.⑴石+ (2) 5/52—42 ；⑶"(-3)x(-27)：11.求下列各式中的x.(1)16x2—25=0；(2)(x + 2) (x-1) =7+x.题型三、双重非负性1.（ -2）°的平方根是（）A. 2B. - 2C. ±2D. V22.实数a、b满足7?n+4£+4M+号=0,则b”的值为（）A. 2B. 1C. - 2D. -12 23.若jQ-2）2=2-a,则a的取值范围是（）A. a—2B.a>2C.aN2D.aW24. ±3 是 9的（）A.平方根B.相反数C.绝对值D.算术平方根5.如果一个正数的平方根为2a+l和3a- 11,则（）A. ±1B. 1C. 2D. 96.下列等式正确的是（）A- #4 B- C- K=-3D-7. 一个正偶数的算术平方根是a,那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A. a+2B. a—2C. yj a^4"2 a+28. 9的平方根是—.9.若x, y为实数，且1x・2|+ （y+1）二=0,则次亏的值是.10.将一个长为2,宽为4的长方形通过分割拼成一个等面积的正方形，则该正方形的边长为.13.若（m+2）二后亍0，则 m・n二.14.若 x、y 为实数，且 |x+2|+Jy 一『0,则（x+y）:o:s=.15.已知一个正数的两个平方根分别为3a-4和12-5a,则a二.。
平方根(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
平方根（5种题型）【知识梳理】一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、平方根的性质x a 2x a =x a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪−<⎩()20a a =≥四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：.【考点剖析】题型一、平方根和算术平方根的概念例1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2－4＝－（3－1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2－4＝－（3－1），解得＝1；∴的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【变式1】下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.＝5，所以本说法正确；B.＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.4，所以本说法错误；D.因为0，＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（ ）（2．（ ）（3）的平方根是．（ ） 250=25= 2.5=0.25=m m m m m m m m m ()24−9−4=±21()10−110±（4）是的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √；×，提示：（2）；（4）是的算术平方根．【变式3】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.解：①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以例2、 填空：（1）是 的负平方根．（2表示 的算术平方根， ．（3的算术平方根为 ． （4，则 ，若，则 ． 【思路点拨】（3就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 【变式1】下列说法中正确的有（ ）：③ 3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根． ④ 是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】的平方根是 ．25−−4254=25425a a m m a a m a a a a a m ()()22212111a −=⨯−=a a a ()()22221[2(1)1]39a −=⨯−−=−=4−=3=x =3=x =181191911;164138−【答案】±3.解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.例3.为何值时，下列各式有意义？； (4)．【答案与解析】解：(1)因为，所以当(2)由题意可知：，所以(3)由题意可知：解得：．所以(4)由题意可知：，解得且．所以当且时有意义．【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．【变式1的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【总结升华】当式子有意义时，≥0，≥0.【变式2】已知，求的算术平方根．【答案】解：根据题意，得则，所以＝2，∴，∴．x 3x −20x ≥x 40x −≥4x ≥1010x x +≥⎧⎨−≥⎩11x −≤≤11x −≤≤1030x x −≥⎧⎨−≠⎩1x ≥3x ≠1x ≥3x ≠3x −x x 1−x x 1−a a 2b =11a b+320,230.a a −≥⎧⎨−≥⎩23a =b 1131222a b +=+=11a b +=题型二、平方根的运算例4、求下列各式的值．；【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：；．【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．题型三、利用平方根解方程例5、求下列各式中的x值， （1）169x 2=144（2）（x ﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，x ，x=x=. （2）（x ﹣2）2﹣36=0，（x ﹣2）2=36，x ﹣2=2234+2234+257535==⨯=110.63035=⨯−⨯90.26 1.72=−−=−(0)a a =>2144=1691213±x ﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．【变式1】求下列各式中的.（1） （2）； （3）【答案与解析】解：（1）∵∴ ∴（2）∵∴∴＋1＝±17＝16或＝－18.（3）∵∴∴∴【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.【变式2】求x 的值：（x ﹣2）2=4．【答案】解：∵，∴（x ﹣2）2=36， x 23610;x −=()21289x +=()2932640x +−=23610x −=2361x =19x ==±()21289x +=1x +=x x x ()2932640x +−=()264329x +=8323x +=±21499x x ==−或∴x ﹣2=6或x ﹣2=﹣6，解得：x1=8，x2=﹣4．题型四、平方根的综合应用例6.若x ，y 为实数，且满足．求的值．【答案与解析】解：∵+|y ﹣|=0， ∴x=，y=， 则原式=1．【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x ，y ，然后代入求值即可.，求的值． 【答案】，得，，即，． ①当＝1，＝－1时，．②当＝－1，＝－1时，． 【变式2】已知a 2＝16，|﹣b |＝3，解下列问题：（1）求a ﹣b 的值；（2）若|a +b |＝a +b ，求a +b 的平方根．【分析】（1）根据平方根、绝对值的定义解决此题．（2）根据平方根、绝对值的非负性解决此题．【解答】解：（1）∵a2＝16，|﹣b|＝3，∴a ＝±4，b ＝±3．∴当a ＝4，b ＝3，则a ﹣b ＝4﹣3＝1；当a ＝4，b ＝﹣3，则a ﹣b ＝4﹣（﹣3）＝7；当a ＝﹣4，b ＝3，则a ﹣b ＝﹣4﹣3＝﹣7；当a ＝﹣4，b ＝﹣3，则a ﹣b ＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1．综上：a ﹣b ＝±1或±7．0=20112012x y +0+=210x −=10y +=1x =±1y =−x y 20112012201120121(1)2x y +=+−=x y 2011201220112012(1)(1)0x y +=−+−=（2）∵|a+b|＝a+b ，∴a+b ≥0．∴a+b ＝1或7．∴当a+b ＝1时，a+b 的平方根为±1；当a+b ＝7时，a+b 的平方根为±． 综上：a+b 的平方根为±1或±．【点评】本题主要考查平方根、绝对值，熟练掌握平方根、绝对值的定义是解决本题的关键． 例7、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片 使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得. . . ∵ ＞0， ∴ .∴ 长方形纸片的长为.∵ 50＞49, ∴.∴ , 即长方形纸片的长大于20.由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．（2）求阴影部分的面积． 2cm 2cm 2:3x x cm x cm 32300x x ⋅=26300x =250x =x x=cm 7>21>cm 2cm cm cm【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；（2）利用长×宽可得结论．【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；（2）阴影部分的面积＝×（3﹣）＝3﹣6．【点评】考查列代数式和算术平方根问题，得到两个正方形的边长是解决本题的关键．【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2．(1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽；(2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】(1)长方形纸片的长为，宽为cm(2)不能，理由见详解【分析】（1）设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据面积求出矩形的长和宽即可；（2）将（1）中求出的矩形的长与正方形的边长进行比较大小即可得出结果．（1）解：设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据题意得3x·2x=300，解得x=或x=−，则3x=，2x=．答：长方形纸片的长为，宽为；（2）小波不能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片，理由如下：∵正方形的面积为400cm2，∴边长为20cm ，∵20>cm ，∴不能剪出符合要求的纸片．【点睛】本题主要考查了平方根的应用以及实数比较大小，解题的关键是理解题意并正确列出方程． 题型五：平方根小数点位数移动规律例8.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（11.414≈14.14≈141.4≈，……0.1732≈ 1.732≈17.32≈，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873 1.225≈_____≈______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；【详解】解：（1 1.414≈14.14141.4≈，……0.1732≈ 1.732≈17.32≈，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873 1.22512.25≈0.3873≈；故答案为：12.25；0.3873；【变式】如果＝3.9522，则＝ ；＝39.522，则x ＝ ；【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．【解答】解：如果＝3.9522，则＝395.22，＝39.522，则x ＝1562；故答案为：395.22，1562；【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022秋•杭州期末）若一个正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，则边长可能是（）A．4B．5C．6D．7【分析】先求出20的算术平方根，再估算出其取值范围即可．【解答】解：20的算术平方根为，∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∵正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，∴正方形的边长小于5．故选：A．【点评】本题考查的是算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．2．（2015•下城区校级二模）的平方根（）A．4B．2C．±4D．±2【分析】先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义进行求解．【解答】解：∵42＝16，∴＝4，∵（±2）2＝4，∴的平方根为±2．故选：D．【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，需要先求出，是易错题，需要注意．3．（2022秋•越城区期中）“的平方根是±”用数学式子可以表示为（）A．B．C．﹣D．±【分析】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法．【解答】解：，故选：D．【点评】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根．4．（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±的数是（）A．B．C．D．±【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（）2＝，∴平方根是±的数是，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．5．（2022秋•桐乡市期中）平方根等于本身的数是（）A．﹣1B．0C．1D．0，±1【分析】根据平方根的定义选项．【解答】﹣1没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1，故选：B．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题关键．6．（2020秋•义乌市期中）的算术平方根是（）A．4B．2C．±4D．±2【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，∴的算术平方根是2，故选：B．【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．7．（2022秋•越城区期中）若，则＝（）A．1.01B．±1.01C．±0.101D．10.1【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．【解答】解：∵，∴故选B．【点评】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．二．填空题（共11小题）8．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±）2＝2，∴2的平方根一个是，另一个是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．9．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个数的一个平方根是﹣10，则另一个平方根是．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵一个数的一个平方根是﹣10，∴这个数是（﹣10）2＝100，∴100的平方根为±10，∴另一个平方根是10，故答案为：10．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．10．（2022秋•柯桥区期中）已知一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，则这个数是．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而可得出结论．【解答】解：∵一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，∴a+2＝﹣（a﹣18），∴a＝8，∴a+2＝8+2＝10，∴这个数是102＝100．故答案为：100．【点评】本题考查的是平方根，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．11．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为．【分析】根据一个正数的平方根互为相反数求得a值，再求出（b﹣a）的算术平方根即可．【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），∴a+a﹣4＝0，∴a＝2，∴b＝4，∴b﹣a＝2，∴（b﹣a）的算术平方根为，故答案为：．【点评】本题考查平方根和算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是正的平方根是解答的关键．12．（2022秋•永康市期中）已知等式+（b﹣c+1）2＝0，则b﹣c+2a＝．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性分别求出a、b﹣c，代入计算即可．【解答】解：∵+（b﹣c+1）2＝0，∴a+3＝0，b﹣c+1＝0，∴a＝﹣3，b﹣c＝﹣1，∴b﹣c+2a＝﹣1+2×（﹣3）＝﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟记算术平方根、偶次方具有非负性是解题的关键．13．（2022秋•兰溪市期末）如图，在3×3的方格纸中，有一个正方形ABCD，这个正方形的边长是．【分析】根据正方形的面积＝大正方形的面积﹣三角形面积×4求出正方形的面积，从而得到正方形的边长．【解答】解：正方形的面积＝32﹣×2×1×4＝9﹣4＝5，正方形的边长＝．故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根，求出正方形的面积是解题的关键．14．（2022秋•余姚市月考）4的算术平方根是．【分析】根据算术平方根的意义进行计算即可．【解答】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是正确计算的关键．15．（2021秋•松阳县期末）如图，在7×7方格中，小正方形的边长均为1，则图中阴影正方形的边长是．【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查算术平方根，根据网格构造直角三角形是解决问题的关键．16．（2022秋•鹿城区校级期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是2a﹣1和3，则a的值为．【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值即可．【解答】解：根据题意得：2a﹣1+3＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．17．（2022秋•苍南县期中）如图，把一张面积为25的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为．【分析】根据拼图可知直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设未知数，求出直角三角形的直角边，再根据长方形周长与“直角边”的关系进行计算即可．【解答】解：由拼图可知，直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设短直角边为x，则长直角边为2x，由题意得，x2+（2x）2＝25，解得x＝或x＝﹣（舍去），拼成的长方形的长为5x，宽为x，所以周长为（5x+x）×2＝12x＝12，故答案为：12．确解答的前提．18．（2022秋•萧山区期中）如图所示的是一个数值转换器．（1）当输入的x值为7时，输出的y值为；（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为；（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为．【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值；（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．【解答】解：（1）当x＝7时，则y＝；故答案为：；（2）当y＝时，（）2＝5，52＝25，则x＝25；故答案为：25；（3）当x＝0，1时，始终输不出y值，∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，∴所有满足要求的x的值为0或1．故答案为：0或1．【点评】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•越城区期中）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是72cm2，求这个长方形的周长．【分析】设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据面积是72cm2列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．【解答】解：设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，由题意得：2x⋅x＝72，即x2＝36，∵x＞0，∴x＝6，即这个长方形的宽为6cm，长为12cm，则这个长方形的周长2×（12+6）＝36（cm）．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．20．（2022秋•鄞州区校级月考）已知x＝，z是9的平方根，求5z﹣2x的值．【分析】根据算术平方根和平方根的定义求出x、z的值，然后代入代数式求值即可．【解答】解：∵x＝，∴x＝5，∵z是9的平方根，∴z＝±3，∴分两种情况：当z＝+3时，5z﹣2x＝3×5﹣2×5＝5；当z＝﹣3时，5z﹣2x＝﹣3×5﹣2×5＝﹣25．故5z﹣2x的值为：5或﹣25．【点评】此题主要考查了算术平方根和平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．21．（2022秋•鄞州区期中）已知实数a，b，c满足：，求a+b+c的值．【分析】根据非负数的性质，可求出a、b、c的值，然后将代数式化简，再代值计算．【解答】解：根据题意得：，解得：．则a+b+c＝﹣2+3+1＝2．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．（2021秋•余姚市校级期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义解决此题．（2）由（1）得a＝12，b＝﹣3，再解决此题．【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．∴a＝12，b＝﹣3．（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．∴a+b＝12﹣3＝9．∴a+b的平方根为＝±3．【点评】本题主要考查平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解决本题的关键．23．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，则可求解．【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，∴2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝121；（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝1+0+5＝6，∴a+b+c的平方根是±．【点评】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．24．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：（1）|a|+3有最（填“大”或“小”）值；（2）5﹣a2有最（填“大”或“小”）值；（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求a b的平方根．【分析】（1）根据|a|≥0，可得|a|+3有最小值，最小值为3；（2）根据a2≥0，可得﹣a2≤0，进而可得5﹣a2≤5得出答案；（3）根据正整数以及方程的解的定义，得出a、b的值，再代入计算后，求其平方根即可．【解答】解：（1）∵|a|≥0，∴|a|+3有最小值，最小值为3，故答案为：小，3；（2）∵a2≥0，∴﹣a2≤0，∴5﹣a2≤5，即5﹣a2有最大值，最大值为5，故答案为：大，5；（3）∵正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣l）2，∴正整数a、b可能为：a＝3，b＝2或a＝4，b＝1，当a＝3，b＝2时，ab＝32＝9，所以ab的平方根为±＝±3；当a＝4，b＝1时，ab＝41＝4，所以ab的平方根为±＝±2；答：ab的平方根为±2或±3．【点评】本题考查平方根，偶次方，绝对值的非负性，理解平方根的定义以及偶次方、绝对值的非负性是解决问题的前提．25．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案；（2）根据算术平方根与绝对值的和为0 可得算术平方根与绝对值同时为0，可得答案．【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，解得a＝4，∴a+3＝7，∴这个数是49；（2）由题意得：2m+1＝0，3n﹣2＝0，∴m＝﹣，n＝，∴m2+n2＝（﹣）2+（）2＝+＝，∴m2+n2的平方根是±．【点评】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数，算术平方根与平方的和为0，算术平方根与平方同时为0，开平方的被开方数互为相反数，被开方数为0．26．（2020秋•诸暨市期中）先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x ＝1．解答问题：已知y＝++2，求x y的值．【分析】根据被开方数互为相反数，可得方程，根据解方程，可得x的值，再根据乘方运算，可得答案．【解答】解：已知y＝++2，1﹣2x＝0，2x﹣1＝0，解得x＝，则y＝2，则xy＝（）2＝．【点评】本题考查了算术平方根，注意算术平方的被开方数互为相反数时，被开方数相等等于零．。
初中数学《平方根》同步练习题(1)及答案
6.1平方根同步练习（1）知识点：1.算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根。
A叫做被开方数。
1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根2.平方根的性质：正数有两个平方根，互为相反数0的平方根是0负数没有平方根同步练习：一、基础训练1．9的算术平方根是（）A．－3 B．3 C．±3 D．812．下列计算不正确的是（）A 2 B=C=0.4 D－63．下列说法中不正确的是（）A．9的算术平方根是3 B±2C．27的立方根是±3 D．立方根等于－1的实数是－14的平方根是（）A．±8 B．±4 C．±2 D．5．－18的平方的立方根是（）A．4 B．18C．－14D．146_______；9的立方根是_______．7（保留4个有效数字）8．求下列各数的平方根．（1）100；（2）0；（3）925；（4）1；（5）11549；（6）0．09．9．计算：（1）234）二、能力训练10．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（）A．x+1 B．x2+1 C+1 D11．若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m的值是（）A．－3 B．1 C．－3或1 D．－112．已知x，y（y－3）2=0，则xy的值是（）A．4 B．－4 C．94D．－9413．若一个偶数的立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是_______．14．将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，•小铁球的半径是多少厘米？（球的体积公式为V=43πR3）三、综合训练15．利用平方根、立方根来解下列方程．（1）（2x －1）2－169=0； （2）4（3x +1）2－1=0；（3）274x 3－2=0； （4）12（x +3）3=4．答案:1．B2．A =2．3．C4．C =4，故4的平方根为±2．5．D 点拨：（－18）2=164，故164的立方根为14．6．±23 7．6.403，12.61 8．（1）±10 （2）0 （3）±35（4）±1 （5）±87（6）±0.3 9．（1）－3 （2）－2 （3）14 （4）±0.5 10．D 点拨：这个自然数是x 2，所以它后面的一个数是x 2+1，则x 2+1．12．B 点拨：3x +4=0且y －3=0．13．10，12，14 点拨：23<这个数<42，即8<这个数<16．14．解：设小铁球的半径是rcm ，则有43πr 3×8=43π×123，r =6， ∴小铁球的半径是6cm ．点拨：根据溶化前后的体积相等．15．解：（1）（2x －1）2=169，2x －1=±13，2x =1±13，∴x =7或x =－6．（2）4（3x +1）2=1，（3x +1）2=14， 3x +1=±12，3x =－1±12，x =－12或x =－16． （3）274x 3=2，x 3=2×427， x 3=827，x =23．（4）（x +3）3=8，x +3=2，x =－1． 6.1平方根同步练习（2）知识点：1.算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根。
七年级下册数学平方根知识点和对应练习
T ——平方根课堂导入拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形．因为两个小正方形面积之和等于大正方形的面积，所以根据正方形面积公式可知a 2＝2，那么a 是多少？这个数是多大呢？夯实基础一、知识梳理：1、算术平方根；2、平方根.二、考点分类考点一：算术平方根1.定义:一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.规定:0的算术平方根是0.2.表示方法:正数a 的算术平方根表示为:,读作“根号a ”. 【例1】求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)214；(3)0.36；(4)412－402. 解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；(2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算术平方根是32； 知识典例(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；(4)∵412－402＝81，又∵92＝81，∴81＝9.而32＝9，∴412－402的算术平方根是3.方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑；(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．【变式训练】计算：49＋9＋16－225.【例2】3＋a的算术平方根是5，求a的值．解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．【变式训练】若m是16的算术平方根，则m+3= ______ .考点二：算数平方根的非负性算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即a≥0，|a|≥0，a2≥0【例3】已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方都具有非负性，即a≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即a≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.【变式训练】若|x2-4x+4|与√2x−y−3互为相反数，求x+y的值.考点三：用计算器求算术平方根及其大小比较【例4】估算19－2的值()A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间解析：因为42<19<52，所以4<19<5，所以2<19－2<3.故选B.方法总结：本题利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小．【变式训练】通过估算比较下列各组数的大小：(1)5与1.9; (2)6＋12与1.5.【例5】已知a是8的整数部分，b是8的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．解析：本题综合考查有理数与无理数的关系．因为2<8<3，所以8的整数部分是2，即a＝2.8是无限不循环小数，它的小数部分应是8－2，即b＝8－2，再将a，b代入代数式求值．解：因为2<8<3，a是8的整数部分，所以a＝2.因为b是8的小数部分，所以b＝8－2.所以(－a)3＋(b＋2)2＝(－2)3＋(8－2＋2)2＝－8＋8＝0.方法总结：解此题的关键是确定8的整数部分和小数部分(用这个无理数减去它的整数部分即为小数部分)．【变式训练】已知29的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.考点四：平方根的概念1．平方根的概念：若x2＝a，则x叫a的平方根，x＝±a.2．平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．3．开平方及相关运算：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算．【例6】求下列各数的平方根：(1)12425；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5)81. 解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．解：(1)∵12425＝4925，(±75)2＝4925，∴12425的平方根为±75，即±12425＝±75； (2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01；(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±（－4）2＝±4；(4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±10－6＝±10－3； (5)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3.方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的平方根．【变式训练】求下列各式中x 的值：(1) x 2＝361; (2)81x 2－49＝0； (3)49(x 2＋1)＝50; (4)(3x －1)2＝(－5)2.【例7】一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，求这个数．解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a ＋1和a －4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解．解：由于一个正数的两个平方根是2a ＋1和a －4，则有2a ＋1＋a －4＝0，即3a －3＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9.方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．【变式训练】一个正数x 的平方根是2a -3与5-a ，求a 和x 的值．T ——基础练习一、选择题1. 若x 、y 都是实数，且√2x −1+√1−2x +y =4，则xy 的值为（ ）A. 0B. 21C. 2D. 不能确定2. 一个正数的两个平方根分别是2a −1与−a +2，则a 的值为（ ）A. 1B. −1C. 2D. −23. 若|x 2-4x +4|与√2x −y −3互为相反数，则x +y 的值为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 94. 下列说法正确的是( )A. 116的平方根是14B. −16的算术平方根是4C. (−4)2的平方根是−4D. 0的平方根和算术平方根都是05. 一个正偶数的算术平方根是a ，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ）A. a +2B. a 2+2C. √a 2+2D. √a +26. 若a =√3b −1-√1−3b +6，则ab 的算术平方根是（ ）A. 2B. √2C. ±√2D. 47. 若a 2=4，b 2=9，且ab ＞0，则a -b 的值为（ ）A. ±5B. ±1C. 5D. −18. 实数a ，b 在数轴上的位置，如图所示，那么化简√a 2−|a +b|的结果是（ ）A. 2a +bB. bC. −bD. −2a +b二、填空题9. 若√a 的平方根为±3，则a = ______ ．10. 已知√3a +1+√b −1=0，则-a 2-b 2012= ______ ．11. 若一个正数的两个平方根分别是a -5和2a -4，则这个正数为______．12. 若√2≈1.414，√20≈4.472，则√2000≈ ______ ．三、计算题13. 计算：√81+√−273+√(−23)214. 若5 a +2a 2-10=b +2，求a +b 的平方根．课后作业：一、选择题：1.下列说法正确的是（ ）A 、任何数都有算术平方根B 、只有正数有算术平方根C 、0和正数都有算术平方根D 、负数有算术平方根 2.41的算术平方根是( )A. 21±B.- 21C. 21D. 1613.的算术平方根是（ ）A ．7B ．C ．D ．4.下列各数，没有算术平方根的是( )A ．2B ．－4C ．(－1)2D ．0.15.选择下列语句正确的是（ ）A 、的算术平方根是B 、的算术平方根是C 、的算术平方根是D 、的算术平方根是 6.已知x 、y 为实数，且√1+x +(y −1)√y−1=0，则x 2015−y 2016的值( )A. 0B. 1C. 2D. −27.下列运算中错误的有（ ）个①=4；②=±；③=﹣3；④=3；⑤±=3．A.4B.3C.2D.18.下列说法正确的是（ ）A 、0没有平方根；B 、4的平方根是2；C 、-2是4的平方根；D 、-1的平方根是-1。
人教版七年级下册6.1平方根知识点复习以及考试题型
平方根知识点复习以及考试题型【知识点梳理】一、算数平方根1.算数平方根定义：如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算数平方根，a的算数平方根记作√a,读作“根号a”，a叫做被开方数。
注：0的算数平方根是02.性质：算数平方根具有双重非负性√a≥0 a≥0二、平方根1.平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根（若x²=a，那么x叫做a的平方根）。
例如，3²=9，3就是9的平方根，而（-3）²=9，-3也是9的平方根，所以可以说9的平方根是±32.性质：正数有两个平方根，而且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根3.开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方（平方与开平方互为逆运算）三、算术平方根和平方根的区别与联系【考试题型】1.运用算数平方根进行计算(1)√36+√()2−√196(2)√9+√16 (3)√2.25+|√2−1|−（√2）2(4)√25 ×√（15）2−6×1√362.平方根性质的运用（1）一个正数的平方根是3a+2和a+10,求这个正数（2）2a -1的平方根是±3，3a+b -1的平方根是±4，求a+2b 的平方根（3）一个数的算术平方根是a ，则比这个数大8数是__________（4）若|a-2b|+(c+b)2+√c−1=0，求a+b-c的平方根3.用平方根概念解方程(1)(x+1)2-25=0(2)2(x-3)2=32(3)4x2-8=0(4)(x+y)2-4=45,求x+y的值4.比较大小在填“＞”、“＜”或“＝”2 √3√√7√174√38 6 −√18－4 0.8 √0.645.易错点总结（1）求√a的算数平方根（两步运算）例如：求√64的算数平方根（2）根号下a的取值可以是一个数、一个字母、也可以是一个多项式注意的是a的取值是非负数例：√5√a√2a−1（3）（√a）²与√a²的区别（√a）²=a（a≥0）√a²=a（a≥0）√a²=-a（a≤0）。
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平方根知识点及练习题
重点知识：
1、 平方根：如果一个数X 的平方等于a ，即X²=a，那么这个数X 就叫做a 的平方根。
例如，422=，2是4的平方根，4)2(2=-，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。
2、算术平方根：如果一个正数X 的平方等于a,即X²=a，那么这个正数X 就叫做a 的算术平方根。
（特别规定：0的算术平方根是0）。
例如，422=，正数2是4的算术平方根。
虽然4)2(2=-，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。
3、表示方法：平方根：一个非负数a 的平方根记做 a ±，读作“正负根号 a ”；例如：5的平方根记做5±，读作“正负根号5”。
算术平方根：一个非负数a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”；例如，5的算术平方根记作5，读作“根号5”。
结论：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
求一个非负数a 的平方根的运算，叫做开平方．
练习题 A 组
课前准备：写出并熟记1——20的平方：
（1）211= ；
212= ；213= ；214= ；215= ；216= ；217= ；218= ；219= ；220= ； 例1 求下列各数的平方根。
（1）121 （2）259 （3）0 （4）2)5(-
例2、判断下列各数，哪些有算术平方根，哪些没有：
220.2,9,81,(2),2,(4),2,-------
例3 求下列各数的算术平方根。
（1）225
（2）8164 （3）0.49 （4）625
例4 下列说法是否正确？为什么？
（1）5是25的平方根； （2）25的平方根是5； （3） －5是2)5(-的算术平方根；
（4） 81的平方根是9±； (5)2是－4的算术平方根； (6) 9的算术平方根是3±。
例5 求下列各式的值。
（1）169±
（2）64- （3）14449 （4）2)4(-
牛刀小试
1、计算：
（1= + = ； （2= — = ；
（3+
= + = ； （4= = 。
2、计算：
（1= × = ； （2= ÷ = ；
（3= × = ； （4= = 。
3、计算：
（1= =
（2= =
（3= = 4、225的平方根是_____,225＝_____,225的平方根是_____,-225的平方是______
5、求值：3（2
x －2）＝9
6、 a 的相反数的平方根存在吗？
7、 一个数的平方根是3a+1与a-9，求这个数
8、 已知2a-1的平方根是±3， 而4 是3a+b －1的平方根，求3a ＋0.5b 的平方根
9、 a 16是整数，a 满足什么条件？
10、a 4200是整数，求最小整数a ？求最小正整数a 。
三个非负数 若a ＋b ＋2c ＝0，则a 、b 、c=？ 1、()0532=-++y x ,求()2
y x -的平方根
2、已知|x+y －4|+x-y+10 =0，求x ，y 的值。