第一型曲面积分的计算

f ( x, y,z)dS
f ( x, y( x,z), z)
1
y
2 x
(
x
,
z
)
y
2z (
x,
z)dxdz
。
Dxz
（4） f ( x, y,z) 1 时， dS 曲面 的面积 。
例 2．计算 ( xy yz zx)dS ， 其中 是由锥面 z x2 y2
被柱面 x2 y2 2ax 所截得的有限部分。 z
解：∵ 关于xoz 面对称，而
y z2 x2 ，被积函数
y
中 xy, yz 都是 y 的奇函数，
o Dxy
x
∴ xydS yzdS0 ， ∴ ( xy yz zx)dSzxdS 。
∵ z
x2 y2 ，zx
x x2 y2
，zy
y， x2 y2
dS
1
z
x2
z
2 y
dxdy
2dxdy ，
∴ ( xy yz zx)dSzxdS 2 x2 y2 xdxdy
1
2o 3
及 x y z1 上的部分依次记为
1 ， 2 ，3 ， 4 ，则
x1
1y
xyzdSxyzdS xyzdS xyzdS xyzds
1
2
3
4
∵在1 ，2 ，3 上，xyz0 ，
∴ xyzdS xyzdS xyzdS0 。
1
2
3
z
1
4
在 4 上 ， z1 x y ，
∵
1
z
2 x
z
2 y
则曲面 的面积 S
1
z
2 x
(
x,
y
)
z 2y
(
x,
y)dxdy
，
Dxy
面积元素
dS
1
z
2 x
(
x,
y)
z
2y (
x,
y)dxdy
，
设光滑曲面 的 方程为z z( x, y) ， 在 xy 面上的 投影区域为Dxy ，函数z( x, y) 在Dxy 上有一阶连续偏 导数，若 f ( x, y,z) 在 上连续，则有
xdS ydSzdS xydS yzdS xzdS0,
f ( x, y,z)dS f ( x, y,z( x, y)) 1z x2( x, y) z 2y( x, y)dxdy
Dxy
记忆口诀：“一代二换三投影”。
注：（1）计算第一型曲面积分 f ( x, y,z)dS 时，只要将
被积函数 f ( x, y, z) 中的z 换成 z( x, y) ，面积元素dS 换成
i
,i
i Mi 处切平面的法向量与z轴正向的夹角
求和 Ai Si ,
n
A
1
z
2 x
i
,i
z
2 y
i
,i
i
i 1
求极限 A lim n d 0 i1
1
z
2 x
i ,i
z
2 y
i ,i
i
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
D
面积元素
dA
1
z
2 x
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y
)dxdy
，
例1 求球面 x2 y2 z2 a2在 z b (a b 0) 部分的面积。
dS x2 y2z2
，其中 ：
x2
y2a2 ，
0 zh ，(a0,h0) 。
z
解：∵曲面关于yoz 平面和xoz 平面对称， h
∴
x
2
dS y2
z
2
4
1
x
2
dS y2
z
2
其中 1是位于第一卦限的部分，
1
o ay x
把 1 投影到yoz 平面，得 Dyz {( y,z) 0 ya, 0 zh} ，
1 的方程为 x a2 y2 ，
xy
y a2 y2
， xz 0 ，
z h
1
dS
1
x
2 y
x
2 z
dydz
a dydz ，
a2 y2
x
o
ay
x2
dS y2
z
2
4
1
x2
dS y2
z2
4
D yz
a2
1
z
2
a dydz
a2 y2
a
4a
0
1 a2 y2
dy
h 0
a
2
1
z
2
dz
4a(arcsiny ) a ( 1arctanz ) h 4a 1arctanh2arctanh.
5.1 曲面的面积
设光滑曲面 的方程为z zx, y , Dxy 是 在 xy 平面
上的投影区域，求 的面积 A。
分割 将Dxy任意分成 n 小块i i 1, n （同时仍以i
表示其面积），并以 i 的边界为准线作母线平行于z轴 的柱面，这些柱面相应把曲面 分成 n 小块A i (i 1, , n)
（仍以
A
表示其面积）
i
近似 任取 i , i i则, 点M i i ,i , zi ,i Ai , 曲面在
点 Mi i ,i , zi ,i 的切平面被对应的柱面截得一小块
Si , Ai 与 Si 在 xy 面上有相同的投影域 i，则：
i Si cos i
Si
1＋z
2 x
i
,i
z
2 y
1
z
2 x
(
x,
y
)
z
2 y
(
x,
y)d源自文库dy
，曲
面
换成投影区域 Dxy 即可。
（2）若曲面 的 方程为 x x( y,z) ，( y,z) Dyz ，则
f ( x, y,z)dS
f ( x( y,z), y,z)
1
x
2y (
y,
z
)
x
2 z
(
y,
z)dydz
，
D yz
（3）若曲面 的 方程为 y y( x,z) ，( x,z) Dxz ，则
Dxy
2
2
2
d
2acos3 cosd
0
4
2a4
2
2
cos5
d
8
2a4 2cos5d
0
8 2a4 4 21 64 2 a4 . 5 3 15
例 3．计算 xyzdS ，其中 是 由平面
x0 ， y0 ， z0 及 x y z1所围
z
1
4
成的四面体的整个边界曲面。
解：将 在 平面 x0 ， y0 ，z0
1(1)2 (1)2
3，
1
2o 3
1y
x1
∴ xyzdS xyzdS 3xy(1 x y)dxdy
4
Dxy
3
1 1x
xdx y(1 x y)dy
3
1
x[(1
x)
y2
y3
]1
x
dx
00
0
230
3 1x(1 x)3 dx
3
1
(
x
3
x
2
3
x
3
x4
)dx
3.
0
6
60
120
例
4．计算
a0a
a 0 2a
a
a
例 5．计算曲面积分 I (axbyczd )2dS ，其中
是球面 ： x2 y2z2R2 。
解： I (axbyczd )2dS
(a2 x2 b2 y2 c2z2 d 2 2abxy2bcyz
2acxz 2adx 2bdy 2cdz)dS
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知：
解 D: x2 y2 a2 b2 z a2 x2 y2
zx
x z
,
zy
y z
1
z
2 x
z
2 y
a2 a2 x2 y2
A 2
a
dxdy
D a2 x2 y2
2
a2 b2
2 d
a
d 4 a a b
0
0
a2 2
5.2 第一型曲面积分的计算法
设有曲面 ： z z( x, y) ， 在 xy 面上的投影区域为Dxy ，