基于波叠加方法的半自由声场全息理论

基于波叠加方法的半自由声场全息理论

李卫兵 陈 剑 于飞 陈心昭

合肥工业大学噪声振动工程研究所（230009）

hf_lwb@

摘要：在半自由声场中，实际全息测量声压为全息面上的直达声压和反射声压叠加；而常规声全息技术要求全息面声压只包含直达声压，这样就不能直接用常规全息方法来重建与预测半自由声场。以波叠加方法为全息变换算法，在充分考虑反射声压的情况下，建立了基于波叠加方法的半自由声场全息重建与预测理论，解决了半自由声场全息重建与预测问题，拓宽了全息技术的应用范围。数值仿真的结果充分证明了基于波叠加方法的半自由声场全息理论的正确性和可行性，以及常规全息技术在半自由声场重建与预测过程中的局限性。

关键词：近场声全息 半自由声场 波叠加方法

1.引言

上世纪80年代初，美国宾夕法尼亚大学学者E.Ｇ.Ｗilliams等提出了基于空间声场变换的近场声全息 [1-2]。近场声全息是在紧靠被测声源物理表面的测量面上记录全息数据，然后通过变换技术重建三维空间声压场、振速场、声强矢量场，并能预报远场指向性。由于是近场测量，所以除了记录了传播波成分外，还能记录随传播距离按指数规律衰减的倏逝波成分，由于倏逝波含有振动体细节信息，所以理论上可获得不受波长限制的高分辨率图像，测量覆盖了从源出来的一个大的方位角，有指向性的源也能够被不失信息地检测出来[1-8]。

声全息是一种有效而快捷的噪声源辨识技术，只需要测量面上的复声压数据，就可以在很宽的频带范围内对声源特性进行研究。它对大型复杂结构的振动和噪声辐射特性研究、噪声源的识别与定位以及结构强度评价都是一种极为有效的方法，有助于对结构振动、噪声进行有效控制，在工程上具有很高的应用价值和应用前景。

由于常规声全息技术只适用于自由声场，所以全息测量面上存在反射声的问题严重限制了全息技术的应用。在文献[9]所提到的三个亟待解决的问题中就包括了全息面测量声压中包含反射声压的问题。针对这个问题，国内外许多研究者在实验中都采取一些措施来削弱反射声的影响，比如在全消声室中进行测量[1,3,4]，或者通过挡板将地面反射声与直达声隔开[5]，或将声源放置在离地面很高的地方进行测量[6]。虽然这些方法对声源定位有一定作用，但是并不能准确地预测整个声场的辐射特性，给声源特性判别带来不便，不利于进行噪声源的控制。

在声辐射问题中, 为了寻求边界元方法的有效替代方法, Koopmann等提出了更容易理解和实施的波叠加方法来计算声辐射问题[10-11]. 波叠加方法的基本思想是：任何物体辐射的声场都可以由置于该辐射体内部的，若干个不同大小源强的简单源产生的声波场叠加得到。本文以波叠加方法作为全息变换算法，在充分考虑反射声压的基础上，建立了反射面为刚性和

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非刚性条件下的半自由声场全息重建与预测模型，解决了半自由声场环境下的全息重建与预测问题，拓宽了全息技术的应用范围。数值仿真的结果验证了该半自由声场全息理论的正确性、有效性和可行性，以及常规全息技术在半自由声场全息重建与预测过程中的局限性。

1. 波叠加积分方程

在理想流体媒质微小扰动形成的时谐声场中, 去除时间的相关性后, 声场中任意一点t e ωi −r 上的复声压必满足Helmholtz 方程：

)(r p 0)()(22=+∇r r p k p （1）

式中 为点)(r p r 上的复声压；k =ω/c=λ/π2为声波数，c 为声速，λ为声波长，ω为角频率。在如图1所示的声辐射外问题中，S 是声辐射体的闭合表面，其外部区域记为E ，内部区域记为D 。域E 中点r 上的声压，可以通过解方程（1）得到

S S

S g u ck g p p C S S S S S E r r r r r n r r r r r d )],()(i ),()([)()(∫−∂∂=ρ （2） 式中，

||,)π4/1(),(i S kr S r e r g r r r r −== （3）

当点r 分别在D , S , E 上时, 系数分别为0, 0.5, 1；为边界表面点上的法向振速，为点处的外法线矢量。

)(r E C )(S u r S r S r n S r

图.1 辐射体与声场各个域之间的位置关系图 n

在图1所示的内声辐射问题中, 边界面仍为S , 假设在域D 内有一个连续分布的声源体, 此时应用质量守恒定律, 可以得到一个修正的Helmholtz 方程,

Ω （4）

)(i )()(22r r r o ckq p k p ρ=+∇式中,

⎩⎨⎧∈∉∈=D

ΩΩq q o r r r r r I ,0),()( （5） 于是可以得到方程（4）的解, 即域D 中点r 上的复声压为

S S

S g u ck g p p C S S S S S I r r r r r n r r r r r d )],()(i ),()([)()(∫+∂∂−=ρ （6） Ωg ckq o o Ωd ),()(i r r r ∫+ρ

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式中, 当点r 分别在D 、 S 、 E 上时, 系数分别取值为1、0.5、0。

)(r I C 由于上述的两种辐射问题对应相同的边界表面S , 所以在边界面上的声压和法向振速必是唯一的。 无论点r 是从域E 或D 逼近S , 该点的声压变化总是连续的, 因此当点r 取在S 上时,可以联合式（2）和（6）得到边界面S 上点r 处的复声压为

Ωg ckq p o Ω

o d ),()(i )(r r r r ∫=ρ （7） 此式即为波叠加积分公式。 与此相应的微分形式为

Ωg q o Ω

o d ),()()(r r r r u ∇=∫ （8） 式中 “∇”为梯度运算符。且式（7）和（8）中的点r 并不仅限于真实的辐射体表面， 因

为若将域E 中若干点联系在一起可以作为一个虚拟的表面，

对于这些点上的声压和振速，式（7）和（8）仍然是成立的。

2. 基于波叠加方法的自由声场全息理论模型

由公式（7）和（8）可以得知：对于声辐射体表面上或空间中任意一点的声压和振速可以由放置在辐射体内部的连续分布声源体产生的声波场得到。但是采用连续分布声源的方法在计算机上无法实现，所以实际采用的是在辐射体内部放置若干个简单等效源来替代的办法，即空间中点r 上的声压和振速分别可以表示为

),()(i )(1

on N

n on g ckq p r r r r ∑==ρ (9)

),()()(1

on N n on g q r r r r u ∇=∑= (10)

式中 为简单源的总个数，为简单源号，其位置坐标为，源强为。

N n on r )(on q r 同理，声源表面节点处的声压和法向振速也可表示为

S r ),()(i )(1

on S N

n on S g ckq p r r r r ∑==ρ (11)

S

on S N n on S g q u r n r r r r ∂∂=∑=),()

()(1 (12) 若表面上有S M (M ≥)个边界结点，则分别有N M 个与式（11）和（12）相同的等式，将它们表示为矩阵的形式为

DQ P =S (13)

EQ U = (14)

式中 []T 21)()()(SM S S S p p p r r r P L =为声源表面声压列向量；

为声源表面边界结点处的法向振速列向量；

为等效源序列的源强列向量；[T 21)()()(SM S S u u u r r r U L =]][T 21)()()(oN o o q q q r r r Q L =D 、E 分别为等效源序列与声源表面之间的声压与法向振速匹配矩阵，且

),(i on Sm n m ckg r r D ρ=× (15)

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