常见基本初等函数极限

n®¥ n
yn
× × × × × × × O
×
×
yn
×
=1 n
×
×
12 34 5
×
6
×
n
®
¥
n
图2
(3)
1 2
,2 3
,3 4
,L,
n ,L n +1
。通项 yn
=
n
n +
1
，极限
yn
=
n ® 0 (n ® ¥) （收敛）即 lim n = 0
n +1
n®¥ n +1
(4) 2
,
1 2
,
4 3
,
3 4
y y =-x
-¥ ¬ x O
x
x ® +¥
常见函数极限
(4)函数 y = 1 ，极限 lim 1 = 0
x
x x®±¥
y
-¥ ¬ x
y = x-1 = 1 x
o x ® +¥ x
图3
图4
1
(5)函数 y = x2 ，极限 lim x2 = +¥ （ 极限不存在）；(6)函数 y = x 2 ，极限 lim
x®0+
x®0+
y
y = x2
× x ® 0-
o x ® 0+
x
y
× y= x
o x ® 0+
x
图 27
图 28
72
(30) lim x3 = 0 x®0m
常见函数极限
1
(31) lim x3 = 0 x®0m
y
f (x) = x3
×x ® 0-
ox ® 0+
x
图 29
x ® 0-
y
1
× y = x3 ox ® 0+
y
y
p
y = arccot x
×O
x ® +¥
x
图 21
-¥ ¬ x
gp
y = arccot x
x
O
x ® +¥
图 22
71
常见函数极限
（一）当 x ® x0 ， x ® x0- ， x ® x0+ 时的函数极限
1、幂函数部分
(23) 函数 y = C ，极限 lim C = C ( C 为常数); (24)函数 y = 1 ，极限 lim 1 = m¥
(-1)n 2n
=
ì-2, -6, -10,L（, n为奇数）
í î
4,
8,
12，L,
。通项：
（n为偶数）
yn = (-1)n 2n
极限
yn
=
(-1)n 2n
=
ì -¥(n ® ¥) íî+¥(n ® ¥)
（n为奇数） （n为偶数）
yn
=
(-1)n 2n
(n
®
¥)
趋势不定（发散）
(如图 8)
yn
12 10 8 6 4 2
y y = cot x
-¥ x
-p O p
2
2
x
3p
+¥ x
2
图 18
4、反三角函数部分
(19)函数 y = arctan x ，极限 lim arctan x = p （注意： x ® +¥ ）
x®+¥
2
(20)函数 y = arctan x ，极限 lim arctan x = - p （注意： x ® -¥ ）
y y = loga x
× × x ®1O
1
x ® 1+
x
(1, 0) 0<a<1
图 36
图 37
或综上（35）-（38）
y
y = loga x
a >1
× ×1
x
O
(1, 0) 0<a<1
图 38
4、三角函数部分(图 2-18-21)
（39）函数 y = sin x ，极限 lim sin x = 0 x®0m
n
图4
(5) 2, 4,8,L, 2n ,L。通项 yn = 2n ，极限: yn = 2n ® ¥ (n ® ¥) （发散）
(6)1, -1,1,L, (-1)n+1,L 。通项： yn = (-1)n+1 ;极限： yn = (-1)n+1 (n ® ¥) 趋势不定（发散）
(如图 6)
yn
× × × × × × × × 1 ×
x +¥ x
(1, 0)
0<a<1
图 12
图 13 69
或综上(13)(14)
常见函数极限
y
y = loga x
a >1
×x
O
x ® +¥
(1, 0)
0<a<1
图 14
3、三角函数部分（原书没有）
（15）函数 y = sin x ，极限 lim sin x 趋势不定，极限不存在（注意： x ® ¥ 即 x ® ±¥ ） x®¥
常见函数极限 一、常见数列极限的存在情况：
(1)1,1,1,1,L1,L 。通项 yn = 1，极限 yn = 1 ® 1 (n ® ¥) （收敛）
即 lim1 = 1 n®¥
(2)1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,L,
1 n
,L
。通项 yn
=
1 ，极限 n
yn
=
1 n
® 0 (n ® ¥) （收敛）
即 lim 1 = 0 (如图 2)
p
3p 2
-1
图 16
x
x +¥
（17）函数 y = tan x ，极限 lim tan x 趋势不定，极限不存在（注意： x ® ¥ 即 x ® ±¥ ） x®¥ y y = tan x
-¥ x
-p o p
2
2
x +¥
x
70
图 17
常见函数极限
（18）函数 y = cot x ，极限 lim cot x 趋势不定，极限不存在（注意： x ® ¥ 即 x ® ±¥ ） x®¥
x
图 31
y = ax
0< a <1
1 (0,1)
×× x ® 0- Ox ® 0+
x
图 32
或综上（32）（33）
y
y = ax
0< a <1
a >1
1 (0,1)
×× x ® 0- Ox ® 0+
x
图 33
(34)函数 y = ex ，极限 lim ex = 1 x®0+
3、对数部分
（35）函数
(11)函数 y = ax (0 < a < 1) ，极限 lim ax = 0 (0 < a < 1) （注意： x ® +¥ ） x®+¥
(12)函数 y = ax (0 < a < 1) ，极限 lim ax = +¥ (0 < a < 1) 极限不存在（注意： x ® -¥ ） x®-¥
y
y = ax
x ® x0
x
x x®0m
y
C
y=C
x® x0-
O
x ® x0+
x0
x
y
y = x-1
x® x0- x ® x0+
o
x
图 23
图 24
(25)函数 y = x ，极限
lim
x ® x0
x
=
x0
；
（26）函数 y = -x ，极限
lim
x® x0
(-x)
=
-x0
y
y=x
x 0
××O
x 0
x
x® x0- x®x0+
x®-¥
2
y
y
×p 2
y = arctan x
x
O - p x ® +¥
2
-¥ ¬ x
p 2
gO - p 2
y = arctan x
x
图 19
图 20
（21))函数 y = arc cot x ，极限 lim arc cot x = 0 （注意： x ® +¥ ） x®+¥
(22)函数 y = arc cot x ，极限 lim arc cot x = p （注意： x ® -¥ ） x®-¥
(1) 函数 y = C ，极限 lim C = C ( C 为常数)；（2）函数 y = x ，极限 lim x = ±¥ （极限不存在）
x®±¥
x®±¥
y
C -¥ ¬ x
O
y =C
x ® +¥ x
y
y=x
-¥ ¬ x
o
x
x ® +¥
图1 图2
67
(3)函数 y = -x ，极限 lim（- x）= m¥ ； x®±¥
1
o g - 6- 5 -4 - 3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 -10 -12
×
g
g
yn = (-1)n2n
n®¥
n
23 4 56
g
g
图8
二、常见基本初等函数极限存在情况
（一）当 x ® ¥, x ® -¥, x ® +¥ 时的极限（为直观起见在图中将 x ® -¥ 记为 -¥ ¬ x 以下均同）
一般 lim sin x = 0 （ k = 0,1, 2,3L）； x®(2kp )m
-p - 3p
2
yy 1
-p 2
×O
p 2
y = sin x
- 3p 2
p
-1
x®0-
+
x ®0
图 39
x
x
x
74
常见函数极限
（40）函数 y = sin x ，极限 lim sin x = 1； 一般 lim sin x = 1 （ k = 0,1, 2,3L）
x®±¥
x®+¥
y
y
x = +¥ （极限不存在）
y = x2
o
-¥ ¬ x
x
x ® +¥
图5
（7)函数
y = x3 ，极限 lim x3 = ±¥ （极 x®±¥
1
1
在）；（8）函数 y = x3 ，极限 lim x3 = ±¥ ，（极限不存在）
x®±¥
y= x
o
x
x ® +¥
图6
限不存
y f (x) = x3
y
=
log a
x
(a
> 1)
，极限
lim
x®0+
log a
x
=ຫໍສະໝຸດ Baidu
-¥
(a
>
1)
极限不存在；
（36）函数
y
=
log a
x
(a
> 1)
，极限
lim
x®1m
loga
x
=
0(a
> 1)
73
y
y = loga x
× × x ® 0+
1
O
(1, 0)
a >1
x
常见函数极限
y
y = loga x
a >1
× × x ®1- 1 x ®1+
x
-¥ ¬ x
O x ® +¥
图7
y
f (x) = 3 x
-¥ ¬ x
x
O x ® +¥
图8
68
2、指数函数部分
常见函数极限
(9)函数 y = ax (a > 1），极限 lim ax = +¥ (a > 1) （极限不存在）（注意： x ® +¥ ） x®+¥
(10)函数 y = ax (a > 1）极限 lim ax = 0 (a > 1) ;（注意： x ® -¥ ） x®-¥
图 25
y
y = -x
x® x0- x®x0+
×× o
- x0
x0
x
图 26
（27）函数
y
=
xn
，极限 lim x ® x0
xn
=
x0n
（ n 为正整数）
1
1
(28)函数 y = x2 ，极限 lim x2 = 0 ； (29)函数 y = x 2 ，极限 lim x 2 = lim x = 0
x®0m
x®0m
x®(2kp )m
y
g1
y = cos x
- 3p -p -p O g
p
2
2
2
p
3p 2
-1
x ® 0-
+
x®0
x
x
图 42
（42）函数
y
=
cos
x
，极限
lim
x®(p )m
cos
x
=
0
;一般 lim cos x = 1 （ k = 0,1, 2,3L） x®(p +2kp )m
x
O
(1, 0)
图 34
图 35
(37)函数
y
=
log a
x
(0<a
< 1)
，极限
lim
x®0+
log a
x
=
+¥
(0<a
< 1)
极限不存在；
(38)函数
y
=
log a
x
(0<a
< 1)
，极限
lim
x®1m
loga
x
=
0
(0<a
< 1)
y
y = loga x
× ×x ® 0+
x
O1
(1, 0)
0<a<1
y y=ax
a >1
(0,1)
g
x
-¥ x O x +¥
图9
0< a <1
(0,1)
g
x
-¥ x O x +¥
图 10
或综上（9）-(12）得图 11
y y = ax
0< a <1
a >1
(0,1)
g -¥ ¬ x O x ® +¥
x
图 11
3、对数函数部分
（13）函数
y
=
log a
x
(a
>
1)
，极限
x
图 30
2、指数函数部分
(32)函数 y = ax (a > 1) ，极限 lim ax = 1 (a > 1) ； x®0±
(33)函数 y = ax (0 < a < 1) ，极限 lim ax = 1 (0 < a < 1) x®0+
y
y
y = ax
a >1
1 (0,1)
×× x ® 0- Ox ® 0+
-¥ x
-p - 3p
2
yy 1
-p 2
O
p 2
-1
y = sin x
- 3p 2
图 15
x
p
+¥ x
x
（16）函数 y = cos x ，极限 lim cos x 趋势不定，极限不存在 （注意： x ® ¥ 即 x ® ±¥ ） x®¥
-¥ x
y
1
y = cos x
o - 3p -p -p
2
2
p 2
x®(p )m
x®(p +2kp )m
2
2
-p - 3p
2
yy g1
g
y = sin x
-p 2
O pg
2
- 3p
p
2
-1
px ® (2)
p+ x ® (2)
图 40
x
x
x
或综上（39）（40）
x
图 41
（41）函数 y = cos x ，极限 lim cos x = 1 ； 一般 lim cos x = 1（ k = 0,1, 2,3L）；
lim
x®+¥
log a
x
=
+¥
(a
> 1)
极限不存在
（注意： x ® +¥ ）;
(14)函数
y
=
log a
x
=
-¥
(0<a
< 1)
，极限
lim
x®+¥
log
a
x
=
-¥
(0<a
< 1)
极限不存在.
（注意： x ® -¥ ）
y
y=loga x
y
y=loga x
a >1
× O
x +¥ x
(1, 0)
× O
y n = ( - 1) n+1 n®¥
n
g g g O
12
34
5
6
-1
图6
66
常见函数极限
(7) 1, 2,3,L, n,L 。通项 yn = n ，极限 yn = n ® ¥ (n ® ¥) （发散）(如图 7)
yn
。
×3
2
× × yn = n
1×
n®¥
O 12 34 5 6
n
图7
(8)
yn
=
,L,
n + (-1)n-1 n
,L
。通项
yn
=
n + (-1)n-1 n
，极限
yn
=
n + (-1)n-1 n
®1
(n ® ¥) （收
敛）即 lim n + (-1)n-1 = 1
n®¥
n
(如图 4)
yn
2
×1 ×
× × × × × yn
=
n
+
(-1)n-1 n
n®¥
× × × × × × O 1 2 3 4 5 6