几种常见的平面变换

2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点） 即 A λ1α + λ 2 β = λ1

A α + λ 2 A β ； ( ) 例 1：（1）平面上任意一点在矩阵

0 ⎪

B. C.

D.

A.  ⎝ 0 1 ⎪⎭

-1 0⎪⎭

0 -1⎪⎭

0 1⎪⎭

2 ) ，所得图形的新方程式中不含 xy 项，则θ =

答案：C 。解析：由已知得旋转变换矩阵 M = ⎢cos θ -sin θ ⎤

x sin θ + y

cos θ ⎥⎦ ⎩ y = - x ' sin θ + y ' cos θ y ⎦ ⎣ y '⎦ ⎣ 1⎥⎦

⎣0 0

26.2 几种常见的平面变换

【知识网络】

1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；

，

3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如

下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。 【典型例题】

⎛ 1 0 ⎫ 1 ⎪ 的作用下(

)

⎪ ⎝ 5 ⎭

A. 横坐标不变,纵坐标伸长 5 倍

B. 横坐标不变,纵坐标缩短到 1 5

倍

C. 横坐标,纵坐标均伸长 5 倍

D. 横坐标,纵坐标均缩短到 1 5

倍

答案：B 。

（2） 表示 x 轴的反射变换的矩阵是(

)

⎛ 1 0⎫ ⎛ -1 0⎫

⎛ 0 1 ⎫

⎛ 1

0 ⎫

⎪ ⎪

⎝

⎝

⎝

答案：D 。

（3）已知二次曲线 2 x 2 + 3xy + y 2 + x - y - 2 = 0 ，若将其图形绕原点逆时针旋转θ

角后 (0 < θ <

π

（）

A 、30°

B 、45°

C 、60°

D 、75°

⎣sin θ cos θ ⎦

⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ x cos θ - y sin θ ⎤ ⎧ x = x ' c os θ + y ' s in θ

T ： ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ = ⎢ ，从而有 ⎨ ⎣

代入原二次曲线方程，得到关于 x ', y ' 的新方程式，要使其中不含 x ', y ' 项，必须满足

π π

2sin θ cos θ + 3(cos 2 θ - sin 2 θ ) = 0 ，即 tan 2θ = - 3 ，∵θ ∈ (0, ),∴θ = 。

2 3

⎡1 k ⎤

（△4）设 OAB 的三个点坐标为 O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵 M = ⎢

对应的变换

下作用后形成△ O A 'B ' 则△OAB 与△ OA 'B ' 的面积之比为___________。

答案：1：1。解析：由题意知 T M 为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变。

⎡1 0 ⎤

（5）函数 y = 3cos x 在矩阵 M= ⎢ 1 ⎥ 变换作用下的结果是。

⎣ 2 ⎦

（1） 

⎛10⎫

⎪⎪方程为y=2x+2；

（2） 1

⎭

（3） 

20⎫

曲线方程为x2+y2=4

∵⎢01⎥⎢y⎥＝⎢y⎥∴ｘ＝ｘ＇ｙ＝ｙ＇

换后的点为A(x,y),则 

20⎫⎛x⎫

=

⎛2x⎫=⎛x

1

⎫

∴2x=x,y=y

⎝01⎭⎝y⎭⎝y⎭⎝y1⎭

+y

⎡cos45-sin45⎤⎢

-

22⎥

，任意选取双曲

⎣22⎦

''答案：y=

3

cos x。解析：本变换是伸压变换。

2

例2：试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。

⎝01⎭

⎛-10⎫

⎪点A（2，5）；

⎝

•A

（-2，5）

Y

•A（2，5）

⎝01⎭O X 答案：（1）所给方程表示的是一条直线。

设A（x,y）为直线上的任意一点，经过变换后的点为：A＇（x

1

,y

1

）

⎡10⎤⎡x⎤⎡x⎤

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

变换后的方程仍为：ｙ＝２ｘ＋２

∴该变换是恒等变换。（图略）

（2）经过变化后变为（-2，5），它们关于y轴对称，故该变换为关于y轴的反射变换

（3）所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A（x,y）为曲线上的任意一点，经过变11111

将之代入到x22=4可得方程

该变换是伸压变换。

Y

x2y2

1+1

41

=4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，

Y

O

X

O

X

图1图2

例3：将双曲线C：x2-y2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C'，试求C'的方程。

⎡22⎤

⎥答案：由题意，得旋转变换矩阵M=⎢⎥=⎢

⎣sin45cos45⎦⎢22⎥

⎢⎥

线x2-y2=1上的一点P(x0,y0)，它在变换T M作用下变为P'(x0,y0)，则有