几种常见的平面变换
解析投影变换论文
解析投影变换选修4-2第二章中讲述了六种常见的平面变换，即恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换，这里对于投影变换做一些简要的解析。
一、投影变换的概念知识来源于生活，实际上生活中有关投影的例子举不胜举。
如物体在日光的照射下产生影子，就是投影。
那么究竟什么是投影变换呢？相信大家都看过排球比赛吧，中场休息时，两人同时相向用拖把将垃圾推到中界线l处停止。
我们可近似地把排球比赛场看作平面，以中界线l为x轴，场地中心o为原点建立坐标系，那么拖地前后可以看做是平面上的一个几何变换t:（x，y）→（x’，y’）=（x，0），则对应的变换矩阵m=1 00 0。
像这样将平面图形投影到某条直线（或点）的变换叫投影变换，而对应的矩阵称为投影变换矩阵。
这里我们不难发现，投影变换是一种线性变换，它虽然是映射，但不是一一映射。
二、常见的几种投影变换1.将平面上的点垂直投影到x轴上的变换就像前面举的拖地的例子，m=1 00 0就是此种情况。
例如：曲线m=1 00 0在矩阵对应的投影变换作用下变成什么图形？解析：设p（x，y）是曲线y=sinx上任意一点，它经过变换后成点p’（x’，y’），则x’y’=1 00 0xy=x0，即y’=0，也就是说，经过变换后点的横坐标不变，纵坐标变为0，所以将曲线沿垂直于x轴的方向投影到x轴上，变为直线y=0。
2.将平面上的点垂直投影到y轴上的变换不难看出此种变换t：（x，y）→（x’，y’）=（0，y），对应的变换矩阵为0 00 1。
例如：椭圆x2+=1在矩阵0 00 1对应的变换作用下变成什么图形呢？解析：因为x’y’=0 00 1xy=0y，所以x’=0y’=y，即经过变换后点的纵坐标不变，横坐标变为0，所以将椭圆x2+=1沿垂直于y轴的方向投影到y轴上，变成线段x=0（-2≤y≤2）（椭圆长轴）。
3.将平面上的点沿x轴（或y轴）方向投影到直线y=x上的变换我们来比较一下两种变换矩阵m1=1 01 0与m2=0 10 1。
平面几何计算平面形的旋转平移和对称变换
平面几何计算平面形的旋转平移和对称变换平面几何计算平面形的旋转、平移和对称变换在平面几何中，旋转、平移和对称变换是常见且重要的几何变换方法。
通过对平面形进行旋转、平移和对称变换，我们可以得到新的平面形，进而探索其性质和应用。
本文将介绍平面几何中的旋转、平移和对称变换，并进行相关计算。
一、旋转变换旋转变换是指将一个平面形绕着某个点旋转一定角度后得到的新的平面形。
在旋转变换中，我们需要确定旋转的中心点和旋转的角度。
旋转变换的数学表示可以使用矩阵运算来进行计算。
假设原始点的坐标为(x,y)，旋转中心为(a,b)，旋转角度为θ，则经过旋转变换后的点的坐标为(x',y')。
根据旋转矩阵的定义，可以得到以下计算公式：x' = (x-a) * cosθ - (y-b) * sinθ + ay' = (x-a) * sinθ + (y-b) * cosθ + b例如，若给定一个平面形的几个顶点坐标，我们可以通过旋转变换计算出该平面形绕某个点旋转一定角度后的新的顶点坐标。
二、平移变换平移变换是指将一个平面形沿着某个方向移动一定距离后得到的新的平面形。
在平移变换中，我们需要确定平移的方向和平移的距离。
平移变换的数学表示可以使用矢量运算来进行计算。
假设原始点的坐标为(x,y)，平移向量为(a,b)，则经过平移变换后的点的坐标为(x',y')。
根据平移的定义，可以得到以下计算公式：x' = x + ay' = y + b例如，若给定一个平面形的几个顶点坐标，我们可以通过平移变换计算出该平面形沿着某个方向移动一定距离后的新的顶点坐标。
三、对称变换对称变换是指将一个平面形围绕某个直线或点对称后得到的新的平面形。
在对称变换中，我们需要确定对称的直线或点。
对称变换的数学表示既可以使用矩阵运算，也可以使用坐标变换求解。
1. 直线对称变换：假设原始点的坐标为(x,y)，对称直线的方程为ax+by+c=0，则经过直线对称变换后的点的坐标为(x',y')。
常见的几种平面变换(切变变换)
缩放切变变换可以应用于各种 平面图形，如矩形、圆形、多 边形等。
通过缩放切变变换，可以改变 平面图形的大小和形状，实现 图形的缩放操作。这种变换在 图形处理、计算机视觉、图像 识别等领域有着广泛的应用。
平移切变变换
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
平移切变变换是平面图 形在平移过程中发生的 变换。
。
图像剪裁
通过切变变换，可以将图像的 一部分进行剪裁，实现图像的
局部显示。
图像扭曲
通过切变变换，可以将图像进 行扭曲，实现图像的扭曲效果
。
在几何建模中的应用
三维模型转换
通过切变变换，可以将三维模型进行转换， 实现三维模型的旋转、平移等操作。
二维图形绘制
通过切变变换，可以绘制各种二维图形，如 直线、圆、椭圆等。
THANKS
感谢观看
详细描述
平移切变变换是指将平 面图形按照一定的方向 和距离进行移动，从而 改变图形位置的变换。 在平移过程中，图形中 的每一点都按照相同的 方向和距离进行变换。
总结词
平移切变变换可以应用 于各种平面图形，如矩 形、三角形、多边形等
。
详细描述
通过平移切变变换，可 以改变平面图形在平面 上的位置，实现图形的 平移操作。这种变换在 图形处理、计算机视觉 、动画制作等领域有着
特效制作
通过切变变换，可以制作各种特效，如爆炸、烟雾等。
动画合成
通过切变变换，可以将多个动画进行合成，实现复杂的动画效果。
05
总结
切变变换的优点和局限性
优点
切变变换能够有效地处理图像的几何失真，提高图像的清晰度和对比度，同时能够保留图像中的重要 特征。
高二数学 几种常见的平面变换(1)-恒等变换、伸压变换教案
2、伸压变换矩阵与伸压变换；
3、用矩阵表示变换的数形结合的思想。
课本34页1、2
练习册
课外作业
课本34页3、4
课题
几种常见的平面变换（1）-恒等变换、伸压变换
总课时数
第节
教学目标
1.理解可以用矩阵来表示平面中的常见的几何变换；
2.掌握恒等、伸压变换的几何意义及其矩阵表示。
教学重难点
恒等变换、伸压变换的概念
恒等变换、伸压变换的矩阵
教学参考
教师用书 课本 非常学案
授课方法
启发引导
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
一、问题情境:
1、二阶矩阵与列向量的乘法规则：
其几何意义是
问题情境：一个矩阵就对应了一个变换，已知变换前（后）的点，知道了矩阵，就可以求出变换后（前）的点，已知变换也可以求出对应的矩阵。本节课就研究如何用矩阵表示平面上常见的变换。
二、建构数学
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)
2.恒等变换
3.伸压变换矩阵
4.伸压变换
学生回答
学生活动：教师给出三个变换，学生用矩阵来表示，教师给出相应的、教学运用
例1、已知曲线y=sinx经过变换T作用后变为新的曲线C ,试求变换T对应的矩阵M ,以及曲线C的解析表达式.
解题小结：
例2、验证图C : x2+y2=1在矩阵A= 对应的伸压变换下变为一个椭圆,并求此椭圆的方程.
常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 反 射 变 换 03 旋 转 变 换 04 应 用 场 景 05 总 结 与 展 望
反射变换是指将平面图形沿一条直线进行翻转，使得图形对称于该直线 反射变换可以应用于平面图形的形状、大小和方向等属性的变化 常见的反射变换包括水平、垂直、对角线等方向的反射 反射变换在计算机图形学、几何变换等领域有着广泛的应用
旋转中心：固定点， 也称为旋转中心
旋转角度：绕旋转 中心旋转的角度
旋转方向：顺时针 或逆时针方向
绕点旋转：以一个固定点为中心进行旋转 绕线旋转：以一条固定直线或曲线为中心进行旋转 绕面旋转：以一个固定平面或曲面为中心进行旋转 绕体旋转：以一个固定物体或形状为中心进行旋转
绕原点旋转的矩阵表示
绕任意点旋转的矩Leabharlann 表示绕任意轴旋转的矩阵表示
绕任意直线旋转的矩阵表 示
图像旋转：将 图像按照指定 的角度旋转， 常用于纠正图 像的倾斜角度
图像缩放：调 整图像的大小， 常用于改变图
像的分辨率
图像平移：将 图像在平面上 移动，常用于 调整图像的位
置
图像剪切：从 图像中裁剪出 指定的区域， 常用于选取图 像的特定部分
图像旋转和平 移的组合变换： 将图像旋转后 再进行平移， 常用于对图像 进行复杂的变
镜像反射：将图像沿垂直或水平方向进行对称变换 旋转反射：将图像绕某点旋转一定角度进行对称变换 缩放反射：将图像沿某个方向进行缩放变换 剪切反射：将图像沿某个方向进行剪切变换
反射变换的定义
反射变换的矩阵表示形式
反射变换的几何意义
反射变换的应用
定义：旋转变换是 一种通过绕某一固 定点旋转来改变图 形位置的变换
常见的几种平面变换(切变变换)
整理ppt
1
创造情境
F
F
S
S
F
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平
行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要
图3
整理ppt
图4
4
数学建构
1．切变变换、切变变换矩阵
由矩阵
1 0
k 1
1
k
10确定的变换通常叫做切变变换，对应
的矩阵叫做切变变换矩阵。
2． 10
k
1
沿x轴方向的切变变换。对于原图形中的任意
一点，纵坐标保持不变，而横坐标依纵坐标的比例增
加，它把平面上的点沿x轴方向平移|ky|个单位,当ky>0
A (0 ,0 ),B (2 ,2 ),C (6 ,2 ),D (4 ,0 )。
整理ppt
9
四、巩固练习
1.已知切变变换T使得矩形ABCD变为平行四边 形 ABCD ,试求变换对应的矩阵M，并指出矩 形区域ABCD变换过程中的不变线段。
2．考虑直线 几何图形。
x
y 2 在矩阵
1 0
1 1
作用下变换得到的
0 1
是沿y轴方向的切变变换，y轴上的
点是不动点。
4．切变变换保持图形面积不变。
整理ppt
11
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时，沿x轴正方向移动；当ky<0时，沿x轴负方向移动
；当ky=0时，原地不动，图形在x轴上的点是不动点.
江苏省江阴市山观高级中学高二数学选修4-2.2《几种常见的平面交换》导学案
§2.2 几种常见的平面变换学习目标1. 掌握恒等变换与伸压变换的表示及其几何意义，了解单位矩阵.2. 恒等变换与伸压变换的规律及其变换矩阵；3. 理解反射变换的矩阵表示及其几何意义学习导航一、课前准备 复习1：矩阵的概念复习2：二阶矩阵与平面列向量的乘法二、预习思考通过预习（课本P 12—22）初步掌握恒等变换、伸压变换、反射变换等平面变换. 提炼新知： 1．恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换，都能把自身变成自身．因此，我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称为恒等变换．我们把矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1称为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E . 2．伸压变换矩阵M 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12把平面上每一个点P 都向x 轴方向垂直压缩为原来的一半，只有x 轴上的点没变； 矩阵M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001把平面上每一个点P 都沿x 轴方向伸长为原来的2倍，只有y 轴上的点没变．像矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，或作沿x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称为沿y 轴或x 轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换． 3．反射变换(1)反射变换的概念像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．(2)反射变换的分类与矩阵M1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1对应的变换是关于x轴的轴反射变换．与矩阵M2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100 1对应的变换是关于y轴的轴反射变换．与矩阵M3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100－1对应的变换是关于原点的中心反射变换．与矩阵M4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换是关于直线y＝x的轴反射变换．4．线性变换一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换．三、知识应用例1、如图所示，已知曲线y = sin x经过变换T作用后变为新的曲线C，试求变换T对应的矩阵M，以及曲线C的解析表达式.例2、验证圆C：x2 + y2 = 1在矩阵A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程.小结：将平面图形F作沿x轴方向的伸压变换，其变换矩阵的一般形式是什么？沿y轴方向的呢？例3、求出矩形ABCD在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡16.0作用下得到的图形，并画出示意图，其中A（-1，0），B（1，0），C （1，1），D （-1，1）.例4、求出曲线y =x （x ≥0）在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001作用下变换得到的曲线.例5、设a 、b ∈R ，若M = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a10所定义的线性变换把直线l ：2x + y – 7 = 0变换成另一直线l ＇：x + y – 3 = 0，求a 、b 的值.练一练：1、研究直角坐标平面内正方形OBCD 在矩阵M = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001对应的变换作用下得到的几何图形，其中O （0，0），B （2，0），C （2，2），D （0，2）.2、考虑以下各向量在矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001对应的变换作用下的结果，并从几何变换的角度解释所得结果：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡0a ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡b 0.四、总结提升检测反馈：1、求出平行四边形ABCD 在矩阵M = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡31001作用下变换得到的几何图形，并画出示意图，其中A （0，0），B （3，0），C （4，2），D （1，2）.2、研究函数y = 2cos x 在矩阵M = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡31001变换作用下的结果.3、求△OBC 在矩阵M = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换作用下的结果，其中O 为原点，B （-1，0），C （0，1）.4、求出△ABC 在矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321作用下变换得到的图形，并画出示意图。
几种常见的平面变换
26.2几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即()A A A λαλβλαλβ1212+=+；3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
【典型例题】例1：（1）平面上任意一点在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛51001的作用下( ) A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到51倍 C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到51倍 答案：B 。
（2） 表示x 轴的反射变换的矩阵是( )A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 答案：D 。
（3）已知二次曲线22220x y x y +++--=，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后(0)2πθ<<，所得图形的新方程式中不含xy 项，则θ= （）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75° 答案：C 。
解析：由已知得旋转变换矩阵M =cos -sin sin cos θθθθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦T ：cos sin sin cos x x x y y y x y θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而有cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=+⎧⎨''=-+⎩代入原二次曲线方程，得到关于,x y ''的新方程式，要使其中不含,x y ''项，必须满足222sin cos sin )0θθθθ+-=，即tan 2θ=(0,),23ππθθ∈∴=。
（4）设△OAB 的三个点坐标为O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵M =1 k 0 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下作用后形成△OA B ''则△OAB 与△OA B ''的面积之比为___________。
平面的等距与相似变换
平面的等距与相似变换平面的等距变换指的是保持平面上各点之间距离不变的变换方式，而平面的相似变换则是保持平面上各点之间距离比例不变的变换方式。
这两种变换在数学和几何学中都有着重要的应用。
一、等距变换等距变换是指平面上的一个点变换到另一个点时，保持原有点与目标点之间的距离不变。
等距变换可以分为平移、旋转和镜像三种基本类型。
1. 平移平移是等距变换中最基本的一种。
平移指的是将平面上的所有点沿着某一方向移动相同距离，结果是平面上的所有点平行移动，保持原有的形状和大小不变。
平移变换可以用向量来表示，设一个向量OP表示平面上的一个点P的位置，一个向量OA表示平面上的一个固定点A的位置，那么点P在平移变换下的位置可以表示为OP' = OP + OA，其中OP'表示变换后的点P'的位置。
这说明平移变换是通过将向量OA加到向量OP上实现的。
2. 旋转旋转是指将平面上的所有点绕某一固定点按照一定角度进行旋转，结果是平面上的所有点按照相同的角度绕着固定点旋转，保持原有的形状和大小不变。
旋转变换可以用矩阵来表示，设平面上的一个点P在绕固定点O进行旋转时，按照逆时针方向旋转θ角度，那么点P在旋转变换下的坐标可以表示为：P' = [cos(θ) -sin(θ)] * [P - O] + O，其中[P - O]表示点P相对于点O的向量，P'表示旋转后的点P'的坐标。
3. 镜像镜像是指将平面上的所有点绕某一直线对称翻转，结果是平面上的所有点关于直线对称，保持原有的形状和大小不变。
镜像变换可以用矩阵来表示，设平面上的一个点P关于直线l进行镜像翻转，那么点P在镜像变换下的坐标可以表示为：P' = I * [P - l] + l，其中[P - l]表示点P关于直线l的垂直向量，I表示单位矩阵，P'表示镜像后的点P'的坐标。
二、相似变换相似变换是指平面上的一个点变换到另一个点时，保持原有点与目标点之间的距离比例不变。
苏教版几种常见的平面变换(恒等伸压变换)
x 2 x0 , y y0
2 2
x x0 2, y0 y
而点P0在圆C上，则x0 y0 9，代入,
x2 得： y 2 9， 4
x2 y 2 即： 1， 36 9
2 0 1 0 变:A= 为B= 0 1 0 2
通过上例可以发现，在变换的T的作用下，ΔABC上所有点 的位置都没有发生改变：
x x x 即：T: = , y y y
x x 1 0 x 或 = y y 0 1 y
恒等变换
伸压变换矩阵
伸压变换
a 0 M 0 1
1 0 N 0 b
作业：
P34 3、 4
1 0 故M 2 . 0 3
变式训练
（1）曲线y=sinx在矩阵M=
1 0 0 1 3
对应的伸压变换作用下的结果为
.
1 y sin x 3
变式训练
（2）曲线 y sin(2 x ) 在矩 6
阵M对应的伸压变换作用下的
结果为 y sin( x ) 6
k 0 其对应的二阶矩阵是 . 0 1
将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为k2倍（k1， x=k1x k2是非零正常数)的线性变换，其坐标变换公式是 y=k2y
k1 0 其对应的二阶矩阵是 . 0 k2
问题情境解决：
2、四根弹簧放在正方形ABCD中，其中2根纵向， 在弹性范围里被挤压成原来的一半.弹簧中的点挤 压前后的位置变换可以近似看做似一个几何变换. 已知A（0,0），B（2,0），C（2,2），D（0,2） ，能否用矩阵来表示变换？这个几何变换有何特点 ？若改成二根横向拉长2倍呢？
平面形的变换
平面形的变换在平面几何中，平面形的变换是一个既具有理论意义又有实际应用的重要概念。
本文将介绍平面形的变换及其分类、性质和应用。
一、平面形的变换平面形的变换指在平面上将一个图形按照一定的规则移动、翻转、旋转或拉伸等操作后得到的新图形。
常见的平面形变换有平移、旋转、对称和相似变换。
1. 平移变换平移变换是指不改变图形形状和大小，将图形沿着平行线移动的操作。
如果平移的向量为(u,v)，则对于平面上的点(x,y)，平移后的点坐标为(x+u,y+v)。
2. 旋转变换旋转变换是指将图形按照一个固定点为中心，以一定的角度θ逆时针旋转后得到的新图形。
通常以原坐标系为基准，旋转中心为坐标原点。
旋转中点为(x,y)，则旋转后的点坐标为(xcosθ-ysinθ,ycosθ+xsinθ)。
3. 对称变换对称变换是指以一个直线或点为对称轴或对称中心，将图形中的每个点沿着对称轴或对称中心对应的点重合后得到的新图形。
如果对称轴或对称中心不在原点，则需要将图形沿着对称轴或对称中心平移后再进行对称变换。
4. 相似变换相似变换是指将图形沿着一定方向放缩一定比例，得到的新图形与原图形相似的变换。
其中放缩比例称为相似比，通常使用k表示。
相似变换可以通过平移、旋转和等比变换的组合实现。
二、平面形的分类根据平面形在变换中的性质，可以将平面形分为不动点、对称形和中心对称形三类。
1. 不动点形若变换前后平面形在同一个位置，则这种平面形被称为不动点形。
即变换前后该图形上的所有点都不改变位置。
不动点形的变换只能是平移，数学家将其称为平移样本。
2. 对称形如果图形变化后仍然和变化前保持对称，这种平面形被称为对称形。
对称形的变换包括了对称和滑动，数学家将对称形的变换称为欧氏变换。
3. 中心对称形如果图形变化后和变化前保持中心对称，这种平面形被称为中心对称形。
中心对称形的变换包括旋转、平移和中心对称三种，数学家将其称为仿射变换。
三、平面变换的应用平面形的变换具有广泛的应用，如以下几个例子：1. 图案设计利用对称变换可以制作出各种独特的图案。
平面几何变换
平面几何变换平面几何变换是指在平面上对图形进行形状、大小和位置的改变，常用的变换包括平移、旋转、缩放和翻转等。
这些变换在数学、计算机图形学和计算机视觉等领域具有广泛的应用。
本文将介绍这些常见的平面几何变换及其应用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着水平和垂直方向保持形状和大小不变地移动。
平移变换可以通过将图形上的点按照固定的平移量进行移动来实现。
例如，将一个点的横坐标增加10个单位，纵坐标增加5个单位，即可实现对该点的平移变换。
平移变换常用于动画制作、图像处理和机器人运动控制等领域。
二、旋转变换旋转变换是指围绕一个中心点将图形按照一定角度进行旋转。
旋转变换可以通过将图形上的点绕着中心点按照一定角度旋转来实现。
旋转变换常用于计算机图形学、计算机游戏和机器人路径规划等领域。
例如，在计算机游戏中，可以通过对角色进行旋转变换来改变其朝向和视角。
三、缩放变换缩放变换是指按照一定比例对图形进行放大或缩小。
缩放变换可以通过将图形上的点按照一定比例进行坐标变换来实现。
缩放变换常用于地图显示、图像处理和工程设计等领域。
例如，在图像处理中，可以通过对图像进行缩放变换来改变其大小和清晰度。
四、翻转变换翻转变换是指将图形按照水平或垂直方向进行翻转。
翻转变换可以通过将图形上的点按照一定规律进行坐标变换来实现。
翻转变换常用于镜像对称的图案设计、计算机视觉和人脸识别等领域。
例如，在人脸识别中，可以通过对人脸图像进行水平翻转来改善识别准确度。
五、应用场景平面几何变换在各个领域都有着广泛的应用。
在地图显示中，可以通过平移、旋转和缩放变换来实现地图的平移、旋转和缩放操作，以满足用户的需求。
在计算机游戏中，可以通过平移、旋转和缩放变换来实现游戏角色的移动、旋转和缩放效果，增加游戏的可玩性。
在工程设计中，可以通过平面几何变换来进行图纸的布局和尺寸调整，提高设计效率和精度。
在计算机视觉中，可以通过平面几何变换来实现图像的校正、配准和纠正畸变等操作，提高图像处理和分析的准确性。
4.3 平面坐标系中几种常见变换
4.3 平面坐标系中几种常见变换4．3.1平面直角坐标系中的平移变换课标解读1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量．2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.1．平移在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移，若以向量a 表示移动的方向和长度，也称图形F 按向量a 平移．2．平移变换公式设P (x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点P ′(x ′，y ′)，则(x ，y )＋(h ，k )＝(x ′，y ′)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋h ＝x ′，y ＋k ＝y ′.1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？【提示】 步骤：(1)设平移前曲线上一点P 的坐标为(x ，y )，平移后的曲线上对应点P ′的坐标为(x ′，y ′)；(2)写出变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k ，并转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k ；(3)利用上述公式将原方程中的x ，y 代换；(4)按习惯，将所得方程中的x ′，y ′分别替换为x ，y ，即得所求曲线的方程． 2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？【提示】 其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量．其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.平移变换公式的应用点M (8，－10)按a 平移后的对应点M ′的坐标为(－7,4)，求a .【自主解答】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧－7＝8＋h ，4＝－10＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－15，k ＝14，即a ＝(－15,14)．把点A (－2,1)按a ＝(3,2)平移，求对应点A ′的坐标(x ′，y ′)． 【解】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2＋3＝1，y ′＝1＋2＝3，即对应点A ′的坐标(1,3)．平移变换公式在圆锥曲线中的应用求双曲线4x 2－9y 2－16x ＋54y －29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程．【思路探究】 把双曲线方程化为标准方程求解．【自主解答】 将方程按x ，y 分别配方成4(x －2)2－9(y －3)2＝－36， 即y －324－x －229＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y －3，方程可化为y ′24－x ′29＝1.双曲线y ′24－x ′29＝1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，－2)，焦点坐标为(0，13)和(0，－13)，对称轴方程为x ′＝0，y ′＝0，准线方程为y ′＝±41313，渐近线方程为y ′2±x ′3＝0.根据公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2，y ＝y ′＋3可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和(2,1)，焦点坐标为(2,3＋13)和(2,3－13)，对称轴方程为x ＝2，y ＝3，准线方程为y ＝3±41313，渐近线方程为y －32±x －23＝0，即2x ＋3y －13＝0和2x －3y ＋5＝0.几何量a ，b ，c ，e ，p 决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量．已知抛物线y ＝x 2＋4x ＋7. (1)求抛物线顶点的坐标；(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．【解】 (1)设抛物线y ＝x 2＋4x ＋7的顶点O ′的坐标为(h ，k )，那么 h ＝－42＝－2，k＝4×7－424＝3，即这条抛物线的顶点O ′的坐标为(－2,3)． (2)将抛物线y ＝x 2＋4x ＋7平移，使点O ′(－2,3)与点O (0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量O ′O →平移得到的，设O ′O →的坐标为(m ，n )，那么⎩⎪⎨⎪⎧m ＝022，n ＝0－3＝－3.所以抛物线按(2，－3)平移，平移后的方程为y ＝x 2.(教材第40页习题4.3第3题)写出抛物线y 2＝8x 按向量(2,1)平移后的抛物线方程和准线方程．(2013·无锡质检)将函数y ＝2x 的图象l 按a ＝(0,3)平移到l ′，求l ′的函数解析式．【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用．【解】 设P (x ，y )为l 的任意一点，它在l ′上的对应点P ′(x ′，y ′) 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋0，y ′＝y ＋3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝y ′－3.将它们代入y ＝2x 中得到y ′－3＝2x ′， 即函数的解析式为y ＝2x ＋3.1．将点P (7,0)按向量a 平移，得到对应点A ′(11,5)，则a ＝________. 【答案】 (4,5)2．直线l：3x－2y＋12＝0按向量a＝(2，－3)平移后的方程是________．【答案】3x－2y＝03．曲线x2－y2－2x－2y－1＝0的中心坐标是________．【解析】配方，得(x－1)2－(y＋1)2＝1.【答案】(1，－1)4．开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________．【解析】开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x2＝4y，所以所求抛物线的方程是(x－3)2＝4(y－2)．【答案】(x－3)2＝4(y－2)1．已知函数y＝x2图象F按平移向量a＝(－2,3)平移到F′的位置，求图象F′的函数表达式．【解】在曲线F上任取一点P(x，y)，设F′上的对应点为P′(x′，y′)，则x′＝x－2，y′＝y＋3，∴x＝x′＋2，y＝y′－3.将上式代入方程y＝x2，得：y′－3＝(x′＋2)2，∴y′＝(x′＋2)2＋3，即图象F′的函数表达式为y＝(x＋2)2＋3.2．求椭圆4x2＋9y2＋24x－18y＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程．【解】因椭圆方程可化为x＋329＋y－124＝1，其中心为(－3,1)，焦点坐标为(－3±5，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为53，准线方程为x＝－3±955.3．圆x2＋y2＝25按向量a平移后的方程是x2＋y2－2x＋4y－20＝0，求过点(3,4)的圆x2＋y2＝25的切线按向量a平移后的方程．【解】 由题意可知a ＝(1，－2)，因为平移前过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线方程为3x ＋4y ＝25，所以平移后的切线方程为3(x －1)＋4(y ＋2)＝25，即3x ＋4y －20＝0.4．已知两个点P (1,2)、P ′(2,10)和向量a ＝(－3,12)．回答下列问题： (1)把点P 按向量a 平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a 平移得到对应点P ′，求这个点的坐标； (3)点P 按某一向量平移，得到的对应点是P ′，求这个向量的坐标．【解】 (1)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ＝1，y ＝2，解得x ′＝－2，y ′＝14，即所求的对应点的坐标为(－2,14)．(2)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ′＝2，y ′＝10，解得x ＝5，y ＝－2，即所求点的坐标为(5，－2)．(3)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k .由x ＝1，y ＝2，x ′＝2，y ′＝10，解得h ＝1，k ＝8，所以所求的向量的坐标为(1,8)．5．将二次函数y ＝x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y ＝2x －5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(h ，k )，所以y ＝x 2平移后的解析式为y －k ＝(x －h )2，即y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 与直线y ＝2x －5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 在(3,1)处切线的斜率为6－2h ，从而6－2h ＝2，h ＝2.又点(3,1)在y －k ＝(x －h )2上，解得k ＝0，所以向量a 的坐标为(2,0)．6．抛物线y ＝x 2－4x ＋7按向量a 平移后，得到抛物线的方程是y ＝x 2.求向量a 及平移前抛物线的焦点坐标．【解】 抛物线方程可化为y －3＝(x －2)2，平移后的抛物线方程为y ＝x 2，所以a ＝(－2，－3)，因为y ＝x 2的焦点坐标为(0，14)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(0＋2，14＋3)，即(2，134)．7．已知双曲线的渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0与4x －3y ＋15＝0，一条准线的方程为y ＝－115，求此双曲线的方程．【解】 两渐近线的交点即双曲线中心，故由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋9＝0，4x －3y ＋15＝0，解得交点为(－3,1)，即中心为(－3,1)．又一条准线方程为y ＝－115，说明焦点所在的对称轴平行于y 轴，所以可设双曲线方程为y －12a 2－x ＋32b 2＝1，它的渐近线方程可写成y －1a ±x ＋3b＝0①，准线方程为y －1＝±a 2c②，而已知渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0，即4(x ＋3)＋3(y －1)＝0，另一条渐近线方程为4x －3y ＋15＝0，即4(x ＋3)－3(y －1)＝0，合并即为y －14±x ＋33＝0.对照①，得a b ＝43③.而已知准线方程y ＝－115，即y －1＝－165.对照②，得a 2c ＝165④.由③④，解得a ＝4，b ＝3，c ＝5.故所求双曲线方程为y －1216－x ＋329＝1.教师备选8．已知抛物线y ＝x 2－4x －8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，－2)时的抛物线方程； (2)将此抛物线按怎样的向量a 平移，能使平移后的方程是y ＝x 2?【解】 (1)将抛物线y ＝x 2－4x －8配方，得y ＝(x －2)2－12，故抛物线顶点的坐标为P (2，－12)，将点(2，－12)移到(3，－2)时，其平移向量a ＝(1,10)，于是平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋1，y ′＝y ＋10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－1，y ＝y ′－10.因为点(x ，y )在抛物线y ＝x 2－4x －8上，所以y ′－10＝(x ′－1)2－4(x ′－1)－8， 即y ′＝x ′2－6x ′＋7.所以平移后的方程为y ＝x 2－6x ＋7.(2)法一 设平移向量a ＝(h ，k )，则平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k .将其代入y ＝x 2－4x －8，得y ′－k ＝(x ′－h )2－4(x ′－h )－8，化简整理，得y ′＝x ′2－(2h ＋4)x ′＋h 2＋4h ＋k －8.令⎩⎪⎨⎪⎧2h ＋4＝0，h 2＋4h ＋k －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－2，k ＝12，此时y ′＝x ′2.所以当图象按向量a ＝(－2,12)平移时，可使函数的解析式化为y ＝x 2. 法二 将抛物线y ＝x 2－4x －8，即y ＋12＝(x －2)2平移到y ＝x 2. 只需要作变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y ＋12.所以平移对应的向量坐标为(－2,12)．4．3.2平面直角坐标系中的伸缩变换课标解读1.了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换．2.体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.1．横坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，y ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．2．纵坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，ky ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．3．伸缩变换一般地，设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μy μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换．1．如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】 x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆：x 24＋y 2＝1.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状． 2．如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中，分别作出f (x ，y )＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1k.第(1)种坐标系中的意思是x 轴与y 轴上的单位长度一样，f (x ，y )＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f (x ，y )＝0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的．伸缩变换对下列曲线进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)．(1)y ＝kx ＋b ；(2)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.【自主解答】 设P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k x ′，y ＝1k y ′.(1)由1k y ′＝k (1kx ′)＋b ，y ′＝kx ′＋kb ，得直线y ＝kx ＋b 经过伸缩变换后的方程为y ＝kx ＋kb ，仍然是一条直线．当b ＝0时，该直线和原直线重合；当b ≠0时，该直线和原直线平行．(2)由(1k x ′－a )2＋(1ky ′－b )2＝r 2，(x ′－ka )2＋(y ′－kb )2＝(kr )2，得圆(x －a )2＋(y－b )2＝r 2经过伸缩变换后的方程为(x －ka )2＋(y －kb )2＝(kr )2，它是一个圆心为(ka ，kb )，半径为|kr |的圆．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0y ′＝μy ，μ＞0，代入直线方程2x ′－y ′＝4 得：2λx －μy ＝4，即λx －μ2y ＝2，比较系数得：λ＝1，μ＝4，即直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.伸缩变换的应用曲线y ＝2sin 3x 变换成曲线y ＝3sin 2x ，求它的一个伸缩变换．【思路探究】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μy μ＞0代入y ′＝3sin 2x ′，所得式再与y ＝2sin3x 比较即可求λ、μ.【自主解答】 将变换后的曲线y ＝3sin 2x 改成y ′＝3sin 2x ′.设伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μyμ＞0代入y ′＝3sin 2x ′；得μy ＝3sin(2λx )即y ＝3μsin(2λx )，与y ＝2sin 3x 比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝3，3μ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝32，μ＝32，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ，y ′＝32y .确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．(1)圆x 2＋y 2＝a 2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为x 2a 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜a )?(2)分析圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系．【解】 (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1可以化为x 2＋a 2y 2b 2＝a 2，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝aby ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，bay ＝y ′.所以圆x 2＋y 2＝a 2经过向着x 轴方向上的伸缩变换，伸缩系数k ＝b a ，可以使方程变为x 2a 2＋y 2b2＝1. (2)若圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋m ，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为y ＝－1kx .由a b y ′＝kx ′＋m ，得y ′＝bk a x ′＋b a m .所以直线y ＝kx ＋m 经过变换，方程可变为y ＝bk ax ＋b am . 由a by ′＝－1kx ′，得y ′＝－b kax ′，所以直线y ＝－1kx 经过变换，方程可变为y ＝－b kax .此时，两条直线的斜率乘积是定值－b 2a2.若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为x ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为y ＝0，伸缩变换后其方程分别变为x ＝n ，y ＝0.此时两直线依然垂直．若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为y ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为x ＝0，伸缩变换后其方程分别变为y ＝b an ，x ＝0.此时两直线依然垂直．(教材第41页习题4.3第8题)对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数k ＝2：(1)x 2－4y 2＝16；(2)x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.(2013·南京模拟)求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.1．直线x ＋4y －6＝0按伸缩系数12向着x 轴的伸缩变换后，直线的方程是________．【答案】 x ＋8y －6＝02．直线2x －3y ＝0按伸缩系数3向着y 轴的伸缩变换后，直线的方程是________． 【答案】 2x －9y ＝03．曲线x 2＋y 2＝4按伸缩系数2向着y 轴的伸缩变换后，曲线的方程是________．【答案】x 216＋y 24＝1 4．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为______．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′， 即y ′＝3cos 12x ′.【答案】 y ＝3cos x21．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的方程．(1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.①(1)将①代入2x ＋3y ＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x ′＋y ′＝0，所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y后，直线2x ＋3y ＝0变成直线x ＋y ＝0.(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后，方程x2＋y 2＝1变成x 24＋y 29＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程．【解】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.3．设F ：(x －1)2＋(y －1)2＝1在⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′的伸缩变换下变为图形F ′，求F ′的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′.所以(x －1)2＋(y －1)2＝1变换为(13x ′－1)2＋(y ′－1)2＝1，即x ′－329＋(y ′－1)2＝1，所以F ′的方程是x －329＋(y －1)2＝1.4．双曲线x 216－y 29＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x 2－y 2＝1吗？【解】 双曲线方程x 216－y 29＝1可以化为(x 4)2－(y3)2＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝x ′，y3＝y ′，则x ′2－y ′2＝1.所以双曲线x 216－y 29＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x 2－y 2＝1，具体步骤是：按伸缩系数14向着y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数13向着x 轴进行伸缩变换．5．已知G 是△ABC 的重心，经过伸缩系数k 向着x 轴(或y 轴)的伸缩变换后，得到G ′和△A ′B ′C ′.试判断G ′是否为△A ′B ′C ′的重心．【解】 设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．经过伸缩系数k 向着x 轴的伸缩变换后，得到△A ′B ′C ′的三个顶点及点G ′的坐标分别为A ′(x 1，ky 1)、B ′(x 2，ky 2)，C ′(x 3，ky 3)，G ′(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋y 2＋y 33)．由于△A ′B ′C ′的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋ky 2＋ky 33)，所以G ′仍然是△A ′B ′C ′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y 轴方向，G ′同样也是△A ′B ′C ′的重心．6．已知：△ABC 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)后，得到△A ′B ′C ′.求证：△A ′B ′C ′和△ABC 相似，且面积比为k 2.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则A ′(kx 1，ky 1)、B ′(kx 2，ky 2)．所以A ′B ′＝kx 1－kx 22ky 1－ky 22＝|k |x 1－x 22y 1－y 22＝|k |AB .同理可得A ′C ′＝|k |AC ，B ′C ′＝|k |BC ， 所以△A ′B ′C ′∽△ABC ，所以∠A ＝∠A ′，S △A ′B ′C ′＝12(|k |AB )·(|k |AC )sin A ′＝k 2[12(AB ·AC )sin A ]＝k 2S △ABC .7．设P 1、P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2，称λ为点P 分有向线段P 1P 2所成比．设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，点P 分有向线段P 1P 2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P 1、P 2和P 分别变为P 1′、P 2′和P ′.求证：P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.【证明】 设P (x 0，y 0)，由P 1P →＝λPP 2→，得(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 0，y 2－y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋λx 21＋λ，y 0＝y 1＋λy21＋λ.设给定伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧k 1x ＝x ′，k 2y ＝y ′，则有P 1′(k 1x 1，k 2y 1)、P 2′(k 1x 2，k 2y 2)、 P ′(k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 1＋λy 21＋λ)．P 1′P ′→＝(k 1x 1＋λx 21＋λ－k 1x 1，k 2y 1＋λy 21＋λ－k 2y 1)＝λ(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，P ′P 2′→＝(k 1x 2－k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 2－k 2y 1＋λy 21＋λ)＝(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，所以P 1′P ′→＝λP ′P 2′→.所以P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.教师备选8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 216－y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：选修4－4阶段归纳提升坐标系错误!))极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标互化的公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，当不能直接使用公式时，可通过适当变换，化成能使用的形式．把下列极坐标化为直角坐标：(1)M (5，56π)；(2)N (2，32π)；(3)P (2，54π)；(4)Q (2，－π6)．【解】 (1)由题意知x ＝5cos 56π＝5×(－32)＝－532，y ＝5sin 56π＝5×12＝52.所以M 点的直角坐标为(－532，52)．(2)x ＝2cos 32π＝2×0＝0，y ＝2sin 32π＝2×(－1)＝－2.所以N 点的直角坐标为(0，－2)． (3)x ＝2cos 54π＝2×(－22)＝－2，y ＝2sin 54π＝2×(－22)＝－ 2. 所以P 点的直角坐标为(－2，－2)． (2)x ＝2cos(－π6)＝2×32＝3，y ＝2sin(－π6)＝2×(－12)＝－1.所以Q 点的直角坐标为Q (3，－1).极坐标的应用主要应用极坐标与直角坐标的互化公式解决问题，注意极坐标系中的ρ和θ的含义．(2012·陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32. ∴弦长为2×32＝ 3. 【答案】3伸缩变换变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μy μ＞0其中P (x ，y )为变换前的点，P ′(x ′，y ′)为变换后的点．将圆锥曲线C按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．【解】 设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，代入x ′2－y ′2＝1得(x3)2－(y2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M (8，－9π5)，N (8，11π5)，P (－8，4π5)，Q (－8，6π5)的四点中，与点A (8，π5)表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________． 【答案】 (23，2π3) 3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________． 【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 2 3 5．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】 椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________． 【答案】 ρ＝－2cos θ7．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为(2π3，2π3，2π3)，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3，由⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)，球坐标为(22π3，π4，2π3)．【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π)9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________． 【答案】 相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______． 【答案】 两条直线11．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3. 【答案】 2 312．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 【答案】22 13．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________．【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5x y ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝1，得： 2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1.【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有 x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0，故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|1222＝855. 【答案】855 二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4)；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点，∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.(2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝2y代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1， 得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14. 该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆． 17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 的面积的最小值．【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2p ρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos π2＋θsin 2π2＋θ. 所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos π2＋θsin 2π2＋θ＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2， 当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2. 18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B .设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)．弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos θ|＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.。
高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.5投影变换
y
故所求矩阵为
0 0
0 1
P(x,y) P/(0, y)
ox
反思问题
研究矩阵M=
1 1
0 0
所确定的变换。
对于平面内任意列向量
xy，有
1 1
0 0
x
y
x x
y (x, y) y=x
矩阵M使得平面上点的横坐标 不变，纵坐标变为与横坐标相等.
愚公移山的困难：
1.两座山面积大、高 “方七百里，高万仞” 2.愚公年老力衰
“年且九十”“曾不能毁魁父之丘”“以 残年余力，曾不能毁山之一毛”
3.移山劳动力缺乏、工具简陋 “率子孙荷担者三夫……箕畚运于渤海之尾”
“遗男，始龀，跳往助之”
4.安置土石的困难、运输路途远 “投诸渤海之尾，隐土之北”“寒暑易节， 始一反焉”
聚室而谋曰：“吾与汝毕力平险，指
家
铲平险峻的大山 直
皆，共同
赞通同豫南，达于汉阴，可乎？”杂然相
译文：
北山脚下有个叫愚公的人，年纪将近九 十岁了，面对着山居住。愚公苦于这两座大 山横亘面前而阻塞交通，进进出出曲折绕远。 于是愚公便聚合全家来商量说：“我和你们 竭尽全力铲平险阻，使它一直通向豫州南部， 到达汉水南岸，好吗？”大家纷纷表示赞成。
长叹
固执
可通彻，曾不若孀妻弱子。虽我之死，
有子存焉；子又生孙，孙又生子；
子又有子，子又有孙；子子孙孙，无
穷尽
穷匮也，而山不加增，担何心什苦么而铲不不平平？？”
没有。通“无”
河曲智叟亡以应。
译文：
北山愚公长叹一声说：“你思想顽固，顽 固到了不通事理的程度，连寡妇孤儿都不如。 即使我死了，还有儿子在呀；儿子又生孙子， 孙子又生儿子；儿子又有儿子，儿子又有孙子； 子子孙孙没有穷尽的，可是山不会增高加大，
几种常见的平面变换 (3)
学业分层测评(四)[学业达标]1.求出△ABC在矩阵作用下得到的图形，并画出示意图，其中A(0，0)，B(1，)，C(0，2).【解】 因为＝，＝，＝，所以△ABC在矩阵作用下变换得到的图形为△A 2B 2C 2，其中A 2(0，0)，B 2(－1，)，C 2(－，1)，这是一个旋转变换，示意图如图所示.2.(1)直线x＋y＝3在矩阵作用下变成什么图形？(2)正方形ABCD在矩阵M＝作用下变成什么图形？这里A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1).【解】 (1)直线x＋y＝3在矩阵作用下变成直线x＝3.(2)在矩阵M＝对应变换下，A→A 2(－2，－1)，B→B 2(0，－1)，C→C 2(2，1)，D→D 2(0，1)，则变换所成图形为平行四边形A 2B 2C 2D 2，如图.3.椭圆＋y2＝1在矩阵对应的变换作用下得到什么图形？【解】 设(x，y)为椭圆＋y2＝1上的任意一点，则有x2≤9.因为＝，所以矩阵使得椭圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为0，所以椭圆＋y2＝1在矩阵对应的变换作用下得到的图形是线段y＝0(－3≤x≤3)，即椭圆长轴.4.在平面直角坐标系xOy内有一点P(2，3)，将该点沿平行于直线x＋2y＝0的方向投影到x轴上，求P(2，3)在此投影变换下得到的点P 2的坐标.【解】 设P(2，3)在此投影变换下得到的点为P 2(x 2，y 2)，则由题意知即→＝，从而可知此投影变换对应的矩阵为，由＝，可知点P 2的坐标为(8，0).5.如图2-2-4所示，已知△ABC在变换T的作用下变成△A 2B 2C 2，试求变换T对应的矩阵M.【导学号：30650020】图2-2-4【解】 从△ABC到△A 2B 2C 2对应的是x轴方向上的切变变换，因为A、B在x 轴上，原地不变，注意到C(－1，1)→C 2(1，1)，由此可知这个变换对应的矩阵为.6.如图2-2-5所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A 2B 2C 2D 2，试求变换T对应的矩阵M.图2-2-5【解】 从图可以看出，T是一个切变变换，且T：→＝.故T对应的变换矩阵为M＝.我们可以进行如下验证：＝，＝，＝，＝.所以矩形ABCD在矩阵的作用下变成了平行四边形A 2B 2C 2D 2.7.试分析平面上的变换将平面上的点沿垂直于直线y＝x的方向投影到直线y ＝x上的矩阵表示.【解】 不妨设P(x，y)是平面上的任意一点，则它关于直线y＝x对称的点P 2的坐标为P 2(y，x)，PP 2的连线一定垂直于直线y＝x，且交点为Q，如图所示.根据题意，该变换即为→＝＝.因此，将平面上的点沿垂直于直线y＝x的方向投影到直线y＝x上的变换的矩阵表示为.[能力提升]8.运用旋转矩阵对应变换，求解下列问题：(1)求曲线x＝y2逆时针方向绕原点旋转90°所成的曲线方程.(2)求圆x2＋y2＝1绕原点逆时针旋转后得到的曲线方程.【导学号：30650021】【解】 (1)旋转变换矩阵为：＝，设x＝y2上任意一点(x0，y0)旋转变换后为(x 20，y 20)，则＝＝，所以故y 20＝(－x 20)2，即旋转所成的曲线方程为y＝x2.(2)设x2＋y2＝1上的动点P(x，y)经过变换后得新曲线上的点为P 2(x 2，y 2).则有＝＝，故从而代入x2＋y2＝1得(x 2c os ＋y 2s in )2＋(－x 2s in ＋y 2c os )2＝1，即x 22＋y 22＝1.故所求曲线方程为x2＋y2＝1.。
常见的几种平面变换反射变换与旋转变换
分类
垂直反射
对角线反射
将平面上的点关上的点关于对角线进行反射。
水平反射
将平面上的点关于水平于坐标轴的直 线进行反射。
应用场景
01
02
03
图像处理
在图像处理中，可以利用 反射变换来调整图像的对 称性，以达到美化或修复 图像的效果。
几何作图
在几何作图中，可以利用 反射变换来构造对称图形， 简化作图过程。
旋转变换的角度可以是任 意角度，但通常限定在 $0^circ$到$360^circ$之 间。
分类
固定中心旋转
所有点都绕同一固定点旋转相同 角度。
非固定中心旋转
旋转中心不是固定的，可以随着旋 转角度的变化而变化。
复合旋转
多个旋转变换的组合，可以用于实 现更复杂的几何变换。
应用场景
图形设计
在计算机图形学中，旋转变换常 用于旋转图像、调整图形方向等。
旋转变换的几何意义
旋转变换
将平面上的点绕某一点旋转一定的角度。
几何意义
通过旋转变换，可以旋转图形，改变其方向和角度，但不会改变图 形的大小和形状。
应用
在几何学、图形设计、机械工程等领域中广泛应用。
THANKS
感谢观看
物理模拟
在物理模拟中，可以利用 反射变换来模拟物体在镜 子中的反射效果，例如光 线反射、水面倒影等。
02
旋转变换
定义与性质
定义
旋转变换是指通过旋转某 一角度将点或图形从一个 位置转移到另一个位置的 变换。
性质
旋转变换具有中心对称性， 即存在一个固定点（称为 旋转中心），图形围绕该 点进行旋转。
旋转角度
常见的几种平面变换
• 反射变换 • 旋转变换 • 旋转变换与反射变换的区别与联系 • 变换矩阵 • 变换的几何意义
数学公式知识：平面点、线、面的平移与旋转变换
数学公式知识：平面点、线、面的平移与旋转变换平面点、线、面的平移与旋转变换在数学中，平台点、线、面是基础概念之一，我们可以通过对它们进行平移和旋转变换，来丰富它们的应用价值，提高数学问题的解决效率。
一、平面点和平移变换平面点是平面几何中最基本的元素，用两个坐标数（x，y）可以表示一个二维平面上的点。
当我们需要将某个平面点进行平移变换时，我们需要定义一个向量来表示平移的距离和方向（dx，dy），然后对点坐标进行平移，即：P'(x',y')=P(x,y)+T(dx,dy)其中T(dx,dy)表示平移向量，P'(x',y')表示变换后的新点坐标，P(x,y)表示待变换的原点坐标。
例如，如果我们需要将点P1（2,3）平移3个单位向量，则新坐标为：P1' (5,6)=P1(2,3)+T(3,3)二、平面直线和平移变换经过两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线，可以通过斜率和截距表示，即：y=kx+b其中，k为斜率，b为截距。
当我们需要对直线进行平移时，我们可以直接对截距进行变换，即：y=kx+b+dy例如，对于直线y=2x+1，我们需要向下平移2个单位，则新的直线方程为：y=2x+1-2=2x-1三、平面图形的旋转变换在平面几何的研究中，旋转变换是非常常见的一种方法。
当我们需要对平面图形进行旋转时，比较麻烦的就是如何对图形的每一个坐标进行变换。
为了解决这个问题，我们需要通过矩阵运算来实现平面图形的旋转。
设P(x,y)是平面上的一个点，以原点为中心顺时针旋转角度θ后，点P'（x',y'）的坐标可以表示为矩阵乘法的形式：x' cosθ sinθ xy' =-sinθ cosθ * y其中，cosθ和sinθ是以θ为单位的正弦和余弦函数值，分别对应旋转矩阵中的第一行一和第二行一的数值。
例如，如果我们需要将点P1(2,3)绕（0，0）点逆时针旋转60°，则新坐标为：x' cos60° sin60° 2y' =-sin60° cos60° * 3=(-1.5,2.6)四、平面直线和旋转变换平面直线是由坐标系中两个点及其坐标所直接定义的，因此，如果需要对直线进行旋转，就需要借助于坐标系的旋转变换。
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2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点） 即 A λ1α + λ 2 β = λ1A α + λ 2 A β ； ( ) 例 1：（1）平面上任意一点在矩阵0 ⎪B. C.D.A. ⎝ 0 1 ⎪⎭-1 0⎪⎭0 -1⎪⎭0 1⎪⎭2 ) ，所得图形的新方程式中不含 xy 项，则θ =答案：C 。
解析：由已知得旋转变换矩阵 M = ⎢cos θ -sin θ ⎤x sin θ + ycos θ ⎥⎦ ⎩ y = - x ' sin θ + y ' cos θ y ⎦ ⎣ y '⎦ ⎣ 1⎥⎦⎣0 026.2 几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；，3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
【典型例题】⎛ 1 0 ⎫ 1 ⎪ 的作用下()⎪ ⎝ 5 ⎭A. 横坐标不变,纵坐标伸长 5 倍B. 横坐标不变,纵坐标缩短到 1 5倍C. 横坐标,纵坐标均伸长 5 倍D. 横坐标,纵坐标均缩短到 1 5倍答案：B 。
（2） 表示 x 轴的反射变换的矩阵是()⎛ 1 0⎫ ⎛ -1 0⎫⎛ 0 1 ⎫⎛ 10 ⎫⎪ ⎪⎝⎝⎝答案：D 。
（3）已知二次曲线 2 x 2 + 3xy + y 2 + x - y - 2 = 0 ，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后 (0 < θ <π（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°⎣sin θ cos θ ⎦⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ x cos θ - y sin θ ⎤ ⎧ x = x ' c os θ + y ' s in θT ： ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ = ⎢ ，从而有 ⎨ ⎣代入原二次曲线方程，得到关于 x ', y ' 的新方程式，要使其中不含 x ', y ' 项，必须满足π π2sin θ cos θ + 3(cos 2 θ - sin 2 θ ) = 0 ，即 tan 2θ = - 3 ，∵θ ∈ (0, ),∴θ = 。
2 3⎡1 k ⎤（△4）设 OAB 的三个点坐标为 O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵 M = ⎢对应的变换下作用后形成△ O A 'B ' 则△OAB 与△ OA 'B ' 的面积之比为___________。
答案：1：1。
解析：由题意知 T M 为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变。
⎡1 0 ⎤（5）函数 y = 3cos x 在矩阵 M= ⎢ 1 ⎥ 变换作用下的结果是。
⎣ 2 ⎦（1） ⎛10⎫⎪⎪方程为y=2x+2；（2） 1⎭（3） 20⎫曲线方程为x2+y2=4∵⎢01⎥⎢y⎥＝⎢y⎥∴ｘ＝ｘ＇ｙ＝ｙ＇换后的点为A(x,y),则 20⎫⎛x⎫=⎛2x⎫=⎛x1⎫∴2x=x,y=y⎝01⎭⎝y⎭⎝y⎭⎝y1⎭+y⎡cos45-sin45⎤⎢-22⎥，任意选取双曲⎣22⎦''答案：y=3cos x。
解析：本变换是伸压变换。
2例2：试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。
⎝01⎭⎛-10⎫⎪点A（2，5）；⎝•A（-2，5）Y•A（2，5）⎝01⎭O X 答案：（1）所给方程表示的是一条直线。
设A（x,y）为直线上的任意一点，经过变换后的点为：A＇（x1,y1）⎡10⎤⎡x⎤⎡x⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦变换后的方程仍为：ｙ＝２ｘ＋２∴该变换是恒等变换。
（图略）（2）经过变化后变为（-2，5），它们关于y轴对称，故该变换为关于y轴的反射变换（3）所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A（x,y）为曲线上的任意一点，经过变11111将之代入到x22=4可得方程该变换是伸压变换。
Yx2y21+141=4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，YOXOX图1图2例3：将双曲线C：x2-y2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C'，试求C'的方程。
⎡22⎤⎥答案：由题意，得旋转变换矩阵M=⎢⎥=⎢⎣sin45cos45⎦⎢22⎥⎢⎥线x2-y2=1上的一点P(x0,y0)，它在变换T M作用下变为P'(x0,y0)，则有y ⎦ y ' ⎦⎪ 0 22 ,∴ ⎨ ( x + y ) ⎪ y = 2 ( y ' - x ' )2⎪ 0 2' ⎧1 -1⎥⎦1 -1⎥⎦'( x ' , y ' ) ，则有 ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ y ' ⎥ ，故 ⎨ x - y = y ' , 即 ⎨ y 0 = x 0' - y ' ⎣1 -1⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎩ 0 ⎩ 0 1 -1⎥⎦⎣0 1 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 1 ⎦⎣1 0 ⎦ 3．将圆 x 2+ y2= 1在矩阵 A = ⎢ ⎥对应的伸压变换下变成一个椭圆 ⎣0 b ⎦4．在矩阵 ⎢⎡1 ⎦⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ M = ⎢ 0 ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎣ 0 ⎣ 0 ⎧ ⎪ x 0 = ，故 ⎨⎪ y ' =⎪⎩ 0 x 2 - y 2 = 1上，所以 x 2 - y 2 = 1 ，即有 2x ' y ' = 1 。
∴所求的 C ' 方程为 xy = 0 0 0 0 1 2。
⎡1 0⎤例 4：研究直线3x - 2 y + 1 = 0 在矩阵 ⎢ 对应的变换作用下变成什么图形，并说⎣明其几何意义。
⎡1 0⎤答案：任取直线 3x - 2 y + 1 = 0 的一点 P ( x 0 , y 0 ) ，它在矩阵 ⎢⎣对应的变换作用下变为 P 0 0 ⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎧ x = x ' ⎧ x = x ' 0 0 0 00 0 0 0又因为点 P 在直线 3x - 2 y + 1 = 0 上，所以 3x - 2 y + 1 = 0即有 3x ' - 2( x ' - y ' ) + 1 = 0, x ' + 2 y ' + 1 = 00 0⎡1 0⎤从而直线 3x - 2 y + 1 = 0 在矩阵 ⎢ ⎣作用下变成直线 x + 2 y + 1 = 0 。
其几何意义是：把直线 3x - 2 y + 1 = 0 上的每一点沿垂直于直线 x + 2 y + 1 = 0 的方向投影到该直线上。
【课内练习】1．下列矩阵是二阶单位矩阵的是（ ）⎡1 0⎤ ⎡0 1⎤⎡1 0⎤⎡0 0 ⎤A 、 ⎢ ⎥B 、 ⎢ ⎥C 、 ⎢ ⎥D 、 ⎢ ⎥答案：A 。
解析：由定义知。
2．坐标平面上将一个三角形分别作投影、伸压、旋转、反射、切变的线性变换，则得 到的新图形一定与原三角形全等的个数为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4答案：B 。
解析：只有旋转、反射变换满足。
⎡a 0⎤ y 2x 2 + 4 = 1，则a +b = （ ）3 5 A 、 B 、3 C 、 D 、52 4答案：B 。
解析：由已知得 a = 1,b = 2 。
0⎤⎣2 1⎥ 变换下，点 A(2,1)将会转换成。
答案：(2,5)。
解析： ⎢⎡1 ⎣2 1⎥⎦ ⎢⎣2⎥⎦ ⎣5 ⎦5．若直线 x - y - 4 = 0 在矩阵 M = ⎢ ⎥ 对应的变换作用下，把自己变为自己，则 a , b⎪⎪ 0 1 + ab⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ax + y ⎤ 答案：0，2。
解析：由题意知 T M ： ⎢ 0 ⎥ → ⎢ 0 ⎥ = ⎢ ，故 ⎨- x + by ⎥⎦ y ⎦ y ' ⎦ ⎣ 0 ⎣ 0⎪ y = 0 x ' + ay ' ⎣⎩答案： ⎢⎡1 -1⎤⎦ （2）⎢2 1 ⎥⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡2⎤ =⎢ ⎥ 。
⎡a 1⎤ ⎣-1 b ⎦的值分别为。
0 0易求得 a = 0, b = 2 。
6．曲线 C 在伸压变换下 T ： ( x , y ) → ( x ', y ') = (2 x , y ）作用得到 y = 2sin x 的图象，则曲线 C 的方程为。
答案： y = 2sin 2 x 。
解析：由已知，曲线 C 上每一点变换前后纵坐标没有变化，而横坐标变为原来的 2 倍，即将 y = 2sin x 的图象上每一点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的一半，故曲线 C 的方程为 y = 2sin 2 x 。
7．直线 x - y = 1 在矩阵 A 对应的变换作用下变成直线 x = 1 ，则 A 。
⎣0 1⎥。
8．试讨论下列矩阵将所给图形（或方程表示的图形）变成了什么图形?画图并指出该变 换是什么变换？⎡0 -1⎤（1）⎢1 0 ⎥⎡1 0⎤⎣ ⎦点Ａ：（2，1）点Ａ：（2，1）ＹA ’（－１，２）⎡0 -1⎤ ⎡2⎤ ⎡-1⎤答案：（1）、解：∵ ⎢1 0 ⎥ ⎢1 ⎥ =⎢2 ⎥即点Ａ：（２，１）经过变化后变为 A ＇（－１，２）该变换是把向量ＯＡ绕着 原点逆时针旋转９００得到向量 ＯＡ＇ ∴该变换为旋转变换。
变换图形如图１。
O•A （２，１）X图 1A ’（2，5）⎡1 0⎤ ⎡2⎤ ⎡2⎤（2）、解：∵ ⎢2 1 ⎥ ⎢1 ⎥ = ⎢5⎥即点Ａ：（２，１）经过变化后变为ＹOA （2，1）X4 / 9图 2-1 1⎥⎦则 ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ y ⎥ ,∴ ⎨ y = -0x + 0y ，∴ x + y = 0( x ≠ 0) ，图形略。
10．已知矩阵 M=⎢⎡1 2 ⎤，向量α = ⎢ ⎥ ，β = ⎢ ⎥⎡1⎤⎦答案：（1）证明①M(α +β )=M ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥⎪ = ⎢⎛ ⎡1⎤ ⎡2⎤ ⎫⎡1 2 ⎤ ⎡3⎤⎝ ⎣1⎦ ⎣0⎦ ⎭ ⎣3 4⎦ ⎣1 ⎦ ⎣13⎦ = ⎢ ⎥ ，M β ⎣7 ⎦ ⎣6 ⎦ 13⎥⎦⎥ = ⎢7λ + 6μ ⎥ λ ⎦ ⎣0 ⎥⎦ ⎭ ⎢⎣3 4⎥⎦ ⎢⎣ λ 7λ ⎥⎦ ⎣ 6⎦ ⎣ 6μ ⎥⎦ ⎣7 6μ ⎦ λ (M α )= λ ⋅⎢ ⎥ = ⎢ ，μ (M β )= μ ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ，λ (M α )+μ (M β )= ⎢ ⎥ ⎣ y 2 ⎦ ⎣ y 1 ⎦ 1．变换 ⎛ 1 0 -1⎪⎭ ⎝ q ⎪⎭ ⎝ - q ⎪⎭1⎥⎦⎣ 1⎦ ⎣2 1⎦ ⎣0 1 ⎦⎣0A ＇（2，5）。