指数函数图像与性质

解：（ 1 ）m n （2）m n （3）当0 a 1, m n,
当a 1，m n
比较指数大小的方法
①构造函数法：要点是利用函数的单调性，数 的特征是同底不同指(包括可以化为同底的)， 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②搭桥比较法：用特殊数如0或1等做桥。数的 特征是不同底不同指或同指不同底。
1 x 1 x 用描点法作函数 y ( ) 和y ( ) 的图象 . 2 3
函 数 图 象 特 征
x
… -3
-2 4 9
1 x y( ) 3
-1 2 3 y
0 1 1
1
2
3
…
y=2-x … 8 y=3-x … 27
1 y ( )x 2
1/2 1/4 1/3 1/9
1/8 … 1/27 …
x
1 (9) y (2a 1) a 且a 1 2
x
练习2：函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，求 a的值.
a2-3a+3=1 a>0且a≠1 ∴a=2 a=1或a=2 a>0且a≠1
用描点法画出指数函数
1 x 1 x y=2 ，y=3 和 y ( ) , y ( ) 2 3
x x
的图象。
描点法：（ 1 ）列表（ 2）描点（ 3）连线
用描点法作函数 y 2 和y 3 的图象 .
x x
函 数 图 象 特 征
x
y=2x
…
…
-3
1/8
-2
1/4
-1
1/2
0
1
1
2
2
4
3
8
…
…
y=3x
… 1/27
1/9
1/3
x
1
3
x
9
27
…
yy 3
y2
1
-3 -2 -1
o
1
2
3
x
1
1.7
0.3
1 且
0.3
0.9
3.1
1
-2 -1.5 -1 -0.5
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5 -0.2
1
1.5
2
2.5
从而有
3.2
-0.4
1 .7
> 0 .9
3 .1
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
fx = 0.9x
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.5 -0.2
0.5
图 象
a>1 图 象 特
y=1 0
y=ax (a>1)
0<a<1
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近. 2.图象过定点（0，1） 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内 性
a>1 0<a<1 1.定义域为R，值域为(0,+). 2.当x=0时，y=1 3.在R上是增 3.在R上是减 函数 函数 4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.
问题三： 图象中有一个最特殊的点？
(0,1) 答：四个图象都经过定点＿＿＿＿．
观察右边图象，回答下列问题：1 x y ( 1 ) x X y=3 y( ) 3 2 问题四： 1 Y y = 2x x 指数函数 y ( 2 ) 图像是否具有 对称性？ 答： 不关于Y轴对称不关于 原点中心对称 O 问题五： 1x x y 3 y ( 函数 与 3 ) 图象有 什么关系 ？ 答： 关于Y轴对称 当底数a (a 0且a 1) 。
小结与收获： 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质 2.如何记忆函数的性质? 数形结合的方法记忆 3.记住两个基本图形:
1 o x
Y (0.5)
x
y
Y 2x
y=1
思考：指数函数 y a , y b , y c , y d
x x x
x
a,a,b,c,d b, c, d 与正整数 1 的图象如下图所示，则底数
3
1 3
例2： 比较下列各题中两值的大小：
1
1.72.5 与 1.73 ;
2
1.8
0.80.1与0.80.2
3 7 5 12
1 3 4
0.8
1 与 2
;
8 4 7

7 与 8
5
0.3
0.3
与 0.2
引题2:一把长为1的尺子第一次截去它的一半， 第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第 二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的 次数与剩下的尺子长度之间的关系.
截取 次数
1次
2次
3次
4次
x次
1 x y( ) 2
木棰 剩余
1 尺 2
1 尺 4
1 尺 8
1 尺 16
1 x ( ) 尺 2
y2
x
1 x y( ) 2
求f(0)、f(1)、f(-3)的值.
x 3, ， 分析：指数函数的图象经过点 3 f x 1 有 ， 3 3 想一 a 即 a ，解得 想 于是有 f 3
所以：
0
思考：确定一个指数函数 需要什么条件？
1
1 f 0 π 1,f 1 π π ,f 3 π . π
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.4
例2： 比较下列各题中两值的大小：
1
1.72.5 与 1.73 ;
2
1.8
0.80.1与0.80.2
3 7
同底指数幂比大 小，构造指数函数， 利用函数单调性
同底比较大小
1 3 4
0.8
1 与 2
;
8 4 7
若不用描点法，这
两个函数的图象又该如
何作出呢？
1
y=1
X
O
1 比较函数y 2 和y 的列表. 2
x
x
函 数 图 象 特 征
x y=2x
… …
-3 1/8 8
-2 1/4 4
-1 1/2 2
0 1 1
1 2
2 4
3 8 1/8
… … …
y=2-x …
1/2 1/4
y 2x 过点（ 1 ， 2），（ 2， 4），（ 3， 8），（a, b）
y 2 x 过点（-1 ， 2），（- 2， 4），（- 3， 8），（ a, b）
（a, b）与(a, b)关于y轴对称
对应两点 有什么位 置关系？
y
1 y 2
x
1 y 3
x
y3
x
y2
x
底数互为倒 数的两个指 数函数图象：
1
关于y轴对称
1
0
x

7 与 8
5 12
不同底但可化同底
5
0.3
0.3
与 0.2
0.3
不同底数幂比大小 ，利用指数函数图像 与底的关系比较
不同底但同指数
6
1.70.3 与0.93.1
底不同，指数也不同
利用函数图像 或中间量进行比 较
练习：已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 : （1） 2 m 2 n 单调性的逆用，结合函 m n 数图像和分类讨论思想 （2） 0.2 0.2 （3） a m a n (a 0且a 1)
问题一： 图象分布在哪几个象限？
1x y ( ) 1x 观察右边图象，回答下列问题： 3 y( ) 2
y=3X
Y
y = 2x
Ⅰ、Ⅱ 答四个图象都在第＿＿＿＿象限。
Y=1
问题二： 图象的上升、下降与底数a有什么联系？
O
X
a > 1 时图象上升；当底数＿＿＿＿时图象下降 0< a<1 答：当底数＿＿ ．
取任意值时，指数函 数图象如何分类研究？
Y=1
X
y
y
y
1 y 2
x
y ax
(a 1)
1 y 3
x
y 3x
y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
1 1
0
x
0
0 x
x
指数函数的图象和性质
a>1
y
0<a<1
y=ax (0<a<1) y=1 x 0 y (0,1) x
思考: 以上两个函数有何共同特征?
(1)均为幂的形式 ;
(2)底数是一个正的常数 ; (3) 自变量x在指数位置 .
ya
x
（4）幂的系数为 1.
函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数 函数，其中x是自变量 .
思考：为何规定a＞0且a≠1？
当a0时，ax有些会没有意义; 如:(2) ,0
1 2 1 2
当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究价值.
练习1 下列函数是否是指数函数
(1) y 1.073 ;
x
(2) y 3 x ;(3) y x 1; (4) y 4
x 3
;(5) y b ;
x x
(6) y (4) ;(7) y 4 ;
质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1. 非奇非偶函数