完整版84三元一次方程组及其解法非常好
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分析：三个方程中未知数的系数都 不是1或-1，用代入消元法比较麻 烦，可考虑用 加减消元法 求解。
?3x ? 4 y ? 3z ? 3.................① ??2x ? 3y ? 2z ? 2.................② ??5x ? 3y ? 4z ? ?22.............③
X+y+z=10 ① 3x+y=18 ② X=y+z ③
把③代入①、 ② ，得
2y+2z=10 ④
4y+3z=18 ⑤ 解之得 y=3
z=2
把y=3,z=2代入 方程③，得
X=5
∴ X=5
y=3 z=2
试一试
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的 纸币，共计22元，其中1元的纸币的张数是2 元 纸币张数的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少 张？
X+y+z=12
①
X=4y
②
X+2y+5z=22 ③
X=8 y=2
z=2
怎样解三元一次方程组？
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
总
三元一次方程组求法步骤：
结
1.化“三元”为“二元”（也就是消去一个未知数） 2.化“二元”为“一元”
交流探究 问题1 解方程组
x+y+z= 2 ①
∴
X=1 y=-3
z=-2
解方程组 2x-3y+4z=3
3x-2y+z=7
x+2y-3z=1
解：① -③ × 2，得
-7y+10z=1
② -③ ×3 ，得
-8y+10z=4
④- ⑤得
y=-3
把y=-3代入④得
Z=-2
① ② ③
把y=-3,z=-2代入
④ ①得
⑤
X=1
∴ X=1
y=-3
z=-2
问题3：解方程组 ?3x ? 4 y ? 3z ? 3.................① ??2x ? 3y ? 2z ? 2.................② ??5x ? 3y ? 4z ? ? 22.............③
在三元化二元时，对于具体方法的选取应 该注意选择 最恰当、最简便 的方法。
解三元一次方程组
｛3x＋4z=7
①
2x＋3y＋z=9 ②
5x－9y＋7z=8 ③
解：②× 3＋③ ，得
11x ＋10z=35 ④
分析：方程①中只含x,z,因此， 可以由②③消去y，得到一个只 含x，z的方程，与方程①组成 一个二元一次方程组
分析： 这个问题中包含有
个相等关系：
1元纸币张数＋ 2元纸币张数＋ 5元纸币张数＝ 12张
1元纸币的张数＝ 2元纸币的张数的 4倍
1元的金额＋ 2元的金额＋ 5元的金额＝ 22元
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
根据题意，可以得到下面三个方程：
X+y+z=12 ①
X=4y
②
X+2y+5z=22 ③
思考：三元一次
方程组降为二元一 次方程组，说说消 去哪个求知数，并
说明理由！
解： ① ＋③ 得: 5x ＋5y=25 ④ ②+③ ×2得：5x+7y=31 ⑤
｛ ｛ 5x＋5y=25 ④ 5x＋7y=31 ⑤解得
X=2 y=3
把x＝2，y＝3代入②，得 z=1
x=2
｛ 所以方程组的解为 y=3
z=1
解： ③ - ②，得
3x+6z=-24 即 x+2z=-8 ④ ① ×3+ ② ×4，得
观察方程
问题：1、什么叫三元一次方程？
2、什么叫三元一次方程组？
1、都含有 三个未知数，并且含有未知数的 项的次数都是 1，像这样的 整式方程叫做三元 一次方程。
2、含有三个未知数 ，每个方程中 含未知 数的项的次数都是 1，像这样的 方程组叫做 三元一次方程组。
解：设勇士队在第二轮比赛中，胜、平、负的 场数分别是 x、y、z场，根据题意，有
①与④组成方程组
｛3x ＋4z=7
11x ＋10z=35 解这个方程组，得
｛XZ==-52
1
｛ 把x＝5，z＝-2代入②，得 y= 3 因此，三元一次方程组的解为
X=51 YZ==-32
练习：解方程组
?3x ? 2 y ? z ? 13, ①
? ?
x
?
y?
2z
?
7,
②
??2x ? 3y ? z ? 12 ③
8.4 三元一次方程组 及其解法
纳溪中学 赵彬
复习导入
什么叫做二元一次方程组?
方程组中含有两个未知数 ,且含未知数的项的次数是一 次，这样的方程组叫做二元一次方程组。
ห้องสมุดไป่ตู้
解二元一次方程组有哪几种方法？它 们的基本思想是什么？
消元
二元一次方程组 代入 加减
一元一次方程
问题回顾
? “我们的小世界杯”足球赛第二轮比赛 中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计 分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中 胜的场数正好等于平与负的场数之和，那 么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场 数各是多少？
x-y+z= 0 ②
x-z=4.
③
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2. 化“二元”为“一元” 。
解：
? x+y+z=2,
? ?
x-y+z=0,
?? x-z=4.
①＋②，得 2x+2z=2 ,
化简，得 x+z=1 ④
③+④,得2x=5
x? 5
5
2
2
5?z? 4
解方程组
2x-3y+4z=3
①
3x-2y+z=7
②
x+2y-3z=1
解：由方程②，得
③ 解这个二元一
次方程组，得
Z=7-3x+2y ④
将④分别代入方程①和③ ，得
X=1 Y=-3
2x-3y+4(7-3x+2y)=3 代入④得
X+2y-3(7-3x+2y)=1
Z=-2
整理，得 -2x+y=-5 5x-2y=11
分析：
解这：个设问勇题士中队包在含第有二轮比赛个中未，知胜数、，平有、负的 个 相等场关数系分，别分是别x 、是y什、么z场？，根据题意，有
X+y+z=10 ① 3x+y=18 ② X=y+z ③
解：设勇士队在第二轮比赛中，胜、平、负的 场数分别是 x、y、z场，根据题意，有
X+y+z=10 ① 3x+y=18 ② X=y+z ③
2
z? ?3 2
x?
5 2
,z
?
?
3 2
5? y?(? 3) ? 0
2
2
y=1
? ? ? ?
x y
? ?
5 2 1
? ?z ?
?
3
?
2
? x+y+z=2,
①
? ?
x-y+z=0,
②
?? x-z=4.
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程（如例 1中的③），则可以先通过对另 外两个方程组进行消元，消元时就消去三个 元中这个二元一次方程（如例 1中的③）中 缺少的那个元。 缺某元，消某元。
?3x ? 4 y ? 3z ? 3.................① ??2x ? 3y ? 2z ? 2.................② ??5x ? 3y ? 4z ? ?22.............③
X+y+z=10 ① 3x+y=18 ② X=y+z ③
把③代入①、 ② ，得
2y+2z=10 ④
4y+3z=18 ⑤ 解之得 y=3
z=2
把y=3,z=2代入 方程③，得
X=5
∴ X=5
y=3 z=2
试一试
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的 纸币，共计22元，其中1元的纸币的张数是2 元 纸币张数的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少 张？
X+y+z=12
①
X=4y
②
X+2y+5z=22 ③
X=8 y=2
z=2
怎样解三元一次方程组？
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
总
三元一次方程组求法步骤：
结
1.化“三元”为“二元”（也就是消去一个未知数） 2.化“二元”为“一元”
交流探究 问题1 解方程组
x+y+z= 2 ①
∴
X=1 y=-3
z=-2
解方程组 2x-3y+4z=3
3x-2y+z=7
x+2y-3z=1
解：① -③ × 2，得
-7y+10z=1
② -③ ×3 ，得
-8y+10z=4
④- ⑤得
y=-3
把y=-3代入④得
Z=-2
① ② ③
把y=-3,z=-2代入
④ ①得
⑤
X=1
∴ X=1
y=-3
z=-2
问题3：解方程组 ?3x ? 4 y ? 3z ? 3.................① ??2x ? 3y ? 2z ? 2.................② ??5x ? 3y ? 4z ? ? 22.............③
在三元化二元时，对于具体方法的选取应 该注意选择 最恰当、最简便 的方法。
解三元一次方程组
｛3x＋4z=7
①
2x＋3y＋z=9 ②
5x－9y＋7z=8 ③
解：②× 3＋③ ，得
11x ＋10z=35 ④
分析：方程①中只含x,z,因此， 可以由②③消去y，得到一个只 含x，z的方程，与方程①组成 一个二元一次方程组
分析： 这个问题中包含有
个相等关系：
1元纸币张数＋ 2元纸币张数＋ 5元纸币张数＝ 12张
1元纸币的张数＝ 2元纸币的张数的 4倍
1元的金额＋ 2元的金额＋ 5元的金额＝ 22元
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
根据题意，可以得到下面三个方程：
X+y+z=12 ①
X=4y
②
X+2y+5z=22 ③
思考：三元一次
方程组降为二元一 次方程组，说说消 去哪个求知数，并
说明理由！
解： ① ＋③ 得: 5x ＋5y=25 ④ ②+③ ×2得：5x+7y=31 ⑤
｛ ｛ 5x＋5y=25 ④ 5x＋7y=31 ⑤解得
X=2 y=3
把x＝2，y＝3代入②，得 z=1
x=2
｛ 所以方程组的解为 y=3
z=1
解： ③ - ②，得
3x+6z=-24 即 x+2z=-8 ④ ① ×3+ ② ×4，得
观察方程
问题：1、什么叫三元一次方程？
2、什么叫三元一次方程组？
1、都含有 三个未知数，并且含有未知数的 项的次数都是 1，像这样的 整式方程叫做三元 一次方程。
2、含有三个未知数 ，每个方程中 含未知 数的项的次数都是 1，像这样的 方程组叫做 三元一次方程组。
解：设勇士队在第二轮比赛中，胜、平、负的 场数分别是 x、y、z场，根据题意，有
①与④组成方程组
｛3x ＋4z=7
11x ＋10z=35 解这个方程组，得
｛XZ==-52
1
｛ 把x＝5，z＝-2代入②，得 y= 3 因此，三元一次方程组的解为
X=51 YZ==-32
练习：解方程组
?3x ? 2 y ? z ? 13, ①
? ?
x
?
y?
2z
?
7,
②
??2x ? 3y ? z ? 12 ③
8.4 三元一次方程组 及其解法
纳溪中学 赵彬
复习导入
什么叫做二元一次方程组?
方程组中含有两个未知数 ,且含未知数的项的次数是一 次，这样的方程组叫做二元一次方程组。
ห้องสมุดไป่ตู้
解二元一次方程组有哪几种方法？它 们的基本思想是什么？
消元
二元一次方程组 代入 加减
一元一次方程
问题回顾
? “我们的小世界杯”足球赛第二轮比赛 中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计 分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中 胜的场数正好等于平与负的场数之和，那 么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场 数各是多少？
x-y+z= 0 ②
x-z=4.
③
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2. 化“二元”为“一元” 。
解：
? x+y+z=2,
? ?
x-y+z=0,
?? x-z=4.
①＋②，得 2x+2z=2 ,
化简，得 x+z=1 ④
③+④,得2x=5
x? 5
5
2
2
5?z? 4
解方程组
2x-3y+4z=3
①
3x-2y+z=7
②
x+2y-3z=1
解：由方程②，得
③ 解这个二元一
次方程组，得
Z=7-3x+2y ④
将④分别代入方程①和③ ，得
X=1 Y=-3
2x-3y+4(7-3x+2y)=3 代入④得
X+2y-3(7-3x+2y)=1
Z=-2
整理，得 -2x+y=-5 5x-2y=11
分析：
解这：个设问勇题士中队包在含第有二轮比赛个中未，知胜数、，平有、负的 个 相等场关数系分，别分是别x 、是y什、么z场？，根据题意，有
X+y+z=10 ① 3x+y=18 ② X=y+z ③
解：设勇士队在第二轮比赛中，胜、平、负的 场数分别是 x、y、z场，根据题意，有
X+y+z=10 ① 3x+y=18 ② X=y+z ③
2
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x?
5 2
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3 2
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2
? x+y+z=2,
①
? ?
x-y+z=0,
②
?? x-z=4.
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程（如例 1中的③），则可以先通过对另 外两个方程组进行消元，消元时就消去三个 元中这个二元一次方程（如例 1中的③）中 缺少的那个元。 缺某元，消某元。