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0~3点虚位移由A点虚位移表示：
微元体上外力所做的总虚功为:(略去高阶微量)
从推导可见：
C.变形体上外力的总虚功
在整个变形体上(集合后）外力的总虚功为：
2.变形体虚位移原理： 任何变形连续体处于平衡状态的必要和充分条件是：对任意 微小位移，外力所做的总虚功恒等于变形体所受的总虚变形功。 也即恒满足如下虚功方程：
3.几点说明： A.由于证明虚位移原理过程中没有涉及变形体本构关系， 因此原理适用于任何变形物体。
B.变形体虚功原理与变形体虚位移原理不是同一回事
变形体虚功原理：
虚功方程的各量满足如下关系：
在此条件下，力系和位移均可以是任意一个。
C. 杆系结构虚位移原理虚功方程为：
1-2-2 势能驻值原理
1.几个基本概念：
证明：必要性： 设虚位移（分为刚性虚位移和变形虚位移） 由前述知：
如果变形体处于平衡状态：
又若设将作用在微元体上全部外力分为外荷载和切割表面上的外力
由此可得变形体平衡是如下虚功方程成立：
充分性：
由上式存在，则式(1)-(2)可得：
假设此时变形体不处于平衡状态，有如下方程成立：
将（b）代入（c）有：
1-2 虚位移原理与势能原理
1-2-1 变形体虚位移原理（无限分割情况） 只限于将变形体分割成无限个微元体情况
1. 外力虚功计算（二维问题为例）
A .体内微元体上外力的总虚功计算： 矩形微元体：
由位移的连续性： ( 0-4 ) 点虚位移可由A点的虚位移表示
微元体上的外力所做的总虚功为：
将位移关系式代入有（略去高阶微量）：
1. 将结构“离散化”为有限个单元的组合体。
2. 对单元进行分析： (a) 由单元结点位移来描述单元内部位移 (b) 进行单元应变，应力分析 (c)由势能原理或虚位移原理W外=W内 ，建立单元特性 方程（单元刚度方程） 3. 整体（集合体）分析 用直接刚度法集成整体刚度矩阵和综合等效荷载列阵。 4. 边界条件处理（对已知边界条件） 方法：(a) 划零置1法 (b) 乘大数法 5. 解方程求位移 用适合的数学方法求解整体刚度方程得到全部结点位移。
有限元的发展
1956年美国科学家Turner,Clough等人在分析飞机结构时，将刚 架位移法推广到弹性力学平面问题，第一次给出用三角形单元求平 面应力问题的正确解答。
1960年Clough进一步处理了平面问题，并第一次提出“有限单元法” 的名称，并取得了一系列成果。 60-70年代，有限元的巨大成就引起了数学界的注意，对于有限元离 散化误差，收敛性，稳定性等方面的研究巩固了有限元的数学基础。
有限元法及程序
主 讲：
王
伟
哈尔滨工业大学土木工程学院
绪
论
什么是有限元法（Finite Element Methord)
有限元是近似求解一般连续域问题的数值方法，其实质是：
从物理方面看：它是用仅在单元的结点(Element node)上彼此相联系 的单元集合体来代替待分析的连续体，也即将待分析的连续体划分成若 干个单元（彼此相连接),通过单元的特性分析来求解连续体的特性。
应变能：由于产生 k ，变形体储存有应变能 d ：
~
总势能：
对于线弹性体可能位移由真实位移表示：
记真实位移产生的变形体势能为：
2.势能驻值原理：
A.格林公式的数学推导（在势能原理中将用到）以二维问题为例，由 矩阵乘知：
式(b)中第一项可作如下变换： 由此可得：
根据高斯公式（面积积分可转化为线积分）：
式中：l，m为围绕面积A的围线S的外法线方向余弦，对式d应用高斯积分， 合成并整理可得：
对于三维问题：
此式即为格林恒等式或格林公式。
B.格林公式的物理推导：
由虚功原理知：
因此格林公式物理实质是虚功原理、虚功方程的变形。 C.势能驻值原理的证明： 对势能一阶变分用格林公式进行变换：
由此可见：如果真实的应力状态（满足平衡方程与应力边界条件）势能 的一阶变分必等于零。 反之，若势能的一阶变分恒等于零
从虚位移原理证明可见：
势能驻值原理： 某一变形可能位移状态为真实位移的充分必要条件是：相应于此位移 状态的变形体势能取驻值。也即变形体势能仅对位移量所取得一阶变分为 零。 3.最小势能原理：
对于线弹性变形体的势能的二阶变分为：
由数学可知：该函数的一阶变分等于零，二阶变分大于零，此时该函数 取最小值。 最小势能原理：
引入如下矩阵： 由几何方程得：
从推导可以看出： ---是微元体上全部外力在微元体刚性虚位移上所做的总 虚功 –记为dW四，刚 ---是微元体上全部外力在微元体上变形虚位 移上所做的总虚功的主部-dW变 ---是微元体上外荷载在虚位移上所做的总虚功的主部-dW体 ---是微元体上切割面力在虚位移上所做的总 虚功的主部-dW切 B. 表面微元体上外力总虚功的计算（三角形微元体）
边界外法线方向余弦矩阵：
其中： 平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)
写成矩阵形式：
D – 弹性矩阵
关系： E=2（1+μ）G
应力边界条件（在给定的应力Lσ表面上）
写成矩阵形式：
从数学方面看：它是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有 限自由度问题，一经求解出单元未知量，就可以利用插值函数确定 连续体的场数。显然随着单元近似解将收敛于 精确解。 有限元借助于两个重要工具：在理论推导方面采用矩阵方法，在 实际计算中采用计算机。
对于线弹性体某一变形可能位移状态为真实位移
状态的充分必要条件是：此状态的变形体势能取最小值。
适用条件：虚位移原理 — 一切变形体
势能最小原理 — 线弹性体。
虚位移原理和势能原理彼此等价均导致平衡条件成立。
6. 根据求得位移，进一步求应变，应力等。
第一章 预 备 知 识
1-1 弹性力学有关方程的矩阵表示
* 本节以二维平面问题为例，同样适用于三维空间问题 * 本课程假定：材料为均匀连续、各向同性的，变形是 微小 的 ，受力变形过程材料始终处于线弹性阶段。 弹性力学平面问题： 一点的位移列阵： 一点的应变列阵： 一点的应力列阵： 一点的体积力列阵： 一点的表面力列阵：
70年代有限元发展异常迅速，从“位移法”开始已经发展成内容十 分广泛的计算力学学科，仅分析方法而论，可分为：位移元，杂交元， 混合元，边界元，样条元和半解析法等；就分析对象而言，已由固体力 学分析，发展为流体，传导，塑性，粘弹性等，近年来，每年发表有关 有限元的论文数以千计。
有限元的分析方法
在结构力学里介绍的矩阵分析法可以看成是有限元法用于杆系结 构的一个特例。 有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维，板壳）分析过 程是一样的，一般为：