九年级上册圆 几何综合专题练习(解析版)

九年级上册圆几何综合专题练习（解析版）

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G．

（1）如图1，求证：GD＝GF；

（2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小；

（3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在BC上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝122，HM+CN＝MN，求DK的长．

【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝45°；（3）1810

．

【解析】

【分析】

（1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A＝∠GFD，由“等角的余角相等”可得∠A＝∠GDF，等量代换得∠GDF＝∠GFD，根据“三角形中，等角对等边”得GD＝GF；（2）连接OD、OF，由△DPH≌△FPB可得：∠GBH＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G＝90°，即可得：∠ADF＝45°；

（3）由等腰直角三角形可得AH＝BH＝12，DF＝AB＝12，由四边形ABCD内接于⊙O，可得：∠BCG＝45°＝∠CBG，GC＝GB，可证四边形CDHP是矩形，令CN＝m，利用勾股定理可求得m＝2，过点N作NS⊥DP于S，连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F 作FR⊥DK交DK的延长线于点R，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK．【详解】

解：（1）证明：∵DE⊥AB

∴∠BED＝90°

∴∠A+∠ADE＝90°

∵∠ADC＝90°

∴∠GDF+∠ADE＝90°

∴∠A＝∠GDF

∵BD BD

∴∠A＝∠GFD

∴∠GDF ＝∠GFD

∴GD ＝GF

（2）连接OD 、OF

∵OD ＝OF ，GD ＝GF

∴OG ⊥DF ，PD ＝PF

在△DPH 和△FPB 中

PD PF DPH FPB PH PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△DPH ≌△FPB （SAS ）

∴∠FBP ＝∠DHP ＝90°

∴∠GBH ＝90°

∴∠DGF ＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°

∴∠GDF ＝∠DFG ＝45°

∴∠ADF ＝45°

（3）在Rt △ABH 中，∵∠BAH ＝45°，AB ＝

∴AH ＝BH ＝12

∴PH ＝PB ＝6

∵∠HDP ＝∠HPD ＝45°

∴DH ＝PH ＝6

∴AD ＝12+6＝18，PN ＝HM ＝

12

PH ＝3，PD ＝

∵∠BFE ＝∠EBF ＝45°

∴EF ＝BE

∵∠DAE ＝∠ADE ＝45°

∴DE ＝AE

∴DF ＝AB ＝

∵四边形ABCD 内接于⊙O

∴∠DAB +∠BCD ＝180°

∴∠BCD ＝135°

∴∠BCG ＝45°＝∠CBG

∴GC ＝GB

又∵∠CGP ＝∠BGP ＝45°，GP ＝GP

∴△GCP ≌△GBP （SAS ）

∴∠PCG ＝∠PBG ＝90°

∴∠PCD ＝∠CDH ＝∠DHP ＝90°

∴四边形CDHP 是矩形

∴CD ＝HP ＝6，PC ＝DH ＝6，∠CPH ＝90°

令CN ＝m ，则PN ＝6﹣m ，MN ＝m +3 在Rt △PMN 中，∵PM 2+PN 2＝MN 2

∴32+（6﹣m ）2＝（m +3）2，解得m ＝2

∴PN ＝4

过点N 作NS ⊥DP 于S ，

在Rt △PSN 中，PS ＝SN ＝22

DS ＝62﹣22＝42

SN 221tan DS 2

42SDN ∠=== 连接AF ，FK ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，过点F 作FR ⊥DK 交DK 的延长线于点R 在Rt △DFQ 中，FQ ＝DQ ＝12

∴AQ ＝18﹣12＝6

∴tan 1226

FQ FAQ AQ ∠=== ∵四边形AFKD 内接于⊙O ，

∴∠DAF +∠DKF ＝180°

∴∠DAF ＝180°﹣∠DKF ＝∠FKR

在Rt △DFR 中，∵DF ＝1122,

tan 2FDR ∠= ∴12102410,FR DR == 在Rt △FKR 中，∵FR ＝

1210 tan ∠FKR ＝2 ∴KR ＝6105

∴DK ＝DR ﹣KR ＝24106101810=

-= ．

【点睛】

本题是一道有关圆的几何综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形性质及判定，等腰直角三角形性质，解直角三角形等知识点；解题关键是添加辅助线构造直角三角形．

2．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC 与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•

（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；

（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：

①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；

②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．

【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．

【解析】

试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；

②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．

试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形．

理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，

∵t=5，∴AP=2×5=10．

∵点Q是AP的中点，