集合基础知识归纳

1.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不

是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习

惯的由小到大的数轴顺序书写。

2.集合中的每个对象叫做这个集合的元素集合

元素与集合的关系用“∈属于”和“∉不属于”表示；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A

例如：1∈Z，2.5∉Z，0∈N；

3.集合的表示方法，常用的有列举法和描述法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；

4.有限集和无限集的概念

5.常用数集及其记法

自然数集，记作N 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R

除0数集用符号*或+表示，比如正整数集，记作N*或N+；非零整数集记作Z*；

6.描述法表示集合应注意集合的代表元素

{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

注意：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

7.不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；

8.韦恩图表示集合

注意：一般无限集，不宜采用列举法。

1．子集、全集、补集

(1)子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是真子集；

若集合A中有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.

(2)集合A与其补集∁U A的关系为：A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.

(3)子集、全集、补集等概念实质上是生活中的“部分”、“全体”、“剩余”等概念在数学中的抽象与反映．当A⊆S时，∁S A的含义是：从集合S中去掉集合A的元素后，由所有剩余的元素组成的新集合．集合A的元素并上∁S A的元素后即合成集合S.

2．交集、并集

(1)对于交集概念的把握要注意以下三方面：

①交集仍是一个集合．

②交集中的元素都是两个集合的“公共元素”，即若x∈(A∩B)，一定有x∈A且x∈B.

③交集中包括了两个集合的全体公共元素，即若x∈A且x∈B，一定有x∈(A∩B)．

(2)对于并集的理解应注意：

若x∈(A∪B)，则有三种可能：

①x∈A但x∉B；②x∈B但x∉A；③x∈A且x∈B

集合相等：

⑴若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．

⑵对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时

集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A = B．

⑶对于两个集合A 和B，如果A⊆B，同时B⊆A ，那么就说这两个集合相等，

记作A = B．

⑷对于两个有限数集A = B ，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由

此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③

两个集合的元素之积相等．