大连理工大学软件学院离散数学第三篇小结
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(AUB) ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
由此可知，对任意集合A，B，上述等式不成立。
7
对任意集合A，B 进行讨论： 任取S ( A U B) ，则S A B
A
B
任取但此时无法推出 S A或 S B，
因此无法确定 S ( A)或 S (B)
2. 选择适当的定义条件来表达下一集合 “10的整数倍的集合”
解：A 10K K I
5
3. (1)给出集合A、B、C 的例子，使 A B, B C, 但 AC 。 (2)给出集合A、B、C 的例子，使 A B, B C,且 AC 。
解: (1)令 A a, B {a},b, C {{a},b}, d (2)令 A a, B {a},b, C {{a},b}, a
即两门都不为优的人有5人
10
补充：基数
对于有限集合：集合中不同元素的个数。那么对于无 限集呢? 是否所有无限集的基数都一样？
等势：当且仅当集合A的元素与集合B的元素之间存在着
一一对应，则称A与B是等势的，记作A≈B或A～B
正整数的集合N和正偶整数的集合E是等势的。
11
补充：基数
可数集合：与自然数集合等势的任何集合称为可数集合 （或称可数无限集合），它们的基数记作 （阿列夫 零）
总结
1
第三章 集合
1. 集合的基本概念 (1)集合以及集合的两种表示方法：枚举法和构造法。
(2)集合的基数、有限集和无限集。
(3)集合的子集和幂集。
2. 集合间的关系
(1)集合间的包含关系(用 A B 表示)。
(2)集合间的相等关系(用A=B表示)。
(3)集合间的真包含关系(用A B 表示)。
总结
6 5 对于任意集合A，B，等式 (A U B) (A) U (B) 是否成
立？ 先作一例，试看等式是否成立。 例：设 A {a, c}, B,{b,C}
则 A U B {a,b, c}
(A) ,{a},{c},{a,c} (B) ,{b},{c},{b,c}
(A) U(B) ,{a},{b},{c},{a,c},{b,c}
与实数集合等势的任何集合，它们的基数记作
无限集合可以和它的真子集等势，而有限集合不行
9
7. 设某班有20人，其中英语为优的有10人，数学为优的有10 人，两者都为优的有5人，问两门都不为优的有多少人？ 解：
设英语为优的学生的集合为A，数学为优的学生的集 合为B，根据题设，有
|A|=10，|B|=10，| AI B | 5 则
|~ AI ~ B | 20 | A U B | 20 (| A | | B | | A I B |) 20 (10 10 5) 5
a
c
b
例如：取源自文库中 S {a,b}
反之，任取S (A) U (B) ，则 S (A) 或 S (B)
于是 S A或 S B ，因此 S A B ，S ( A U B)
故 ( A) U (B) ( A U B)
由上可知，对任意集合A，B，
(A) U (B) (AU B)，但 (A) U (B) (A U B) 不成立。
4. 证明集合(AI ~ B) U(~ AI (BU ~ C)) 的补集是
(~ AU B) I (AU ~ B) I (AUC)
证明: ~ ((AI ~ B) U(~ AI (BU ~ C))) ~ (AI ~ B)I ~ (~ A I (BU ~ C)) (~ A U B) I (A U(~ B I C)) (~ AU B) I (AU ~ B) I (A UC)
6. 多重序元与笛卡尔乘积
重点是序偶<a,b>和两个集合的笛卡尔积A×B。这两 个概念是关系这一概念建立的基础。
4
1. 列举出下一集合中所有的元素
A (x, y) x, y I 0 x 2 1 y 0
解: A (0, 1),(0,0),(1, 1),(1,0),(2, 1),(2,0)
2
第三章 集合
3. 集合间的运算
由给定的集合A、B，
(1) 求并集A∪B；
(2) 求交集A∩B；
(3) 求差集（相对补集）B-A； (4) 求补集～A=U-A； (5) 求对称差集
4. 文氏图
用直观、形象的方法表示集合间的关系，有助于集合 的计数和分析。
总结
3
第三章 集合
5. 包含与排斥原理
| A1 U A2 || A1 | | A2 | | A1 I A2 |
8
6. 设A={a,b}，求 ( A)和A的幂集。
解：
(A) {,{a},{b},{a,b}}
(( A)) {,{},{{a}},{{b}},{{a, b}},{,{a}},{,{b}},
{,{a,b}},{{a},{b}},{{a},{a, b}},{{b},{a, b}}, {,{a},{b}},{,{a},{a, b}},{,{b},{a, b}}, {{a},{b},{a,b}},{,{a},{b},{a, b}}}
由此可知，对任意集合A，B，上述等式不成立。
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对任意集合A，B 进行讨论： 任取S ( A U B) ，则S A B
A
B
任取但此时无法推出 S A或 S B，
因此无法确定 S ( A)或 S (B)
2. 选择适当的定义条件来表达下一集合 “10的整数倍的集合”
解：A 10K K I
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3. (1)给出集合A、B、C 的例子，使 A B, B C, 但 AC 。 (2)给出集合A、B、C 的例子，使 A B, B C,且 AC 。
解: (1)令 A a, B {a},b, C {{a},b}, d (2)令 A a, B {a},b, C {{a},b}, a
即两门都不为优的人有5人
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补充：基数
对于有限集合：集合中不同元素的个数。那么对于无 限集呢? 是否所有无限集的基数都一样？
等势：当且仅当集合A的元素与集合B的元素之间存在着
一一对应，则称A与B是等势的，记作A≈B或A～B
正整数的集合N和正偶整数的集合E是等势的。
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补充：基数
可数集合：与自然数集合等势的任何集合称为可数集合 （或称可数无限集合），它们的基数记作 （阿列夫 零）
总结
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第三章 集合
1. 集合的基本概念 (1)集合以及集合的两种表示方法：枚举法和构造法。
(2)集合的基数、有限集和无限集。
(3)集合的子集和幂集。
2. 集合间的关系
(1)集合间的包含关系(用 A B 表示)。
(2)集合间的相等关系(用A=B表示)。
(3)集合间的真包含关系(用A B 表示)。
总结
6 5 对于任意集合A，B，等式 (A U B) (A) U (B) 是否成
立？ 先作一例，试看等式是否成立。 例：设 A {a, c}, B,{b,C}
则 A U B {a,b, c}
(A) ,{a},{c},{a,c} (B) ,{b},{c},{b,c}
(A) U(B) ,{a},{b},{c},{a,c},{b,c}
与实数集合等势的任何集合，它们的基数记作
无限集合可以和它的真子集等势，而有限集合不行
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7. 设某班有20人，其中英语为优的有10人，数学为优的有10 人，两者都为优的有5人，问两门都不为优的有多少人？ 解：
设英语为优的学生的集合为A，数学为优的学生的集 合为B，根据题设，有
|A|=10，|B|=10，| AI B | 5 则
|~ AI ~ B | 20 | A U B | 20 (| A | | B | | A I B |) 20 (10 10 5) 5
a
c
b
例如：取源自文库中 S {a,b}
反之，任取S (A) U (B) ，则 S (A) 或 S (B)
于是 S A或 S B ，因此 S A B ，S ( A U B)
故 ( A) U (B) ( A U B)
由上可知，对任意集合A，B，
(A) U (B) (AU B)，但 (A) U (B) (A U B) 不成立。
4. 证明集合(AI ~ B) U(~ AI (BU ~ C)) 的补集是
(~ AU B) I (AU ~ B) I (AUC)
证明: ~ ((AI ~ B) U(~ AI (BU ~ C))) ~ (AI ~ B)I ~ (~ A I (BU ~ C)) (~ A U B) I (A U(~ B I C)) (~ AU B) I (AU ~ B) I (A UC)
6. 多重序元与笛卡尔乘积
重点是序偶<a,b>和两个集合的笛卡尔积A×B。这两 个概念是关系这一概念建立的基础。
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1. 列举出下一集合中所有的元素
A (x, y) x, y I 0 x 2 1 y 0
解: A (0, 1),(0,0),(1, 1),(1,0),(2, 1),(2,0)
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第三章 集合
3. 集合间的运算
由给定的集合A、B，
(1) 求并集A∪B；
(2) 求交集A∩B；
(3) 求差集（相对补集）B-A； (4) 求补集～A=U-A； (5) 求对称差集
4. 文氏图
用直观、形象的方法表示集合间的关系，有助于集合 的计数和分析。
总结
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第三章 集合
5. 包含与排斥原理
| A1 U A2 || A1 | | A2 | | A1 I A2 |
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6. 设A={a,b}，求 ( A)和A的幂集。
解：
(A) {,{a},{b},{a,b}}
(( A)) {,{},{{a}},{{b}},{{a, b}},{,{a}},{,{b}},
{,{a,b}},{{a},{b}},{{a},{a, b}},{{b},{a, b}}, {,{a},{b}},{,{a},{a, b}},{,{b},{a, b}}, {{a},{b},{a,b}},{,{a},{b},{a, b}}}