高中数学基本不等式课件
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（2） ab 称为正数a、b的几何平均数
ab
2 称为它们的算术平均数。
5
zxxk
例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所
用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
结解论：1设：这两个矩个形正菜数园积长、为宽定各值为，xm则，y和m有；所最用小篱值笆
为Lm；
E故xxy1=:10已0；知直角三角形的面积等于50，
应用要点：一正 二定 三相等
（1）百度文库和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
9
例3.判断一下解题过程的正误
(1)已知x 0,求x 1 的最值; x
解 : x 1 2 x 1 2,原式有最小值2.
x
x
(2)已知x 1 时,求x2 1的最小值; 2 解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
2
3
D
D
a2 b2
a
a
A
GFb
C
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
4
基本不等式：
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
（1）两个不等式的适用范围不同。
值是（ B ）.
A．18 B．6 C．2 3 D．3 2
3. 已知x≠0，当x=___3_时，x2 小值是__1_8_.
81 x2
的值最小，最
4. 做一个体积为32 m3，高为2m 的长方体纸盒
，底面的长为_4m_，宽为_4m_时，用纸最少.
14
课后作业 1. （1）把36写成两个正数的积，当这两 个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个 正数取什么值时，它们的积最大？
解 ： 设 矩 形 菜 园 的 长 为 xm ， 宽 为 ym， 则
2结x+论2y2=：36．两个正数和为定值，则积有最大值
2
= SE=xx:y用≤ 2 x0c2 my 长的81铁，丝折成一个面积最大
当的且矩仅形当,应x=当y，怎即样：折x=?9，y=9时，面积S取得
最长大为值5c，m且，S宽m也ax=是815mcm2．时，面积最大为25cm2 所以：当矩形菜园的长为9m，宽为9m时，
面积最大为81m2．
7
定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正 二定 三相等
（1）a和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
8
定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
15
16
x 1
1
(2)设0 x 1,则函数y x(1 x)的最大值是 __4__;
1 变式(2).设0 x 1 , y x(1 2x)最大值是 __8__ .
2
12
a2 b2 2ab
小结
1、当a，b∈R时，a2 b2 2ab 2、当a，b∈R+时，a b 2 ab
等号成立的条件均为：a=b 3、两个正数积为定值，和有最小值。
两个正数和为定值，积有最大值。 4、一正二定三相等。
13
课堂练习： 1. 已知x>0，若 x 81 的值最小，则x为（B）. A． 81 B． 9 C．x 3 D．16
2. 若实数a，b，满足a+b=2 ，则 3a 3b 的最小
10
(3)已知x 3,求x 4 的最小值.
x
解 : x 4 2 x 4 4,原式有最小值4.
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立. x
看谁做得快2：求以下问题中的最值
(1)若a 0,则当a (2)正数x, y满足x
3
__2__ 时,4a
y 20, lg x
§3.4基本不等式:
1
学习目标： 1．推导并掌握基本不等式，并从不同角度探 索不等式 ab a b 的证明过程．
2
2．理解基本不等式的几何意义，并掌握定理 中的不等号“≤”取等号的条件是：当且仅 当这两个正数等．
3．熟练掌握基本不等式
ab a b 2
(a，b∈R＋)，会用基本不等式证明不等式．
9 a lg
有最小值 _1_2__;
y的最大值 __2__;
1
(3)x, y都为正数,且2 x y 2, xy的最大值是 __2__1.1
课下思考
例4.求以下问题中的最值
(1)设x 1, x 1 4 的最小值是 __4__;
x 1
变式(1).设x 1, x 4 的最小值是 __5__ .
L（=当2x且两+2仅y条=当2直（x=x角y+=y1边）0时≥各4，为等多号=成4少0立；时），；两条直
故当角这个边矩的形和菜园最长小、，宽最各为小1值0m是时，多所少用？篱笆最短
；最短的篱笆是40m．
最小值是20m
6
例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形
菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少
时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
ab
2 称为它们的算术平均数。
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zxxk
例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所
用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
结解论：1设：这两个矩个形正菜数园积长、为宽定各值为，xm则，y和m有；所最用小篱值笆
为Lm；
E故xxy1=:10已0；知直角三角形的面积等于50，
应用要点：一正 二定 三相等
（1）百度文库和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
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例3.判断一下解题过程的正误
(1)已知x 0,求x 1 的最值; x
解 : x 1 2 x 1 2,原式有最小值2.
x
x
(2)已知x 1 时,求x2 1的最小值; 2 解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
2
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D
D
a2 b2
a
a
A
GFb
C
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
4
基本不等式：
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
（1）两个不等式的适用范围不同。
值是（ B ）.
A．18 B．6 C．2 3 D．3 2
3. 已知x≠0，当x=___3_时，x2 小值是__1_8_.
81 x2
的值最小，最
4. 做一个体积为32 m3，高为2m 的长方体纸盒
，底面的长为_4m_，宽为_4m_时，用纸最少.
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课后作业 1. （1）把36写成两个正数的积，当这两 个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个 正数取什么值时，它们的积最大？
解 ： 设 矩 形 菜 园 的 长 为 xm ， 宽 为 ym， 则
2结x+论2y2=：36．两个正数和为定值，则积有最大值
2
= SE=xx:y用≤ 2 x0c2 my 长的81铁，丝折成一个面积最大
当的且矩仅形当,应x=当y，怎即样：折x=?9，y=9时，面积S取得
最长大为值5c，m且，S宽m也ax=是815mcm2．时，面积最大为25cm2 所以：当矩形菜园的长为9m，宽为9m时，
面积最大为81m2．
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定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正 二定 三相等
（1）a和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
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定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
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x 1
1
(2)设0 x 1,则函数y x(1 x)的最大值是 __4__;
1 变式(2).设0 x 1 , y x(1 2x)最大值是 __8__ .
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a2 b2 2ab
小结
1、当a，b∈R时，a2 b2 2ab 2、当a，b∈R+时，a b 2 ab
等号成立的条件均为：a=b 3、两个正数积为定值，和有最小值。
两个正数和为定值，积有最大值。 4、一正二定三相等。
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课堂练习： 1. 已知x>0，若 x 81 的值最小，则x为（B）. A． 81 B． 9 C．x 3 D．16
2. 若实数a，b，满足a+b=2 ，则 3a 3b 的最小
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(3)已知x 3,求x 4 的最小值.
x
解 : x 4 2 x 4 4,原式有最小值4.
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立. x
看谁做得快2：求以下问题中的最值
(1)若a 0,则当a (2)正数x, y满足x
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__2__ 时,4a
y 20, lg x
§3.4基本不等式:
1
学习目标： 1．推导并掌握基本不等式，并从不同角度探 索不等式 ab a b 的证明过程．
2
2．理解基本不等式的几何意义，并掌握定理 中的不等号“≤”取等号的条件是：当且仅 当这两个正数等．
3．熟练掌握基本不等式
ab a b 2
(a，b∈R＋)，会用基本不等式证明不等式．
9 a lg
有最小值 _1_2__;
y的最大值 __2__;
1
(3)x, y都为正数,且2 x y 2, xy的最大值是 __2__1.1
课下思考
例4.求以下问题中的最值
(1)设x 1, x 1 4 的最小值是 __4__;
x 1
变式(1).设x 1, x 4 的最小值是 __5__ .
L（=当2x且两+2仅y条=当2直（x=x角y+=y1边）0时≥各4，为等多号=成4少0立；时），；两条直
故当角这个边矩的形和菜园最长小、，宽最各为小1值0m是时，多所少用？篱笆最短
；最短的篱笆是40m．
最小值是20m
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例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形
菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少
时，菜园的面积最大，最大面积是多少？