高中数学基本不等式课件
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高中数学人教A版 必修第一册 基本不等式 课件
(2) 如果和x十y 等于定值S，那么当x=y 时，
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
高中数学新人教A版必修一基本不等式课件26张
解: 设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和b元
那么甲公司两次购芯片的平均价格为10000a b a b ,
20000
2
乙公司两次购芯片的平均价格为 20000 2
10000 10000 1 1
a
b ab
构造积为定值,利用基本不等式求最值
例4、
求函数
y
1 x3
x(x
3)
的最小值
思考:求函数
a
(2)正 数 x , y满 足 x y 20, lg x lg y的 最 大 值 ____;
你会了
巅
小结评价
吗？
峰 1。本节课主要学习了基本不等式的证明 回 与初步应用。
眸
豁 2。注意公式的正用、逆用、变形使用。
然 3。牢记公式特征“正”、“定”、“等”, 开 它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。
(3)设x
R ,则y
x2
8 中,当x2 x
8 x
,x
2时,
ymin
8;
(4) y x 2 2 的最小值是2 x2 1
其中正确命题的有___(4_)___
例3、(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这
个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短篱笆 是多少？ (2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园,问这个矩形的 长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积是多少 ？
即
1 x
1 y
的最小值为 4
2
“=”号的条件是不同的, 故结果错。
正确解答是:
已知正数x、y满足2x+y=1,求
1 1 的最小值
解:
xy
1 1 xy
2x y 2x y
2.2基本不等式(第1课时) 高中数学人教版必修一 课件(共14张PPT).ppt
追问1. 基本不等式实质上就是比较大小，以前学习的比较大小的方法都有哪些?你会用这些
方法证明基本不等式吗？ 作差法
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
ab 2
1 ( a b)2 0 2
ab
，即
ab a b 2
【师生共探，证明新知】
问题3. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨性，请
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问2：除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？
要证 只要证 要证①，只要证 要证②，只要证
2 ab a b
①
2 ab a b 0 ②
( a b)2 0 ③
要证③，只要证
( a b)2 0
④
显然，④成立，当且仅当a=b时，等号成立。
分析法（执果索因法）
a2 b2 2ab(a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。那么， 当 a 0,b 0 时，我们用 a , b 分别代替上式中的 a, b ，上述
不等关系变为什么？
a2 b2 2ab(a, b R) a b 2 ab
基本不等式 （均值不等式）
【合作交流，生成新知】
基本不等式的结构特征：
2.2 基本不等式
【创设情境，发现新知】
【地主分地的故事】 地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分
给小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
你分这块长 方形的地
你分这块正 方形的地
【合作交流，生成新知】
问题1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个重要不等式：
【师生共探，证明新知】 问题4. 以上的方法都是从代数的角度证明的，你能从几何的角度解释基本不等式吗？
方法证明基本不等式吗？ 作差法
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
ab 2
1 ( a b)2 0 2
ab
，即
ab a b 2
【师生共探，证明新知】
问题3. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨性，请
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问2：除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？
要证 只要证 要证①，只要证 要证②，只要证
2 ab a b
①
2 ab a b 0 ②
( a b)2 0 ③
要证③，只要证
( a b)2 0
④
显然，④成立，当且仅当a=b时，等号成立。
分析法（执果索因法）
a2 b2 2ab(a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。那么， 当 a 0,b 0 时，我们用 a , b 分别代替上式中的 a, b ，上述
不等关系变为什么？
a2 b2 2ab(a, b R) a b 2 ab
基本不等式 （均值不等式）
【合作交流，生成新知】
基本不等式的结构特征：
2.2 基本不等式
【创设情境，发现新知】
【地主分地的故事】 地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分
给小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
你分这块长 方形的地
你分这块正 方形的地
【合作交流，生成新知】
问题1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个重要不等式：
【师生共探，证明新知】 问题4. 以上的方法都是从代数的角度证明的，你能从几何的角度解释基本不等式吗？
高中数学配套基本不等式公开课获奖课件
题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪 解析 探究提高 由题意，先局部运用基本不等式， 再利用不等式的性质即可得证．
第12页
题型分类·深度剖析
题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
14分
方法二 y＝a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ab＋ba
＝ab＋a1b＋a2a＋bb2＝ab＋a1b＋a＋ba2b－2ab＝a2b＋ab－2.
6分
令 t＝ab≤a＋2 b2＝14，即 t∈0，14.
第30页
题型分类·深度剖析
易错警示
9.忽视最值获得条件致误
典例：(14 分)已知 a、b 均为正实数，且 a＋b＝1，求 y＝a＋1ab＋1b的最 小值．
数学 苏（文）
§7.4 基本不等式
第七章 不等式
第1页
基础知识·．基本不等式
ab≤a＋2 b
难点正本 疑点清源
1．在应用基本不等式求
(1)基本不等式成立的条件：a≥ 0,b≥ 0 . 最值时，要把握不等式
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时 成立的三个条件，就是
取等号．
“ 一 正 —— 各 项 均 为
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪 解析 探究提高
利用基本不等式证明不等式是综 合法证明不等式的一种情况，证明
思路是从已证不等式和问题的已
人教A版必修第一册高中数学2.2基本不等式精品课件
知识梳理
a＋b
思考 1：不等式 a ＋b ≥2ab 与 ab≤ 2 成立的条件相同吗？
2
2
如果不同各是什么？
a＋b
不同，a ＋b ≥2ab 成立的条件是 a，b∈R； ab≤
成立的条件
2
2
2
是 a，b 均为正实数。
1
思考 2： a＋ ≥2(a≠0)是否恒成立？
a
1
1
只有 a>0 时，a＋ ≥2，当 a<0 时，a＋ ≤－2。
四周墙壁建造单价为每米 500 元，中间一条隔壁(为圆的直径)建造单价为每米 100 元，池底建造单价为每平
方米 60 元(池壁厚忽略不计)．(注：π≈3.14)
(1)如采用方案一，游泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低？
(2)若方案一以最低总造价计算，试比较两种方案哪种方案的总造价更低？
例题解析
＝ 2，∴a≥ 2.
max
x＋y
例题解析
例 15 某校拟建一座游泳池，池的深度一定，现有两个方案，方案一：游泳池底面为矩形且面积为 200 平方
米，池的四周墙壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁(与矩形的一边所在直线平行)建造单价为每米 100
元，池底建造单价每平方米 60 元(池壁厚忽略不计)；方案二：游泳池底面为圆且面积为 64π平方米，池的
40
900x·
＝36 000，当且仅当 900x＝
，即 x＝ 时取等号；
x
x
3
200
200
或者总造价为 200×60＋x＋
×2×400＋ x ×100，
x
200
200
最新湘教版高中数学《基本不等式》同步课件
基本不等式
一 基本不等式
在2.1.1节问题1中，我们通过著名的“赵爽弦图”提炼出如下不等关系： 当a≠b时，a2+b2>2ab． 不 难 发 现 ， 当 图 2.1-2(3) 中 E ， F ， G ， H 四 点 重 合 ， 即 a=b 时 ， 有 a2+b2=2ab．而且，我们可用作差比较法给出如下证明：
一 基本不等式
一般地，对于正数a,b，我们把 a b 称为a，b的算术平均数， ab 称为a，b的 2
几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式.
一 基本不等式
例 5 设a，b为正数，证明下列不等式：
(1)
a+
1 a
≥2；
1
(2)
b a
a b
≥2
．
证明 (1)因为a，a 均为正数，由基本不等式，得
(a2+b2)－2ab=(a－b)2≥0.
一 基本不等式
据此，可得到如下定理: 定理 对任意a，b∈R，必有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.
特别地，当a≥0，b≥0时，用 a ， b 分别代替定理中的a，b可得： 推论 对任意a，b≥0，必有 a b≥ ab ，当且仅当a=b时等号成立. 2
(1) 4，16； (2) 3，12； (3) 1，4a2； (4) 5a，5a. 2. 已知a，b，c∈R，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac. 3. 设a，b为正实数，求证：(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3. 4. 求函数y＝(1＋x)·x2·(1－x)(0≤x≤1)的最大值．
返 回 目 录
结束
一 基本不等式
一 基本不等式
在2.1.1节问题1中，我们通过著名的“赵爽弦图”提炼出如下不等关系： 当a≠b时，a2+b2>2ab． 不 难 发 现 ， 当 图 2.1-2(3) 中 E ， F ， G ， H 四 点 重 合 ， 即 a=b 时 ， 有 a2+b2=2ab．而且，我们可用作差比较法给出如下证明：
一 基本不等式
一般地，对于正数a,b，我们把 a b 称为a，b的算术平均数， ab 称为a，b的 2
几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式.
一 基本不等式
例 5 设a，b为正数，证明下列不等式：
(1)
a+
1 a
≥2；
1
(2)
b a
a b
≥2
．
证明 (1)因为a，a 均为正数，由基本不等式，得
(a2+b2)－2ab=(a－b)2≥0.
一 基本不等式
据此，可得到如下定理: 定理 对任意a，b∈R，必有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.
特别地，当a≥0，b≥0时，用 a ， b 分别代替定理中的a，b可得： 推论 对任意a，b≥0，必有 a b≥ ab ，当且仅当a=b时等号成立. 2
(1) 4，16； (2) 3，12； (3) 1，4a2； (4) 5a，5a. 2. 已知a，b，c∈R，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac. 3. 设a，b为正实数，求证：(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3. 4. 求函数y＝(1＋x)·x2·(1－x)(0≤x≤1)的最大值．
返 回 目 录
结束
一 基本不等式
高中数学精品课件：第一章 基本不等式
(2)若 x<23，则 f(x)＝3x＋1＋3x－9 2有
A.最大值0
√C.最大值－3
B.最小值9 D.最小值－3
∵x<23，∴3x－2<0， f(x)＝3x－2＋3x－9 2＋3 ＝－2－3x＋2－93x＋3 ≤－2 2－3x·2－93x＋3＝－3. 当且仅当 2－3x＝2－93x，即 x＝－13时取“＝”.
教材改编题
1.已知 x>2，则 x＋x－1 2的最小值是
A.1
B.2
C.2 2
√D.4
∵x>2， ∴x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2x－1 2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，等号成立.
2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.ba＋ab≥2
√B.ab≤a2＋2 b2
第一章
§1.4 基本不等式
考试要求
1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
知识梳理
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立.
a＋b (3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何 平均数.
方法一 9－xy＝x＋3y≥2 3xy， ∴9－xy≥2 3xy， 令 xy＝t， ∴t>0， ∴9－t2≥2 3t， 即 t2＋2 3t－9≤0， 解得 0<t≤ 3，
∴ xy≤ 3，∴xy≤3， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
方法二 ∵x＝91－＋3yy， ∴x·y＝91－＋3yy·y＝9y1－＋3yy2
人教版高中数学必修1《基本不等式》PPT课件
(二)基本知能小试 1．判断正误：
(1)当 x＞0 时，1x＋x 的最小值为 2. (2)已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为 18.
答案：(1)√ (2)√
() ()
2．下列不等式正确的是
A．a＋1a≥2
B．(－a)＋－1a≤－2
C．a2＋a12≥2
D．(－a)2＋－1a2≤－2
(2)已知 0＜x＜12，求 x(1－2x)的最大值；
(3)已知 x＞0，y＞0，且8x＋1y＝1，求 x＋2y 的最小值．
[解]
(1)
∵
x
＞
2
，
∴
x
－
2
＞
0
，
∴
x
＋
4 x－2
＝
x
－
2
＋
4 x－2
＋
2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6.当且仅当 x－2＝x－4 2即 x＝4 时，等号成立．∴x＋
x－4 2的最小值为 6.
解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴ a－bb－c≤a－b＋2 b－c＝a－2 c. 当且仅当 a－b＝b－c，即 2b＝a＋c 时，等号成立． 答案： a－bb－c≤a－2 c
题型二 利用基本不等式求最值 【学透用活】
(1) 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ， 必 须 按 照 “ 一 正 ， 二 定 ， 三 相 等 ” 的 条 件 进 行．若具备这些条件，可直接运用基本不等式；若不具备这些条件，则应进行适 当地变形．
()
A．x≥2y
B．x＞2y
C．x≤2y
D．x＜2y
解析：∵不等式成立的前提条件是各项均为正，∴x－2y＞0，即 x＞2y. 故选 B.
高中数学基本不等式 PPT课件 图文
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
高中数学 4-5-3基本不等式课件
正方形ABCD中，
b
AB=a；在正方形 CEFG中，EF=b.
B
J
a
C
E
b
则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的 面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形， 此时有 a2+b2=2ab。
1 s2 4
例4 某居民小区要建一座八边
H
G
形的休闲场所，它的主体造型
D
Q
平面图（右图）是由两个相同的
P
C
矩形ABCD和EFGH构成的面积
为200平方米的十字型地域，计
A
M
N
B
划在正方形MNPQ上建一座花坛，
E
F
造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺
花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直
角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。
（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。
（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。
补充例题 已知a,b(0,+)，且a+b=1，求证：
（1）a2 b2 1 ; 2
（2）a12
1 b2
8；
（3）（a+
1 a
)2
(b
1)2 b
3、基本不等式
定理1 如果a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab.
当且仅当a=b时等号成立。
探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？
高中数学必修五课件：3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)
D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时，等号成立 即x=12，y=6
因花此园解，面x这积x个最2y矩大2y2形，4，的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时，
18
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为 常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
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面积最大为81m2．
7
定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正 二定 三相等
（1）a和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
8
定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
2
3
D
D
a2 b2
a
a
A
GFb
C
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
4
基本不等式：
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
（1）两个不等式的适用范围不同。
§3.4基本不等式:
1
学习目标： 1．推导并掌握基本不等式．理解基本不等式的几何意义，并掌握定理 中的不等号“≤”取等号的条件是：当且仅 当这两个正数等．
3．熟练掌握基本不等式
ab a b 2
(a，b∈R＋)，会用基本不等式证明不等式．
解 ： 设 矩 形 菜 园 的 长 为 xm ， 宽 为 ym， 则
2结x+论2y2=：36．两个正数和为定值，则积有最大值
2
= SE=xx:y用≤ 2 x0c2 my 长的81铁，丝折成一个面积最大
当的且矩仅形当,应x=当y，怎即样：折x=?9，y=9时，面积S取得
最长大为值5c，m且，S宽m也ax=是815mcm2．时，面积最大为25cm2 所以：当矩形菜园的长为9m，宽为9m时，
x 1
1
(2)设0 x 1,则函数y x(1 x)的最大值是 __4__;
1 变式(2).设0 x 1 , y x(1 2x)最大值是 __8__ .
2
12
a2 b2 2ab
小结
1、当a，b∈R时，a2 b2 2ab 2、当a，b∈R+时，a b 2 ab
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数
ab
2 称为它们的算术平均数。
5
zxxk
例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所
用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
结解论：1设：这两个矩个形正菜数园积长、为宽定各值为，xm则，y和m有；所最用小篱值笆
为Lm；
E故xxy1=:10已0；知直角三角形的面积等于50，
值是（ B ）.
A．18 B．6 C．2 3 D．3 2
3. 已知x≠0，当x=___3_时，x2 小值是__1_8_.
81 x2
的值最小，最
4. 做一个体积为32 m3，高为2m 的长方体纸盒
，底面的长为_4m_，宽为_4m_时，用纸最少.
14
课后作业 1. （1）把36写成两个正数的积，当这两 个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个 正数取什么值时，它们的积最大？
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
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应用要点：一正 二定 三相等
（1）a和b都必须是正数 （2）a与b的和或积必须是常数（定值） （3）等号成立的条件必须成立
9
例3.判断一下解题过程的正误
(1)已知x 0,求x 1 的最值; x
解 : x 1 2 x 1 2,原式有最小值2.
x
x
(2)已知x 1 时,求x2 1的最小值; 2 解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
10
(3)已知x 3,求x 4 的最小值.
x
解 : x 4 2 x 4 4,原式有最小值4.
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立. x
看谁做得快2：求以下问题中的最值
(1)若a 0,则当a (2)正数x, y满足x
3
__2__ 时,4a
y 20, lg x
9 a lg
有最小值 _1_2__;
y的最大值 __2__;
1
(3)x, y都为正数,且2 x y 2, xy的最大值是 __2__1.1
课下思考
例4.求以下问题中的最值
(1)设x 1, x 1 4 的最小值是 __4__;
x 1
变式(1).设x 1, x 4 的最小值是 __5__ .
等号成立的条件均为：a=b 3、两个正数积为定值，和有最小值。
两个正数和为定值，积有最大值。 4、一正二定三相等。
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课堂练习： 1. 已知x>0，若 x 81 的值最小，则x为（B）. A． 81 B． 9 C．x 3 D．16
2. 若实数a，b，满足a+b=2 ，则 3a 3b 的最小
L（=当2x且两+2仅y条=当2直（x=x角y+=y1边）0时≥各4，为等多号=成4少0立；时），；两条直
故当角这个边矩的形和菜园最长小、，宽最各为小1值0m是时，多所少用？篱笆最短
；最短的篱笆是40m．
最小值是20m
6
例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形
菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少
时，菜园的面积最大，最大面积是多少？