一元二次方程的模型

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一元二次方程课件ppt

y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y xx2 ④ yx2 x1
⑤ y1x2 2x4
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
• 练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
3x25x3 不是
x2 4
是
x 2 x2 x 1
不是
根公式，得出方程的根 x b b2 4ac 2a
注意:
• ①当时 b24ac0，方程无解；
• ②公式法是解一元二次方程的万能方法；
• ③利用
的值，可以不解方程
就能判断b方2 程4a根c 的情况；
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的判
别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ • 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程。

一元二次方程概念

教学难点
把实际问题转化为一元二次方程模型.
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识．
1．回顾一元一次方程的概念；一元一次方程中的“一元”是指？“一次”是指？
2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3.
A．ax2＋bx＋c＝0B．(m－3)x2－2x＝0
C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0
2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列正确的是(A)
A．a＋b＝1B．a－b＝1
C．a＋b＝－1D．a－b＝－1
通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
(2)是一元二次方程？
解：(1)当k－5＝0且k＋2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5.
所以当k＝5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元一次方程．
(2)当k－5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5.
所以当k≠5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元二次方程．
【变式训练】
1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D)
(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项．
①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③ ＝0.
问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

建立一元二次方程的模型.ppt

设计意图：突破难点，训练学生的“分类讨论”的数学思想，使学生掌握学习方法，成为“善学”的能手
过程4
目标自查，检测新知
1、已知x=1是关于x的一元二次方程2 x2+kx-1=0的一个根，则实数k=_____ 2、一元二次方程(x+1)2-x=3(x2-2)化为一般形式是___________，其中二次项系数为_____,一次项系数为_____,常数项为______.
3t，小亮行驶的路程为
, 2t 可列方程3t = 2t
1 0.01 t 2 2
1 0.01 t 2 2
整理得:0.005t2- t =0
②
设计意图：教学生如何分析问题，使学生“会学”，培养学生处理信息的能力和抽象思维能力。
过程2
自主交流，探索新知
x2+12x-540=0 ① 和 0.005 t2-t=0 ②
【情感、态度、价值观目标】
通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动，增进对方程的认识，提高学生分析问题、解决问题的能力
三、教法· 学法分析
1、教法
基于本节课内容的特点和初三学生的基础，我以 “启发式”教学法为主进行教学。教师作引导，学生为主体，以学生的互动学习为主，提高学生的观察、分析、概括能力，在合作、交流的气氛下进行师生互动，培养学生的自学能力和创新意识。
采用多媒体辅助教学，由实际问题建立一元二次方程的模型；将判断题以游戏抢答的形式出现，充分的调动学生的积极性，激发学生的学习热情；
四、教学媒体设计
为学生探究和发现新知提供技术支持
多媒体课件辅助教学
为教师进行教学提供技术平台
五、教学过程设计
根据本节课的教学内容，新课程标准的要求，学生的实际情况，我采用“创设情境—自主探索—应用拓展”的模式, 将整节课分为六个环节，制订以下教学流程：

冀教版初中数学九年级上册一元二次方程精品课件

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小试牛刀
当m取何值时，方程（m-1）x3m+2+2mx+3=0 是关于x的一元二次方程？
解：由题意得，
3m+2=2, 解得m=0，且m-1≠0 所以，当m=0时此方程是一元二次方程
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方
程
解（根）：使一元二次方程两边相等的未知数的值
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.
拓展提高
若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
课堂小结
一元
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2的整式方程
二
次
一般形式：ax2 + bx + c =0（a≠0）
个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得
a 12 b 1 c 0,
即a b c 0.
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拓展提高
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
解：由题意得
a b c 0,
即a 12 b 1 c 0.
பைடு நூலகம்x 1
• （4） x 2 4 (x 2)2
?
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例题讲解

一元二次方程的应用8类模型(增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程问题)(解析版)

专题09一元二次方程的应用压轴题八种模型全攻略(传播,增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程问题)【考点导航】目录【典型例题】 (1)【题型一一元二次方程的应用--传播问题】 (1)【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】 (3)【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】 (4)【题型四一元二次方程的应用--数字问题】 (6)【题型五一元二次方程的应用--营销问题】 (8)【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】 (10)【题型七一元二次方程的应用--工程问题】 (13)【题型八一元二次方程的应用--行程问题】 (14)【过关检测】 (17)【典型例题】【题型一一元二次方程的应用--传播问题】例题：（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【答案】15人【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，设每轮传染中平均每人传染了x 人，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设每轮传染中平均每人传染了x 人，依题意，得1(1)256x x x +++=，即2(1)256x +=，解方程，得115x =，217x =-（舍去）．【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】【分析】（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x ，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×21+月（藏书的平均增长率），即可得出关于x 的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论；（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x ，根据题意，得()2500017200x +=解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）该校这两个月藏书的月均增长率为20%；（2）()7200120%8640⨯+=（册），所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是8640册．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】例题：（2023春·北京石景山·八年级统考期末）如图，矩形草地ABCD 中，16AB =m ，10AD =m ，点O 为边AB 中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（PO PQ =，OM QN =），若草地总面积（两部分阴影之和）为2132m ，求甬路的宽．【答案】2m【分析】设甬路的宽为x m ，先得出8PQ OB ==，即8MB OB OM x =-=-，再据题意列一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：设甬路的宽为x m ，∵矩形ABCD 中，PO PQ =，OM QN =，∴四边形OPQB 是正方形，∵点O 为边AB 中点，16AB =m ，【答案】()()20218x x --=【分析】由花园的长、宽及雨道的宽，可得出种植花卉的部分可合成长为形，结合花卉种植面积共为【详解】解：∵花园长20直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD 的一边长CD 为x 米．(1)求矩形ABCD 的另一边长BC 是多少米？（用含x 的代数式表示）(2)矩矩形ABCD 的面积能否为272m ？若能，求出CD 的长；若不能，请说明理由．【答案】(1)（30﹣3x ）米(2)能，6m【分析】（1）根据题中条件即可求出BC 的长；（2）根据矩形ABCD 的面积为272m ，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．【详解】（1）修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），2283(303)BC x x ∴=+-=-米，即另一边长BC 是(303)x -米；（2）矩形ABCD 的面积能为272m ，理由如下：由题意得：(303)72x x -=，整理得：210240x x -+=，解得：14x =，26x =，当4x =时，30330341815x -=-⨯=>，不符合题意，舍去；当6x =时，30330361215x -=-⨯=<，符合题意；答：矩形ABCD 的面积能为272m ，CD 的长为6m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型四一元二次方程的应用--数字问题】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（）A ．25B ．36C ．25或36D ．64【答案】C【分析】设十位数字为x ，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可．【详解】设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为()3x +．依题意得：2103(3)x x x ++=+，解得:122,3x x ==.∴这个两位数为25或36．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为x ，可得方程________．【答案】()2323x x ⋅+=或()2323x x ⋅-=【分析】已知设其中的一个奇数为x ，且设其中的一个奇数为x ，分两种情况讨论：若x 为较小的奇数，则另一个奇数为(2)x +，即可列出方程()2323x x ⋅+=；若x 为较大的奇数，则另一个奇数为(2)x -，即可列出方程()2323x x ⋅-=，即可正确解答．【详解】①若x 为较小的奇数，则另一个奇数为(2)x +，∵两个连续奇数的积为323，∴()2323x x ⋅+=；②若x 为较大的奇数，则另一个奇数为(2)x -，∴()2323x x ⋅-=；故答案为：()2323x x ⋅+=或()2323x x ⋅-=【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．【答案】98【分析】设这个两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为()1x +，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解．【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为()1x +，依题意，得：()172x x +=，整理，得：2720x x +-=，解得：19x =-（不合题意，舍去），28x =，∴()()1011081898x x ++=⨯++=．故答案为：98【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．【题型五一元二次方程的应用--营销问题】例题：（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）某水果批发商店经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商店要保证每天盈利5000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】每千克水果应涨价5元【分析】设每千克应涨价x 元，根据每千克盈利5元，每天可售出600千克，每天盈利5000元，列出方程，求解即可．【详解】解：设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：(5)(60020)5000x x +-=，解得：5x =或20x =，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；答：每千克水果应涨价5元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；【详解】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x ，则有：()21196x +=+％，解得：120.4, 2.4x x ==-（不符合题意，舍去），答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40％．（2）解：设下调后每辆汽车的售价为m 万元，由题意得：()()15822596m m -+-=⎡⎤⎣⎦解得：1223,21m m ==，∵尽量让利于顾客，∴21m =；答：下调后每辆汽车的售价为21万元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】例题：（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在ABC 中，9016cm 12cm ACB AC BC ∠=︒==，，，动点M 、N 分别从点A 和点C 同时开始移动，点M 的速度为2cm /秒，点N 的速度为3cm /秒，点M 移动到点C 后停止，点N 移动到点B 后停止．问经过几秒钟，MCN △的面积为236cm【答案】2秒【分析】设经过x 秒钟后，MCN △的面积为236cm ，则()162cm 3cm CM AC AM x CN x =-=-=，，据此利用三角形面积公式建立方程求解即可.【详解】解：设经过x 秒钟后，MCN △的面积为236cm ，【答案】4cm【分析】设cm AP x =，则形面积公式求解出AP 的值即可．【详解】设cm AP x =，则(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q 是10cm？(2)若点P沿着AB BC CD→→移动，点探求经过多长时间PBQ的面积为12cm【答案】(1)8s5或24s5；【题型七一元二次方程的应用--工程问题】例题：（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A ，B 两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A 型设备每小时铺设路面比B 型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A 型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了()25m +小时，同时，A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m 米，而使用时间增加了m 小时，求m 的值．【答案】(1)A 型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)m 的值为10【分析】（1）设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面()230x +米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“A 型设备铺设的路面长度B +型设备铺设的路面长度3600750=+”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面()230x +米，根据题意得，()30302303600x x ++=，解得：30x =，则23090x +=，答：A 型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，()()()303025903303600750m m m +++-+=+，整理得，2100m m -=，解得：110m =，20m =（舍去），∴m 的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x 条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x 的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？【答案】（1）2780001625x x -；（2）12或36【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：()2780001625780001625x x x x -=-个/天故答案为：2780001625x x -；（2）根据题意，得：2780001625702000x x -=12x =或36x =∴即该工厂引进了12或36条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．【题型八一元二次方程的应用--行程问题】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（）【过关检测】一、单选题1．（2023春·安徽淮北·八年级统考期末）要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（）个球队参加比赛．A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】设应邀请x 个球队参加比赛，则总共需安排()112x x -场比赛，根据计划安排28场比赛建立方程，解方程即可得．【详解】解：设应邀请x 个球队参加比赛，则总共需安排()112x x -场比赛，由题意得：()11282x x -=，解得8x =或70x =-<（不符合题意，舍去），故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）电影《长津湖之水门桥》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役的一部分为背景，上演了一段可歌可泣的历史，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约6亿元，以后每天票房按相同的增长率增长；三天后累计票房收入达14.7亿元，若设平均每天票房的增长率为x ，则可以列方程为（）A ．()6114.7x +=B ．26(1)14.7x +=C ．266(1)14.7x ++=D ．()26616(1)14.7x x ++++=【答案】D【分析】设平均每天票房的增长率为x ，根据一元二次方程增长率问题，列出方程即可求解．【详解】设平均每天票房的增长率为x ，则可以列方程为()()26616114.7x x ++++=，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．3．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为（）A ．22元B ．24元C ．26元D ．28元【答案】A 【分析】根据题意可知：标价⨯（折数÷10）－成本=利润，可以列出相应方程，然后求解即可；【详解】设每本《几何原本》的进价为x 元，则：由题意可得：400.810x ⨯-=，解得：22x =；故选：A ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；对于本题运用到的公式：标价⨯（折数÷10）－成本=利润，一定要熟记并能够在题目中合理运用．4．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，某景区计划在一个长为72m ，宽为40m 的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为21792m ，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m ？设行车通道的宽度是m x ，则可列方程为（）A ．()()72401792x x --=B ．()()7244021792x x --=C ．()()7234021792x x --=D ．()()724401792x x --=【答案】B 【分析】设行车通道的宽度为m x ，再根据停车区域面积之和为21792m 列出一元二次方程，然后求解即可．【详解】解：设行车通道的宽度为m x ．根据题意，得()()7244021792x x --=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（）A ．36B ．26C ．24D ．10【答案】C【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了4t 步，甲斜向北偏东方向走了(610)t -步，利用勾股定理即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值，将其值代入4t 中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了4t 步，甲斜向北偏东方向走了(610)t -步，依题意得：22210(4)(610)t t +=-，整理得：2201200t t -=，解得：126,0t t ==（不合题意，舍去），∴44624t =⨯=．故乙走的步数是24．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题（1）BC=三、解答题11．（2023春·安徽六安·八年级校联考期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【答案】若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x 台电脑，则第一轮后共有(1)x +台被感染，第二轮后共有(1)(1)x x x +++即2(1)x +台被感染，利用方程即可求出x 的值，并且3轮后共有3(1)x +台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则经过1轮后有()1x +台被染上病毒，2轮后就有()21x +台被感染病毒，依题意，得()2181x +=，解得18x =，210x =-（舍去）．所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．由此规律，经过3轮后，有()()33118729x +=+=台电脑被感染．由于729700>，所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【点睛】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．12．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“冰墩墩”，求平均每月的增长率是多少？(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？【答案】(1)20%(2)6元【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x ，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量=该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量⨯（1+该工厂平均每月生产量的增长率）的平方，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每个“冰墩墩”降价y 元，则每个盈利()20y -元，平均每天可售出(20)5y +个，利用该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润=每个的销售利润⨯平均每天的销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，解之取其符合(1)DC=___________米（用含(2)若长方形围栏ABCD(3)长方形围栏ABCD面积是否有可能达到(1)用含t 的式子表示线段的长：CQ =__________；PB =__________．(2)当t 为何值时，P 、Q 两点间的距离为13cm ？(3)当t 为何值时，四边形APQD 的形状可能为矩形吗？若可能，求出t 的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)2cm t ，()153cmt -(2)P 、Q 出发0.6和5.4秒时，P ，Q 间的距离是13cm(3)P 、Q 出发3秒时四边形APQD 为矩形【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）可通过构建直角三角形来求解．过Q 作QM AB ⊥于M ，如果设出发t 秒后，13cm QP =．那么可根据路程=速度⨯时间，用未知数表示出PM 的值，然后在直角三角形PMQ 中，求出未知数的值．（3）利用矩形的性质得出当AP DQ =时，四边形APQD 为矩形求出即可【详解】（1）解：由题意得：2cm,3cm CQ t AP t ==，∵15cm AB =，∴()153cm PB t =-；故答案为2cm t ，()153cm t -；（2）解：设出发t 秒后P 、Q 两点间的距离是13cm ．则3AP t =，2CQ t =，作QM AB ⊥于M ，∵四边形ABCD 是矩形，。

人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件

③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想：还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄清已知量与未知量之间的关系
设设未知数
找
找出等量关系
列
根据等量关系列方程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10，则左边≠右边，所以－3不是方程x2－x－2＝0的解；下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的

专题一元二次方程的解法压轴题四种模型全攻略(老师版)

专题02一元二次方程的解法压轴题四种模型全攻略【类型一解一元二次方程——直接开平方法】例题：（2022·上海·八年级期末）解方程：（1）x (x +5)=x -4（2）4（x ﹣1）2＝9．(3)()21160x +-=；(4)100（x －1）2＝121．【答案】（1）122x x ==-；（2）x ＝52或x ＝﹣12；(3)13x =，25x =-；(4)x 1＝2110，x 2＝－110【解析】【分析】把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式，然后选取适当的方法即可求解．【详解】解：（1）254x x x +=-，2440x x ++=，2(2)0x +=，122x x ==-．（2）4（x ﹣1）2＝9，则（x ﹣1）2＝94，故x ﹣1＝±32，解得：x ＝52或x ＝﹣12．(3)()21160x +-=移项得：()2116x +=，开平方得：14x +=±，解得：13x =，25x =-；(4)解∶（x －1）2＝121100，x －1＝±1110，即x 1＝2110，x 2＝－110．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是关键．【变式训练1】（2022·全国·九年级单元测试）解方程(x －3)2＝4，最合适的方法是（）A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法【答案】A【解析】【分析】观察方程特点确定出适当的解法即可．【详解】解：方程(x －3)2＝4，最合适的方法是直接开平方法；故答案为：A【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【变式训练2】（2021·广东·梅州市学艺中学八年级期末）一元二次方程（x -1）2=4的根是______________.【答案】123,1x x ==-【解析】【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．【详解】解：()214x -=12x -=±123,1x x ∴==-故答案为：123,1x x ==-．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式训练3】（2022·广东·模拟预测）方程23(21)0x --=的解是_______．【答案】12x x ==【解析】【分析】先移项化为()2213x -=，再利用直接开平方的方法解方程即可.【详解】解：23(21)0x --=即()2213x -=21x \-=21x -=12x x \==故答案为：1211,22x x ==【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键.【类型二解一元二次方程——配方法】例题：（2022·河南安阳·九年级期末）解下列方程：(1)2220x x --=；(2)23620x x -+=【答案】(1)11x =21x =(2)1211x x =+=【解析】【分析】（1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可；（2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可．(1)解：2220x x --=，移项得：222x x -=，配方得：22121x x -+=+，即()213x -=，开平方得：1-=x ，∴11x =21x =．(2)23620x x -+=，22203x x -+=，222113x x -+=-，()2113x -=，1x -=，解得1211x x =+=【点睛】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键．【变式训练1】（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程2620x x ++=，变形后的结果正确的是（）A ．2(3)2x +=-B ．2(3)2x +=C ．2(3)7x -=D ．2(3)7x +=【答案】D【解析】【分析】先将二次项配成完全平方式，再将常数项移项，即得答案．【详解】解：∵2620x x ++=，∴269920x x ++-+=，即()237x +=，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．【变式训练2】（2022·辽宁大连·模拟预测）解方程：2480x x +-=．【答案】12x =,22x =--【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程．【详解】解：x 2+4x =8，x 2+4x +4=8+4，2(2)12x +=，2x =±-，12x =，22x =-．【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，解决问题的关键是降次．【变式训练3】（2022·上海·八年级开学考试）用配方法解方程x 2﹣4x ﹣2＝0．【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】【分析】根据配方法即可求解．【详解】解：x 2﹣4x ﹣2＝0，x 2﹣4x ＝2，x 2﹣4x +4＝2+4，（x ﹣2）2＝6，x ﹣2＝，解得x 1＝2x 2＝2【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【类型三根据判别式判断一元二次方程解得情况】例题：（2022·山东青岛·二模）关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -++=有两个相等的实数根，则m 值为__________．【答案】1【解析】【分析】由题意知，()21410m m =-+-⨯⨯=⎡⎤⎣⎦，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()()2214110m m m =-+-⨯⨯=-=⎡⎤⎣⎦，解得1m =，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当0=时，一元二次方程有两个相等的实数根．【变式训练1】（2022·上海·八年级期末）下列一元二次方程没有实数根的是（）A ．x 2-2=0B ．x 2-2x =0C ．x 2+x +1=0D ．(x -1)(x -3)=0【答案】C【解析】【分析】分别计算四个方程的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ，然后根据△的意义分别判断方程根的情况．【详解】解：A 、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；B 、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以，B 选项不符合题意；C 、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有没有的实数根，所以C 选项符合题意；D 、由原方程得到：x 2﹣4x +3＝0，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D 选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．【变式训练2】（2022·四川成都·九年级期末）已知方程2240x x -+=，则该方程的根的情况为（）A ．方程没有实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程有两个不相等的实数根D ．方程的根无法判定【答案】A【解析】【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．【详解】解：方程x 2-2x +4=0，∵a =1，b =-2，c =4，∴Δ=b 2-4ac =（-2）2-4×1×4=4-16=-12＜0，则方程没有实数根．故选：A ．【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，一元二次方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，一元二次方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，一元二次方程没有实数根．【变式训练3】（2022·河北·一模）新定义运算：2a b a ab b =-+※，例如22122113=-⨯+=※，则方程25x =※的根的情况为（）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】根据新定义，列出方程2225x x -+=，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：根据题意得：2225x x -+=整理得：2230x x --=，∴()()22430∆=--⨯->，∴方程25x =※有两个不相等的实数根．故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根是解题的关键．【类型四解一元二次方程——公式法】例题：（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．(1)2x 2-5x +1＝0(公式法)(2)23410x x -+=．（公式法）【答案】(1)x 1＝54+，x 2＝5174(2)11x =，213x =【解析】【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；（2）先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可．(1)解：∵a ＝2，b ＝-5，c ＝1，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝(-5)2-4×2×1＝17，∴x ＝42b a-=∴x 1x 2(2)解：23410x x -+=则3,4,1,a b c ==-=()22=444314,b ac \-=--创=V 42,6x ±\=解得：1211,.3x x ==【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与公式法解一元二次方程”是解本题的关键．【变式训练1】（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）计算解方程：22630x x -+-=【答案】x 1＝32x 2【解析】【分析】利用公式法解方程即可．解：22630x x -+-=，Δ＝()()26423120-⨯-⨯-=>，∴462324b x a --±==-，解得：x 1x 2【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【变式训练2】（2022·重庆市育才中学八年级期中）解方程：(1)2260x x --=；(2)23620x x -+=【答案】(1)11x =-21x =+(2)12x x ==【解析】【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．（1）2260x x --=，∴1a =，2b =-，6c =-，()24441628b ac ∆=-=-⨯⨯-=，2122b x a -±∴===11x ∴=21x =+，(2)解：方程23620x x -+=中的362a b c ==-=，，，()22b 4ac 6432120=-=--⨯⨯=>，则(6)23x --=⨯故12x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．【变式训练3】（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x 的方程21(1)230mm x x +--+=是一元二次方程．(1)求m 的值；(2)解这个一元二次方程．【答案】(1)-1(2)112x -=，212x -=【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义求解即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；（2）根据公式法解一元二次方程即可．(1)关于x 的方程21(1)230m m x x +--+=是一元二次方程，212,10m m ∴+=-≠解得1m =-(2)方程为22230x x --+=，即22230x x +-=，∴2,2,3a b c ===-，2224328∴∆=+⨯⨯=解得112x -=，212x -=【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．【类型五解一元二次方程——因式分解法】例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．(1)x 2﹣4x ＝5；(2)2（x +1）2＝x （x +1）．【答案】(1)125,1x x ==-(2)121,2x x =-=-【解析】【分析】（1）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解；（2）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解．(1)解：x 2﹣4x ＝5，移项得：x 2﹣4x -5=0，分解因式得：（x -5）（x +1）=0，∴x -5=0或x +1=0，解得：125,1x x ==-；(2)解：2（x +1）2＝x （x +1），移项得：2（x +1）2-x （x +1）=0，分解因式得：（x +1）（2x +2-x ）=0，∴x +1=0或2x +2-x =0，解得：121,2x x =-=-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．【变式训练1】（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：(1)290x -=；(2)2230x x --=．【答案】(1)3x =或3x =-；(2)32x =或1x =-【解析】【分析】（1）运用公式法解一元二次方程即可；（2）运用十字相乘法解一元二次方程．(1)∵290x -=∴()()330x x +-=解得：3x =或3x =-；(2)∵2230x x --=∴()()2310x x -+=，解得：32x =或1x =-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法、十字相乘法解一元二次方程是解答本题的关键．【变式训练2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：(1)2325x x-=(2)24(3)(3)0x x x -+-=【答案】(1)113x =-，22x =(2)13x =，2125x =【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．(1)解：2325x x-=23520x x --=()()3x 1x 20+-=∴113x =-，22x =(2)24(3)(3)0x x x -+-=[](3)4(3)0x x x --+=()(3)5120x x --=∴13x =，2125x =【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法，因式分解是解本题的关键．【变式训练3】（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级期中）解方程：(1)2230x x --=(2)()()325320x x x -+-=【答案】(1)13x =，21x =-；(2)123x =，25x =-．【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．(1)解：2230x x --=，即()()310x x -+=，∴方程的根为：13x =，21x =-；(2)解：()()325320x x x -+-=，提取因式()32x -可得：()()3250x x -+=，∴方程的根为：123x =，25x =-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【课后训练】一、选择题1．（2022·四川成都·九年级期末）方程x （x ﹣3）＝0的根是（）A ．x ＝3B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝﹣3【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：x （x ﹣3）＝0解得：x 1＝0，x 2＝3故选C 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．2．（2022·海南三亚·一模）一元二次方程2210x x ++=的解是（）A ．121,1x x ==-B ．121x x ==C ．121,2x x =-=D ．121x x ==-【答案】D 【解析】【分析】利用完全平方公式变形，进而求解即可．【详解】2210x x ++=，2(1)0x +=，10x +=，121x x ==-，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．（2022·河南周口·二模）已知关于x 的一元二次方程240x mx +-=，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．实数根的个数与实数m 的取值有关C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根【答案】A 【解析】【分析】先求出判别式的值，再根据根的判别式判断即可．【详解】解：240x mx +-=，b 2-4ac 2241(4)16m m =-⨯⨯-=+，不论m 为何值，20m ，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程20(ax bx c a ++=、b 、c 为常数，0)a ≠，当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根．4．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）若关于x 的方程210kx x --=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．14k ≥-B ．14k ≥-且0k ≠C ．14k ≤D ．14k ≤且0k ≠【答案】A 【解析】【分析】讨论：当k =0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当k ≠0时，Δ=（-1）2-4k ×（-1）≥0时有实数解，此时k ≥-14且k ≠0，然后综合两种情况得到k 的取值范围．【详解】解：当k =0时，方程化为-x -1=0，解得x =-1；当k ≠0时，根据题意得Δ=（-1）2-4k ×（-1）≥0，解得k ≥-14且k ≠0，综上所述，k 的取值范围为k ≥-14．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022·全国·九年级单元测试）若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义abcd＝ad －bc ，按照定义，若11x x +-23xx -＝0，则x 的值为（）AB ．C ．3D ．【答案】D 【解析】【分析】根据新定义可得方程（x +1）（2x -3）=x （x -1），然后再整理可得x 2=3，再利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：由题意得：（x +1）（2x -3）=x （x -1），整理得：x 2=3，两边直接开平方得：x故选：D ．【点睛】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．二、填空题6．（2022·浙江宁波·一模）代数式22x x -与4x 的值相等，则x 的值为________．【答案】120,6x x ==【解析】【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可．【详解】解：根据题意得：x 2-2x =4x ，整理得：x 2-6x =0，分解因式得：x （x -6）=0，所以x =0或x -6=0，解得：x 1=0，x 2=6，故答案为：x 1=0，x 2=6．【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法的方法步骤．7．（2022·广西梧州·一模）若关于x 的一元二次方程2240x x a ++=有两个实数根，则实数a 的取值范围是__________．【答案】a ≤2【解析】【分析】关于x 的一元二次方程2x 2+4x +a =0有实数根，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a 的不等式，通过解不等式即可求得a 的值．【详解】解：由题意，得Δ=42-4×2a ≥0，解得a ≤2．故答案是：a ≤2．【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．8．（2022·四川成都·九年级期末）若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________．【答案】6-或2##2或-6【解析】【分析】把x m =代入，223x x --=0，先求解m 的值，再分情况代入代数式求值即可．【详解】解：x m =时，代数式223x x --的为0，2230,m m \--=()()310,m m ∴-+=解得：123,1,m m ==-当3m =时，24391236,m m --=--=-当1m =-时，()()22431413 2.m m --=--⨯--=故答案为：6-或2．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，代数式的值，掌握“利用因式分解解一元二次方程”是解本题的关键．9．（2022·陕西西安·三模）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ⊗=+，若(1)3x x ⊗-=-，则x 的值为________．【答案】-1【解析】【分析】根据定义即可得到一元二次方程，解方程即可求得．【详解】解：根据题意得：()2(1)213x x x x ⊗-=+-=-得2210x x ++=解得121x x ==-故答案为：-1【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程的解法，理解题意，列出方程是解决本题的关键．10．（2022·内蒙古包头·二模）关于x 的方程221(21))10(k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是__________．【答案】14k ≥【解析】【分析】当10k -=时，解一元一次方程可得出方程有解；当10k -≠时，利用根的判别式()()2221410k k +--=≥∆，即可求出k 的取值范围．综上即可得出结论．【详解】当10k -=，即1k =时，方程为310x +=，解得13x =-，符合题意；②当10k -≠，即1k ≠时，()()2221410k k +--=≥∆，即1230k -≥，解得：14k ≥且1k ≠．综上即可得出k 的取值范围为14k ≥．故答案为：14k ≥．【点睛】本题考查了根的判别式，分二次项系数为零和非零两种情况考虑是解题的关键．三、解答题11．（2022·浙江绍兴·八年级期中）解方程：(1)2320x x -=(2)245x x +=【答案】(1)1220,3x x ==(2)121,5x x ==-【解析】【分析】（1）提取公因式,x 利用因式分解的方法解方程即可；（2）在方程两边都加上4，利用配方法解方程即可．(1)解：∵2320x x -=，∴()320x x -=，∴x =0，或3x -2=0，23x =，∴1220,3x x ==，(2)解：∵245x x +=，∴2449x x ++=，∴()229x +=，∴23x +=±，∴121,5x x ==-．【点睛】本题考查的是因式分解法，配方法解一元二次方程，掌握“因式分解法与配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．12．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）（1）2(2)40x +-=．（2）2560x x ++=．【答案】（1）1204,x x ==-；（2）122,3x x =-=-【解析】【分析】（1）先移项，再直接开平方即可求解；（2）采用十字相乘将等号左侧进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：2(2)4x +=，∴22x +=±，∴1204,x x ==-．（2）解：(2)(3)0x x ++=，∴20x +=或30x +=，∴122,3x x =-=-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等，选择合适的方法是解题关键．13．（2021·河南新乡·九年级期末）解下列方程：(1)2310x x +-=；(2)()2346x x x +=+．【答案】(1)1x =2x =(2)132x =-，22x =【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）先移项，利用因式分解法解方程即可；(1)解：∵1a =，3b =，1c =-．∴()224341113b ac -=-⨯⨯-=，∴33212x --==⨯．∴1x =2x =(2)原方程可变形为()()232230x x x +-+=，因式分解为()()2320x x +-=．230x +=，或20x -=，∴132x =-，22x =．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．14．（2022·江西景德镇·九年级期末）解方程：(1)210250x x -+=；(2)()428x x x +=+．【答案】(1)125x x ==(2)122,4x x ==-【解析】【分析】（1）方程直接用开平方法求解即可；（2）方程移项后，运用因式分解法求解即可．(1)210250x x -+=，2(5)0x -=，50x -=，∴125x x ==；(2)()428x x x +=+，()42(4)0x x x +-+=，(4)(2)0x x +-=，20,40x x -=+=，∴122,4x x ==-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法、结合方程的特点选择合适简捷的方法是解题的关键．15．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列方程：(1)x 2－x －1＝0；(2)3x (x －2)＝x －2；(3)x 2－x ＋1＝0；(4)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．【答案】(1)112x +=，212x =(2)x 1＝13，x 2＝2(3)x11，x 21(4)x 1＝－4，x 2＝－5【解析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；（3）利用配方法解答，即可求解；（4）利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：a＝1，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5∴x即原方程的根为x1x2(2)解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，即（3x－1）（x－2）＝0，∴x1＝13，x2＝2．(3)解：配方，得（x2＝1，∴x＝±1．∴x1＋1，x21．(4)解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，即（x＋4）（x＋5）＝0，∴x1＝－4，x2＝－5．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．16．（2022·四川成都·九年级期末）关于x的一元二次方程（2﹣k）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】k的取值范围是k6<且2k≠【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到2−k≠0且Δ＝（−4）2−4（2−k）×（−1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得2−k≠0且Δ＝（−4）2−4（2−k）×（−1）＞0，解得k＜6且k≠2．即k的取值范围是k＜6且k≠2．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2−4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．17．（2022·河北承德·九年级期末）已知关于x 的一元二次方程22410x x p ++-=．(1)若方程有一个根为0，求p 的值及另一个根；(2)若2p =，求方程的解；【答案】(1)1p =±，另一根为4x =-；(2)12x =-22x =-【解析】【分析】（1）将0代入方程即可求出p ，再将p 的值代入方程求出另一个根即可．（2）将2p =代入方程，解方程即可．(1)解：把0x =代入方程，得210p -=，故1p =±，原方程化为240x x +=，解之得：方程的另一根为4x =-；(2)解：若2p =，原方程化为2430x x +-=，利用公式法可知：22b x a -==-±，∴方程的根为12x =-22x =-【点睛】本题考查一元二次方程根的定义以及解方程，解题的关键是理解方程根的定义求出p 的值，掌握公式法、因式分解法解方程．18．（2022·北京海淀·二模）关于x 的方程22(21)0x m x m -++=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小的整数时，求此时的方程的根．【答案】(1)14m >-(2)方程的根为10x =，21x =【解析】【分析】（1）由题意得()222140m m ∆=+->，解出m 的范围即可；（2）根据第（1）问m 的范围求出m 的最小整数值，然后将m 的值代入方程，解方程即可．(1)解：∵关于x 的方程22(21)0x m x m -++=有两个不相等的实数根．21∴其根的判别式()22214m m ∆=+-410m =+>．∴14m >-；(2)解：∵14m >-且m 为最小的整数，∴0m =．∴此时方程为20x x -=．∴方程的根为10x =，21x =．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“一元二次方程，当根的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入m 的值，利用因式分解法求出一元二次方程的解．。

一元二次方程实际问题1(增长率)

如果答案不符合实际情况或题目要求，需要重新审视已知条件和求解过程，找出问题所在并进行
修正。
在检查答案时，可以使用代入法或估算法等方法进行验证。
05 增长率问题拓展与应用
拓展到其他领域如物理、化学等
在物理学中，一元二次方程可以用来描述物体自由落体的运动规律，通过解方程可以求得物体下落的时间、速度等关键参数。
03
经济增长方式
指主要通过增加自然资源、劳动力和资本等生产要素的投入数量来实现
经济增长的模式，其表现形式是高投入、高消耗、低产出、低质量、低
效益。
科技发展增长问题
1 2
科技投入增长率
科技投入总额的增长速度，反映科技投入的增长快慢程度。
科技产出增长率
科技产出总额的增长速度，反映科技产出的增长快慢程度。
3
科技对经济增长的贡献率
科技进步对经济增长的贡献份额，反映科技对经济增长的推动作用大小。
04 增长率问题求解技巧与策略
合理利用已知条件进行求解
仔细阅读题目，明确已知条件和未知量，理解增长率的概念和计
算方法。
根据已知条件建立一元二次方程，注意方程的各项系数和常数项的
确定。
利用求根公式或配方法求解一元二次方程，得到未知量的值。
经济增长问题
01 02
经济增长率
末期国民生产总值与基期国民生产总值的比较，以末期现行价格计算末期GNP,得出的增长率是名义经济增长率，以不变价格（即基期价格）计算末期GNP，得出的增长率是实际经济增长率。
人均经济增长率
人均经济增长率是人均国内生产总值增长率的简称，指一定时期内人均国内生产总值的增长速度。
通过解一元二次方程，可以得到指标随时间变化的具体数值，从而预测未来的发展趋势。

一元二次方程总复习全章知识点梳理.

一元二次方程总复习考点 1:一元二次方程的概念一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式:ax 2+bx+c=0(a≠ 0 。

注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。

考点 2:一元二次方程的解法1. 直接开平方法2. 配方法:3.公式法:4. 因式分解法:因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法。

5.一元二次方程的注意事项:⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a ≠ 0.因当 a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定 a , b ,c 的值;②若 b 2 -4ac <0,则方程无解.★⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4 2 =3 (x +4中,不能随便约去 x +4。

⑷注意:解一元二次方程时一般不使用配方法 (除特别要求外但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是:开平方法→因式分解法→公式法.6.一元二次方程解的情况⑴ b 2-4ac ≥ 0⇔方程有两个不相等的实数根;⑵ b 2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;⑶ b 2-4ac ≤ 0⇔方程没有实数根。

解题小诀窍:当题目中含有“两不等实数根” “两相等实数根” “没有实数根”时,往往首先考虑用b 2-4ac 解题。

主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

考点 3:根与系数的关系 :韦达定理对于方程 ax 2+bx+c=0(a≠ 0 利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形。

解题小诀窍:当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理。

二、经典考题剖析:【易错】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是(A. 02=++c bx axB. 0652=++k x kC. 01232=++xx x D. 012 3(22=+++x x k 1、 (2009成都若关于 x 的方程 kx 2 -2x -1=0有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是(A.k>-1B. k>-1且k ≠ 0C. k<1D. k<1且k ≠ 02、解方程:(1 1(2 1(3-=-y y y y (20862=+-x x3、 (2009鄂州关于 x 的方程 kx 2+(k+2x+4k=0有两个不相等的实数根,(1求 k 的取值范围;(2是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在求出 k 的值;不存在说明理由。

实际问题与一元二次方程的几种常见模型及知识点

1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？单（双）循环问题1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?数字问题1．两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？2．一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。

增长率问题1.某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？2.某厂一月份产值为10万元，第一季度产值共33.1万元。

若每个月比上月的增长百分数相同，求这个百分数。

销售问题1．将进价为40元的商品按50元的价格出售时，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？2．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，已知这种衬衫每件降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场要想平均每天盈利1200元，那么每件衬衫应降价多少元？围圈问题1．借助一面长6米的墙，用一根13米长的铁丝围成一个面积为20平方米的长方形，求长方形的两边？2.如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，问AB和BC边各应是多少？ A E DB F C边框问题在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽为多少？面积问题1．要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多宽？2．在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为多少？工程问题1.甲、乙两建筑队完成一项工程，若两队同时开工，12天可以完成全部工程，乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天，问单独完成该工程，甲、乙各需多少天？行程问题汽车需行驶108km的距离，当行驶到36km处时发生故障，以后每小时的速度减慢9km，到达时比预定时间晚24min，求汽车原来的速度。

构建一元二次方程模型解题

（＋）＝１８３７９７０１ｘ３（＋）２＞０．＝＝
①若该单位是在甲公司花费７０５０元购买
的图形计算器，
２１年１００Ｏ
：ｊ＿莲：誊 ‘ 莹韪誊业！：溢警．登
则有ｘ８０２ｘ＝５０解得ｘ１，＝５（０－０）７０，＝５ｘ２．
’
求：１该企业２０（）０７年盈利为多少万元？
当ｘ１＝５时，每台单价为８０２０ — ０×１＝５
５０４０符合题意：０＞４．当ｘ２＝５时，每台单价为８０２５０ — ０ｘ２＝
３０４０不符合题意．０＜４．舍去． ②若该单位是在乙公司花费７０５０元购买的图形计算器，则有６０＝５０解得ｘ１．，０ｘ７０，＝２５不符合题意．舍去．故该单位是在甲公司购买的图形计算器，共购买了１５台．
分析：此题属于传播问题，每一轮ｌ设台
带病毒的电脑可以传染给台，则前后两轮被感染的电脑数的比例为１１）：帆．于是我们得（
位在同一家公司购买了一定数量的图形计算
器恰好花费７０元．请问是在哪家公司购买５０的，数量是多少？
解：设该单位购买台图形计算器。在若甲公司购买，则需要花费（０ — ０）；在８０２ｘ元若
乙公司购买．则需要花费７％ ×８０＝０ｘ．５０ｘ６０元
脑会感染给台电脑。依题意，得

一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程压轴题七种模型全攻略(解析版)--初中数学

一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程压轴题七种模型全攻略目录【典型例题】【考点一一元二次方程的识别】【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】【考点三一元二次方程的一般形式及各项系数】【考点四已知一元二次方程的解求参数(式子)的值】【考点五直接开平方法解一元二次方程】【考点六配方法解一元二次方程】【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】【过关检测】【考点一一元二次方程的识别】【例题１】(2023春·安徽合肥·八年级统考期中)下列方程是一元二次方程的是()A.x2+1x2=1 B.ax2+bx+c=0(a，b，c均为常数)C.x3x+2=5 D.2x+12=4x2-3【答案】C【分析】根据形如ax2+bx+c=0a≠0(a，b，c均为常数)的整式方程判断即可．【详解】A、x2+1x2=1中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；B、ax2+bx+c=0a≠0是一元二次方程，故不符合题意；C、x3x+2=5整理得3x2+2x-5=0是一元二次方程，故符合题意；D、2x+12=4x2-3整理得4x+4=0不是一元二次方程，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0a≠0(a，b，c均为常数)的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．【变式1-1】(2023秋·江苏镇江·九年级统考期末)下列方程中，一定是一元二次方程的是()A.x2-2x +2=0 B.x2+2x+3=x x+1C.2x+3y=6D.a2+2x2-2x+3=0典型例题【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可解答．【详解】A．x2-2x+2=0不是整式方程，故不符合题意；B．方程x2+2x+3=x x+1化简可得x+3=0不是一元二次方程，故不符合题意；C．2x+3y=6是二元一次方程，故不符合题意；D．a2+2x2-2x+3=0是一元二次方程，故符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程是整式方程，只含有一个未知数且未知数的项的次数最高为2次是解题的关键．【变式1-2】(2023春·浙江·八年级专题练习)下列关于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②x2+x-1=0；③x2+1x =0；④x2-2x3+3=0；⑤2x2-1=2x+12中，是一元二次方程的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0．据此逐项判定即可．【详解】解：ax2+3x2+2=0，当a=-3，不是一元二次方程，故①不是一元二次方程；x2+x-1=0满足一元二次方程的条件，故②是一元二次方程；x2+1x=0分母含有未知数是分式方程，故③不是一元二次方程；x2-2x3+3=0未知数的最高次数是3，是一元三次方程，故④不是一元二次方程；2x2-1=2x+12化简后为4x+3=0，是一元一次方程，故⑤不是一元二次方程；所以正确的只有②共1个，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】【例题１】(2023秋·陕西宝鸡·九年级统考期末)已知x m +x=1是关于x的一元二次方程，则m的值是()A.2B.2或-2C.0D.-2【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义，一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，解答即可．【详解】解：∵x m +x=1是关于x的一元二次方程，∴m =2，∴m=±2；故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．【变式2-1】(2023春·湖南株洲·九年级校联考阶段练习)若关于x的方程m-1x m +1-3x+4=0是一元二次方程，则m应满足的条件是()A.m=-1B.m=1C.m=±1D.m=2【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．【详解】解：∵关于x的方程m-1x m +1-3x+4=0是一元二次方程，∴m +1=2且m-1≠0，解得：m=-1．故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．+7x-1=0是一元二次方程，则【变式2-2】(2023·上海·八年级假期作业)若关于x的方程(a-2)x4-aa的值为．【答案】6【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．+7x-1=0是一元二次方程，【详解】解：∵(a-2)x4-a4-a=2,a-2≠0，解得a=6，故答案为：6．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．【考点三一元二次方程的一般形式及各项系数】【例题１】(2023春·八年级单元测试)方程3x1-x+10=2x+2化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A.-3x2，1，6B.3x2，1，6C.3，1，6D.3，-1，-6【答案】D【分析】利用去括号法则、移项及合并同类项将方程化成一般式3x2-x-6=0，根据一元二次方程定义直接求解即可得到答案．【详解】解：3x1-x+10=2x+2，∴3x-3x2+10=2x+4，∴3x2-x-6=0，∴根据一元二次方程定义可知二次项系数为3、一次项系数为-1、常数项为-6，故选：D．【点睛】本题考查整式相关运算及一元二次方程定义，掌握相关运算及一元二次方程定义是解决问题的关键．【变式3-1】(2023·全国·九年级假期作业)一元二次方程3x2-x+4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A.3，-x，5B.3，-1，-4C.3，-1，4D.3x2，-1，4【答案】C【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．【详解】解：一元二次方程3x2-x+4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3，-1，4．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确确定各项系数是解题关键．【变式3-2】(2023春·安徽滁州·八年级校联考期中)方程2x2=8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是()A.2x2,8x,2B.-2x2,-8x,-2C.2x2,-8x,-2D.2x2,-8x,2【答案】C【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．【详解】解：方程整理得：2x2-8x-2=0，则二次项、一次项、常数项分别为2x2,-8x,-2．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项时带着前面的符号．【变式3-3】(2023·江苏·九年级假期作业)将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3x2=5x-2；(2)a x+1=2-x．x-1【答案】(1)二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2(2)二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2【分析】(1)一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可；(2)一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可．【详解】(1)解：∵3x2=5x-2化为一般形式为3x2-5x+2=0，∴二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2；(2)∵a x+1x-1=2-x化为一般形式为ax2+x-a-2=0，∴二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【考点四已知一元二次方程的解求参数(式子)的值】【例题１】(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习)关于x的一元二次方程2x2+x+a-1=0的一个根是0，则a的值为．【答案】1【分析】根据关于x的一元二次方程2x2+x+a-1=0的一个根是0，将x=0代入方程即可解出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2+x+a-1=0的一个根是0，∴当x=0时，a-1=0，解得a=1．故答案为1．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程解的应用，其中理解一元二次方程解的概念是解题的关键．【变式4-1】(2023·湖南长沙·校考二模)若x=1是一元二次方程2x2-x+m=0的一个根，则m的值是．【答案】-1【分析】把x=1代入方程求解即可．【详解】解：∵x=1是一元二次方程2x2-x+m=0的一个根，∴2-1+m=0，∴m=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．【变式4-2】(2023·甘肃平凉·统考二模)若m是方程2x2-3x+1=0的一个根，则6m2-9m+2023的值为．【答案】2020【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2m2-3m=-1，再把2m2-3m=-1整体代入所求式子中求解即可．【详解】解：∵m是方程2x2-3x+1=0的一个根，∴2m2-3m+1=0，∴2m2-3m=-1，∴6m2-9m+2023=32m2-3m+2023=-1×3+2023=2020，故答案为：2020．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【变式4-3】(2023·全国·九年级假期作业)若m是一元二次方程x2-x-3=0的根，则m3+m2-5m的值为【答案】6【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出m2-m-3=0，从而可求出m2=m+3，m2-m=3，再将m3+m2-5m整理变形，最后整体代入求值即可．【详解】解：∵m是一元二次方程x2-x-3=0的根，∴m2-m-3=0，∴m2=m+3，m2-m=3，∴m3+m2-5m=m m2+m-5m=m m+3+m-5m=2m2-m=2×3=6．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．【考点五直接开平方法解一元二次方程】【例题１】(2023·上海·八年级假期作业)解关于x的方程：5x2-125=0．【答案】x1=5，x2=-5【分析】利用直接开方法求解即可．【详解】解：整理方程，即得x2=25，直接开平方法解方程，得：x =±25∴方程两根为x 1=5，x 2=-5．【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，理解并熟练运用直接开方法是解题关键．【变式5-1】(2023·上海·八年级假期作业)解关于x 的方程：9x 2-625=0．【答案】x 1=53，x 2=-53【分析】整理方程，得x 2=6259=259，进而根据直接开平方法解一元二次方程JK 【详解】整理方程，得x 2=6259=259，直接开平方法解方程，得：x =±259，即方程两根为x 1=53，x 2=-53．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式5-2】(2023·江苏·九年级假期作业)解下列一元二次方程：(2x +1)2+42x +1 +4=0；【答案】x 1=x 2=-32【分析】使用完全平方公式对方程进行变形，再求得结果．【详解】解：(2x +1)2+42x +1 +4=02x +1+22=0(2x +3)2=02x +3=0∴x 1=x 2=-32．【点睛】本题考查了解一元二次方程，其中准确使用完全平方公式进行变形是解题的关键．【变式5-3】(2023·上海·八年级假期作业)解下列方程：(1)x +2 2=3x -1 2；(2)9(2x +1)2-16(x -2)2=0；(3)4x 2-4x +1=0；(4)12x =-x 2-36．【答案】(1) x 1=32，x 2=-14(2)x 1=-112，x 2=12(3)x 1=x 2=12(4)x 1=x 2=-6【分析】(1)由x +2 2=3x -1 2，得x +2=3x -1或者x +2=-(3x -1)，再解一次方程即可；(2)由9(2x +1)2-16(x -2)2=0，得9(2x +1)2=16(x -2)2，可得3(2x +1)=±4(x -2)，再解一次方程即可；(3)由4x 2-4x +1=0，得(2x -1)2=0，从而可得答案；(4)由12x =-x 2-36，得x 2+12x +36=0，即(x +6)2=0，从而可得答案．【详解】(1)解：∵x +2 2=3x -1 2，∴x +2=3x -1或者x +2=-(3x -1)，∴原方程的解为：x 1=32，x 2=-14；(2)∵9(2x +1)2-16(x -2)2=0，∴9(2x +1)2=16(x -2)2，∴3(2x +1)=±4(x -2)，解得：x =-112或x =12，所以原方程的解为：x 1=-112，x 2=12；(3)∵4x 2-4x +1=0，∴(2x -1)2=0，解得：x =12．∴原方程的解为：x 1=x 2=12；(4)∵12x =-x 2-36，∴x 2+12x +36=0，∴(x +6)2=0，∴原方程的解为：x 1=x 2=-6．【点睛】本题主要考查利用因式分解法与直接开平方法求解一元二次方程，熟记因式分解法与直接开平方法解一元二次方程的步骤是解本题的关键．【考点六配方法解一元二次方程】【例题１】(2023·全国·九年级假期作业)用配方法解关于x 的方程：x 2+12x +25=0．【答案】x 1=-6+11，x 2=-6-11【分析】先移项后，再配方得x +6 2=11，再直接开方即可求解．【详解】解：x 2+12x +25=0，移项得：x 2+12x =-25，配方得：x 2+12x +36=-25+36，即x +6 2=11，∴x+6=±11，解得：x1=-6+11，x2=-6-11．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．【变式6-1】(2023秋·广东汕头·九年级统考期末)用配方法解方程：x2+6x-6=0．【答案】x1=15-3,x2=-15-3【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：x2+6x-6=0，∴x2+6x=6 ．∴x2+6x+9=6+9．∴x+32=15．∴x+3=±15．解得：x1=15-3,x2=-15-3．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．【变式6-2】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：-2x2-5x+20=0．【答案】x1=-54+1854，x2=-54-1854【分析】先将二次系数化为“1”，然后将常数项移到等号的右边，再在等号的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可把方程左边化成含未知数的完全平方式，最后两边开平方求解．【详解】由-2x2-5x+20=0，得2x2+5x-20=0，即x2+52x-10=0，配方，得：x2+52x+2516=10+2516，即x+542=18516，解得：x=-54±18516，所以原方程的解为：x1=-54+1854，x2=-54-1854．【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方是解题的关键．【变式6-3】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：0.3x2-0.2x+130=0．【答案】x1=x2=1 3【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：由0.3x2-0.2x+130=0，得：3x2-2x+13=0，∴x2-23x+19=0，∴x-132=0，∴原方程的解为：x1=x2=13．【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方，掌握配方法的步骤是解题的关键．【变式6-4】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：y2-43y-2013=0．【答案】y1=23+45，y2=23-45【分析】由y2-43y-2013=0，得y2-43y+12=2025，即(y-23)2=2025，再利用直接开平方的方法解题即可．【详解】解：∵y2-43y-2013=0，∴y2-43y+12=2025，即y-232=2025，∴y-23=±45，∴原方程的解为：y1=23+45，y2=23-45．【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，掌握配方法的步骤是解本题的关键．【变式6-5】(2023春·浙江·八年级专题练习)解下列方程3x2+4x-1=0．(用配方法)【答案】x1=-23+73，x2=-23-73【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：∵3x2+4x-1=0，∴3x2+4x=1，则x2+43x=13∴x2+43x+49=13+49即x+2 32=79∴x+23=±73，解得：x1=-23+73，x2=-23-73．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】【例题１】(2023·全国·九年级假期作业)以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2-2x-4=0的过程：解：移项得x2-2x=4配方：x2-2x+1=4x-12=4开平方得：x-1=±2移项：x=±2+1所以：x1=3，x2=3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【答案】有错误，过程见解析【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案．【详解】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：移项得：x2-2x=4，配方：x2-2x+1=4+1，x-12=5，开平方得：x-1=±5，移项：x=±5+1，所以：x1=5+1，x2=-5+1．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的步骤是解题关键．【变式7-2】(2023秋·河北沧州·九年级统考期末)阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程x2+6x-4=0的过程如下：解：x2+6x-4=0x2+6x=4--------------------------------①x2+6x+9=4-----------------------------②(x+3)2=4-------------------------------③x+3=±2--------------------------------④x+3=2，x+3=-2x1=1，x2=-5．问题：(1)佳佳解方程的方法是；A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法(2)上述解答过程中，从步开始出现了错误(填序号)，发生错误的原因是；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【答案】(1)B(2)②，等号右边没有加9(3)x1=-3+13，x2=-3-13．【分析】(1)利用配方法解方程的方法进行判断；(2)第2步方程两边都加上4，则可判断从②步开始出现了错误；(3)利用配方法解方程的基本步骤解方程．【详解】(1)解：佳佳解方程的方法为配方法；故选：B；(2)解：上述解答过程中，从②步开始出现了错误，发生错误的原因是方程右边没有加上9；故答案为：②；等号右边没有加9；(3)解：正确解答为：解：x2+6x-4=0，移项得x2+6x=4，配方得x2+6x+9=4+9，即(x+3)2=13，∴x+3=±13，∴x+3=13或x+3=-13，所以x1=-3+13，x2=-3-13．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．【变式7-3】(2023秋·山西朔州·九年级统考期末)下面是某同学解方程x2+4x-12=0的部分运算过程：解：移项，得x2+4x-12=0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步配方，得x2+4x+4=12+4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步即x+22=16，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步两边开平方，得x+2=4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步⋯(1)该同学的解答从第步开始出错；(2)请写出正确的解答过程．【答案】(1)四(2)解得过程见解析，x1=2，x2=-6．【分析】(1)仔细检查分析每一步的运算即可得到答案；(2)利用配方法解方程，变形后为x+22=16，再解方程不要漏解．【详解】(1)解：该同学的解答从第四步开始出错．(2)移项，得x2+4x-12=0，配方，得x2+4x+4=12+4，即x+22=16，两边开平方，得x+2=4或x+2=-4，解得：x1=2，x2=-6．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法解方程的步骤”是解本题的关键．【变式7-4】(2023春·八年级单元测试)用配方法解一元二次方程：2x 2+3x +1=0．小明同学的解题过程如下：解：x 2+32x +12=0x 2+32x +94-94+12=0x +322=74x +32=±72x 1=-3+72，x 2=-3-72小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．【答案】错误，见解析【分析】运用配方法解答该方程即可判定正误．【详解】解：错误，正确解法如下：2x 2+3x +1=0x 2+32x +12=0x 2+32x +916-916+12=0x +34 2=116x +34=±14解得x 1=-12，x 2=-1．【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解答本题的关键．【过关检测】一、选择题1.(2023春·浙江·八年级专题练习)方程x +1 2=9的解为()A.x =2，x =-4B.x =-2，x =4C.x =4，x =2D.x =-2，x =-4【答案】A【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．【详解】解：方程x+12=9，开方得：x+1=3或x+1=-3，解得：x=2，x=-4．故选：A．【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．2.(2023·江苏·九年级假期作业)下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为()A.ax2+bx+c=0B.x2-2=(x+3)2C.x2+3x-5=0 D.x2-1=0【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；B、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x的一元二次方程，故B不符合题意；C、该方程属于分式方程，不是关于x的一元二次方程，故C不符合题意；D、符合一元二次方程的定义，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0a≠0．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．3.(2023春·四川成都·九年级统考开学考试)把一元二次方程x2-9=8x化成一般形式后，一次项系数的一半为()A.8B.4C.-8D.-4【答案】D【分析】将方程化为一般形式，再求出答案即可．【详解】解：原方程变为x2-8x-9=0，可知一次项系数的一半是-82=-4．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，判断系数是解题的关键．4.(2023春·四川绵阳·九年级专题练习)关于x的一元二次方程为(m-2)x m -x+3=0，则m的值是()A.2B.-2C.2或-2D.m≠2【答案】B【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．【详解】解：∵方程(m-2)x m -x+3=0是关于x的一元二次方程，∴m =2，且m-2≠0．解得m=-2．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．5.(2023·广东佛山·校联考一模)已知a是方程x2-2x+2023=0的根，则代数式2a2-4a+2的值为()A.4044B.-4044C.2024D.-2024【答案】B【分析】由a是方程x2-2x+2023=0的一个根，将x=a代入方程得到关于a的等式，变形后即可求出所求式子的值．【详解】解：∵a是方程x2-2x+2023=0的一个根，∴将x=a代入方程得：a2-2a+2023=0，∴a2-2a=-2023，∴2a2-4a+2=2a2-2a+2=2×-2023+2=-4044故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的式子，代入代数式化简求值．二、填空题6.(2023·全国·九年级假期作业)一元二次方程x-1=2x+2的一般形式是．x+2【答案】x2-x-6=0【分析】利用整式的乘法运算展开，然后整理即可得解．【详解】解：x-1=2x+2，x+2x2+2x-x-2=2x+4，x2+2x-x-2-2x-4=0，x2-x-6=0，所以，一般形式为x2-x-6=0，故答案为：x2-x-6=0．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．7.(2023·全国·九年级专题练习)一元二次方程x2-8x-2=0，配方后可变形为．【答案】x-42=18【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：x2-8x=2，x2-8x+16=18，x-42=18，故答案为：x-42=18．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握配方法是解题的关键．8.(2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末)一元二次方程x2+2x=1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于．【答案】2【分析】先化为一般形式，继而即可求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：x2+2x=1的一般形式为x2+2x-1=0，∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为1,2,-1∴1+2-1=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．9.(2023春·八年级单元测试)关于x的方程m-1+3x-2=0是一元二次方程，则m的值为x m+1．【答案】-3【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可：只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程是一元二次方程，注意二次项系数不能等于0．+3x-2=0是一元二次方程，【详解】解：∵关于x的方程m-1x m+1∴m+1=2，且m-1≠0，解得：m=-3．故答案为：-3．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义．10.(2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习)已知a是方程x2-4x+2=0的一个实数根，则-2a2+8a+2025的值是．【答案】2029【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2-4a=-2，再把a2-4a=-2整体代入所求式子中求解即可．【详解】解：∵a是方程x2-4x+2=0的一个实数根，∴a2-4a+2=0，∴a2-4a=-2，∴-2a2+8a+2025=-2a2-4a+2025=-2×-2+2025=4+2025=2029，故答案为：2029．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．三、解答题11.(2023·全国·九年级假期作业)判断下列各式哪些是一元二次方程．①x2+x+1；②9x2-6x=0；③12y2=0；④5x2-12x+4=0；⑤x2+xy-3y2=0；⑥3y2=2；⑦(x+1)(x-1)=x2．【答案】②③⑥.【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①x2+x+1不是方程；④5x2-12x+4=0不是整式方程；⑤x2+xy-3y2=0含有2个未知数，不是一元方程；⑦(x+1)(x-1)=x2化简后没有二次项，不是2次方程，②③⑥符合一元二次方程的定义．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．12.(2023春·浙江·八年级专题练习)填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2x2-x=42y-4y2=0(2x)2=(x+1)2【答案】见解析【分析】将方程化为一般形式ax2+bx+c=0a≠0，其中a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项，由此可解．【详解】解：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2x 2-x =42x 2-x -4=02-1-42y -4y 2=0-4y 2+2y =0-420(2x )2=(x +1)23x 2-2x -1=03-2-1【点睛】本题考查一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ，b ，c 是常数且a ≠0)．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，掌握上述知识点是解题的关键．13.(2023春·浙江·八年级专题练习)用直接开平方法解下列方程：(1)49x 2-36=0；(2)9x +1 2=25．【答案】(1)x 1=67，x 2=-67(2)x 1=23，x 2=-8314.【分析】(1)用直接开平方法解答即可；(2)用直接开平方法解答即可．【详解】(1)49x 2-36=0，移项，得49x 2=36，两边同时除以49，得x 2=3649，开方，得x =±67，则方程的两个根为x 1=67，x 2=-67．(2)9x +1 2=25两边同时除以9，得x +1 2=259，开方，得x +1=±53，即x +1=53或x +1=-53，则方程的两个根为x 1=23，x 2=-83．【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法.15.(2023春·全国·八年级专题练习)解方程：(1)x 2-5=0(2)x 2+2x -5=0【答案】(1)x 1=5,x 2=-5(2)x 1=-1+6,x 2=-1-6【分析】(1)利用直接开平方法解一元二次方程即可得出未知数的值；(2)利用配方法解一元二次方程即可得到未知数的值．【详解】(1)解：x 2-5=0移项，得：x 2=5解得：x =5，x =-5；(2)解：x 2+2x -5=0配方可得：x 2+2x +1=6；∴x +1 2=6；解得：x =-1+6，x =-1-6．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，根据一元二次方程的特点选取合适的解法是解题的关键．16.(2023秋·湖南长沙·九年级校联考期末)解方程．(1)12x 2-2=0；(2)x 2+2x -1=0．【答案】(1)x 1=2，x 2=-2(2)x 1=-1+2，x 2=-1-2【分析】(1)利用直接开平方法解方程得出答案；(2)利用配方法解方程得出答案．【详解】(1)解：12x 2-2=0，移项得：12x 2=2，即x 2=4，开平方得：x 1=2，x 2=-2；(2)解：x 2+2x -1=0，移项得：x 2+2x =1，配方得：x 2+2x +1=1+1，则x +1 2=2，开平方得：x +1=±2，解得：x 1=-1+2，x 2=-1-2．【点睛】本题主要考查了直接开平方法以及配方法解方程，灵活运用解一元二次方程的方法是解题关键．17.(2023春·全国·八年级专题练习)用适当的方法解下列方程：(1)6x-12=25；(2)x2-2x=2x-1：【答案】(1)x=1或x=-2 3(2)2+3，2-3【分析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)利用配方法求解即可．【详解】(1)解：(6x-1)2=25，∴6x-1=±5，∴x1=1，x2=-23；(2)解：x2-2x=2x-1，x2-4x=-1，x2-4x+4=-1+4，即(x-2)2=3，∴x-2=±3，∴x1=2+3，x2=2-3．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用直接开平方法以及配方法，本题属于基础题型．18.(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)解方程：(1)x2+5x+7=11+3x(2)4x2+12x+9=81【答案】(1)x1=5-1，x2=-5-1(2)x1=3，x2=-6【分析】(1)选用配方法求解即可．(2)先用配方法，后用直接开平方法求解即可．【详解】(1)x2+5x+7=11+3xx2+2x=4x2+2x+1=5x+12=5x+1=±5∴x1=5-1，x2=-5-1．(2)解：2x+32=81，2x+3=9或2x+3=-9，x1=3，x2=-6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择求解方法是解题的关键．19.(2023春·浙江·八年级专题练习)在用配方法解一元二次方程4x2-12x-1=0时，李明同学的解题过程如下：解：方程4x2-12x-1=0可化成2x2-6×2x-1=0，移项，得2x2-6×2x=1．配方，得2x2-6×2x+9=1+9，即2x-32=10．由此可得2x-3=±10∴x1=3+102，x2=3-102．晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？【答案】见解析【分析】晓强认为李明的解题过程错误，我不同意他的想法，说明理由即可．【详解】解：不同意晓强的想法，当二次项系数不为1时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．·21·。

专题04 一元二次方程的定义及方程的解压轴题六种模型全攻略(原卷版)

专题04一元二次方程的定义及方程的解压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一一元二次方程的判别】 (1)【考点二一元二次方程的一般形式、各项系数】 (1)【考点三利用一元二次方程的定义求参数的值】 (2)【考点四已知一元二次方程的解求参数的值】 (2)【考点五已知一元二次方程的解求式子的值】 (2)【考点六一元二次方程的解的估算】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一一元二次方程的判别】【变式训练】【考点二一元二次方程的一般形式、各项系数】例题：（2023春·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）一元二次方程2450x x --=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A ．1，4，5B ．0，4-，5-C ．1，4-，5D ．1，4-，5-【变式训练】1．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考期末）关于x 的一元二次方程251x x =-的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．1，5-，1-B ．1-，5-，1-C ．1，5-，1D ．1，5，12．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）将一元二次方程2351x x =-化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A ．3，5B ．3，1C ．23x ，5x-D ．3，5-【考点三利用一元二次方程的定义求参数的值】【考点四已知一元二次方程的解求参数的值】例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210x x a ++-=的一个根是0，则a 的值为______．【变式训练】1．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）已知方程230x kx +-=的一个根是=1x -，则k 值是________．2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）3x =是一元二次方程220x x m -+=的一个根，则m 的值是__________．【考点五已知一元二次方程的解求式子的值】例题：（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 有一个根为2-，则2a b -=______．【变式训练】1．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若3x =是关x 的方程26ax bx -=的解，则202362a b -+的值为___________．2.（2023·甘肃平凉·统考二模）若m 是方程22310x x -+=的一个根，则2692023m m -+的值为______．【考点六一元二次方程的解的估算】【变式训练】【过关检测】一、选择题1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ．221x x +B ．20ax bx c ++=C ．()()121x x -+=D ．223250x xy y --=2．（2023·江苏·九年级假期作业）将方程2235x x =-化成一般形式（二次项系数为正）后，它的一次项系数与常数项分别是（）A ．3，5-B ．3-，5-C ．3-，5D ．3，53．（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期末）如果关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是=1x -，则代数式a b -的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．24．（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）关于x 的方程()21130mm x x +-+-=是一元二次方程，则（）A ．1m =-B ．1m =C ．1m =±D ．2m =5．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）根据下表的对应值，试判断一元二次方程20ax bx c ++=的一个解的取值范围是（）x3-1-142ax bx c++0.060.020.03-0.07-A ．31x -<<-B ．0.030.02x -<<C ．11x -<<D ．0.070.03x -<<-二、填空题6．（2023春·浙江·八年级专题练习）一元二次方程2213x x +=化为一般形式是．7．（2023·全国·九年级假期作业）写出一个以1-和5为两根且二次项系数为1的一元二次方程：．8．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如果关于x 的方程230x x k -+=有一个根为1，那么k =．9．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若a 是方程2530x x -+=的一个根，则代数式21210a a -+的值是．10．（2023春·八年级课时练习）若关于x 的方程||1(1)450k k x x +--+=是一元二次方程，则k =．三、解答题11．（2023·上海·八年级假期作业）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．。

一元二次方程课件2021-2022学年湘教版数学九年级上册

这个问题需要建立一元二次方程模型来解决.
探究新知
新知一一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ，求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m，则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m，所以可得方程为x(x－60)=1 600．答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式.

一元二次方程知识点总结

21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式,含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式:，它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零,其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项,b 叫做一次项系数；c叫做常数项.注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。

二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据:平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，,，当b〈0时，方程没有实数根。

三种类型:（1）的解是；(2）的解是;(3)的解是。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这个数; （3）把原方程变为的形式.（4）若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。

（二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时,用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式(2）先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数；（3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为的形式;（4）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

24.1 一元二次方程课件(共20张PPT)

同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．